5) Elektrostatik und Gauss'sches Gesetz

Wieder ein Hörsaal ohne experimentelle Aufbauten, aber das wird sich ändern. Heute ist noch der Abschluss der formalen Zusammenfassung dessen, was wir bis jetzt kennengelernt haben. Morgen gibt es wieder eine Reihe von Experimenten, die das dann, worüber wir auch insbesondere heute sprechen werden, illustrieren sollen. Also es ist immer ein Wechselspiel. Aber Sie haben ja schon gesehen. Es ist schon einiges, was man im Zusammenhang mit der Elektrostatik an formalen Voraussetzungen schaffen muss, damit man über die Dinge auch wirklich ordentlich sprechen kann. Wir haben ja schon vieles eingeführt. Die elektrische Feldstärke, den elektrischen Fluss, wenn Sie sich erinnern, so eine hydrodynamische Analogieüberlegung in der Elektrostatik. Das elektrische Potenzial und die elektrische Spannung, also viele Definitionen von Größen, die dann auch erst in weiterer Folge ihre volle Bedeutung entfalten werden. Aber trotzdem ist es jetzt einmal wichtig, sich einmal klarzumachen, was man etwa unter der elektrischen Spannung versteht, sonst bleiben dann später... Die Dinge, die wir damit besprechen werden, zum Beispiel die Spannung zwischen Kondensatorplatten, die Spannung an den Enden eines stromdurchflossenen Leiters und ähnliches, diese Dinge bleiben dann alle mysteriös, wenn man nicht wirklich weiß, wovon man spricht. Und das wollen wir eben jetzt grundlegend. Und morgen dann gibt es auch wieder einige Experimente dazu. Wir haben also insbesondere ein paar wichtige allgemeine Gleichungen kennengelernt, die ich gleich heute an den Anfang stellen möchte. Eine wichtige Gleichung ist das Gauss'sche Gesetz. Ich möchte es gleich wiederholen, weil wir es auch heute brauchen werden. Dieses Gauss'sche Gesetz lautet kurz aufgeschrieben, der elektrische Plus ist gleich Q durch Epsilon Null. Was bedeutet, dass wir eine Ladung Q betrachten? Das braucht keine Punktladung zu sein, wie Sie gleich anschließend anhand von Beispielen sehen werden. Wir wollen das heute ein bisschen mit Leben erfüllen, diese Gesetze. Also irgendeine Ladungsverteilung halt, eine lokal begrenzte in einem gewissen Bereich mit der Gesamtladung Q. Die wird umschlossen von einer geschlossenen Fläche. Innerhalb derer befindet sie sich heute. Und der Fluss des elektrischen Feldes, das von dieser Ladungsverteilung her rührt, durch diese geschlossene Fläche hindurch nach außen, also aus dem Volumen heraus, wo sich diese Ladung drinnen befindet, den nennen wir 4E und Fluss ist Integral EDF, so wie Integral VDF der Fluss in der Hydrodynamik ist. Und dieser Fluss hängt eben unmittelbar mit dieser Ladung zusammen und insbesondere wenn die Ladung null ist, dann gibt es netto keinen Fluss durch diese Fläche nach außen. Das ist also die Aussage dieses Gaussischen Gesetzes, ein integrales Gesetz, das aber für viele Zwecke sehr praktisch ist in der Anwendung, wie Sie gleich sehen werden. Und wenn man das aber... dann übersetzt ins Differenzielle, dann kommt man damit auf eine Differenzialgleichung, nämlich auf eine der vier Maxwell-Gleichungen. Divergenz E ist Rho durch Epsilon 0. Und wenn man da dann noch einen Potenzialansatz macht, E ist gleich Minusgradient V. Das sollte Ihnen jetzt schon einigermaßen geläufig sein. und diesen Potenzialansatz in diese Maxwell-Gleichung einsetzt. Also letztlich kommt das, wenn man so will, aus diesem Gauss'schen Gesetz heraus. Dann kriegt man die berühmte Poisson-Gleichung, die da lautet. Die Poisson-Gleichung, die da lautet, dass der Laplace-Operator, den wir als Delta schreiben, angewendet auf diese skalare elektrische Potential-Phi gleich ist minus Rho durch Epsilon Null. Dieses Minus kommt von dem Potentialansatz her, weil wir ja analog zu dem Ansatz mit der potenziellen Energie in der Mechanik, auch in der Elektrodynamik, den Ansatz machen, dass E gleich Minusgradient ist. Wenn man das dann eben in diese Maxwell-Gleichung einsetzt, kommt man hier auf diese Poisson-Gleichung. Und für den Fall, dass man einen ladungsfreien Raum hat und auch das werden wir finden jetzt bei einzelnen Beispielen, dann wird das gleich 0 und man kriegt also für ladungsfreien Raum, wo also das Rho gleich 0 ist, die Laplace. Gleichung, die dann natürlich lautet, Delta Phi ist gleich 0. Also diese zwei Differenzialgleichungen sind für die Physik in vielfältigem Zusammenhang wichtig, insbesondere eben in der Elektrostatik. Und daher sind sie auch sehr häufig mathematisch untersucht worden und ich möchte bei der Gelegenheit gleich erwähnen, Und das werden wir in weiterer Folge benutzen, dass die Mathematiker bei diesen Gleichungen, also sowohl Poisson als auch der Spezialfeuder-Laplace-Gleichung, einen Satz bewiesen haben, der sehr wichtig ist für diese Anwendungen, nämlich Wenn man auf einer geschlossenen Fläche, und da haben wir ja gerade vorhin so etwas mit einer geschlossenen Fläche gehabt, also die kommen oft vor in der Elektrostatik, geschlossene Flächen. Wenn man auf einer geschlossenen Fläche die Randbedingungen für die Lösungen der Poisson-Gleichung vorgibt, also zum Beispiel auf der geschlossenen Fläche, ist überall das gleiche Potenzial. dann hat man die Randbedingungen für dieses Potential V auf so einer geschlossenen Fläche vorgegeben. Wenn man auf so einer geschlossenen Fläche die Randbedingungen für die Lösungen vorgibt, also nur solche Lösungen sucht, die dieser Randbedingungen auf der geschlossenen Fläche genügen, dann... ist die Lösung der Poisson-Gleichung und natürlich auch der Laplace-Gleichung im Innenraum dieser geschlossenen Fläche eindeutig bestimmt. Hat man also dann irgendeine Lösung, die dem genügt, hat man auch schon die Lösung erhalten. Es gibt dann keine andere. Ein wichtiger Eindeutigkeitssatz für die Lösung dieser linearen partiellen Differentialgleichung für das V. Wenn die Randbedingungen für die gesuchten Lösungen auf einer geschlossenen Fläche vorgegeben sind, dann ist die Lösung dieser Gleichung im Innenraum dieser geschlossenen Fläche eindeutig. Da hat man dann keine Freiheiten mehr. Und dementsprechend hat man dann nur eine Lösung und hat man einmal eine, dann war es die schon. Und das werden wir also insbesondere im Zusammenhang mit dem berühmten pharadäischen Käfig, über den wir jetzt bald sprechen werden. auch verwenden können. Also das schreibe ich jetzt nicht an die Tafel, aber das können Sie sich ja notieren, eben diesen wichtigen Satz, dass eben, wenn die Lösungen auf einer geschlossenen Fläche vorgegeben sind, als Randbedingung, dann ist die Lösung der Poisson-Gleichung im Inneren dieser geschlossenen Fläche eindeutig. Naja, das ist ja ganz schön, was uns die Mathematiker als Werkzeug sozusagen in die Hand geben. Und wir werden es zu nützen wissen. Naja, und damit also das Ganze jetzt nicht immer nur so... so allgemein und nicht recht greifbar bleibt, wollen wir jetzt einmal ein Beispiel betrachten. Und als Beispiel nehmen wir her eine geladene leitende Hohlkugel. Eine geladene leitende Hohlkugel. So etwas Ähnliches, was wir verwendet hatten bei der Durchführung der Messungen bei der Kolumbischen Drehwaage. Sie hatten das gesehen. in den experimentellen Methoden im Wintersemester. Und kürzlich haben wir auch ein Video gezeigt, um das noch einmal in Erinnerung zu rufen, weil das ja so ein wichtiges Gesetz ist, das Kolumbische Gesetz, dass sich daraus ergibt, da kommen so geladene, leitende Hohlkugeln vor. Aber wir werden es auch im Zusammenhang mit dem Kondensator dann in weiterer Folge noch genauer verwenden. Und daher wollen wir uns das jetzt näher anschauen. Die Ladung sei Groß Q, die gesamte Ladung, die sich auf dieser Hohlkugel befindet, und der Radius... sei Groß R, das ist heute der Radius dieser Hohlkugel. Und da zeigt sich, es ist sinnvoll, wenn man sich jetzt dafür interessiert, wie schaut das elektrische Feld aus in der Umgebung dieser Hohlkugel, dass man die zwei Bereiche getrennt behandelt, die da offensichtlich zu betrachten sind, nämlich den Außenraum und den Innenraum dieser Hohlkugel. Meistens sitzt man nicht drinnen in diesen Kugeln, sondern wir wissen vor allem, was diese Hohlkugeln dann nach außen für eine Wirkung haben. Andererseits sind die Physiker dann auch schon interessiert genug zu fragen, was ist eigentlich im Inneren da drinnen. Das wollen wir natürlich auch wissen. Aber schauen wir uns zunächst einmal das Außenfeld an. Ja, dann machen wir uns halt einmal die Situation klar. Wir haben da so eine Kugel. Mit Radius Groß R auf der Kugel sitzt eine Ladung Q und sie wird sich wohl, wenn es eine leitende Hohlkugel ist, gleichmäßig über die ganze Kugel verteilen. Wenn da vielerlei gleichnamige Elementarladungen sein werden, die da beweglich sind, die stoßen einander ja gegenseitig ab, wie das gleichname Ladungen immer tun und werden sich daher in gleichmäßigerweise so weit wie sie können voneinander wegbewegen und auf dieser leitenden Hohlkugel, halt dann genau genommen an der Außenseite dieser Hohlkugel hier, dann gleichmäßig verteilen. Na ja, und wie können wir uns jetzt das Außenfeld anschauen? Na ja, indem wir da ein Kugelkoordinatensystem einführen praktisch und da mal eine Kugelfläche betrachten mit dem Radius. klein r, das ist die radiale Komponente, so dass diese Kugelfläche K, nennen wir diese Kugelfläche also K, dass diese Kugelfläche eben konzentrisch diese vorgegebene leitende, geladene Hohlkugel umgibt. Also das r wird größer als das R sein. Und da können wir uns jetzt überlegen, wie wird denn nun das elektrische Feld in der Umgebung dieser Kugelfläche ausschauen. Und da zeigt sich, dass man hier sehr gut das Gauss'sche Gesetz anwenden kann. Das ist ein schöner Anwendungsfall, wo der elektrische Fluss, den wir da vor ein paar Tagen eingeführt haben, gut verwendet werden kann. Rechnen wir uns also den elektrischen Fluss. durch diese Kugelfläche K hindurch aus. Dieser elektrische Fluss ist ja definiert als das Flächenintegral. Jetzt natürlich, weil wir es über diese geschlossene Kugel K betrachten, vom E-Pfeil. DF-Pfeil. Wir wollen ja jetzt den Fluss durch die Kugelfläche hindurch ausrechnen. Das ist aber einfach, weil aus Symmetriegründen wird man davon ausgehen können, dass die E-Vektoren da alle entweder radial nach außen oder radial nach innen zeigen. Aber ansonsten ist es ja eine komplett kugelsymmetrische Situation. Wie sollten sie denn anders liegen? Und damit liegen sie ja auch... Parallel zu den Flächenvektoren die F-Pfeil, die da hier für jedes Flächenelement auf dieser Kugeloberfläche da so senkrecht nach außen zeigen. Also ist dieses Flächenintegral sehr einfach zu berechnen. Eine Summe über E-Pfeil, Delta-F-Pfeil, wobei E und Delta-F immer parallel zueinander sind. Also kann man die Beträge multiplizieren, E mal Delta-F und E der Betrag. wird auf dieser Kugelfläche überall der gleiche sein, weil ja der Abstand überall der gleiche ist und das ein kugelsymmetrisches Problem ist. Also kann man davon ausgehen, dass man das sehr einfach ausrechnen kann. Einfach die gesamte Kugelfläche mal den Betrag des elektrischen Feldes, also 4 Pi r². mal E, wobei dieses E der Betrag von E Pfeil ist. Das machen wir sehr häufig, das soll man den Pfeil weglassen, dann meinen wir eben dann den Betrag des Vektors. Das ist praktisch aufgrund der Definition des elektrischen Flusses Integral EDF und der Verwendung der vollen völligen Kugelsymmetrie dieses Beispieles kann man also diese Ringintegrale über diese konzentrische Kugel hier ganz einfach ausrechnen. Naja, andererseits aber bekommen wir durch das Gauss'sche Gesetz, das wir dort oben ja stehen haben, dass das Phi E, schreiben wir es vielleicht nochmal da unten dazu, dass das Phi E gleich ist, genau wie es da steht, Q. durch Epsilon 0. Und die beiden Phi E sind ja dasselbe. Also können wir die beiden gleichsetzen. Vergleich ergibt daher schauen wir es an 4 Pi R Quadrat. mal E ist gleich und auf der anderen Seite haben wir Q durch Epsilon 0. Und daraus können wir natürlich sofort ausrechnen, wie groß der Betrag der elektrischen Feldstärke ist. Das ist dann eben Q durch 4Pi Epsilon 0. Q durch 4π0 mal 1 wird R betragen. Und Sie können erkennen, dass im Bereich R größer als R, also im Außenraum, die elektrische Feldstärke genau das gleiche ist, wie man es auch bei der Punktladung hätte. Also das R ist R. Wie bei Punkt Ladung. Aber wir haben uns einmal auf das Außenfeld bezogen. Wir haben eine Kugelfläche betrachtet, die diese geladene, weitende Hohlkugel umschließt, damit wir das Gausche Gesetz anwenden können. Weil das sagt ja, dass es darum geht, dass... man eine geschlossene Fläche hat, die eine Ladungsverteilung, hier die Ladung auf dieser Hohlkugel, umschließt. Und dann können wir eben den gesamten Fluss aus dieser Kugelfläche heraus bestimmen. Und das ist dieses Q durch Y0 laut Gauss-Schemm-Gesetz und das ist das 4πr²e laut Definition des elektrischen Flusses. unter Benützung des Umstandes, dass das ein komplett kugelsymmetrisches Problem ist. So, dann mache ich mal eine kurze Pause und frage mal nach, ob dazu irgendjemand eine Unklarheit hat. Wir haben nur benutzt das Glausche Gesetz und wir haben benutzt die Definition des elektrischen Fluttricks. Und immerhin diese Geschichte mit dem elektrischen Fluss hat uns jetzt die Möglichkeit gegeben, das elektrische Feld hier so auszurechnen. Im Außenraum. Das kommt dann bei B. Jetzt sind wir im Außenfeld. Machen wir das fertig. Der Kollege hat gefragt, wie schaut es dann aus, wenn man innerhalb ist. Kommt gleich. Und Sie werden sehen, es ist auch ganz einfach, aber ganz anders. Und das macht die Sache eben interessant. Deswegen ist es wichtig, sich das genauer anzuschauen. Aber jetzt, ja. Da sieht man was anderes. Da kann man wieder anders rechnen. Die lernen das nicht im Einzelnen durchrechnen. Aber auch da kann ich Ihnen dann, wenn Sie mit dem Beispiel vorbei sind, sagen, wie man da dann vorgeht. Die Frage war, was ist, wenn es eine Vollkugel ist? Da muss man natürlich wieder sagen, wie, dass die Ladung dann gleichmäßig über den ganzen Innenraum der Kugel verteilt ist. Das meinen Sie aber, Jan. Ja, ja, da gibt es verschiedene Möglichkeiten. Das ist nur ein Beispiel. Lassen Sie das einmal zu Ende führen und dann werden wir sehen, in welche Richtungen man das dann noch verändern und verallgemeinern kann. Aber jetzt schauen wir uns einmal, nachdem wir das Feld haben, auch an, wie sieht es denn mit dem Potenzial aus? Naja, das Potenzial, das haben wir uns ja ausgerechnet als ein Griechisch. R, also in Abhängigkeit von der radialen Koordinate, wobei aber das R eben größer als Groß R ist, weil man eben außen fällt und sich jetzt einmal befinden. Dieses V von R, das können wir uns jetzt ausrechnen, entsprechend der Definition, das war ja so ein Integral von P bis P0 E dr. Nicht so wie die potenzielle Energie, aber pro Ladungseinheit. Vergegenwärtigen Sie sich das immer. Das Potenzial in einem elektrischen Feld ist die potenzielle Energie eines Körpers in dem Feld pro Ladungseinheit. Und die Kraft pro Ladungseinheit ist E, daher ist die potenzielle Energie dann ein Integral E dr. Und in dem Fall schreibe wir minus Integral E. vom Bezugspunkt und den legen wir wieder ins Unendliche. Das ist ja jetzt schon eine gängige Praxis gewesen. Bis zu dem betrachteten Abstand R, größer als Groß-R, E dr. Und für E setzen wir gleich ein. Da haben wir also Q durch 4B. Epsilon 0, 1 durch r² dr. Dieses Integral haben wir schon ausgerechnet. Da müssen wir jetzt r'dr'schreiben, weil da haben wir das kleine r schon als obere Grenze verbraucht. Und das ist eine sehr schlechte Angelegenheit, wenn man die Grenzen gleich bezeichnet wie die Integrationsvariable. Das macht die Sache unübersichtlich und eigentlich unrichtig. Und wenn man also doch mit R eben eine radiale Koordinate beschreiben möchte und dann soll zwischen unendlich und R die Integrationsvariable sich bewegen in dem Bereich, dann muss man die Integrationsvariable noch ein bisschen anders bezeichnen. Da könnte man auch lange drauf machen, ich mache halt einen Strich dazu, ist ja egal. naja, 1 durch r², wenn man das integriert, r hoch minus 2 ist minus 1 mal r hoch minus 1, also 1 durch r und andererseits hat man auch da das Minus, also ergibt sich daraus ein V von r in derselben Art und Weise, wie wir das schon bei der Punktladung besprochen haben. Der Faktor, der Konstante kommt natürlich ungeändert nach vorn. U durch 4, 4, Epsilon 0. Und dann bleibt da als Stammfunktion ein Minus 1 durch R. Aber mit dem Minus ist dann ein Plus 1 durch R. Und da haben wir dann 1 durch R minus 1 durch unendlich. Nur 1 durch unendlich, das ist 0, also im Grenzwert natürlich. Also bleibt nur noch das Mal. 1 durch R stehen. Wir kriegen hier damit die potenzielle Energie für den Bereich R größer als R im Außenraum dieser Kugel. Und wieder schaut das also ganz analog aus, wie wir es von der Pumpladung erkennen und der Besutzung. ist im Unendlichen, was man auch daran sieht, dass wenn man da R gegen Unendlich gehen lässt, dann wird der Ausdruck, weil da 1 durch R drinnen steht, gegen 0 gehen. Das heißt, im Unendlichen beim Bezugspunkt, den man natürlich nicht ganz erreichen kann, weil das ja im Unendlichen ist, geht also dann eben das Potenzial gegen Null. Physikalisch ist aber das Unendliche meistens gar nicht so weit. Wenn man 10 oder 100 Mal so weit weg ist, wie der Radius der Kugel, dann ist das genug unendlich. als dass sich da noch viel ändern würde. Und das bedeutet dann, dass also in solchen großen Abständen im Verhältnis zum Durchmesser oder Radius dieser Kugel dann das Potenzial gegen Null geht. Das ist ja gar keine schlechte Festsetzung. Also wenn man da so sagt, Bezugspunkt im Unendlichen, das hat immer so den Anstrich des Artifiziellen, Komischen. Wer macht sowas? Die Idee ist, wenn man ins Unendliche geht, geht dann das Potenzial gegen Null. Das ist ja gar keine schlechte Idee. Und deswegen legt man oft gern den Bezugspunkt ins Unendliche. Wenn das geht, Sie werden heute noch sehen, werden wir dann noch über den Zylinder, über den Geladenen sprechen. Den schauen wir uns auch an. Die zweite wichtige Geometrie neben der Kugelsymmetrie, die Zylindergeometrie. Dort schaut die Geschichte ein bisschen anders aus. Dort können wir winzigerweise den Bezugspunkt nicht ins Unendliche legen. Sie werden schon sehen, da schreit das System auf, mag ich nicht. Und dann muss man also was anderes machen. Hier geht das aber. Also Sie sehen, E und V hängen dort in einer einfachen Weise miteinander zusammen. Im Wesentlichen sieht das gleich aus, so witzigerweise. Und dann das kalare Potential. Das ist ein Kallschatz. Wenn man die zwei Gleichungen vergleicht, dass dieses V gleich ist, nichts anderes, dass das E gleich ist, betragsmäßig, dass das E gleich ist, das V einfach durch R. Das ist aber natürlich jetzt keine allgemeine Beziehung. Das wäre praktisch, wenn das immer so wäre. Aber für diesen einfachen, schaltergeladenen, leitenden Hohlkugel im Außenraum, ist der Betrag der elektrischen Feldstärke gleich dem potenziellen, dem elektrischen Potenzial durch R. Hier für den Fall R, der ist so alles groß R. Im Außenraum, ja. Das werden wir uns gleich anschließend anschauen, wenn wir die Frage ist, ob das auch für R gleich groß R gilt, weil wir dann, wenn wir das im Diagramm sehen, uns gleich erkennen werden, dass bei der Stelle R gleich groß R eine Unstetigkeit auftritt beim elektrischen Feld. Aber da müssen wir uns zuerst den Innenraum anschauen. Damit wir da einmal zunächst das ausklammern, will ich hier auf der sicheren Seite sein. Und dann anschließend zusammen mit dem Innenfeld werden wir die Situation direkt unmittelbar auf dieser dünnen, leitenden, geladenen Hohlkugel auch noch anschauen, was dort passiert. Aber jetzt vorläufig machen wir es einmal so, damit uns nichts passiert gewissermaßen. Aber hier kann man schon auch etwas Interessantes erkennen. Wenn also die elektrische Feldstärke gleich viel von R durch R ist, dann kann man schon erkennen, wenn man jetzt also zum Beispiel eine leitende Oberplatte betrachtet, Eine leitende Oberfläche, wo das R gleich Groß, R gleich Konstant, jetzt setzen wir das einmal konstant. Und dann wird diese leitende Oberfläche eine Equipotentialfläche sein. Wenn nämlich das R konstant ist, dann sehen Sie hier, dass auch das V konstant ist. Also eine leitende Oberfläche ist eine Equipotentialfläche. Wir nennen eine DxP. Die Potentialfläche ist eine solche, wo eben das Potential konstant ist. Bei einer festen Koordinate r ist das Potential konstant. Und daher erfindet man jetzt, wenn also das eine eckige Potentialfläche ist, dass... Wenn das Potenzial dieser Oberfläche mit dem Radius Groß R, falls Potenzial konstant gehalten wird, also man hat ein bestimmtes Potential phi, dann wird, und zwar so phi, das heißt also phi gleich einem vorgegebenen phi Null. Zum Beispiel das Erdpotential, wenn man so eine Kugelfläche an die Erde anschließt. Wenn also phi gleich phi Null ist, dann nimmt die phi der Erdkern. Dann nimmt Feldstärke, das ist der Betrag E, betragsmäßig, dann nimmt die Feldstärke bei abnehmendem Krümmungsradius zu. Feldstärke nimmt der abnehmenden Krümmungsradius zu. Je schärfer gekrümmt eine Fläche ist und das Potential bleibt immer konstant, je kleiner also der Krümmungsradius wird, Bei konstantem Vieh, desto größer wird die elektrische Feldstärke. Das ist das Prinzip der Blitzaubleiter. Blitzaubleiter haben Spitzen, also stark gekrönte, wahrscheinlich, wenn man genau hinschaut, ungefähr kugelförmig gekrönte Oberflächen. Die hängen aber immer am Erdpotenzial. Ihr Potenzial bleibt also konstant. Aber wenn sie so stark gekrönt sind, dann ist das nicht so. dann wird bei dieser, entsprechend diesem kleinen Frümmungsradius, dort die Feldstärke groß werden. Und wenn nun angesagt ist, wenn es also atmosphärische Ionen in hoher Konzentration gibt und dementsprechend auch elektrische Felder, dann werden diese elektrischen Felder unmittelbar in der Nähe dieser... Blitzableiterspitze besonders stark werden. Und die Idee ist also jetzt nicht die, dass der Herr der Blitz bei dem Blitzableiter einschlagen soll, das will man ja eigentlich nicht. Sondern, dass aufgrund dieser starken Felder dieser Blitzableiter so quasi wie ein Ionenstaufsauger wirkt. Der saugt in der Umgebung aufgrund der hohen Feldstärke Ionen ab und dementsprechend... Dementsprechend wird dann die Gefahr reduziert, dass in der Umgebung dieses Blitzableiters, also im Bereich des zu schützenden Objektes, dann auch ein Blitz einschlägt. Also Blitzableiter aufgrund dieser Beziehung, dass die Feldstärke mit abnehmender Krümmung an der Spitze, mit zunehmender Krümmung an der Spitze, also mit abnehmendem Krümmungsradius immer stärkeres Feld bekommen. Diese Blitzableiter spitzen, saugen die Luftionen ab und verhindern dadurch oder verringern jedenfalls die Gefahr. eines Blitzeinschlages. Das ist das Prinzip der Blitzaubleiter. Deswegen müssen sie natürlich gut geerdet sein, weil es geht darum, dass sie auf konstantem Potential bleiben. Nur dann ist diese Beziehung ja auch entsprechend zu verwenden. Na ja, jetzt haben wir uns das Außenfeld angeschaut, jetzt folgen wir uns aber auch das Innenfeld. Beim Innenfeld kann man also sehr einfach vorgehen. Vielleicht mache ich es jetzt so, man kann in zwei verschiedenen Weisen hier vorgehen. Mache ich es jetzt so, dass wir davon ausgehen, wir verwenden jetzt diese Personengleichung zur Berechnung des Innenfeldes. Das ist also der Fall, dass diese rassiale Komponente kleiner ist als er. In dem Fall ist in dem Bereich keine Ladung vorhanden. Das Innenraum ist... Ladungsfrei, was ja eine Hohlkugel ist. Und der Hohlkugel sind daher auch keine Ladungen. Und daher gilt für den Differenraum, dass das Delta-Theme gleich Null ist. Also wir haben jetzt die Laplace-Gleichung hier anzuwenden. Naja, also wieder für den Fall. Herr kleiner als Großherr. Na ja, haben wir aber andererseits gesehen, dass also die Kugel selbst von Asymmetriegründen eine Equipotentialfläche sein wird. Also die Kugel, die geladene Holbucht selbst. ist eine eckige Potential-Fläschbe. Das heißt, auch in dieser Hohlkugel ist das Potential konstant. Ich schreibe mal doppelt um. ist also auf dieser Hohlkugel konstant. Und wenn wir uns das jetzt anschauen, was haben wir dann jetzt? Wir haben eine geschlossene Fläche, in dem Fall die Kugelfläche, auf der eine Randbedingung für unsere unbekannte Funktion wie hier, Lösung der Laplace-Gleichung. vorgegeben ist. Und gemäß dem allgemeinen Satz, den ich vorhin erwähnt hatte in der Mathematik, ist es nun so, wenn also die Lösung auf einer geschlossenen Oberfläche vorgegeben ist, die Randbedingung dort festgelegt ist, dann ist die Lösung der Poisson oder in dem Fall der Plastgleichung im Innenraum dieser Fläche eindeutig. Es gibt nur eine Lösung. Und eine mögliche Lösung ist natürlich die mögliche Lösung. ist nicht gleich konstant, für den ganzen Bereich R kleiner als Großr im ganzen Innenraum. Denn wenn V gleich konstant ist, dann ist Delta V sicher 0. Weil dieses Delta, das ist ja der Laplace-Operator T2 nach T1 von dem V plus T2 V nach T2 plus T2 V nach T3 ist gleich 0. Wenn ich das Spiel überhaupt konstant setze, dann werden sie sich unabhängig vom Ort. Dann werden natürlich diese zweiten Ableitungen alle Null sein und dann ist das Zeital erfüllt. Das ist also eine mögliche Lösung. Aber natürlich gibt es viele verschiedene mögliche Lösungen. Wenn aber nun auf einer geschlossenen Fläche das V als Konstant ja vorgegeben ist, dann besagt der Satz der Mathematik, dass damit die Lösung der Poisson auf der Laplace-Kleidung im Innenraum eindeutig ist. Und damit habe ich als mögliche Lösung schon die eindeutige Lösung erhalten. Damit die eindeutige Lösung im Innenraum erhalten kann. Es ist also das Potenzial im Innenraum eine Konstante. Aber damit erhält man noch etwas weiteres. Und zwar wegen E ist gleich minus Gradient phi. Sie erinnern sich, das habe ich heute schon erwähnt. Der Potentialansatz für die elektrische Selbststärke. Wenn also das phi konstant ist im ganzen Innenraum, dann ist der Gradient von phi natürlich auch Null. Weil der Gradient hat drei Komponenten. Wenn wir die Fällstärke von T4 nach TX1, T4 nach TX2 und T4 nach TX3, wenn es hier konstant ist, muss also die Fällstärke dann gleich 0 sein. Damit ergibt sich entsprechend, dass im Innenraum Fällsfreiheit ist. Innenraum Fällsfreiheit. Da sehen Sie schon, jetzt wird es direkt an der Kugel oberflächlich mit Radius R etwas spannend. Denn im Außenraum haben wir gesehen, dass die Feldstärke durchaus abhängig ist vom Radius. Und zwar so lange, wie der Radius größer ist als er. Jetzt schauen wir uns also an, wie das dann komplett aussieht. Mit Diagrammen. Wie das dann zeigen soll. Zeichnen wir uns als erstes einmal das Potenzial auf. Wie von R gegen R zum Beispiel. Wie wird seit dann Groß R? Und schauen wir uns vielleicht zunächst einmal an, wie schaut es also im Außenraum aus. Na ja, da steht es ja, das V von R ist eine Konstante Q durch 4π0 mal 1 durch R. Das heißt, da haben wir so eine 1 durch R Abhängigkeit. Das schaut also so aus. proportional 1 durch R. Aber nur bis hin zu Groß R. Und Groß R selbst haben wir bisher ausgelassen. Es zeigt sich aber, es passiert einem nichts, wenn man Groß R dazu nimmt. Immer noch ist dort ein eindeutiger Funktionswert möglich. Andererseits haben wir jetzt gesehen, im Innenraum ist das Vieh konstant. Die Lösung Vieh konstant zu R kleiner R ist die eindeutige Lösung im Innenraum. Und das heißt, wir können jetzt irgendein konstantes Vieh nehmen und damit wir nicht zu viel Unheil anrichten, setzen wir hier einfach Tätig fort und haben hier dann dieses Konstant. Das ist das gesamte Potenzial im Innenraum. Man sieht also, Herr Kollege, jetzt auf Ihre Frage, für das Phi können wir durchaus R gleich R aus zulassen, nur es ist zwar diese Funktion da zwar stetig, aber nicht differenzierbar. Weil wenn Sie von da kommen, haben Sie einen anderen Anstieg, als wenn Sie von da kommen. Also es ist kein eindeutiger Differenzialpatient möglich. Aber immerhin einen Wert hat die Funktion dort. Das ist ja auch schon etwas wert, wenn man sich also dort immerhin definieren kann. Im Innenraum bleibt das Potenzial konstant, im Außenraum der Kugel, dieser leitenden Hohenkugel der Geladener nimmt sie proportional zu 1 durch r ab. Na aber jetzt natürlich noch spannender. ist die Abhängigkeit hier von E gleich dem Betrag von E-Pfeil gegen R. Und wieder haben wir uns das vor, den Kupiratus anzuschauen. Da schaut die Geschichte natürlich jetzt anders aus. Also wenn man den Außenraum hernimmt, dann haben wir ja da eine 1 durch R-Quadratabhängigkeit. Das ist also steiler. Das wird also vielleicht so ausschauen. Bis geht's, Robotsen, nach Hause. 1 durch R². Dann habe ich das halt so, diese Feldstärken bei kugelsymmetrischen Anordnungen, die ich ansehen kann. Gleiches Feld wie bei Punktladung habe ich noch erwähnt. Bei der ist es ja auch so. Die haben nicht vergessen, solche Sachen. Dass die elektrische Feldstärke in der Umgebung einer Punktladung betragsmäßig mit 1 durch R² zurückgeht. Während das Potenzial mit 1 durch R zurückgeht. Das haben wir jetzt hier auch deutlich gesehen. Ja, aber jetzt haben wir ja keine Punktladung, sondern wir haben eine geladene leitende Hohlkugel. Und jetzt sind wir gerade draufgekommen, der Innenraum ist feldfrei und haben uns nicht viel dabei gedacht. Aber jetzt schauen Sie, jetzt haben wir dann den Innenraum hier feldfrei. Und dann tschak und dann geht es dort rum. Und da haben Sie also jetzt die Situation, dass hier jetzt dieser Betrag E bei R gleich groß R gar nicht eindeutig ist. Es ist nicht nur nicht differenzierbar, es macht sogar einen Sprung. Und es ist jetzt eigentlich eine Frage des Geschmacks, ob man jetzt den Punkt ausnehmen möchte oder nicht. Es ist wie immer. Wenn man sich diese Sachen dann genauer anschauen möchte, dann muss man die Idealisierungsstufe ein bisschen zurücknehmen. Dann müsste man zum Beispiel sagen, eine unendlich dünne leitende Wohltruhe wird nicht mehr gefordert. Die muss eine gewisse Dicke haben. Und wenn man sich das dann anschaut und das mit der Dicke genau durchrechnet, was wir jetzt nicht tun werden, dann wird sich zeigen, dass es da natürlich zwar eine steile, aber doch eine gewisse Abhängigkeit gibt. Es ist halt wie immer, dass wir hier gewisse Idealisierungen durchgeführt haben. Und wenn man weit genug weg ist von dieser dünnen Holzbügelfläche, dann passt schon alles. Und wenn man wirklich mit dem Mikroskop anschaut, was dort passiert, dann zeigt sich, dass es da ja dann doch wieder eine gewisse, wenn auch nur kleinräumige Ladungsverteilung gibt, so wie es ja auch keine absolut punktförmige Ladung gibt, sondern ja wieder, wenn man sich den Punkt ganz genau anschaut, sieht es sich heraus, es ist gar kein Punkt. Aber das sind Idealisierungen, wenn man weit genug weg ist, bis sogar die Sonne erfunden wird. Das ist immer die Frage, was man halt... machen möchte und wird betrachtet in der Annäherung, dass diese Hohlkugel sehr dünn ist. Und dann wird da nicht so viel nachdenken, was da wirklich unmittelbar passiert ist. Das liefert einem dann halt derartige Situationen. Aber etwas Wichtiges sehen Sie schon gleich bei der Gelegenheit. Das ist etwas, was Sie besonders da jetzt gleich mitnehmen können. Die Anwesenheit dieser Hohlkugel. Auch wenn sie geladen ist. bewirkt jedenfalls, dass der Innenraum feldfrei bleibt. Die Holzfugen führen den Innenraum gegen äußere Schwierigkeiten sozusagen ab. Das heißt, wenn Sie das Kunde schön haben wollen, dann machen Sie ein ganzes Haus aus Stahl und durch Erden und dann wird der Innenraum immer feldfrei sein und wenn der Flitz einschlägt, dann ist das egal. Aber so ein Haus aus Stahl ohne Fenster ist ja auch nicht besonders lustig. Also irgendwie ist man dann halt zu Kompromiss bereit, damit man auch schön leben kann, ob die Gefahr hinter sich liegt, dass vielleicht die und da mal offensichtlich nicht der Blitz treffen wird. Aber jedenfalls sehen Sie hier, der Innenraum ist so wie es oben eigentlich schon steht und das ist das Prinzip des Arate Käfigs. den wir bei der Gelegenheit kennenlernen, der sich aber dann nicht nur auf Google beschränkt, sondern den man in entsprechender Weise auf beliebig geformte leitende Hohlkörper verwenden kann. Und das ist insbesondere auch für die elektrische Abschirmung wichtig. Bei elektronischen Geräten oder bei Leitungen, wo man nicht will, dass da Störungen kommen, da überzieht man die außen herum mit einer leitenden Oberfläche, einer Abschirmung und erreicht dadurch, dass es nicht möglich ist, dass äußere Störfelder in den Innenraum eindringen können. Jetzt hat mich da herüben ein Kollege gefragt, wie das mit einer Vollkugel ist. Die könnten wir jetzt genauso retten. Nur, dass wir natürlich jetzt nicht sagen würden, dass der Innenraum von vornherein fällt, aber wenn man dann diese Kugelflecken... die da größer ist, auch nach innen weiter fortsetzt, dann werden die, wenn sie immer kleiner werden, einen immer kleineren Teil der da drinnen befindlichen Ladungen einschließen. Und da muss man dann immer das Gauss'sche Gesetz verwenden und erkennt dann, dass da nach innen dann die Felsstärke wieder kleiner wird und dementsprechend kommt man dann auf einen durchaus stetigen... eine stetige Abhängigkeit der Weltstärke vom Abstand. Aus der Mitte geht es einmal linear nach oben und dann geht es mit 1 durch r² wieder zurück. Weil sich das dann aufbaut, je größer man die konzentrische Kugel dann wählt, desto mehr Ladung wird sie inhaltet bis zum äußeren Rand dieser Vollkugel und nach außen nimmt es dann wie üblich wieder mit 1 durch r² auf. Aber das brauchen wir jetzt nicht näher durchführen. Ich möchte etwas anderes mit Ihnen in den letzten 20 Minuten noch besprechen, nämlich den unendlich langen, geladenen, leitenden Hohlzylinder. Einerseits, weil es praktisch sehr wichtig ist, alle diese abgeschirmten Koaxialtabeln, die man ja gerade heutzutage in der EDV-Technik allen Teilen verwendet, sind solche langen Hohlzylinder. Denn die Abschirmungen sind zylindrisch und die bewirken, dass da dann im Innenraum wieder alles abgeschirmt ist, wie wir gleich sehen werden. Aber es hat noch einen zweiten Grund. Wir werden nämlich sehen, dass dann bei diesem Zylinder es eine andere Abhängigkeit des Feldes vom Abstand gibt. Und das ist etwas, was man sich durchaus bewusst machen soll. Also da oben war das Beispiel geladene Leitende holt. Jetzt geht das alles recht analog, sind Genesbildnehmer. Beispiel, Entladung mit Leitfäden der Hohlzylinder. Und natürlich, wir wollen uns nicht mit den Rändern herumärgern müssen. Daher ist er einfach unendlich lang, der Zylinder. Oder wir halten uns von seinen Rändern fern und schauen uns nur Bereiche an, wo es nur noch links und rechts genügend weit weiter geht. Bei einer Korpsialleitung macht man es ja so. Irgendwo gibt es dann natürlich einen Anschlusspunkt. Da muss man sich wieder anschauen, was dort passiert. Aber in dem wesentlichen Teil der Leitung ist es eben eine... Unendlich lange Zylindrische. Also unendlich lang. Und da sind wir Physiker immer etwas großzügig. Den Mathematikern stellt es da immer jedes Haar an, sondern auch, wenn man das so sagt. Aber das kann man alles viel präziser formulieren, im Grenzwert und wenn und so weiter. Aber de facto ist es so, wir wollen uns mit diesen Rändern nicht herstellen. Und deswegen sagen wir halt, die Ränder sind weit weg. Und also ist er unendlich lang. Ladung. Pro Längeneinheit wählen wir Lambda und den Radius des Zylinders wieder R. Und wieder schauen wir uns Außenraum und Innenraum an, genauso wie vorher. Ah, den Außenraum. Das ist wieder so, dass wir jetzt wieder eine koaxiale Fläche herumlegen. Da oben diese strillierte war eine koaxiale Kugelfläche. Jetzt legen wir um den herum, diesen langen Zylinder, eine koaxiale Zylinderfläche. Das brauche ich Ihnen nicht nochmal hinzeichnen. Das Zeichen schaut genauso aus. Da oben sind Kugeln und da ist jetzt ein Zylinder, dessen Achse aus der Doppel heraus kommt. Sie können sich das genauso gut da oben wieder anschauen. Und wie wird das jetzt ausschauen? Der Fluss durch diese Zylinderfläche, wenn wir betrachten, kommt senkrechtes Zylinderfläche Z. Das ist eine Kugelfläche K, das ist eine Zylinderfläche Z und da kriegen wir wiederum den Fluss durch diese Zylinderfläche. Den Fluss durch diese Zylinderfläche, aber natürlich nicht durch die ganze unendlich lange, sonst wäre der Fluss unendlich groß. sondern für eine gewisse Länge, kleiner als uneigentlich, also weit genug weg von den Rändern, kriegen wir diesen elektrischen Plus-BW. Das ist wieder dieses Fleckenintegral, das geschlossene über die Zylinderfläche. E2 dr2. Und jetzt müssen wir einfach den Betrag von E mit der Zylinderoberfläche multiplizieren. Das ist der Zylinderumfang mal der Länge. Also 2πr mal L. Weil die R mal R ist größer als das Groß-R-Riefer. Es ist eine konzentrische Zylinderfläche außen rundherum. Andererseits, Gauss'sches Gesetz. Dann kriegen wir phi E, die Üblichkeit ist gleich Q durch Epsilon 0. Aber dieses Q wollen wir jetzt wieder beziehen auf eine Zylinderlänge L, für Länge L. Und da haben wir dann die Ladung pro Länge ist Lambda. Also haben wir das Q ist dann Lambda mal L durch Epsilon 0. Wieder für die Länge L. Die Klinge im Klontiefen sind wieder gleich. Und durch. Vergleich, holt dann das, diese 2πr mal L. Und vergessen habe ich natürlich, dass da auch das E noch da hinten stehen muss. 2 Pi r mal L ist ja erst die Oberfläche. Und da muss die Oberfläche ja noch mit dem Betrag der Feldstärke multipliziert werden, um auf den elektrischen Fluss zu kommen. Das ist die... Oberfläche des Zylinders mal den Betrag der Feldstärke, die dann immer senkrecht auf diese zylinderische Oberfläche geht. Kriegen wir also dann hier 2πrlE. Ist gleich und auf der anderen Seite steht λL durch y0. Solange diese Ladung pro Länge eine Einheit ist. Nun, da schauen Sie bequemerweise, folgen uns dann tatsächlich die Länge wieder heraus, auf die kommt es gar nicht an. Solange man nur weit weg ist von den Enden. Also solange der Zylinder ganz unendlich lang ist, dass man sich um die Enden nicht kümmern braucht. Und damit aber jetzt kommt etwas Interessantes raus. Das E, da bleibt es jetzt stehen. Lambda von da durch 2 Pi f0 mal 1 durch R. Das ist nicht so. Das ist jetzt auch mal eine Feldstärke, die proportional zu 1 durch r ist. Und muss nicht, so wie wir es bis jetzt immer gehabt haben, proportional zu 1 durch r². Wieder gilt das natürlich für R größer als Grund R im Außenraum. Aber wesentlich ist, dass das jetzt hier schon proportional zu R ist. Ein wichtiger Unterschied. Und wenn wir uns da jetzt wieder, wie da oben, das Potenzial ausrechnen. das Potenzial von R, dann ist das wieder, wie wir es ja schon immer wieder aufgeschrieben haben, minus Das Integral vom Bezugspunkt, da oben war das Unendlich, bis R. Jetzt wollen wir einmal, und Sie werden gleich sehen, warum das wichtig ist, als Bezugspunkt nicht das Unendliche nehmen, sondern die Zylinderoberfläche. Also von Groß R ausgehen bis zu dem kleinen r. Dieses Integral schauen wir uns an. Und da bleibt also jetzt stehen, dieses Lambda durch 3 Di Epsilon 0, 1 durch R'dritt dr' Na das ist ja wieder eine Konstante, das geht auch vor das Integral, und da kommt jetzt ein komisches Integral heraus, Integral 1 durch R dr, was ist denn das? der natürliche Logarithmus. Jetzt geht das nicht mit dieser Potenzfunktion regelmäßig, das geht in dem Fall nicht aus. Also, da kommt heraus, der natürliche Logarithmus und dementsprechend Es kommt damit heraus, dass das Pi von R gleich ist minus Lambda durch 2Pi Epsilon 0, das ist die ganze Konstante, ln von klein R minus ln von Groß R oder ln von klein R hoch Groß R. Und jetzt schaut, jetzt hält uns das nicht gut an, wenn man den Bezugspunkt... ins Unendliche gelegt hätten. Weil dann wäre das mit dem Logarithmus nicht gut gegangen. Man muss halt immer auch ein bisschen Vernunft und Vorsicht walten lassen, wenn man sich anschauen will, wie die Dinge ausschauen. Also da ist jetzt der Bezugspunkt. Weil er gleich groß ist. Nicht wie da oben im Unendlich. Und jetzt schauen wir uns an, wie das jetzt diagrammmäßig aussieht. Aber vielleicht zuerst noch kurz, da brauchen wir nicht mehr viel reden. B über den Innenraum. Da können wir genau die gleichen Argumente wieder anwenden unter Verwendung dieser Person, beziehungsweise hier wieder der Laplace-Gleichung. Wir haben hier im Innenraum U gleich 0 und der Hero gleich 0 und dementsprechend Delta V gleich 0, so wie wir das dort oben auch hatten, Delta V gleich 0. R kleiner als R und wiederum der Zylinder selbst ist eine Ecke Potentialfläche. Wenn auf der Fläche die Randbedingungen vorgegeben sind, dann ist die Lösung innerhalb dieser Fläche eindeutig. Nur wenn es auf der Oberfläche konstant ist, ist es innen viel gleich konstant. Jedenfalls auch eine Lösung, weil das Datent der Fick gleich 0 trivialerweise erfüllt. Also wird im Innenraum viel gleich Konstanz sein und das ist die eindeutige Lösung. Viel gleich Konstanz im ganzen Innenraum. Und damit natürlich E. Das sich ergibt als Minusgradient von Phi. Wenn Phi gleich Pons ganz ist, ist es im ganzen Innenraum gleich Null. Der Innenraum ist wieder feldfrei. Na, wie schaut das jetzt mit Diagrammen aus? Das wollen wir uns also auch anschauen. Also diese Geschichte mit dem Innenraum als Feldfreiheit, das ist wieder so ein Parade-Equipment, aber jetzt halt für die zylindrische Situation. Also die rammmäßige Darstellung sieht jetzt so aus. Betrachten wir zunächst einmal das Pi von R gegen R und da ist R in der Oberfläche. Na ja, dann schauen wir doch einmal den Außenraum zuerst. Im Außenraum haben wir für das Pi diese merkwürdige ln-Funktion. Aber Wenn man das jetzt insbesondere für den Fall R gleich Groß R anschaut, dann, obwohl das wieder eigentlich da zuerst ausgeschlossen war, es passiert nichts Böses. Weil wenn R gleich Groß R ist, ist das 1 und der Logarithmus von 1 ist 0. Also das heißt, bei R gleich Groß R ist das Potenzial gleich 0. Und nachher dann aber minus die Konstante mal ln r durch R geht das da sofort logarithmisch hinunter. Das ist eine logarithmische Kurve. Proportional zu minus ln r durch R. Das ist eine logarithmische Abhängigkeit. Und im Innenraum R kleiner als R groß, haben wir ja gesehen, ist das Potential konstant. Dann nehmen wir die Konstante gleich 0. Etwas wieder stetig, weiblich, aber wieder ist es nicht differenzierbar. Das ist ganz ähnlich wie da. Nur haben wir das jetzt auf 0 runtergeschoben. Sie sehen jetzt, dass auf der Zylinderfläche... und dann auch innerhalb das Potenzial gleich Null ist. Wir haben den Bezugspunkt eben bei R gleich Groß R gelegt. Und dann nämlich wäre das nicht gegangen, wenn wir da nämlich ewig weiter runter kommen. Das geht nie gegen einen Grenzwert, weil das so etwas Logarithmisches ist. Während beim Potenzial hier, das geht so asymptotisch gegen Null. Das geht dort nicht, das gibt keine Ruhe, das geht ewig weiter hinunter. Deswegen würde da ein Bezugspunkt im Moment nicht geeignet sein. Nun fahren wir jetzt andererseits wieder um hier die zugehörige Feldstärke uns anschauen und die aufbragen. Gegen R und wieder haben wir hier die Zivilen der Oberfläche, dann schaut das jetzt ganz ähnlich aus. Im Außenraum haben wir aber eine 1 durch R Abhängigkeit. Während da hatten wir einen 1 durch R Quadrat, aber ich habe gesagt, das geht relativ scharf runter mit 1 durch R Quadrat. Da geht es nur mit 1 durch R so hyperbolisch. geht das da so rund, dass das ist proportional zu 1 durch r, diese Abhängigkeit. Und der Innenraum, wenn phi konstant ist, der Minusgradient phi für die Feldstärke ist dann 0, macht das wieder einen Sprung und geht da so weiter. Also gar so viel anders schaut es gar nicht aus, wenn Sie sich das jetzt vergleichen. Diese zwei Diagramme hier und die zwei Diagramme da. Insbesondere das, was also faktisch interessant ist, das Verhalten der elektrischen Feldstärke. Das ist also Innen-Null, der Innenraum ist feldfrei, Fahrertee, Käfig. Wenn man da noch einmal hört. Innenraum, Fahrertee, Käfig. weil Feld frei. Und im Außenraum, da macht es dann einen Sprung und dann geht es nicht mit 1 durch r², sondern mit 1 durch r zurück. Und darauf möchte ich jetzt nicht... besonders beziehen, weil nämlich Sie hier sehen, da gibt es auch andere Situationen als nur die, dass das Feld immer mit 1 durch R² zurückgeht. Sie werden nämlich sehen, wenn wir, und das dauert immer so lange, zu den Magnetfeldern kommen, dass wir uns dann in Ermangelung von einzelnen Punkten holen, die wir nicht zur Verfügung haben, weil man es bisher nicht gefunden hat. nicht mit einem Punktpol arbeiten können, sondern das Beste, was man machen kann, ist ein gerader Stromdurchfluss und sich anschaut, was der um sich herum für ein magnetisches Feld erzeugt. Und da stellt sich dann heraus, die magnetische Flussdichte, der Flussdichtevektor, der Betrag in der Umgebung dieses stromdurchflossenen Leiters, das geht mit 1 durch R zurück. und nicht so wie die elektrische Feldstärke in der Umgebung einer Punktladung mit 1 durch r². Und das wird oft so angesehen, als ob das so etwas ganz besonders Spezielles wäre, wodurch sich also die Magnetfelder von den elektrischen Feldern unterscheiden. dass die Magnetfelder mit 1 durch R zurückgehen, also noch stärker hinausgreifen ins Unendliche, während die elektrischen Felder mit 1 durch R². So ist das aber nicht. Wenn man die gleiche Geometrie betrachtet, wie beim Stromdurchfluss einer Leiter, das ist ja sichtlich eine Zylindersymmetrie. Wenn man da wieder einen Hohlzylinder betrachtet, also auch etwas Zylindrisches, aber heute nur gleichmäßig mit Ladungen beaufschlagt und rein statisch, da strömt nichts. Die sind nur darauf angeordnet, diese Ladungen. Dann kriegen Sie auch eine 1 durch R Abhängigkeit. Das heißt, wie die Abhängigkeit des Feldes vom Abstand ist, das ist nicht so sehr eine Frage, welche konkrete Wechselwirkungskraft hier vorhanden ist, sondern vielmehr, eine Frage, was für eine Geometrie vorliegt. Das ist das Sukkus der heutigen Vorlesung. Das sollten Sie nicht vergessen. Jetzt nämlich werden Sie auch besser verstehen, wieso auch das Newton'sche Gravitationsgesetz so ganz ähnlich ausschaut wie das Coulomb-Gesetz. M1, M2 durch R² mal der Gravitationskonstante. Beim Coulomb-Gesetz hat man vorher dieses 1 durch 4p y0, auch eine Konstante, mal q1, q2 durch r, genau dasselbe. Eine ganz andere Letzterwirkungskraft, wie gibt es so etwas? Weil das eine geometrieabhängige Situation ist. Im einen Fall haben Sie Punktmassen, da haben Sie Punktladungen. Aber Punktpole haben wir da. Das heißt, das Beste, was dort geht, ist eine zylindrische Anordnung mit einem Strom durch bloß einen geradlinigen Leiter. Und bei Zylindersymmetrie gibt es eine 1 durch r Abhängigkeit und nicht eine 1 durch r Quadrat Abhängigkeit. Und wenn ich das am Schluss als eine zusätzliche... Veranschaulichung noch sagen darf, das ist auch ähnlich und besonders anschaulich bei optischen Erscheinungen. Wenn Sie eine Punktlichtwelle nehmen, zum Beispiel die Sonne. und sie gehen weg, dann wird die Intensität mit 1 durch r² zurückgehen. Wenn Sie aber eine lange Leuchtstoffröhre hernehmen und Sie gehen von der Leuchtstoffröhre weg, dann geht die Lichtintensität nur mit 1 durch r zurück. Auch dort ist es nur eine Geometrieangelegenheit. Also bei der Gelegenheit habe ich Ihnen jetzt gleich diesen Gedanken ausgetrieben, dass die Magnetfelder sich vor allem deshalb unterscheiden von den elektrischen, dass sie mit 1 durch r abnehmen und die elektrischen immer mit 1 durch r². Stimmt nicht. Für eine Zylindersymmetrie nimmt auch das elektrische Feld mit 1 durch r ab. Und dieser Fahrraddeckgeschick, den ich hier erwähnt habe, das ist genau die Abschirmung bei den Koaxialkabeln, die Sie alle kennen. Eine zylindrische Abschirmung. Und Sie sehen also jetzt... Wir haben hier diese 1 durch R Abhängigkeit ganz einfach ausgerechnet und damit bereits Vorarbeit geleistet für die magnetischen Felder. So viel für heute. Danke.

Es ist schon einiges, was man im Zusammenhang mit der Elektrostatik an formalen Voraussetzungen schaffen muss, damit man über die Dinge auch wirklich ordentlich sprechen kann. Wir haben ja schon vieles eingeführt. Die elektrische Feldstärke, den elektrischen Fluss, wenn Sie sich erinnern, so eine hydrodynamische Analogieüberlegung in der Elektrostatik. Das elektrische Potenzial und die elektrische Spannung, also viele Definitionen von Größen, die dann auch erst in weiterer Folge ihre volle Bedeutung entfalten werden. Aber trotzdem ist es jetzt einmal wichtig, sich einmal klarzumachen, was man etwa unter der elektrischen Spannung versteht, sonst bleiben dann später...

Die Dinge, die wir damit besprechen werden, zum Beispiel die Spannung zwischen Kondensatorplatten, die Spannung an den Enden eines stromdurchflossenen Leiters und ähnliches, diese Dinge bleiben dann alle mysteriös, wenn man nicht wirklich weiß, wovon man spricht. Und das wollen wir eben jetzt grundlegend. Und morgen dann gibt es auch wieder einige Experimente dazu.

Wir haben also insbesondere ein paar wichtige allgemeine Gleichungen kennengelernt, die ich gleich heute an den Anfang stellen möchte. Eine wichtige Gleichung ist das Gauss'sche Gesetz. Ich möchte es gleich wiederholen, weil wir es auch heute brauchen werden.

Dieses Gauss'sche Gesetz lautet kurz aufgeschrieben, der elektrische Plus ist gleich Q durch Epsilon Null. Was bedeutet, dass wir eine Ladung Q betrachten? Das braucht keine Punktladung zu sein, wie Sie gleich anschließend anhand von Beispielen sehen werden.

Wir wollen das heute ein bisschen mit Leben erfüllen, diese Gesetze. Also irgendeine Ladungsverteilung halt, eine lokal begrenzte in einem gewissen Bereich mit der Gesamtladung Q. Die wird umschlossen von einer geschlossenen Fläche. Innerhalb derer befindet sie sich heute. Und der Fluss des elektrischen Feldes, das von dieser Ladungsverteilung her rührt, durch diese geschlossene Fläche hindurch nach außen, also aus dem Volumen heraus, wo sich diese Ladung drinnen befindet, den nennen wir 4E und Fluss ist Integral EDF, so wie Integral VDF der Fluss in der Hydrodynamik ist.

Und dieser Fluss hängt eben unmittelbar mit dieser Ladung zusammen und insbesondere wenn die Ladung null ist, dann gibt es netto keinen Fluss durch diese Fläche nach außen. Das ist also die Aussage dieses Gaussischen Gesetzes, ein integrales Gesetz, das aber für viele Zwecke sehr praktisch ist in der Anwendung, wie Sie gleich sehen werden. Und wenn man das aber... dann übersetzt ins Differenzielle, dann kommt man damit auf eine Differenzialgleichung, nämlich auf eine der vier Maxwell-Gleichungen.

Divergenz E ist Rho durch Epsilon 0. Und wenn man da dann noch einen Potenzialansatz macht, E ist gleich Minusgradient V. Das sollte Ihnen jetzt schon einigermaßen geläufig sein. und diesen Potenzialansatz in diese Maxwell-Gleichung einsetzt. Also letztlich kommt das, wenn man so will, aus diesem Gauss'schen Gesetz heraus. Dann kriegt man die berühmte Poisson-Gleichung, die da lautet. Die Poisson-Gleichung, die da lautet, dass der Laplace-Operator, den wir als Delta schreiben, angewendet auf diese skalare elektrische Potential-Phi gleich ist minus Rho durch Epsilon Null.

Dieses Minus kommt von dem Potentialansatz her, weil wir ja analog zu dem Ansatz mit der potenziellen Energie in der Mechanik, auch in der Elektrodynamik, den Ansatz machen, dass E gleich Minusgradient ist. Wenn man das dann eben in diese Maxwell-Gleichung einsetzt, kommt man hier auf diese Poisson-Gleichung. Und für den Fall, dass man einen ladungsfreien Raum hat und auch das werden wir finden jetzt bei einzelnen Beispielen, dann wird das gleich 0 und man kriegt also für ladungsfreien Raum, wo also das Rho gleich 0 ist, die Laplace. Gleichung, die dann natürlich lautet, Delta Phi ist gleich 0. Also diese zwei Differenzialgleichungen sind für die Physik in vielfältigem Zusammenhang wichtig, insbesondere eben in der Elektrostatik.

Und daher sind sie auch sehr häufig mathematisch untersucht worden und ich möchte bei der Gelegenheit gleich erwähnen, Und das werden wir in weiterer Folge benutzen, dass die Mathematiker bei diesen Gleichungen, also sowohl Poisson als auch der Spezialfeuder-Laplace-Gleichung, einen Satz bewiesen haben, der sehr wichtig ist für diese Anwendungen, nämlich Wenn man auf einer geschlossenen Fläche, und da haben wir ja gerade vorhin so etwas mit einer geschlossenen Fläche gehabt, also die kommen oft vor in der Elektrostatik, geschlossene Flächen. Wenn man auf einer geschlossenen Fläche die Randbedingungen für die Lösungen der Poisson-Gleichung vorgibt, also zum Beispiel auf der geschlossenen Fläche, ist überall das gleiche Potenzial. dann hat man die Randbedingungen für dieses Potential V auf so einer geschlossenen Fläche vorgegeben. Wenn man auf so einer geschlossenen Fläche die Randbedingungen für die Lösungen vorgibt, also nur solche Lösungen sucht, die dieser Randbedingungen auf der geschlossenen Fläche genügen, dann...

ist die Lösung der Poisson-Gleichung und natürlich auch der Laplace-Gleichung im Innenraum dieser geschlossenen Fläche eindeutig bestimmt. Hat man also dann irgendeine Lösung, die dem genügt, hat man auch schon die Lösung erhalten. Es gibt dann keine andere. Ein wichtiger Eindeutigkeitssatz für die Lösung dieser linearen partiellen Differentialgleichung für das V. Wenn die Randbedingungen für die gesuchten Lösungen auf einer geschlossenen Fläche vorgegeben sind, dann ist die Lösung dieser Gleichung im Innenraum dieser geschlossenen Fläche eindeutig. Da hat man dann keine Freiheiten mehr.

Und dementsprechend hat man dann nur eine Lösung und hat man einmal eine, dann war es die schon. Und das werden wir also insbesondere im Zusammenhang mit dem berühmten pharadäischen Käfig, über den wir jetzt bald sprechen werden. auch verwenden können. Also das schreibe ich jetzt nicht an die Tafel, aber das können Sie sich ja notieren, eben diesen wichtigen Satz, dass eben, wenn die Lösungen auf einer geschlossenen Fläche vorgegeben sind, als Randbedingung, dann ist die Lösung der Poisson-Gleichung im Inneren dieser geschlossenen Fläche eindeutig. Naja, das ist ja ganz schön, was uns die Mathematiker als Werkzeug sozusagen in die Hand geben.

Und wir werden es zu nützen wissen. Naja, und damit also das Ganze jetzt nicht immer nur so... so allgemein und nicht recht greifbar bleibt, wollen wir jetzt einmal ein Beispiel betrachten. Und als Beispiel nehmen wir her eine geladene leitende Hohlkugel. Eine geladene leitende Hohlkugel.

So etwas Ähnliches, was wir verwendet hatten bei der Durchführung der Messungen bei der Kolumbischen Drehwaage. Sie hatten das gesehen. in den experimentellen Methoden im Wintersemester.

Und kürzlich haben wir auch ein Video gezeigt, um das noch einmal in Erinnerung zu rufen, weil das ja so ein wichtiges Gesetz ist, das Kolumbische Gesetz, dass sich daraus ergibt, da kommen so geladene, leitende Hohlkugeln vor. Aber wir werden es auch im Zusammenhang mit dem Kondensator dann in weiterer Folge noch genauer verwenden. Und daher wollen wir uns das jetzt näher anschauen.

Die Ladung sei Groß Q, die gesamte Ladung, die sich auf dieser Hohlkugel befindet, und der Radius... sei Groß R, das ist heute der Radius dieser Hohlkugel. Und da zeigt sich, es ist sinnvoll, wenn man sich jetzt dafür interessiert, wie schaut das elektrische Feld aus in der Umgebung dieser Hohlkugel, dass man die zwei Bereiche getrennt behandelt, die da offensichtlich zu betrachten sind, nämlich den Außenraum und den Innenraum dieser Hohlkugel.

Meistens sitzt man nicht drinnen in diesen Kugeln, sondern wir wissen vor allem, was diese Hohlkugeln dann nach außen für eine Wirkung haben. Andererseits sind die Physiker dann auch schon interessiert genug zu fragen, was ist eigentlich im Inneren da drinnen. Das wollen wir natürlich auch wissen.

Aber schauen wir uns zunächst einmal das Außenfeld an. Ja, dann machen wir uns halt einmal die Situation klar. Wir haben da so eine Kugel.

Mit Radius Groß R auf der Kugel sitzt eine Ladung Q und sie wird sich wohl, wenn es eine leitende Hohlkugel ist, gleichmäßig über die ganze Kugel verteilen. Wenn da vielerlei gleichnamige Elementarladungen sein werden, die da beweglich sind, die stoßen einander ja gegenseitig ab, wie das gleichname Ladungen immer tun und werden sich daher in gleichmäßigerweise so weit wie sie können voneinander wegbewegen und auf dieser leitenden Hohlkugel, halt dann genau genommen an der Außenseite dieser Hohlkugel hier, dann gleichmäßig verteilen. Na ja, und wie können wir uns jetzt das Außenfeld anschauen? Na ja, indem wir da ein Kugelkoordinatensystem einführen praktisch und da mal eine Kugelfläche betrachten mit dem Radius.

klein r, das ist die radiale Komponente, so dass diese Kugelfläche K, nennen wir diese Kugelfläche also K, dass diese Kugelfläche eben konzentrisch diese vorgegebene leitende, geladene Hohlkugel umgibt. Also das r wird größer als das R sein. Und da können wir uns jetzt überlegen, wie wird denn nun das elektrische Feld in der Umgebung dieser Kugelfläche ausschauen.

Und da zeigt sich, dass man hier sehr gut das Gauss'sche Gesetz anwenden kann. Das ist ein schöner Anwendungsfall, wo der elektrische Fluss, den wir da vor ein paar Tagen eingeführt haben, gut verwendet werden kann. Rechnen wir uns also den elektrischen Fluss.

durch diese Kugelfläche K hindurch aus. Dieser elektrische Fluss ist ja definiert als das Flächenintegral. Jetzt natürlich, weil wir es über diese geschlossene Kugel K betrachten, vom E-Pfeil.

DF-Pfeil. Wir wollen ja jetzt den Fluss durch die Kugelfläche hindurch ausrechnen. Das ist aber einfach, weil aus Symmetriegründen wird man davon ausgehen können, dass die E-Vektoren da alle entweder radial nach außen oder radial nach innen zeigen.

Aber ansonsten ist es ja eine komplett kugelsymmetrische Situation. Wie sollten sie denn anders liegen? Und damit liegen sie ja auch... Parallel zu den Flächenvektoren die F-Pfeil, die da hier für jedes Flächenelement auf dieser Kugeloberfläche da so senkrecht nach außen zeigen.

Also ist dieses Flächenintegral sehr einfach zu berechnen. Eine Summe über E-Pfeil, Delta-F-Pfeil, wobei E und Delta-F immer parallel zueinander sind. Also kann man die Beträge multiplizieren, E mal Delta-F und E der Betrag.

wird auf dieser Kugelfläche überall der gleiche sein, weil ja der Abstand überall der gleiche ist und das ein kugelsymmetrisches Problem ist. Also kann man davon ausgehen, dass man das sehr einfach ausrechnen kann. Einfach die gesamte Kugelfläche mal den Betrag des elektrischen Feldes, also 4 Pi r².

mal E, wobei dieses E der Betrag von E Pfeil ist. Das machen wir sehr häufig, das soll man den Pfeil weglassen, dann meinen wir eben dann den Betrag des Vektors. Das ist praktisch aufgrund der Definition des elektrischen Flusses Integral EDF und der Verwendung der vollen völligen Kugelsymmetrie dieses Beispieles kann man also diese Ringintegrale über diese konzentrische Kugel hier ganz einfach ausrechnen.

Naja, andererseits aber bekommen wir durch das Gauss'sche Gesetz, das wir dort oben ja stehen haben, dass das Phi E, schreiben wir es vielleicht nochmal da unten dazu, dass das Phi E gleich ist, genau wie es da steht, Q. durch Epsilon 0. Und die beiden Phi E sind ja dasselbe. Also können wir die beiden gleichsetzen. Vergleich ergibt daher schauen wir es an 4 Pi R Quadrat.

mal E ist gleich und auf der anderen Seite haben wir Q durch Epsilon 0. Und daraus können wir natürlich sofort ausrechnen, wie groß der Betrag der elektrischen Feldstärke ist. Das ist dann eben Q durch 4Pi Epsilon 0. Q durch 4π0 mal 1 wird R betragen. Und Sie können erkennen, dass im Bereich R größer als R, also im Außenraum, die elektrische Feldstärke genau das gleiche ist, wie man es auch bei der Punktladung hätte. Also das R ist R.

Wie bei Punkt Ladung. Aber wir haben uns einmal auf das Außenfeld bezogen. Wir haben eine Kugelfläche betrachtet, die diese geladene, weitende Hohlkugel umschließt, damit wir das Gausche Gesetz anwenden können. Weil das sagt ja, dass es darum geht, dass...

man eine geschlossene Fläche hat, die eine Ladungsverteilung, hier die Ladung auf dieser Hohlkugel, umschließt. Und dann können wir eben den gesamten Fluss aus dieser Kugelfläche heraus bestimmen. Und das ist dieses Q durch Y0 laut Gauss-Schemm-Gesetz und das ist das 4πr²e laut Definition des elektrischen Flusses.

unter Benützung des Umstandes, dass das ein komplett kugelsymmetrisches Problem ist. So, dann mache ich mal eine kurze Pause und frage mal nach, ob dazu irgendjemand eine Unklarheit hat. Wir haben nur benutzt das Glausche Gesetz und wir haben benutzt die Definition des elektrischen Fluttricks. Und immerhin diese Geschichte mit dem elektrischen Fluss hat uns jetzt die Möglichkeit gegeben, das elektrische Feld hier so auszurechnen. Im Außenraum.

Das kommt dann bei B. Jetzt sind wir im Außenfeld. Machen wir das fertig. Der Kollege hat gefragt, wie schaut es dann aus, wenn man innerhalb ist. Kommt gleich.

Und Sie werden sehen, es ist auch ganz einfach, aber ganz anders. Und das macht die Sache eben interessant. Deswegen ist es wichtig, sich das genauer anzuschauen.

Aber jetzt, ja. Da sieht man was anderes. Da kann man wieder anders rechnen.

Die lernen das nicht im Einzelnen durchrechnen. Aber auch da kann ich Ihnen dann, wenn Sie mit dem Beispiel vorbei sind, sagen, wie man da dann vorgeht. Die Frage war, was ist, wenn es eine Vollkugel ist?

Da muss man natürlich wieder sagen, wie, dass die Ladung dann gleichmäßig über den ganzen Innenraum der Kugel verteilt ist. Das meinen Sie aber, Jan. Ja, ja, da gibt es verschiedene Möglichkeiten. Das ist nur ein Beispiel.

Lassen Sie das einmal zu Ende führen und dann werden wir sehen, in welche Richtungen man das dann noch verändern und verallgemeinern kann. Aber jetzt schauen wir uns einmal, nachdem wir das Feld haben, auch an, wie sieht es denn mit dem Potenzial aus? Naja, das Potenzial, das haben wir uns ja ausgerechnet als ein Griechisch. R, also in Abhängigkeit von der radialen Koordinate, wobei aber das R eben größer als Groß R ist, weil man eben außen fällt und sich jetzt einmal befinden.

Dieses V von R, das können wir uns jetzt ausrechnen, entsprechend der Definition, das war ja so ein Integral von P bis P0 E dr. Nicht so wie die potenzielle Energie, aber pro Ladungseinheit. Vergegenwärtigen Sie sich das immer. Das Potenzial in einem elektrischen Feld ist die potenzielle Energie eines Körpers in dem Feld pro Ladungseinheit. Und die Kraft pro Ladungseinheit ist E, daher ist die potenzielle Energie dann ein Integral E dr. Und in dem Fall schreibe wir minus Integral E. vom Bezugspunkt und den legen wir wieder ins Unendliche.

Das ist ja jetzt schon eine gängige Praxis gewesen. Bis zu dem betrachteten Abstand R, größer als Groß-R, E dr. Und für E setzen wir gleich ein. Da haben wir also Q durch 4B. Epsilon 0, 1 durch r² dr. Dieses Integral haben wir schon ausgerechnet.

Da müssen wir jetzt r'dr'schreiben, weil da haben wir das kleine r schon als obere Grenze verbraucht. Und das ist eine sehr schlechte Angelegenheit, wenn man die Grenzen gleich bezeichnet wie die Integrationsvariable. Das macht die Sache unübersichtlich und eigentlich unrichtig.

Und wenn man also doch mit R eben eine radiale Koordinate beschreiben möchte und dann soll zwischen unendlich und R die Integrationsvariable sich bewegen in dem Bereich, dann muss man die Integrationsvariable noch ein bisschen anders bezeichnen. Da könnte man auch lange drauf machen, ich mache halt einen Strich dazu, ist ja egal. naja, 1 durch r², wenn man das integriert, r hoch minus 2 ist minus 1 mal r hoch minus 1, also 1 durch r und andererseits hat man auch da das Minus, also ergibt sich daraus ein V von r in derselben Art und Weise, wie wir das schon bei der Punktladung besprochen haben.

Der Faktor, der Konstante kommt natürlich ungeändert nach vorn. U durch 4, 4, Epsilon 0. Und dann bleibt da als Stammfunktion ein Minus 1 durch R. Aber mit dem Minus ist dann ein Plus 1 durch R.

Und da haben wir dann 1 durch R minus 1 durch unendlich. Nur 1 durch unendlich, das ist 0, also im Grenzwert natürlich. Also bleibt nur noch das Mal. 1 durch R stehen.

Wir kriegen hier damit die potenzielle Energie für den Bereich R größer als R im Außenraum dieser Kugel. Und wieder schaut das also ganz analog aus, wie wir es von der Pumpladung erkennen und der Besutzung. ist im Unendlichen, was man auch daran sieht, dass wenn man da R gegen Unendlich gehen lässt, dann wird der Ausdruck, weil da 1 durch R drinnen steht, gegen 0 gehen.

Das heißt, im Unendlichen beim Bezugspunkt, den man natürlich nicht ganz erreichen kann, weil das ja im Unendlichen ist, geht also dann eben das Potenzial gegen Null. Physikalisch ist aber das Unendliche meistens gar nicht so weit. Wenn man 10 oder 100 Mal so weit weg ist, wie der Radius der Kugel, dann ist das genug unendlich. als dass sich da noch viel ändern würde. Und das bedeutet dann, dass also in solchen großen Abständen im Verhältnis zum Durchmesser oder Radius dieser Kugel dann das Potenzial gegen Null geht.

Das ist ja gar keine schlechte Festsetzung. Also wenn man da so sagt, Bezugspunkt im Unendlichen, das hat immer so den Anstrich des Artifiziellen, Komischen. Wer macht sowas?

Die Idee ist, wenn man ins Unendliche geht, geht dann das Potenzial gegen Null. Das ist ja gar keine schlechte Idee. Und deswegen legt man oft gern den Bezugspunkt ins Unendliche. Wenn das geht, Sie werden heute noch sehen, werden wir dann noch über den Zylinder, über den Geladenen sprechen. Den schauen wir uns auch an.

Die zweite wichtige Geometrie neben der Kugelsymmetrie, die Zylindergeometrie. Dort schaut die Geschichte ein bisschen anders aus. Dort können wir winzigerweise den Bezugspunkt nicht ins Unendliche legen.

Sie werden schon sehen, da schreit das System auf, mag ich nicht. Und dann muss man also was anderes machen. Hier geht das aber. Also Sie sehen, E und V hängen dort in einer einfachen Weise miteinander zusammen.

Im Wesentlichen sieht das gleich aus, so witzigerweise. Und dann das kalare Potential. Das ist ein Kallschatz.

Wenn man die zwei Gleichungen vergleicht, dass dieses V gleich ist, nichts anderes, dass das E gleich ist, betragsmäßig, dass das E gleich ist, das V einfach durch R. Das ist aber natürlich jetzt keine allgemeine Beziehung. Das wäre praktisch, wenn das immer so wäre. Aber für diesen einfachen, schaltergeladenen, leitenden Hohlkugel im Außenraum, ist der Betrag der elektrischen Feldstärke gleich dem potenziellen, dem elektrischen Potenzial durch R. Hier für den Fall R, der ist so alles groß R.

Im Außenraum, ja. Das werden wir uns gleich anschließend anschauen, wenn wir die Frage ist, ob das auch für R gleich groß R gilt, weil wir dann, wenn wir das im Diagramm sehen, uns gleich erkennen werden, dass bei der Stelle R gleich groß R eine Unstetigkeit auftritt beim elektrischen Feld. Aber da müssen wir uns zuerst den Innenraum anschauen.

Damit wir da einmal zunächst das ausklammern, will ich hier auf der sicheren Seite sein. Und dann anschließend zusammen mit dem Innenfeld werden wir die Situation direkt unmittelbar auf dieser dünnen, leitenden, geladenen Hohlkugel auch noch anschauen, was dort passiert. Aber jetzt vorläufig machen wir es einmal so, damit uns nichts passiert gewissermaßen.

Aber hier kann man schon auch etwas Interessantes erkennen. Wenn also die elektrische Feldstärke gleich viel von R durch R ist, dann kann man schon erkennen, wenn man jetzt also zum Beispiel eine leitende Oberplatte betrachtet, Eine leitende Oberfläche, wo das R gleich Groß, R gleich Konstant, jetzt setzen wir das einmal konstant. Und dann wird diese leitende Oberfläche eine Equipotentialfläche sein.

Wenn nämlich das R konstant ist, dann sehen Sie hier, dass auch das V konstant ist. Also eine leitende Oberfläche ist eine Equipotentialfläche. Wir nennen eine DxP. Die Potentialfläche ist eine solche, wo eben das Potential konstant ist.

Bei einer festen Koordinate r ist das Potential konstant. Und daher erfindet man jetzt, wenn also das eine eckige Potentialfläche ist, dass... Wenn das Potenzial dieser Oberfläche mit dem Radius Groß R, falls Potenzial konstant gehalten wird, also man hat ein bestimmtes Potential phi, dann wird, und zwar so phi, das heißt also phi gleich einem vorgegebenen phi Null. Zum Beispiel das Erdpotential, wenn man so eine Kugelfläche an die Erde anschließt.

Wenn also phi gleich phi Null ist, dann nimmt die phi der Erdkern. Dann nimmt Feldstärke, das ist der Betrag E, betragsmäßig, dann nimmt die Feldstärke bei abnehmendem Krümmungsradius zu. Feldstärke nimmt der abnehmenden Krümmungsradius zu.

Je schärfer gekrümmt eine Fläche ist und das Potential bleibt immer konstant, je kleiner also der Krümmungsradius wird, Bei konstantem Vieh, desto größer wird die elektrische Feldstärke. Das ist das Prinzip der Blitzaubleiter. Blitzaubleiter haben Spitzen, also stark gekrönte, wahrscheinlich, wenn man genau hinschaut, ungefähr kugelförmig gekrönte Oberflächen. Die hängen aber immer am Erdpotenzial.

Ihr Potenzial bleibt also konstant. Aber wenn sie so stark gekrönt sind, dann ist das nicht so. dann wird bei dieser, entsprechend diesem kleinen Frümmungsradius, dort die Feldstärke groß werden.

Und wenn nun angesagt ist, wenn es also atmosphärische Ionen in hoher Konzentration gibt und dementsprechend auch elektrische Felder, dann werden diese elektrischen Felder unmittelbar in der Nähe dieser... Blitzableiterspitze besonders stark werden. Und die Idee ist also jetzt nicht die, dass der Herr der Blitz bei dem Blitzableiter einschlagen soll, das will man ja eigentlich nicht. Sondern, dass aufgrund dieser starken Felder dieser Blitzableiter so quasi wie ein Ionenstaufsauger wirkt.

Der saugt in der Umgebung aufgrund der hohen Feldstärke Ionen ab und dementsprechend... Dementsprechend wird dann die Gefahr reduziert, dass in der Umgebung dieses Blitzableiters, also im Bereich des zu schützenden Objektes, dann auch ein Blitz einschlägt. Also Blitzableiter aufgrund dieser Beziehung, dass die Feldstärke mit abnehmender Krümmung an der Spitze, mit zunehmender Krümmung an der Spitze, also mit abnehmendem Krümmungsradius immer stärkeres Feld bekommen. Diese Blitzableiter spitzen, saugen die Luftionen ab und verhindern dadurch oder verringern jedenfalls die Gefahr.

eines Blitzeinschlages. Das ist das Prinzip der Blitzaubleiter. Deswegen müssen sie natürlich gut geerdet sein, weil es geht darum, dass sie auf konstantem Potential bleiben.

Nur dann ist diese Beziehung ja auch entsprechend zu verwenden. Na ja, jetzt haben wir uns das Außenfeld angeschaut, jetzt folgen wir uns aber auch das Innenfeld. Beim Innenfeld kann man also sehr einfach vorgehen.

Vielleicht mache ich es jetzt so, man kann in zwei verschiedenen Weisen hier vorgehen. Mache ich es jetzt so, dass wir davon ausgehen, wir verwenden jetzt diese Personengleichung zur Berechnung des Innenfeldes. Das ist also der Fall, dass diese rassiale Komponente kleiner ist als er. In dem Fall ist in dem Bereich keine Ladung vorhanden. Das Innenraum ist...

Ladungsfrei, was ja eine Hohlkugel ist. Und der Hohlkugel sind daher auch keine Ladungen. Und daher gilt für den Differenraum, dass das Delta-Theme gleich Null ist. Also wir haben jetzt die Laplace-Gleichung hier anzuwenden. Naja, also wieder für den Fall.

Herr kleiner als Großherr. Na ja, haben wir aber andererseits gesehen, dass also die Kugel selbst von Asymmetriegründen eine Equipotentialfläche sein wird. Also die Kugel, die geladene Holbucht selbst.

ist eine eckige Potential-Fläschbe. Das heißt, auch in dieser Hohlkugel ist das Potential konstant. Ich schreibe mal doppelt um. ist also auf dieser Hohlkugel konstant. Und wenn wir uns das jetzt anschauen, was haben wir dann jetzt?

Wir haben eine geschlossene Fläche, in dem Fall die Kugelfläche, auf der eine Randbedingung für unsere unbekannte Funktion wie hier, Lösung der Laplace-Gleichung. vorgegeben ist. Und gemäß dem allgemeinen Satz, den ich vorhin erwähnt hatte in der Mathematik, ist es nun so, wenn also die Lösung auf einer geschlossenen Oberfläche vorgegeben ist, die Randbedingung dort festgelegt ist, dann ist die Lösung der Poisson oder in dem Fall der Plastgleichung im Innenraum dieser Fläche eindeutig. Es gibt nur eine Lösung.

Und eine mögliche Lösung ist natürlich die mögliche Lösung. ist nicht gleich konstant, für den ganzen Bereich R kleiner als Großr im ganzen Innenraum. Denn wenn V gleich konstant ist, dann ist Delta V sicher 0. Weil dieses Delta, das ist ja der Laplace-Operator T2 nach T1 von dem V plus T2 V nach T2 plus T2 V nach T3 ist gleich 0. Wenn ich das Spiel überhaupt konstant setze, dann werden sie sich unabhängig vom Ort.

Dann werden natürlich diese zweiten Ableitungen alle Null sein und dann ist das Zeital erfüllt. Das ist also eine mögliche Lösung. Aber natürlich gibt es viele verschiedene mögliche Lösungen. Wenn aber nun auf einer geschlossenen Fläche das V als Konstant ja vorgegeben ist, dann besagt der Satz der Mathematik, dass damit die Lösung der Poisson auf der Laplace-Kleidung im Innenraum eindeutig ist. Und damit habe ich als mögliche Lösung schon die eindeutige Lösung erhalten.

Damit die eindeutige Lösung im Innenraum erhalten kann. Es ist also das Potenzial im Innenraum eine Konstante. Aber damit erhält man noch etwas weiteres. Und zwar wegen E ist gleich minus Gradient phi. Sie erinnern sich, das habe ich heute schon erwähnt.

Der Potentialansatz für die elektrische Selbststärke. Wenn also das phi konstant ist im ganzen Innenraum, dann ist der Gradient von phi natürlich auch Null. Weil der Gradient hat drei Komponenten. Wenn wir die Fällstärke von T4 nach TX1, T4 nach TX2 und T4 nach TX3, wenn es hier konstant ist, muss also die Fällstärke dann gleich 0 sein. Damit ergibt sich entsprechend, dass im Innenraum Fällsfreiheit ist.

Innenraum Fällsfreiheit. Da sehen Sie schon, jetzt wird es direkt an der Kugel oberflächlich mit Radius R etwas spannend. Denn im Außenraum haben wir gesehen, dass die Feldstärke durchaus abhängig ist vom Radius. Und zwar so lange, wie der Radius größer ist als er.

Jetzt schauen wir uns also an, wie das dann komplett aussieht. Mit Diagrammen. Wie das dann zeigen soll.

Zeichnen wir uns als erstes einmal das Potenzial auf. Wie von R gegen R zum Beispiel. Wie wird seit dann Groß R? Und schauen wir uns vielleicht zunächst einmal an, wie schaut es also im Außenraum aus.

Na ja, da steht es ja, das V von R ist eine Konstante Q durch 4π0 mal 1 durch R. Das heißt, da haben wir so eine 1 durch R Abhängigkeit. Das schaut also so aus.

proportional 1 durch R. Aber nur bis hin zu Groß R. Und Groß R selbst haben wir bisher ausgelassen. Es zeigt sich aber, es passiert einem nichts, wenn man Groß R dazu nimmt.

Immer noch ist dort ein eindeutiger Funktionswert möglich. Andererseits haben wir jetzt gesehen, im Innenraum ist das Vieh konstant. Die Lösung Vieh konstant zu R kleiner R ist die eindeutige Lösung im Innenraum. Und das heißt, wir können jetzt irgendein konstantes Vieh nehmen und damit wir nicht zu viel Unheil anrichten, setzen wir hier einfach Tätig fort und haben hier dann dieses Konstant. Das ist das gesamte Potenzial im Innenraum.

Man sieht also, Herr Kollege, jetzt auf Ihre Frage, für das Phi können wir durchaus R gleich R aus zulassen, nur es ist zwar diese Funktion da zwar stetig, aber nicht differenzierbar. Weil wenn Sie von da kommen, haben Sie einen anderen Anstieg, als wenn Sie von da kommen. Also es ist kein eindeutiger Differenzialpatient möglich.

Aber immerhin einen Wert hat die Funktion dort. Das ist ja auch schon etwas wert, wenn man sich also dort immerhin definieren kann. Im Innenraum bleibt das Potenzial konstant, im Außenraum der Kugel, dieser leitenden Hohenkugel der Geladener nimmt sie proportional zu 1 durch r ab. Na aber jetzt natürlich noch spannender.

ist die Abhängigkeit hier von E gleich dem Betrag von E-Pfeil gegen R. Und wieder haben wir uns das vor, den Kupiratus anzuschauen. Da schaut die Geschichte natürlich jetzt anders aus. Also wenn man den Außenraum hernimmt, dann haben wir ja da eine 1 durch R-Quadratabhängigkeit. Das ist also steiler.

Das wird also vielleicht so ausschauen. Bis geht's, Robotsen, nach Hause. 1 durch R². Dann habe ich das halt so, diese Feldstärken bei kugelsymmetrischen Anordnungen, die ich ansehen kann.

Gleiches Feld wie bei Punktladung habe ich noch erwähnt. Bei der ist es ja auch so. Die haben nicht vergessen, solche Sachen. Dass die elektrische Feldstärke in der Umgebung einer Punktladung betragsmäßig mit 1 durch R² zurückgeht.

Während das Potenzial mit 1 durch R zurückgeht. Das haben wir jetzt hier auch deutlich gesehen. Ja, aber jetzt haben wir ja keine Punktladung, sondern wir haben eine geladene leitende Hohlkugel. Und jetzt sind wir gerade draufgekommen, der Innenraum ist feldfrei und haben uns nicht viel dabei gedacht.

Aber jetzt schauen Sie, jetzt haben wir dann den Innenraum hier feldfrei. Und dann tschak und dann geht es dort rum. Und da haben Sie also jetzt die Situation, dass hier jetzt dieser Betrag E bei R gleich groß R gar nicht eindeutig ist. Es ist nicht nur nicht differenzierbar, es macht sogar einen Sprung.

Und es ist jetzt eigentlich eine Frage des Geschmacks, ob man jetzt den Punkt ausnehmen möchte oder nicht. Es ist wie immer. Wenn man sich diese Sachen dann genauer anschauen möchte, dann muss man die Idealisierungsstufe ein bisschen zurücknehmen.

Dann müsste man zum Beispiel sagen, eine unendlich dünne leitende Wohltruhe wird nicht mehr gefordert. Die muss eine gewisse Dicke haben. Und wenn man sich das dann anschaut und das mit der Dicke genau durchrechnet, was wir jetzt nicht tun werden, dann wird sich zeigen, dass es da natürlich zwar eine steile, aber doch eine gewisse Abhängigkeit gibt.

Es ist halt wie immer, dass wir hier gewisse Idealisierungen durchgeführt haben. Und wenn man weit genug weg ist von dieser dünnen Holzbügelfläche, dann passt schon alles. Und wenn man wirklich mit dem Mikroskop anschaut, was dort passiert, dann zeigt sich, dass es da ja dann doch wieder eine gewisse, wenn auch nur kleinräumige Ladungsverteilung gibt, so wie es ja auch keine absolut punktförmige Ladung gibt, sondern ja wieder, wenn man sich den Punkt ganz genau anschaut, sieht es sich heraus, es ist gar kein Punkt.

Aber das sind Idealisierungen, wenn man weit genug weg ist, bis sogar die Sonne erfunden wird. Das ist immer die Frage, was man halt... machen möchte und wird betrachtet in der Annäherung, dass diese Hohlkugel sehr dünn ist. Und dann wird da nicht so viel nachdenken, was da wirklich unmittelbar passiert ist. Das liefert einem dann halt derartige Situationen.

Aber etwas Wichtiges sehen Sie schon gleich bei der Gelegenheit. Das ist etwas, was Sie besonders da jetzt gleich mitnehmen können. Die Anwesenheit dieser Hohlkugel. Auch wenn sie geladen ist. bewirkt jedenfalls, dass der Innenraum feldfrei bleibt.

Die Holzfugen führen den Innenraum gegen äußere Schwierigkeiten sozusagen ab. Das heißt, wenn Sie das Kunde schön haben wollen, dann machen Sie ein ganzes Haus aus Stahl und durch Erden und dann wird der Innenraum immer feldfrei sein und wenn der Flitz einschlägt, dann ist das egal. Aber so ein Haus aus Stahl ohne Fenster ist ja auch nicht besonders lustig.

Also irgendwie ist man dann halt zu Kompromiss bereit, damit man auch schön leben kann, ob die Gefahr hinter sich liegt, dass vielleicht die und da mal offensichtlich nicht der Blitz treffen wird. Aber jedenfalls sehen Sie hier, der Innenraum ist so wie es oben eigentlich schon steht und das ist das Prinzip des Arate Käfigs. den wir bei der Gelegenheit kennenlernen, der sich aber dann nicht nur auf Google beschränkt, sondern den man in entsprechender Weise auf beliebig geformte leitende Hohlkörper verwenden kann.

Und das ist insbesondere auch für die elektrische Abschirmung wichtig. Bei elektronischen Geräten oder bei Leitungen, wo man nicht will, dass da Störungen kommen, da überzieht man die außen herum mit einer leitenden Oberfläche, einer Abschirmung und erreicht dadurch, dass es nicht möglich ist, dass äußere Störfelder in den Innenraum eindringen können. Jetzt hat mich da herüben ein Kollege gefragt, wie das mit einer Vollkugel ist. Die könnten wir jetzt genauso retten. Nur, dass wir natürlich jetzt nicht sagen würden, dass der Innenraum von vornherein fällt, aber wenn man dann diese Kugelflecken...

die da größer ist, auch nach innen weiter fortsetzt, dann werden die, wenn sie immer kleiner werden, einen immer kleineren Teil der da drinnen befindlichen Ladungen einschließen. Und da muss man dann immer das Gauss'sche Gesetz verwenden und erkennt dann, dass da nach innen dann die Felsstärke wieder kleiner wird und dementsprechend kommt man dann auf einen durchaus stetigen... eine stetige Abhängigkeit der Weltstärke vom Abstand. Aus der Mitte geht es einmal linear nach oben und dann geht es mit 1 durch r² wieder zurück. Weil sich das dann aufbaut, je größer man die konzentrische Kugel dann wählt, desto mehr Ladung wird sie inhaltet bis zum äußeren Rand dieser Vollkugel und nach außen nimmt es dann wie üblich wieder mit 1 durch r² auf.

Aber das brauchen wir jetzt nicht näher durchführen. Ich möchte etwas anderes mit Ihnen in den letzten 20 Minuten noch besprechen, nämlich den unendlich langen, geladenen, leitenden Hohlzylinder. Einerseits, weil es praktisch sehr wichtig ist, alle diese abgeschirmten Koaxialtabeln, die man ja gerade heutzutage in der EDV-Technik allen Teilen verwendet, sind solche langen Hohlzylinder.

Denn die Abschirmungen sind zylindrisch und die bewirken, dass da dann im Innenraum wieder alles abgeschirmt ist, wie wir gleich sehen werden. Aber es hat noch einen zweiten Grund. Wir werden nämlich sehen, dass dann bei diesem Zylinder es eine andere Abhängigkeit des Feldes vom Abstand gibt. Und das ist etwas, was man sich durchaus bewusst machen soll. Also da oben war das Beispiel geladene Leitende holt.

Jetzt geht das alles recht analog, sind Genesbildnehmer. Beispiel, Entladung mit Leitfäden der Hohlzylinder. Und natürlich, wir wollen uns nicht mit den Rändern herumärgern müssen. Daher ist er einfach unendlich lang, der Zylinder. Oder wir halten uns von seinen Rändern fern und schauen uns nur Bereiche an, wo es nur noch links und rechts genügend weit weiter geht.

Bei einer Korpsialleitung macht man es ja so. Irgendwo gibt es dann natürlich einen Anschlusspunkt. Da muss man sich wieder anschauen, was dort passiert.

Aber in dem wesentlichen Teil der Leitung ist es eben eine... Unendlich lange Zylindrische. Also unendlich lang. Und da sind wir Physiker immer etwas großzügig.

Den Mathematikern stellt es da immer jedes Haar an, sondern auch, wenn man das so sagt. Aber das kann man alles viel präziser formulieren, im Grenzwert und wenn und so weiter. Aber de facto ist es so, wir wollen uns mit diesen Rändern nicht herstellen. Und deswegen sagen wir halt, die Ränder sind weit weg. Und also ist er unendlich lang.

Ladung. Pro Längeneinheit wählen wir Lambda und den Radius des Zylinders wieder R. Und wieder schauen wir uns Außenraum und Innenraum an, genauso wie vorher. Ah, den Außenraum. Das ist wieder so, dass wir jetzt wieder eine koaxiale Fläche herumlegen.

Da oben diese strillierte war eine koaxiale Kugelfläche. Jetzt legen wir um den herum, diesen langen Zylinder, eine koaxiale Zylinderfläche. Das brauche ich Ihnen nicht nochmal hinzeichnen.

Das Zeichen schaut genauso aus. Da oben sind Kugeln und da ist jetzt ein Zylinder, dessen Achse aus der Doppel heraus kommt. Sie können sich das genauso gut da oben wieder anschauen.

Und wie wird das jetzt ausschauen? Der Fluss durch diese Zylinderfläche, wenn wir betrachten, kommt senkrechtes Zylinderfläche Z. Das ist eine Kugelfläche K, das ist eine Zylinderfläche Z und da kriegen wir wiederum den Fluss durch diese Zylinderfläche. Den Fluss durch diese Zylinderfläche, aber natürlich nicht durch die ganze unendlich lange, sonst wäre der Fluss unendlich groß.

sondern für eine gewisse Länge, kleiner als uneigentlich, also weit genug weg von den Rändern, kriegen wir diesen elektrischen Plus-BW. Das ist wieder dieses Fleckenintegral, das geschlossene über die Zylinderfläche. E2 dr2. Und jetzt müssen wir einfach den Betrag von E mit der Zylinderoberfläche multiplizieren.

Das ist der Zylinderumfang mal der Länge. Also 2πr mal L. Weil die R mal R ist größer als das Groß-R-Riefer. Es ist eine konzentrische Zylinderfläche außen rundherum. Andererseits, Gauss'sches Gesetz.

Dann kriegen wir phi E, die Üblichkeit ist gleich Q durch Epsilon 0. Aber dieses Q wollen wir jetzt wieder beziehen auf eine Zylinderlänge L, für Länge L. Und da haben wir dann die Ladung pro Länge ist Lambda. Also haben wir das Q ist dann Lambda mal L durch Epsilon 0. Wieder für die Länge L. Die Klinge im Klontiefen sind wieder gleich. Und durch.

Vergleich, holt dann das, diese 2πr mal L. Und vergessen habe ich natürlich, dass da auch das E noch da hinten stehen muss. 2 Pi r mal L ist ja erst die Oberfläche. Und da muss die Oberfläche ja noch mit dem Betrag der Feldstärke multipliziert werden, um auf den elektrischen Fluss zu kommen.

Das ist die... Oberfläche des Zylinders mal den Betrag der Feldstärke, die dann immer senkrecht auf diese zylinderische Oberfläche geht. Kriegen wir also dann hier 2πrlE.

Ist gleich und auf der anderen Seite steht λL durch y0. Solange diese Ladung pro Länge eine Einheit ist. Nun, da schauen Sie bequemerweise, folgen uns dann tatsächlich die Länge wieder heraus, auf die kommt es gar nicht an. Solange man nur weit weg ist von den Enden.

Also solange der Zylinder ganz unendlich lang ist, dass man sich um die Enden nicht kümmern braucht. Und damit aber jetzt kommt etwas Interessantes raus. Das E, da bleibt es jetzt stehen. Lambda von da durch 2 Pi f0 mal 1 durch R. Das ist nicht so.

Das ist jetzt auch mal eine Feldstärke, die proportional zu 1 durch r ist. Und muss nicht, so wie wir es bis jetzt immer gehabt haben, proportional zu 1 durch r². Wieder gilt das natürlich für R größer als Grund R im Außenraum. Aber wesentlich ist, dass das jetzt hier schon proportional zu R ist.

Ein wichtiger Unterschied. Und wenn wir uns da jetzt wieder, wie da oben, das Potenzial ausrechnen. das Potenzial von R, dann ist das wieder, wie wir es ja schon immer wieder aufgeschrieben haben, minus Das Integral vom Bezugspunkt, da oben war das Unendlich, bis R.

Jetzt wollen wir einmal, und Sie werden gleich sehen, warum das wichtig ist, als Bezugspunkt nicht das Unendliche nehmen, sondern die Zylinderoberfläche. Also von Groß R ausgehen bis zu dem kleinen r. Dieses Integral schauen wir uns an.

Und da bleibt also jetzt stehen, dieses Lambda durch 3 Di Epsilon 0, 1 durch R'dritt dr' Na das ist ja wieder eine Konstante, das geht auch vor das Integral, und da kommt jetzt ein komisches Integral heraus, Integral 1 durch R dr, was ist denn das? der natürliche Logarithmus. Jetzt geht das nicht mit dieser Potenzfunktion regelmäßig, das geht in dem Fall nicht aus. Also, da kommt heraus, der natürliche Logarithmus und dementsprechend Es kommt damit heraus, dass das Pi von R gleich ist minus Lambda durch 2Pi Epsilon 0, das ist die ganze Konstante, ln von klein R minus ln von Groß R oder ln von klein R hoch Groß R. Und jetzt schaut, jetzt hält uns das nicht gut an, wenn man den Bezugspunkt... ins Unendliche gelegt hätten.

Weil dann wäre das mit dem Logarithmus nicht gut gegangen. Man muss halt immer auch ein bisschen Vernunft und Vorsicht walten lassen, wenn man sich anschauen will, wie die Dinge ausschauen. Also da ist jetzt der Bezugspunkt. Weil er gleich groß ist.

Nicht wie da oben im Unendlich. Und jetzt schauen wir uns an, wie das jetzt diagrammmäßig aussieht. Aber vielleicht zuerst noch kurz, da brauchen wir nicht mehr viel reden.

B über den Innenraum. Da können wir genau die gleichen Argumente wieder anwenden unter Verwendung dieser Person, beziehungsweise hier wieder der Laplace-Gleichung. Wir haben hier im Innenraum U gleich 0 und der Hero gleich 0 und dementsprechend Delta V gleich 0, so wie wir das dort oben auch hatten, Delta V gleich 0. R kleiner als R und wiederum der Zylinder selbst ist eine Ecke Potentialfläche. Wenn auf der Fläche die Randbedingungen vorgegeben sind, dann ist die Lösung innerhalb dieser Fläche eindeutig.

Nur wenn es auf der Oberfläche konstant ist, ist es innen viel gleich konstant. Jedenfalls auch eine Lösung, weil das Datent der Fick gleich 0 trivialerweise erfüllt. Also wird im Innenraum viel gleich Konstanz sein und das ist die eindeutige Lösung. Viel gleich Konstanz im ganzen Innenraum.

Und damit natürlich E. Das sich ergibt als Minusgradient von Phi. Wenn Phi gleich Pons ganz ist, ist es im ganzen Innenraum gleich Null.

Der Innenraum ist wieder feldfrei. Na, wie schaut das jetzt mit Diagrammen aus? Das wollen wir uns also auch anschauen.

Also diese Geschichte mit dem Innenraum als Feldfreiheit, das ist wieder so ein Parade-Equipment, aber jetzt halt für die zylindrische Situation. Also die rammmäßige Darstellung sieht jetzt so aus. Betrachten wir zunächst einmal das Pi von R gegen R und da ist R in der Oberfläche.

Na ja, dann schauen wir doch einmal den Außenraum zuerst. Im Außenraum haben wir für das Pi diese merkwürdige ln-Funktion. Aber Wenn man das jetzt insbesondere für den Fall R gleich Groß R anschaut, dann, obwohl das wieder eigentlich da zuerst ausgeschlossen war, es passiert nichts Böses. Weil wenn R gleich Groß R ist, ist das 1 und der Logarithmus von 1 ist 0. Also das heißt, bei R gleich Groß R ist das Potenzial gleich 0. Und nachher dann aber minus die Konstante mal ln r durch R geht das da sofort logarithmisch hinunter. Das ist eine logarithmische Kurve.

Proportional zu minus ln r durch R. Das ist eine logarithmische Abhängigkeit. Und im Innenraum R kleiner als R groß, haben wir ja gesehen, ist das Potential konstant.

Dann nehmen wir die Konstante gleich 0. Etwas wieder stetig, weiblich, aber wieder ist es nicht differenzierbar. Das ist ganz ähnlich wie da. Nur haben wir das jetzt auf 0 runtergeschoben. Sie sehen jetzt, dass auf der Zylinderfläche...

und dann auch innerhalb das Potenzial gleich Null ist. Wir haben den Bezugspunkt eben bei R gleich Groß R gelegt. Und dann nämlich wäre das nicht gegangen, wenn wir da nämlich ewig weiter runter kommen. Das geht nie gegen einen Grenzwert, weil das so etwas Logarithmisches ist. Während beim Potenzial hier, das geht so asymptotisch gegen Null.

Das geht dort nicht, das gibt keine Ruhe, das geht ewig weiter hinunter. Deswegen würde da ein Bezugspunkt im Moment nicht geeignet sein. Nun fahren wir jetzt andererseits wieder um hier die zugehörige Feldstärke uns anschauen und die aufbragen. Gegen R und wieder haben wir hier die Zivilen der Oberfläche, dann schaut das jetzt ganz ähnlich aus.

Im Außenraum haben wir aber eine 1 durch R Abhängigkeit. Während da hatten wir einen 1 durch R Quadrat, aber ich habe gesagt, das geht relativ scharf runter mit 1 durch R Quadrat. Da geht es nur mit 1 durch R so hyperbolisch. geht das da so rund, dass das ist proportional zu 1 durch r, diese Abhängigkeit.

Und der Innenraum, wenn phi konstant ist, der Minusgradient phi für die Feldstärke ist dann 0, macht das wieder einen Sprung und geht da so weiter. Also gar so viel anders schaut es gar nicht aus, wenn Sie sich das jetzt vergleichen. Diese zwei Diagramme hier und die zwei Diagramme da.

Insbesondere das, was also faktisch interessant ist, das Verhalten der elektrischen Feldstärke. Das ist also Innen-Null, der Innenraum ist feldfrei, Fahrertee, Käfig. Wenn man da noch einmal hört. Innenraum, Fahrertee, Käfig. weil Feld frei.

Und im Außenraum, da macht es dann einen Sprung und dann geht es nicht mit 1 durch r², sondern mit 1 durch r zurück. Und darauf möchte ich jetzt nicht... besonders beziehen, weil nämlich Sie hier sehen, da gibt es auch andere Situationen als nur die, dass das Feld immer mit 1 durch R² zurückgeht.

Sie werden nämlich sehen, wenn wir, und das dauert immer so lange, zu den Magnetfeldern kommen, dass wir uns dann in Ermangelung von einzelnen Punkten holen, die wir nicht zur Verfügung haben, weil man es bisher nicht gefunden hat. nicht mit einem Punktpol arbeiten können, sondern das Beste, was man machen kann, ist ein gerader Stromdurchfluss und sich anschaut, was der um sich herum für ein magnetisches Feld erzeugt. Und da stellt sich dann heraus, die magnetische Flussdichte, der Flussdichtevektor, der Betrag in der Umgebung dieses stromdurchflossenen Leiters, das geht mit 1 durch R zurück.

und nicht so wie die elektrische Feldstärke in der Umgebung einer Punktladung mit 1 durch r². Und das wird oft so angesehen, als ob das so etwas ganz besonders Spezielles wäre, wodurch sich also die Magnetfelder von den elektrischen Feldern unterscheiden. dass die Magnetfelder mit 1 durch R zurückgehen, also noch stärker hinausgreifen ins Unendliche, während die elektrischen Felder mit 1 durch R².

So ist das aber nicht. Wenn man die gleiche Geometrie betrachtet, wie beim Stromdurchfluss einer Leiter, das ist ja sichtlich eine Zylindersymmetrie. Wenn man da wieder einen Hohlzylinder betrachtet, also auch etwas Zylindrisches, aber heute nur gleichmäßig mit Ladungen beaufschlagt und rein statisch, da strömt nichts.

Die sind nur darauf angeordnet, diese Ladungen. Dann kriegen Sie auch eine 1 durch R Abhängigkeit. Das heißt, wie die Abhängigkeit des Feldes vom Abstand ist, das ist nicht so sehr eine Frage, welche konkrete Wechselwirkungskraft hier vorhanden ist, sondern vielmehr, eine Frage, was für eine Geometrie vorliegt.

Das ist das Sukkus der heutigen Vorlesung. Das sollten Sie nicht vergessen. Jetzt nämlich werden Sie auch besser verstehen, wieso auch das Newton'sche Gravitationsgesetz so ganz ähnlich ausschaut wie das Coulomb-Gesetz.

M1, M2 durch R² mal der Gravitationskonstante. Beim Coulomb-Gesetz hat man vorher dieses 1 durch 4p y0, auch eine Konstante, mal q1, q2 durch r, genau dasselbe. Eine ganz andere Letzterwirkungskraft, wie gibt es so etwas?

Weil das eine geometrieabhängige Situation ist. Im einen Fall haben Sie Punktmassen, da haben Sie Punktladungen. Aber Punktpole haben wir da.

Das heißt, das Beste, was dort geht, ist eine zylindrische Anordnung mit einem Strom durch bloß einen geradlinigen Leiter. Und bei Zylindersymmetrie gibt es eine 1 durch r Abhängigkeit und nicht eine 1 durch r Quadrat Abhängigkeit. Und wenn ich das am Schluss als eine zusätzliche...

Veranschaulichung noch sagen darf, das ist auch ähnlich und besonders anschaulich bei optischen Erscheinungen. Wenn Sie eine Punktlichtwelle nehmen, zum Beispiel die Sonne. und sie gehen weg, dann wird die Intensität mit 1 durch r² zurückgehen. Wenn Sie aber eine lange Leuchtstoffröhre hernehmen und Sie gehen von der Leuchtstoffröhre weg, dann geht die Lichtintensität nur mit 1 durch r zurück.

Auch dort ist es nur eine Geometrieangelegenheit. Also bei der Gelegenheit habe ich Ihnen jetzt gleich diesen Gedanken ausgetrieben, dass die Magnetfelder sich vor allem deshalb unterscheiden von den elektrischen, dass sie mit 1 durch r abnehmen und die elektrischen immer mit 1 durch r². Stimmt nicht. Für eine Zylindersymmetrie nimmt auch das elektrische Feld mit 1 durch r ab.

Und dieser Fahrraddeckgeschick, den ich hier erwähnt habe, das ist genau die Abschirmung bei den Koaxialkabeln, die Sie alle kennen. Eine zylindrische Abschirmung. Und Sie sehen also jetzt...

Wir haben hier diese 1 durch R Abhängigkeit ganz einfach ausgerechnet und damit bereits Vorarbeit geleistet für die magnetischen Felder. So viel für heute. Danke.

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5) Elektrostatik und Gauss'sches Gesetz