Teorema Limit dan Contohnya

Teorema limit, jadi materi kali ini masih tentang limit, masih seri kuliah kalkulus tentang teorema limit. Misalkan saya punya bilangan bulat positif, yaitu n. n itu adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta. Kalau f dan g itu adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. Jadi fungsi itu bisa digambarkan atau bisa ditulis dengan f atau dengan d. Dua-duanya artinya sama. Yang pertama adalah kalau saya punya limit k, K adalah suatu konstanta atau suatu nilai yang tidak ada X atau Y-nya ya. Itu namanya konstanta. Kalau limit X ke C dengan konstanta, maka hasilnya adalah konstanta itu sendiri. Oke, contohnya nanti ya. Yang kedua, kalau saya punya limit X menuju C, di mana E... X-nya itu adalah sebuah fungsi tapi hanya X saja, maka hasil dari limit itu adalah C. Yang ketiga, kalau saya punya limit K, F, X, maka limit itu bisa kita pisahkan menjadi K-nya di depan. Yang K-nya ini dipindah ke depan. K itu apa sih? Konstanta tadi ya. Konstantanya dipindah ke depan. kemudian limit fxx menuju c. Teorema yang keempat, kalau saya punya limit x menuju c, limit itu terdiri dari dua fungsi, yaitu fungsi fx dan fungsi gx, maka kita bisa memisahkannya menjadi dua limit, yaitu limit x menuju c, fx, dengan limit fx, X menuju C GX untuk yang kelima limit X menuju C F X dikurangi dengan GX, kita juga bisa memisahkannya, yaitu dengan jarak limit X menuju C F X dikurangi dengan limit X menuju C GX jadi kita bisa pisahkan, yang selanjutnya kalau saya punya perkalian limit Limit X menuju C, Fx dikali dengan Gx. Jadi ini ada dua fungsi yang dikalikan gitu maksudnya ya. Maka kita bisa misahkan menjadi dua limit juga, yaitu limit X menuju C, Fx, dan yang kedua adalah limit X menuju C, Gx ya. Yang nomor tujuh, kalau saya punya limit pembagian atau limit X menuju C, fx per gx, maka ini juga bisa dipisahkan menjadi dua limit, yaitu limit fx, x menuju c, ada yang di bagian atasnya atau di bagian penyebutnya, ada yang pembilangnya, kemudian yang limit x menuju c, gx ada di bagian penyebutnya. Asalkan apa? Asalkan limit gx itu tidak boleh sama dengan 0, kenapa? ingat kalau limit dibagiin 0 hasilnya hasil limit kalau dibagiin 0 maka dia disebut dengan tak terdefinisi ingat karena limit itu tidak boleh tak terdefinisi harus jelas terdefinisi harus ada angkanya yang ke delapan limit X menuju C Dengan persamaan fx kemudian dipangkatkan dengan n, maka bisa diuraikan dengan limit x menuju c, fx kemudian dipangkatkan dengan n-nya. Yang nomor 9, limit x menuju c, akar dari fx, akar n ya, n itu kan bisa 2, bisa 3, dan seterusnya. Itu sama artinya dengan limit itu dicaris dulu, kemudian dia diakar n-nya. Diakarkan dengan n ini. Asalkan apa? Asalkan limit fx harus lebih besar sama dengan 0 hasilnya. Dan n adalah bilangan genap. Berarti 2, 4, dan seterusnya. Saya beri contoh satu per satu. Misalkan saya punya limit x menuju 3, 5x kuadrat. Maka penyelesaiannya, ingat teorema yang tadi ya, angka 5 di sini ini bisa disebut dengan konstanta. Nah, maka kita bisa mengeluarkan atau menggeser konstantanya. Caranya gimana? Ini 5 ditaruh di depan sehingga dia menjadi seperti ini. 5 limit X kuadrat X menuju 3. Hasilnya gimana? Nah, karena ini limit yang sederhana, ingat limit X itu kan sama dengan X itu sendiri ya. Oke, ini ada kuadratnya ya, sorry. Nah, ini kuadratnya. Nah, kuadratnya kan ganti yang N tadi ya. Dia akan pindah ke sini. Sehingga limit X menuju 3 caranya adalah, oke, saya uraikan satu-satu ya. Biar enggak bingung. Limit 5X kuadrat X menuju 3. Artinya 5-nya taruh di depan. Limit X kuadrat X menuju 3. Kemudian kuadratnya ini, yang kuadratnya ini kita bisa uraikan lagi. Yaitu gimana? 5 limit X menuju 3 X. Nah, kuadratnya ada di sini. Sehingga 5, ingat limit... limit X menuju 3 kan berarti 3-nya saja yang harus kita masukkan ke X. 3, ini ada kuadratnya, jangan lupa, kuadrat. Maka hasilnya adalah 5 dikali 3 kuadrat berapa? 3 kali 3, 9. Oke, 5 kali 9 sama dengan 45. Jadi, limit 5X kuadrat X menuju 3 hasilnya adalah 45. Jadi ini terdefinisi. Artinya apa? Limitnya ada. Contoh yang ke-7. Saya punya limit X menuju 3, 5X kuadrat minus 20. Ini pakai teorema yang tadi ya, yang tentang pengurangan tadi. Yaitu, ini limit X menuju 3. Oke, saya tulis dulu lagi di sini. Kemudian kita pisahkan masing-masing. Ini limit fx-nya yang tadi ya. Yang ini adalah gx-nya. Jadi kita pisahkan yang ini sendiri, yang ini sendiri. Sehingga hasilnya berapa? Limit 5x kuadrat menuju 3 dikurangi dengan limit 20x menuju 3. Nah, 5 X kuadral kan tadi kita sudah hitung yang ini. Nah, caranya sama kayak yang ini ya. Caranya sama kayak yang ini. Sehingga hasilnya adalah 45. Nah, tinggal yang ini. Limit 20 X menuju 3 itu adalah, ingat apa tadi? Ini adalah konstan. Jadi, limit konstanta hasilnya adalah konstanta itu sendiri. Sehingga 45 dikurangi 20 itu sama dengan 25 ya, jadi limitnya apa? Ada atau terdefinisi. Oke, bisa dipahami. Saya lanjutkan. Oke, ini contoh yang ke-8. Saya punya limit X menuju 3 akar 5X kuadrat min 20 per X. Jadi ini bisa kita uraikan menjadi banyak. Yang pertama kita uraikan pembagiannya dulu Pembagiannya dulu ini Pernya ini kita uraikan dulu Limit X menuju 3 Akar 5X kuadrat main 20 per X Kita tulis lagi di sini Kemudian kita bagi Ingat limit yang pembagian bisa dibagi atas dan bawahnya Pembilang dan penyebutnya Jadi dia menjadi ini Ini FX Yang bawah ini adalah GX-nya. Setelah itu kita bisa hitung lagi ya. Ini akar limit X menuju 3, 5X kuadrat min 20 per 3 ya. Yang GX ini ingat ya, limit X, X menuju 3 ya tinggal mengganti X-nya saja ini ya. Jadi ini kita hitung satu-satu ya. Selanjutnya, yang ini sama ya hitungannya kayak yang sebelumnya tadi ya. Sama kayak ini limitnya, cuma tinggal di akar aja ya. Ini sama kayak ini caranya, cuma tinggal di akarkan saja. Kan hasilnya 25 ya tadi ya. 25 ini sama 25 ini, karena ini ada akarnya ya. Bedanya tadi kan cuma ada akarnya dan tidak ada. Nah, karena ada akarnya berarti hasilnya tinggal di akar saja. Akar 25 dibagi dengan 3. Yaitu akar 25 berapa? 5 3 per 3. Jadi hasilnya adalah 5 per 3. Jadi ini tak tulis lagi caranya. Sama seperti slide sebelumnya. Nanti bisa dicoba sendiri yang belum ngerti. Jadi limitnya hasilnya 5 per 3, artinya ada atau terdefinisi. Oke, saya lanjutkan ke slide selanjutnya. Nah, contoh nomor 9. Tentukan limit dari 7x pangkat 5 minus 10x pangkat 4 minus 3x plus 6x menuju 2. Jadi penyelesaiannya adalah yaitu langsung dimasukkan angka limit ini, angka 2-nya pada persamaan ini. Ingat video yang minggu kemarin ya, langkah pertama untuk menentukan limit adalah masukkan X-nya terlebih dahulu. Jadi ini dimasukkan 7X, X-nya dimasukkan 2, ini juga X-nya. Ini juga X-nya. Nah, hasilnya adalah 44. Karena sudah ada hasilnya atau terdefinisi hasilnya ada, maka cukup sampai di sini. Tidak usah dicoba cara yang lain. Karena limitnya sudah diketahui atau sudah terdefinisi. Sekarang contoh yang ke-10. Contoh yang ke-10 ini mirip. Jadi, Sebenarnya limit ini itu bisa dipisahkan. Menjadi limit atas sama limit bawah ya. Jadi bisa dipisahkan gini, limit X menuju 2. Menuju 2, 7X ini kemudian diper dengan limit yang bawahnya. Tapi sekali lagi, dicoba dulu X-nya dulu ya. Karena kalau semua X-nya dimasukkan, maka dia ternyata sudah ada hasilnya atau terdefinisi. Sehingga tidak perlu mencoba cara yang lain. Mulai dari pemfaktoran dan lain-lainnya tidak perlu dicoba. Contoh yang nomor 11. Limit ini. Kalau diselesaikan, keterangannya di ini. Teorema 242 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di X sama dengan 1 adalah 0. Ini kan 1 ya, coba kalau kita masukkan. Misalkan limit X menuju 1. X pangkat 3 berarti kan 1 pangkat 3 ya. Semua X-nya dimasukkan ya. 3 kali 1 ditambah 7 dibagi dengan 1. 1 kuadrat min 2 kali 1 plus 1. Berarti ini 1 ditambah 3 ditambah 7. Yang bawah 1 kuadrat kan 1. Dikurangi 2 ditambah 1. Jadi ini 1 tambah 3 kan 4 ya. 4 ditambah 7. Berapa 4 tambah 7? 11 ya. 11. Kemudian ini 1 dikurangi 2 kan min 1. Min 1 tambah 1 kan 0. Nah ingat kalau limit itu tidak boleh per 0 ya. Tidak boleh per 0. Kenapa? Karena tadi hasilnya akan tidak terdefinisi. Nah maka. Cara ini tidak bisa digunakan, kita harus pakai cara yang lain. Jadi ini, teorema 241 bagian 7 juga tidak dapat digunakan karena limit penyebutnya 0. Tetapi karena limit pembilang 11, maka X mendekati 1, terjadi pembagian bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 11. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan X cukup dekat dengan 1. Hal ini dikatakan limitnya tidak ada. Nanti pakai cara apa? Ada di bagian yang lain. Jadi ini hasilnya akan sangat besar. Ingat ya. Tidak terdefinisi itu apa sih? Kalau sesuatu dibagi 0, itu kan hasilnya tidak terdefinisi. Maksudnya tidak terdefinisi itu apa? Ya, hasilnya 11 itu sangat besar itu ya. Atau hampir mencapai tak hingga ya. Sesuatu yang dibagi 0 itu menjadi tak hingga. Oke. Selanjutnya ini. Ini ada dua limit ya. Ada satu limit, ada yang ini sama yang ini. Ini harus dilakukan cara faktorisasi. Kenapa sih kok pakai faktorisasi? Coba deh, kalau kita masukkan dulu kira-kira ketemu nggak nilainya? Coba, x kuadrat, x menuju 2 ya, misalkan. 2 kuadrat. Min 3 kali 2 Dikurangi 10 Per 2 kuadrat Min 2 Min 6 Eh plus ini ya Sorry Oke ini plus Kita tanya Berarti ini langsung dimasukkan ya 2 pangkat 2 4 ditambah 3 kali 2 6 dikurangi 10 Yang ini 2 pangkat 2 4 ditambah 2 Dikurangi 6 4 ditambah 6 Itu kan 10 kurangi 10, 0. Kemudian yang bawah, 4 ditambah 2, 6. 6 kurangi 6, 0. Bentuk 0 per 0 ini juga tidak terdefinisi. Jadi kita tidak bisa menggunakan cara langsung dimasukkan angka X-nya. Sehingga kita perlu cara faktorisasi. Itu caranya gimana? Kita faktorkan persamaan yang atas X. Menjadi X plus 2 kali X plus 5. X plus 2 ini X plus 3. Oke. Buat kalian yang masih bingung faktorisasi, saya ajari satu per satu pelan-pelan ya. Sekarang kita faktorkan dulu yang pertama, yang atas. X kuadrat plus 3X minus 10. Kita faktorkan. Caranya adalah yang pertama karena ini adalah X kuadrat otomatis. Ini X, ini X. Tidak bisa ditawar-tawar kalau ini. Kalau depannya X kuadrat saja, ini tidak ada konstantanya ya. Tidak ada konstantanya. Maka itu otomatis X dan X. Kemudian kita cari dua angka. Yang dua angka itu, dua angka itu kalau dijumlahkan sama dengan 10. Nah, kalau dijumlah itu sama dengan 10. Tetapi, Kalau dikalikan atau kalau dikurangkan itu jumlahnya adalah 3 ya. Jadi kalau dia di, apa itu namanya, dikurang, enggak cuma dikurangkan ya, dikurang atau dikalikan. Jadi, ini butuh latihan, butuh skill. Jadi, kalau belum terbiasa harus nyoba benar. Jadi, angka berapa yang sekiranya kalau dikalikan. Eh, maaf. Ini kebalik. Maaf ya. 10 ini kalau dikalikan. Maaf. Kalau dikurangkan atau dijumlahkan itu hasilnya harus sama dengan 3. Oke. Sekali lagi kita ulang. Cari 2 angka yang kalau dikalikan itu hasilnya adalah angka yang belakang, tetapi kalau dijumlahkan atau dikurangkan hasilnya sama dengan angka yang di tengah ini. Nah, kira-kira berapa? Yaitu 5 dan 2. 5 x 2 itu kan 10. Kita tinggal cari plus minusnya saja. 5 x 2 itu kan 10 ya, ini kalau dikali. Nah, sekarang kita lihat persamaannya. Oh, ternyata persamaannya negatif. Berarti salah satunya harus negatif. Karena salah satunya negatif, berarti berimbas ke angka yang sebelah sini. Dilihat angka yang sebelah sini. Angka yang sebelah sini ternyata negatif. Oh, berarti kalau dia negatif yang sebelah sini, otomatis yang besar dikurangi yang kecil harus nilainya menjadi negatif. berapa? Nah, yaitu ini adalah, oh sorry, ini plus ya, maaf-maaf keliru lagi, ini plus ya jadi karena hasilnya positif harus positif, artinya kalau angka itu dijumlahkan atau dikurangkan hasilnya positif maka yang nilainya besar ini bernilai positif sedangkan angka yang satunya bernilai negatif, sehingga kalau kita Kalikan lagi, caranya biar ngecek ini benar atau enggak. Caranya gini, X dikali X, berarti X kuadrat. Kemudian yang ini, X dikali dengan 5, kan itu sama dengan plus 5X. Sekarang ganti yang ini, 2 dikali X. Ingat, 2 ada minusnya ya, harus ditulis. Berarti min 2X. Kemudian 2 kita kali dengan 5, minus 2 kali. plus 5 itu kan sama dengan minus 10. Sehingga kalau dijumlahkan ini X kuadrat, ini 5X plus 5X dikurangi 2X itu kan plus 3X. Ini min 10-nya tetap. Jadi hasilnya sama. Jadi faktorisasi dari X kuadrat plus 3X minus 10 itu adalah ini X min 2 dikali dengan X min. Oke, sampai di sini ngerti ya? Oke, sekarang saya kasih contoh. Pemfaktoran yang selanjutnya. Di sini ya, contohnya ya. X kuadrat plus X min 6. Jadi, cari dua angka, karena depannya X kuadrat, berarti otomatis X dengan X. Cari dua angka yang kalau dia dikalikan jumlahnya 6. Yang kalau di jumlah, Jumlahnya adalah plus 1. Plus X itu artinya plus 1. Berapa? Yaitu angka 3 dan 2. Karena yang tengah ini positif, otomatis yang besar angkanya itu harus positif. Biar dia nanti ketemu positif yang tengah. Kita cek, benar tidak? X kali X berarti X kuadrat. Main 2 dikali dengan X, main 2 X. Kemudian ini X kali 3 sama dengan plus 3X. Kemudian ini 2 dikali dengan 3 itu adalah min 6X kuadrat. Min 2 ditambah 3, utang 2 nyaurnya 3. Berarti kan kelebihan 1 ya, berarti plus X min 6. Oke, hasilnya sama. Nah, jadi hasil faktorisasi dari X. kuadrat plus X min 6 itu adalah yang ini. X min 2 kali X plus 3. Sehingga kita balik lagi ke sini sekarang. Kita balik ke sini sekarang. Jadi hasil pemfaktorannya ditulis. Kemudian kita coret yang sama. X plus 2 dengan X plus 2 ini kan sama. Artinya saling membagi, saling menghabiskan. Sehingga... Tinggal sisa yang ini saja kita tulis di sini. Nah, kalau sudah kita tulis, kita masukkan angkanya. X-nya tadi, X limitnya berapa? X menuju 2. Berarti kan ini kita masukkan angkanya ya. 2 plus 5 ditambah 2 plus 3. Ini jadinya sama kayak ini. 2 ditambah 5 kan 7. Kemudian 3 ditambah 2 kan 5. Berarti 7 per 5. Ini adalah hasilnya. Jadi hasil dari limit ini adalah 7 per 5. Oke, sampai di sini bisa difahami ya. Terima kasih.

Dua-duanya artinya sama. Yang pertama adalah kalau saya punya limit k, K adalah suatu konstanta atau suatu nilai yang tidak ada X atau Y-nya ya. Itu namanya konstanta. Kalau limit X ke C dengan konstanta, maka hasilnya adalah konstanta itu sendiri. Oke, contohnya nanti ya.

Yang kedua, kalau saya punya limit X menuju C, di mana E... X-nya itu adalah sebuah fungsi tapi hanya X saja, maka hasil dari limit itu adalah C. Yang ketiga, kalau saya punya limit K, F, X, maka limit itu bisa kita pisahkan menjadi K-nya di depan.

Yang K-nya ini dipindah ke depan. K itu apa sih? Konstanta tadi ya.

Konstantanya dipindah ke depan. kemudian limit fxx menuju c. Teorema yang keempat, kalau saya punya limit x menuju c, limit itu terdiri dari dua fungsi, yaitu fungsi fx dan fungsi gx, maka kita bisa memisahkannya menjadi dua limit, yaitu limit x menuju c, fx, dengan limit fx, X menuju C GX untuk yang kelima limit X menuju C F X dikurangi dengan GX, kita juga bisa memisahkannya, yaitu dengan jarak limit X menuju C F X dikurangi dengan limit X menuju C GX jadi kita bisa pisahkan, yang selanjutnya kalau saya punya perkalian limit Limit X menuju C, Fx dikali dengan Gx. Jadi ini ada dua fungsi yang dikalikan gitu maksudnya ya. Maka kita bisa misahkan menjadi dua limit juga, yaitu limit X menuju C, Fx, dan yang kedua adalah limit X menuju C, Gx ya.

Yang nomor tujuh, kalau saya punya limit pembagian atau limit X menuju C, fx per gx, maka ini juga bisa dipisahkan menjadi dua limit, yaitu limit fx, x menuju c, ada yang di bagian atasnya atau di bagian penyebutnya, ada yang pembilangnya, kemudian yang limit x menuju c, gx ada di bagian penyebutnya. Asalkan apa? Asalkan limit gx itu tidak boleh sama dengan 0, kenapa?

ingat kalau limit dibagiin 0 hasilnya hasil limit kalau dibagiin 0 maka dia disebut dengan tak terdefinisi ingat karena limit itu tidak boleh tak terdefinisi harus jelas terdefinisi harus ada angkanya yang ke delapan limit X menuju C Dengan persamaan fx kemudian dipangkatkan dengan n, maka bisa diuraikan dengan limit x menuju c, fx kemudian dipangkatkan dengan n-nya. Yang nomor 9, limit x menuju c, akar dari fx, akar n ya, n itu kan bisa 2, bisa 3, dan seterusnya. Itu sama artinya dengan limit itu dicaris dulu, kemudian dia diakar n-nya. Diakarkan dengan n ini. Asalkan apa?

Asalkan limit fx harus lebih besar sama dengan 0 hasilnya. Dan n adalah bilangan genap. Berarti 2, 4, dan seterusnya. Saya beri contoh satu per satu.

Misalkan saya punya limit x menuju 3, 5x kuadrat. Maka penyelesaiannya, ingat teorema yang tadi ya, angka 5 di sini ini bisa disebut dengan konstanta. Nah, maka kita bisa mengeluarkan atau menggeser konstantanya.

Caranya gimana? Ini 5 ditaruh di depan sehingga dia menjadi seperti ini. 5 limit X kuadrat X menuju 3. Hasilnya gimana?

Nah, karena ini limit yang sederhana, ingat limit X itu kan sama dengan X itu sendiri ya. Oke, ini ada kuadratnya ya, sorry. Nah, ini kuadratnya. Nah, kuadratnya kan ganti yang N tadi ya. Dia akan pindah ke sini.

Sehingga limit X menuju 3 caranya adalah, oke, saya uraikan satu-satu ya. Biar enggak bingung. Limit 5X kuadrat X menuju 3. Artinya 5-nya taruh di depan.

Limit X kuadrat X menuju 3. Kemudian kuadratnya ini, yang kuadratnya ini kita bisa uraikan lagi. Yaitu gimana? 5 limit X menuju 3 X. Nah, kuadratnya ada di sini.

Sehingga 5, ingat limit... limit X menuju 3 kan berarti 3-nya saja yang harus kita masukkan ke X. 3, ini ada kuadratnya, jangan lupa, kuadrat.

Maka hasilnya adalah 5 dikali 3 kuadrat berapa? 3 kali 3, 9. Oke, 5 kali 9 sama dengan 45. Jadi, limit 5X kuadrat X menuju 3 hasilnya adalah 45. Jadi ini terdefinisi. Artinya apa? Limitnya ada.

Contoh yang ke-7. Saya punya limit X menuju 3, 5X kuadrat minus 20. Ini pakai teorema yang tadi ya, yang tentang pengurangan tadi. Yaitu, ini limit X menuju 3. Oke, saya tulis dulu lagi di sini. Kemudian kita pisahkan masing-masing.

Ini limit fx-nya yang tadi ya. Yang ini adalah gx-nya. Jadi kita pisahkan yang ini sendiri, yang ini sendiri. Sehingga hasilnya berapa? Limit 5x kuadrat menuju 3 dikurangi dengan limit 20x menuju 3. Nah, 5 X kuadral kan tadi kita sudah hitung yang ini.

Nah, caranya sama kayak yang ini ya. Caranya sama kayak yang ini. Sehingga hasilnya adalah 45. Nah, tinggal yang ini. Limit 20 X menuju 3 itu adalah, ingat apa tadi? Ini adalah konstan.

Jadi, limit konstanta hasilnya adalah konstanta itu sendiri. Sehingga 45 dikurangi 20 itu sama dengan 25 ya, jadi limitnya apa? Ada atau terdefinisi.

Oke, bisa dipahami. Saya lanjutkan. Oke, ini contoh yang ke-8. Saya punya limit X menuju 3 akar 5X kuadrat min 20 per X.

Jadi ini bisa kita uraikan menjadi banyak. Yang pertama kita uraikan pembagiannya dulu Pembagiannya dulu ini Pernya ini kita uraikan dulu Limit X menuju 3 Akar 5X kuadrat main 20 per X Kita tulis lagi di sini Kemudian kita bagi Ingat limit yang pembagian bisa dibagi atas dan bawahnya Pembilang dan penyebutnya Jadi dia menjadi ini Ini FX Yang bawah ini adalah GX-nya. Setelah itu kita bisa hitung lagi ya. Ini akar limit X menuju 3, 5X kuadrat min 20 per 3 ya. Yang GX ini ingat ya, limit X, X menuju 3 ya tinggal mengganti X-nya saja ini ya.

Jadi ini kita hitung satu-satu ya. Selanjutnya, yang ini sama ya hitungannya kayak yang sebelumnya tadi ya. Sama kayak ini limitnya, cuma tinggal di akar aja ya.

Ini sama kayak ini caranya, cuma tinggal di akarkan saja. Kan hasilnya 25 ya tadi ya. 25 ini sama 25 ini, karena ini ada akarnya ya. Bedanya tadi kan cuma ada akarnya dan tidak ada. Nah, karena ada akarnya berarti hasilnya tinggal di akar saja.

Akar 25 dibagi dengan 3. Yaitu akar 25 berapa? 5 3 per 3. Jadi hasilnya adalah 5 per 3. Jadi ini tak tulis lagi caranya. Sama seperti slide sebelumnya.

Nanti bisa dicoba sendiri yang belum ngerti. Jadi limitnya hasilnya 5 per 3, artinya ada atau terdefinisi. Oke, saya lanjutkan ke slide selanjutnya. Nah, contoh nomor 9. Tentukan limit dari 7x pangkat 5 minus 10x pangkat 4 minus 3x plus 6x menuju 2. Jadi penyelesaiannya adalah yaitu langsung dimasukkan angka limit ini, angka 2-nya pada persamaan ini.

Ingat video yang minggu kemarin ya, langkah pertama untuk menentukan limit adalah masukkan X-nya terlebih dahulu. Jadi ini dimasukkan 7X, X-nya dimasukkan 2, ini juga X-nya. Ini juga X-nya.

Nah, hasilnya adalah 44. Karena sudah ada hasilnya atau terdefinisi hasilnya ada, maka cukup sampai di sini. Tidak usah dicoba cara yang lain. Karena limitnya sudah diketahui atau sudah terdefinisi. Sekarang contoh yang ke-10. Contoh yang ke-10 ini mirip.

Jadi, Sebenarnya limit ini itu bisa dipisahkan. Menjadi limit atas sama limit bawah ya. Jadi bisa dipisahkan gini, limit X menuju 2. Menuju 2, 7X ini kemudian diper dengan limit yang bawahnya.

Tapi sekali lagi, dicoba dulu X-nya dulu ya. Karena kalau semua X-nya dimasukkan, maka dia ternyata sudah ada hasilnya atau terdefinisi. Sehingga tidak perlu mencoba cara yang lain. Mulai dari pemfaktoran dan lain-lainnya tidak perlu dicoba.

Contoh yang nomor 11. Limit ini. Kalau diselesaikan, keterangannya di ini. Teorema 242 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di X sama dengan 1 adalah 0. Ini kan 1 ya, coba kalau kita masukkan. Misalkan limit X menuju 1. X pangkat 3 berarti kan 1 pangkat 3 ya. Semua X-nya dimasukkan ya.

3 kali 1 ditambah 7 dibagi dengan 1. 1 kuadrat min 2 kali 1 plus 1. Berarti ini 1 ditambah 3 ditambah 7. Yang bawah 1 kuadrat kan 1. Dikurangi 2 ditambah 1. Jadi ini 1 tambah 3 kan 4 ya. 4 ditambah 7. Berapa 4 tambah 7? 11 ya. 11. Kemudian ini 1 dikurangi 2 kan min 1. Min 1 tambah 1 kan 0. Nah ingat kalau limit itu tidak boleh per 0 ya.

Tidak boleh per 0. Kenapa? Karena tadi hasilnya akan tidak terdefinisi. Nah maka. Cara ini tidak bisa digunakan, kita harus pakai cara yang lain.

Jadi ini, teorema 241 bagian 7 juga tidak dapat digunakan karena limit penyebutnya 0. Tetapi karena limit pembilang 11, maka X mendekati 1, terjadi pembagian bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 11. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan X cukup dekat dengan 1. Hal ini dikatakan limitnya tidak ada. Nanti pakai cara apa? Ada di bagian yang lain.

Jadi ini hasilnya akan sangat besar. Ingat ya. Tidak terdefinisi itu apa sih?

Kalau sesuatu dibagi 0, itu kan hasilnya tidak terdefinisi. Maksudnya tidak terdefinisi itu apa? Ya, hasilnya 11 itu sangat besar itu ya. Atau hampir mencapai tak hingga ya.

Sesuatu yang dibagi 0 itu menjadi tak hingga. Oke. Selanjutnya ini.

Ini ada dua limit ya. Ada satu limit, ada yang ini sama yang ini. Ini harus dilakukan cara faktorisasi. Kenapa sih kok pakai faktorisasi? Coba deh, kalau kita masukkan dulu kira-kira ketemu nggak nilainya?

Coba, x kuadrat, x menuju 2 ya, misalkan. 2 kuadrat. Min 3 kali 2 Dikurangi 10 Per 2 kuadrat Min 2 Min 6 Eh plus ini ya Sorry Oke ini plus Kita tanya Berarti ini langsung dimasukkan ya 2 pangkat 2 4 ditambah 3 kali 2 6 dikurangi 10 Yang ini 2 pangkat 2 4 ditambah 2 Dikurangi 6 4 ditambah 6 Itu kan 10 kurangi 10, 0. Kemudian yang bawah, 4 ditambah 2, 6. 6 kurangi 6, 0. Bentuk 0 per 0 ini juga tidak terdefinisi. Jadi kita tidak bisa menggunakan cara langsung dimasukkan angka X-nya.

Sehingga kita perlu cara faktorisasi. Itu caranya gimana? Kita faktorkan persamaan yang atas X.

Menjadi X plus 2 kali X plus 5. X plus 2 ini X plus 3. Oke. Buat kalian yang masih bingung faktorisasi, saya ajari satu per satu pelan-pelan ya. Sekarang kita faktorkan dulu yang pertama, yang atas.

X kuadrat plus 3X minus 10. Kita faktorkan. Caranya adalah yang pertama karena ini adalah X kuadrat otomatis. Ini X, ini X. Tidak bisa ditawar-tawar kalau ini. Kalau depannya X kuadrat saja, ini tidak ada konstantanya ya.

Tidak ada konstantanya. Maka itu otomatis X dan X. Kemudian kita cari dua angka.

Yang dua angka itu, dua angka itu kalau dijumlahkan sama dengan 10. Nah, kalau dijumlah itu sama dengan 10. Tetapi, Kalau dikalikan atau kalau dikurangkan itu jumlahnya adalah 3 ya. Jadi kalau dia di, apa itu namanya, dikurang, enggak cuma dikurangkan ya, dikurang atau dikalikan. Jadi, ini butuh latihan, butuh skill.

Jadi, kalau belum terbiasa harus nyoba benar. Jadi, angka berapa yang sekiranya kalau dikalikan. Eh, maaf.

Ini kebalik. Maaf ya. 10 ini kalau dikalikan.

Maaf. Kalau dikurangkan atau dijumlahkan itu hasilnya harus sama dengan 3. Oke. Sekali lagi kita ulang.

Cari 2 angka yang kalau dikalikan itu hasilnya adalah angka yang belakang, tetapi kalau dijumlahkan atau dikurangkan hasilnya sama dengan angka yang di tengah ini. Nah, kira-kira berapa? Yaitu 5 dan 2. 5 x 2 itu kan 10. Kita tinggal cari plus minusnya saja.

5 x 2 itu kan 10 ya, ini kalau dikali. Nah, sekarang kita lihat persamaannya. Oh, ternyata persamaannya negatif. Berarti salah satunya harus negatif. Karena salah satunya negatif, berarti berimbas ke angka yang sebelah sini.

Dilihat angka yang sebelah sini. Angka yang sebelah sini ternyata negatif. Oh, berarti kalau dia negatif yang sebelah sini, otomatis yang besar dikurangi yang kecil harus nilainya menjadi negatif. berapa? Nah, yaitu ini adalah, oh sorry, ini plus ya, maaf-maaf keliru lagi, ini plus ya jadi karena hasilnya positif harus positif, artinya kalau angka itu dijumlahkan atau dikurangkan hasilnya positif maka yang nilainya besar ini bernilai positif sedangkan angka yang satunya bernilai negatif, sehingga kalau kita Kalikan lagi, caranya biar ngecek ini benar atau enggak.

Caranya gini, X dikali X, berarti X kuadrat. Kemudian yang ini, X dikali dengan 5, kan itu sama dengan plus 5X. Sekarang ganti yang ini, 2 dikali X. Ingat, 2 ada minusnya ya, harus ditulis.

Berarti min 2X. Kemudian 2 kita kali dengan 5, minus 2 kali. plus 5 itu kan sama dengan minus 10. Sehingga kalau dijumlahkan ini X kuadrat, ini 5X plus 5X dikurangi 2X itu kan plus 3X.

Ini min 10-nya tetap. Jadi hasilnya sama. Jadi faktorisasi dari X kuadrat plus 3X minus 10 itu adalah ini X min 2 dikali dengan X min. Oke, sampai di sini ngerti ya?

Oke, sekarang saya kasih contoh. Pemfaktoran yang selanjutnya. Di sini ya, contohnya ya.

X kuadrat plus X min 6. Jadi, cari dua angka, karena depannya X kuadrat, berarti otomatis X dengan X. Cari dua angka yang kalau dia dikalikan jumlahnya 6. Yang kalau di jumlah, Jumlahnya adalah plus 1. Plus X itu artinya plus 1. Berapa? Yaitu angka 3 dan 2. Karena yang tengah ini positif, otomatis yang besar angkanya itu harus positif.

Biar dia nanti ketemu positif yang tengah. Kita cek, benar tidak? X kali X berarti X kuadrat. Main 2 dikali dengan X, main 2 X.

Kemudian ini X kali 3 sama dengan plus 3X. Kemudian ini 2 dikali dengan 3 itu adalah min 6X kuadrat. Min 2 ditambah 3, utang 2 nyaurnya 3. Berarti kan kelebihan 1 ya, berarti plus X min 6. Oke, hasilnya sama. Nah, jadi hasil faktorisasi dari X. kuadrat plus X min 6 itu adalah yang ini.

X min 2 kali X plus 3. Sehingga kita balik lagi ke sini sekarang. Kita balik ke sini sekarang. Jadi hasil pemfaktorannya ditulis.

Kemudian kita coret yang sama. X plus 2 dengan X plus 2 ini kan sama. Artinya saling membagi, saling menghabiskan. Sehingga...

Tinggal sisa yang ini saja kita tulis di sini. Nah, kalau sudah kita tulis, kita masukkan angkanya. X-nya tadi, X limitnya berapa? X menuju 2. Berarti kan ini kita masukkan angkanya ya.

2 plus 5 ditambah 2 plus 3. Ini jadinya sama kayak ini. 2 ditambah 5 kan 7. Kemudian 3 ditambah 2 kan 5. Berarti 7 per 5. Ini adalah hasilnya. Jadi hasil dari limit ini adalah 7 per 5. Oke, sampai di sini bisa difahami ya. Terima kasih.

Transcript for:Teorema Limit dan Contohnya

Transcript for:
Teorema Limit dan Contohnya