قوانين التفاضل الأساسية (Rules of Differentiation)

مفهوم التفاضل (Differentiation)

• الفانكشن: علاقة بين متغيرين مستقل (X) وتابع (Y).
• التفاضل: معدل تغير المتغير التابع بالنسبة للمستقل.
• مثال من الفيزياء: السرعة (velocity) هي معدل تغير المسافة مع الزمن، والتعجيل (acceleration) هو معدل تغير السرعة مع الزمن.

قوانين التفاضل الأساسية

1. تفاضل القوى (Power Rule)

• إذا لديك (x^n):[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} ]
• إذا كان لديك ثابت (Constant)، تفاضله يساوي صفر: [ \frac{d}{dx} C = 0 ]

أمثلة

مثال 1

(y = x^7 - 3x^4 + 10)

• (y' = 7x^6 - 12x^3 + 0)

مثال 2

(y = x^6 + 2 x^{-5} - 7)

• (y' = 6 x^5 - 10 x^{-6} + 0)

2. تفاضل الدالة الجذرية (Differentiating Square Roots)

• إذا لديك (\sqrt{u}):[ \frac{d}{dx} \sqrt{u} = \frac{\frac{d}{dx} u}{2 \sqrt{u}} ]

مثال

(y = \sqrt{x^3 - 1})

• (y' = \frac{3 x^2}{2 \sqrt{x^3 - 1}})

3. تفاضل الضرب (Product Rule)

• إذا لديك (u) و(v):[ \frac{d}{dx} (uv) = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u ]

مثال

(y = x^6 (x^3 - 1)^4)

• (y' = x^6 \cdot 4(x^3 - 1)^3 (3x^2) + (x^3 - 1)^4 \cdot 6x^5)
• تبسيط: (y' = 12 x^8 (x^3 - 1)^3 + 6 x^5 (x^3 - 1)^4)

4. التفاضل للقسمة (Quotient Rule)

• إذا لديك (\frac{u}{v}):[ \frac{d}{dx} \frac{u}{v} = \frac{v \frac{d}{dx} u - u \frac{d}{dx} v}{v^2} ]

مثال

(y = \frac{x^3 - 1}{x^3 + 1})

• (y' = \frac{(x^3 + 1) \cdot 3x^2 - (x^3 - 1) \cdot 3x^2}{(x^3 + 1)^2})
• تبسيط: (y' = \frac{6x^2}{(x^3 + 1)^2})