व्याख्यान के नोट्स: इंटरपोलशन (Interpolation)

परिचय

• डॉ. गजेंद्र परवीत द्वारा व्याख्यान
• विषय: इंटरपोलशन फॉर इक्वल इंटरवेल

मुख्य बिंदु

• न्यूटन फॉरवर्ड और बैकवर्ड फॉर्मूले
  • इनका उपयोग मध्य मान निकालने के लिए किया जाता है।
  • फ़ार्मूलों की सूची: गॉस्ट फॉरवर्ड, गॉस्ट बैकवर्ड, स्टर्लिंग, आदि।

उदाहरण: जनसंख्या का अनुमान

• साल: 1891, 1901, 1911, 1921, 1931
• जनसंख्या: 46, 66, 81, 93, 101
• डिफरेंस टेबल बनाना आवश्यक है।
• डेल ऑपरेटर:
  • del f(x) = f(x+h) - f(x)
  • उदाहरण:
    • del f(x) की गणना करें।
    • del^2 f(x) और del^3 f(x) की गणना भी करें।

न्यूटन फॉरवर्ड फॉर्मूला

• फार्मूला:
  • F(a + hu) = F(a) + (u/1!) * del F(a) + (u(u-1)/2!) * del^2 F(a) + ...
• 1895 के लिए जनसंख्या का अनुमान:
  • गणना करने पर 54.8528 प्राप्त किया।
  • सुनिश्चित करें कि उत्तर 1891 और 1911 के बीच में सही है।

न्यूटन बैकवर्ड फॉर्मूला

• फार्मूला:
  • F(a + hu) = F(a) + (u+1)/1! * nebula F(a) + ...
• 1925 के लिए जनसंख्या का अनुमान:
  • गणना करने पर 96.8368 प्राप्त किया।

कैलकुलेटर का उपयोग

• कैलकुलेटर का सही प्रयोग महत्वपूर्ण है।
• गलत गणना से उत्तर में त्रुटियाँ हो सकती हैं।
• हमेशा एक साथ सभी गणनाएँ करें।

अन्य प्रश्नों के लिए उदाहरण

1. 10 और 15 रुपये के बीच कमाने वाले लोग:

   • आंकड़े: 10 तक 9 लोग, 20 तक 39 लोग, आदि।
   • गणना: del f(x) की गणना करें।
   • न्यूटन फॉरवर्ड से 15 का अनुमान: 23.5 या लगभग 24।

2. पॉलीनॉमियल एफिटिंग:

   • डेटा सेट: x vs y
   • फार्मूला:
   • गणना करने पर y(5) का मान प्राप्त करें: 10।

निष्कर्ष

• न्यूटन फॉरवर्ड और बैकवर्ड के बीच मुख्य अंतर डेल और नेबुला का उपयोग है।
• कैलकुलेटर का सही उपयोग सुनिश्चित करना आवश्यक है।
• वीडियोस और कमेंट्स से अधिक जानकारी प्राप्त की जा सकती है।

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