Lezione del Professor Massimo Gobbino - Università di Pisa

Introduzione

• Lezioni per ripassare la matematica del test di medicina e per le scuole superiori.
• Video e parte scritta disponibili.

Potenza

Definizione

• a^x: a è la base, x è l'esponente.
• Caso più semplice: base qualunque, esponente intero positivo (a^n).
• a^n = a moltiplicato per se stesso n volte.
• Esempi:
  • 5^2 = 25
  • 2^5 = 32
  • 3^3 = 27
  • (-3)^3 = -27
  • 1^6 = 1
  • 0^7 = 0

Proprietà delle Potenze

Proprietà 1: Prodotto di potenze

• a^m * a^n = a^(m+n)
• Dimostrazione: a^m è a moltiplicato m volte, a^n è a moltiplicato n volte. Unendoli si ha a^(m+n).*

Proprietà 2: Potenza di potenza

• (a^m)^n = a^(m*n)
• Dimostrazione: (a^m)^n è a^m moltiplicato per se stesso n volte, quindi a^(m*n).

Proprietà 3: Divisione di potenze

• a^m / a^n = a^(m-n)
• Richiede che m > n e a ≠ 0.
• Dimostrazione: semplificare a^m e a^n.

Proprietà 4: Prodotto di basi

• (a * b)^n = a^n * b^n
• Richiede che l'esponente sia lo stesso.

Proprietà 5: Somma di potenze

• Non esistono formule del tipo (a+b)^n o (a^n + b^n).

Esempi di calcolo

• 10^7 / 10^3 = 10^4
• 1000 * 10^3 / 100^2 = 100
• 10^3 * 1000 = 10^3000 (potenza di potenza).
• 100 / 200 usando potenze di 2 e 5.

Esponente uguale a zero

• a^0 = 1, a ≠ 0.
• Dimostrazione: a^n / a^n = 1.

Esponente intero negativo

• a^(-n) = 1 / a^n.
• Esempi:
  • 7^(-7) = 1 / 7^7
  • 7^(-3) / 7^(-6) = 7^3

Esponenti frazionari

• a^(1/n) = radice ennesima di a.
• Proprietà valide come per gli esponenti interi.
• Esempi:
  • radice cubica di 27 = 3
  • radice quarta di 16 = 2

Esponenti qualunque (frazioni generiche)

• a^(m/n) = (radice ennesima di a)^m = radice ennesima di (a^m).
• Esempi:
  • radice aesima di 16 = 2
  • a^(3/2) = 27 => a = 9

Esercizi Finali

• Vari esempi pratici sui concetti appresi.

Conclusione

• Ripetizione delle proprietà principali delle potenze.
• Introduzione ai polinomi nella prossima lezione.