Introduzione alle potenze in matematica

Ciao a tutti ragazzi, queste sono le lezioni del professor Massimo Gobbino dell'Università di Pisa. Le ho ricaricate perché credo che siano fantastiche, oltre ad avere un video hanno anche una parte scritta che ha rilasciato il professore, la trovate qua sotto in descrizione. Le lezioni sono adatte per ripassare la matematica del test di medicina e per la maggior parte dei superiori. Quindi ragazzi, concentrati, pronti, attenti, via! potenze che cos'è una potenza? voi dite a alla x questa è una potenza Allora, partiamo dal caso più semplice di tutti. Il primo caso è quello molto semplice, il primo caso è quello in cui a, a vabbè, insomma, quando scrivo a alla x cosa intendo? a lo chiamerò la base, e x si chiama esponente. giusto come terminologia. Quindi il primo caso è quello in cui la base è qualunque e l'esponente è un intero positivo. Questo è il caso facile di potenze. Quindi possiamo indicarlo con a alla n. Positivo vuol dire positivo, maggiore di zero, maggiore stretto di zero. Positivo vuol dire maggiore stretto di zero. Allora, come si definisce a alla n in questo caso? A moltiplicato per se stesso n volte. A alla n è uguale a per a per a n volte. Chiaro? Questo è il caso semplice. A può essere un numero qualunque, n è un intero positivo, a moltiplicato per se stesso è un numero. Esempi, questa è la definizione. Esempi, vabbè, gli esempi si sprecano. 5 al quadrato. e 5 per 5, cioè 25. 2 alla quinta, 2 per 2, per 2, per 2, per 2, e questo diventa 32. 3 alla terza, 3 per 3, per 3, viene 27. Meno 3 alla terza, meno 3 per meno 3 per meno 3 meno 3 al quadrato vale 9 1 alla sesta Rientra in questa casistica? Sì. E 1, moltiplicato per se stesso, 6 volte. 0 alla settima? Rientra in questa casistica? Sì, base qualunque. 0 ripetuto per se stesso? 7 volte. E fa 0. meno 1 alla quinta 5 meno 1 moltiplicati meno 1 meno 1 alla 2008 1 proprietà 1 Proprietà A alla M per A alla N è uguale a m più n, perché? che cos'è a m? A moltiplicato per se stesso m volte, questo sarebbe a alla m, per a alla n che cos'è? A moltiplicato per se stesso n volte, mettendo insieme in tutto. Queste sono m più n, quindi questo diventa a moltiplicato per se stesso m più n volte. E quindi questo è a elevato alla m più n. Chiaro? Cioè se avete chiara la definizione di A alla M, il primo sono M volte A, il secondo sono N volte A, attaccati diventa M più N volte A Seconda proprietà, A alla M tutto alla N, questo è uguale? E per E, così. Questa è la prima proprietà, questa è la seconda proprietà. Motivo che cos'è? Motivo, a alla m alla n, questo che cos'è? Fare elevato alla n vuol dire moltiplicare per se stesso n volte, quindi questo è a alla m per a alla m per per a alla m, quante volte? n volte ma ciascuno di questi ha la m quando lo vado a espandere che cos'è? m volte la a moltiplicata quindi quando vado a espandere questo cosa diventa? diventa a alla m che è a per a e questi sono m poi c'è il secondo blocco secondo blocco sono a per per a e questi sono di nuovo m e tutto così via per a per a questi sono m chiaro cosa ho fatto? ciascuno di questi lo ho esparso come m volte la a in tutto quante sono le a? m per n, cioè sono n blocchi, questi sono n blocchi, n blocchi di m a, quindi in totale m per n a, quindi è uguale Quindi quando siete in crisi, voi ricordatevi la definizione, dalla definizione recuperate tutto. Ecco, la prima proprietà è relativa alla moltiplicazione. Con la divisione cosa succede? Terza proprietà, se abbiamo a alla m diviso a alla n. Questo qui cosa diventa? A elevato a m meno n. Questa per ora che ipotesi richiede? Ecco, questa per ora richiede che m sia maggiore stretto di n, se no qui mi rimane l'esponente 0 che per il momento non sappiamo cos'è, quindi richiede per ora questa e per sempre, c'è un'altra ipotesi che invece servirà sempre, che a sia diverso da 0, basta diverso da 0. Richiede per ora m maggiore di 0 e per sempre a diverso da 0, perché per 0 non si potrà mai dividere. Come si dimostra questa? A alla n diviso A alla n, che cos'è? A per A diviso... Quante sono sopra e quante sono sotto? Sotto ce ne sono n. Sopra ce ne sono M, cosa faccio? Semplifico quello che si può e avanzano sopra. Perché avanzano delle a sopra? Perché m è più grosso di n, quindi ce n'è più sopra che sotto. Semplifico, quante le avanzano? m-n a. Quindi rimane a alla m-n. Torna? Semplifico le a. Esempio. A all'ottava diviso A alla quinta, sopra c'ho 8A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, sotto ho 5A, 2, 3, 3, 4, 5, semplifico tutto quel che posso, cioè ne tolgo 5, 1, 2, 3, 4, 5, giustamente ne avanzano 3. Non è nulla di più furbo di questa la regola della divisione. Quarta proprietà, quarta proprietà A alla N per b alla n a per b tutto elevato alla n mi raccomando serve che l'esponente sia lo stesso serve che l'esponente sia sempre lo stesso che l'esponente sia sempre lo stesso Vi sapete dare la giustificazione come ho fatto prima per questa qui? Che cos'è A alla N per B alla N? Questo è un blocco di N A moltiplicato un blocco di N B. Questi sono N E questi sono n. Adesso cosa posso fare? Posso sfruttare la proprietà commutativa della moltiplicazione mettendo questi n e b accanto alle a. Quindi questo lo posso scrivere come a per b per a per b per a per b. Facendo tutti i blocchetti così. Perché li posso accoppiare tutti? Perché sono tante le a quante le b. Grazie. Quindi qui ho n blocchi di A, ma questo che cos'è? Questo è esattamente per definizione A per B. Altre proprietà. 5, a alla n più b alla n, oppure a alla n più o meno, diciamo, a alla m. E qui, ricordatevelo bene, è tanto importante ricordare le proprietà vere quanto è importante ricordare le proprietà false. Ve lo scrivo così, così vi rimane lo slogan. Cioè, non c'è una formula furba. Qui cosa vi avrebbe da dire? A più B alla N? Assolutamente no. Qui cosa vi avrebbe da dire? A elevato alla N più M? Assolutamente no. Non c'è nessuna formula furba per queste cose qui. Bene, facciamo degli esempi. Quanto fa 10 alla 7 diviso 10 al cubo? 10 alla quarta. Quanto fa... 1000 per 10 al cubo diviso 100 al quadrato allora scriviamo tutto usando le potenze di 10 1000 allora 1000 che cos'è? 10 alla terza per 10 alla terza diviso 10 alla seconda per la seconda. e questo fa 10 alla sesta cosa ho usato? a alla m più a alla n quindi sommo gli esponenti qui gli esponenti cosa si fa? si moltiplicano, quindi qui fa 10 alla quarta adesso cosa faccio? 10 alla sesta diviso 10 alla quarta fa 10 alla seconda, cioè fa 100 ecco 1000 alla 1000 Se sono numeri bassi le cose vanno meglio che se sono numeri alti. Questo qui è uguale a 10 elevato alla... Ecco, tutte le cose che volevo non sentire le ho sentite. Questo cosa sarebbe? 10 alla 3. Adesso questo in quale regola rientra? Rientra in questa regola qui, potenza di potenza. Quindi gli esponenti si moltiplicano. Quindi è 3000, ma sono sicuro che qualcuno ha pensato a 1300, sono sicuro che tutto il possibile è stato pensato. Ecco, l'anno scorso nel test di fine percorso c'era questa domanda qua che cos'era? 100, 100 diviso 200 Beh, questo lo potete fare in tanti modi, insomma, cioè ci sono tanti modi di dare la risposta. Beh, questo volendo è 100 alla 100 diviso 2 per 100. Quindi volendo questo è un mezzo per 100 alla 100 diviso 100. Quindi è uguale a un mezzo per 100 elevato... A 99, questo è un modo di dare la risposta. Se volessimo usare potenze di 2 e potenze di 5, cosa potremmo dire? Usando potenze di 2 e di 5. Beh, intanto... 200, 100 alla 100, che cos'è? 100 abbiamo detto è 10 elevato alla 200. 10 è 2 per 5. Quindi 2 elevato alla 200 per 5 elevato, che proprietà abbiamo usato? Quella della... abbiamo usato questa proprietà qua. 2 alla 100 per 5 alla 100 è uguale a 10, cioè... 200 che cosa è uguale? Usando le potenze di 2 e di 5. Volendo i 2 per 100, quindi 2 alla terza per 5 al quadrato. Quindi quando faccio 100 alla 100 diviso 200, questo cosa diventa? 100 alla 100 abbiamo detto e 2 alla 200, 100 per 5 alla 200 diviso il 200 che abbiamo detto che è 2 al cubo per 5 al quadrato quindi questo diventa 2 alla 197 per 5 elevato alla 198 ritorna? facciamo un altro esempio Forse era meglio di averci numerati questi esempi. Esempio 1, esempio 2, 1000 alla 1000 è l'esempio 3, questo è l'esempio 4, facciamo l'esempio 5. 1000 alla 100 diviso 100 alla 1000 Sì, allora, 1000 e 10 alla terza, tutto alla 100, non sto facendo null'altro che non sia usare quelle quattro regole che abbiamo scritto, sotto 100 alla 1000 che cos'è? 10 al quadrato, tutto alla 1000. Quindi, adesso questa è potenza di potenza. 10 elevato alla 3000, 300, perché ci ho messo uno 0 un po'più, 10 elevato alla 300 diviso 10 elevato alla 2000. Dove avanzano i 10? Al numeratore o al denominatore? Al denominatore, qui sopra c'ho 310 e sotto c'hanno 2000, quindi ne avanzano. ne avanzano 1700 denominatore esempio 6 200 alla 200 diviso 400 alla 100 e mi date la risposta usando le potenze di 2 e di 5, le varie risposte ovviamente allora intanto Io farei così, 200 come si scrive usando potenze di 2 e di 5? Questo volendo è 2 per 100, 100 è 2 al quadrato per 5 al quadrato, quindi questo diventa 2 alla terza per 5 al quadrato. Questo è il 200. 400, che cosa sarà? Devo aggiungere un fattore 2, quindi 2 alla quarta per 5 al quadrato. Quindi quando vado a fare il conto, 200 alla 200 diviso 400 alla 100, cosa devo scrivere? Nel 200 scrivo 2 alla terza per 5 al quadrato alla 200. diviso 2 alla quarta per 5 al quadrato per 100. Adesso che proprietà applico? A per B alla 200 uguale A alla 200 per B alla 200. Poi faccio le potenze di potenze e cosa mi diventa? 2 elevato alla... Facciamo il passaggino, siamo alla prima giornata, facciamo il passaggino per 5 al quadrato elevato alla 200 sotto 2 alla quarta elevato alla 100 per 5 al quadrato elevato alla 100 uguale 2 elevato alla 600 per 5 elevato alla 400 diviso 2 elevato alla 400 per 5 elevato alla 200, uguale 2 alla 600 meno 400 per 5 alla 400 meno 200, quindi 2 alla 200 per 5 alla 200, quindi volendo anche 10 alla 200. Mi era venuto? In alternativa, oppure... Altro modo, diciamo che Ho fatto un procedimento come si potrebbe dire bovino, nel senso ho eseguito quello che dovevo fare, ho scritto tutto come potenze di 2 e di 5 e ho usato le proprietà delle potenze come le abbiamo annunciate sopra. Fine, non ho fatto niente di più furbo di questo. Volendo si poteva essere un po'più furbi e osservare che 400 che cos'è? È due volte... 200, volendolo, questa era una cosa che si poteva fare. O ancora meglio, uno poteva dire, forse un po'più semplicemente, questo è 400 e 2 al quadrato per 100. Quindi, 200 alla 200, Diviso 400 alla 100, è sostanzialmente la stessa cosa. Questo cosa diventa? 2% alla 200 diviso 2 al quadrato per 100 alla 100. Questo cosa diventa? 2 alla 200 per 100 alla 200 diviso 2 alla 200 per 100 alla 100. Questi si semplificano e rimane 100 alla 100, altro modo di fare lo stesso esercizio. Imparate a riguardarvi con calma questi due. Va bene, questo era il primo caso di potenze. Quindi, primo caso di potenze, base qualunque esponente intero positivo. Secondo caso, esponente uguale a zero. Quindi A alla 0, quanto viene questo? E'però la base diversa da 0. Valgono le stesse proprietà di sopra. In particolare questa definizione perché è sensata? Perché? In particolare, no, se noi facciamo a alla n diviso a alla n, questo cosa diventerebbe? E ne ha? Diviso N, quindi si semplifica tutto e viene 1. D'altra parte, per la proprietà che abbiamo detto sopra, questo sarebbe fare la differenza degli esponenti. Quindi è ragionevole che A alla 0 faccia 1. Se vogliamo mantenere le proprietà precedenti, capite perché serve A diverso da 0, perché deve dividere, insomma. Quindi, se vogliamo... conservare la proprietà conservare conservare conservare conservare la proprietà come l'avevamo chiamata quella della divisione proprietà 3 porre a alla 0 uguale a 1 è l'unica possibilità Questo giustifica, mantenere le proprietà giustifica questa definizione. Terzo caso, esponente intero negativo. 30 secondi Esponente intero negativo, quindi cosa voglio definire? a elevato alla meno n. Questo qui che cos'è? 1 su a alla n. Quindi n intero. maggiore di 0, così meno n diventa un intero negativo. Esponente intero negativo, base, richieste particolari, deve essere diversa da 0. Base, diversa da 0. Ancora una volta, tutte le proprietà rimangono valide. Tutte le proprietà restano valide. Quindi facciamo degli esempi in cui si usano un po'queste cose. Esempi. Esempio 1. 7 alla meno 7 per un settimo alla quinta. Cosa fa? 7 alla meno 7 è 1 diviso 7 alla 7 1 diviso 7 alla quinta Ho usato sempre le solite regole delle potenze. Questo volendo, come lo potevo anche scrivere, questo volendo, lo potevo scrivere 7 alla meno 7 per... un settimo cosa sarebbe? Un settimo, solo. Sarebbe 7 alla meno 1. Tutto alla quinta. Adesso cosa faccio? 7 alla meno 7 per 7 alla meno 5. E qui che regola? ho applicato per passare da qui a qui? Potenza di potenza, la regola 2, potenza di potenza, la regola 2, e adesso cosa faccio? Da qui 7 alla meno 12 e cosa ho applicato? a alla m per a alla n. prodotto di potenze e questo per definizione è 1 diviso 7 alla 12. Esempio 2. Ditemelo eh se sono troppo elementare, però forse almeno la prima volta... secondo me c'è qualcuno un po'arginito. 7 alla meno 3 diviso 7 alla meno 6, alla meno 12. Uguale? 7 alla 9. Sarebbe 7 alla meno 3 meno 12 uguale 7 alla meno 3 più 12 uguale 7 alla 9. Oppure, in alternativa... Quando avete un esercizio così, risolvetelo in due modi, sempre meglio risolvere in due modi. 7 alla meno 3 cosa sarebbe? 1 su 7 alla terza. Diviso 7 alla meno 12 cosa sarebbe? 1 su Visto che abbiamo fatto l'ora sulle frazioni, dividere vuol dire moltiplicare per la frazione girata, quindi questo è 1 su 7 alla terza per 7 alla 12, quindi 7 alla 12 meno 3 uguale 7 alla 9. Viene uguale in due modi diversi, c'è qualche probabilità che sia giusto. Terzo esercizio. 12 alla meno 12 diviso 4 alla meno 4, il tutto per 3 alla meno 3. Vediamo, questo che cos'è? 12 alla meno 12 sarebbe 1 su 12 alla 12 diviso 4 alla meno 4, 4 alla meno 4 che cos'è? 1 su 4 alla quarta per 3 alla meno 3 1 su 3 alla terza uguale sistemiamo qua diviso 4 alla quarta vuol dire diviso 1 su 4 alla quarta 4 alla 4 vuol dire moltiplicare per 4 alla 4, quindi questo è 1 diviso 12 alla 12 per 4 alla 4 per 1 diviso 3 alla 3. Adesso usiamo solo le potenze di 2 e di 3, beh anche di 4 insomma, 1 diviso 12 e 3 per 4 alla 12 per 4. per 1 su 3 alla terza, quindi questo è 1 diviso 3 alla 12 per 1 diviso 4 alla 12 per 4 alla quarta per 1 su 3 alla terza. Quindi alla fine di 3 quanti ne rimangono? 1 su 3 elevato al? 15 per 1 su 4 alla 8, volendo usare le potenze negative. per 4 alla meno 8, volendo usare potenze di 2 invece che di 4, 3 alla meno 15 per 2 elevato alla meno 16. Cominciate a entrare un po'nel... ah, non ve l'ho detto prima, ve l'ho detto ora. Vi invito a considerare la differenza tra queste due cose. Qual è la differenza tra queste due scritture? Questa è 2 alla nona e questa è 2 alla sesta, questa è potenza di potenza. Questa è quella che abbiamo visto prima, questo dice prendi 2 alla terza e levalo al quadrato, quindi questo è 2 alla terza per 2 alla terza, cioè 2 alla sesta. Questo è 2 alla nona, quando non ci sono le parentesi, si intende che si parte a esaminare dall'alto, così. Cioè, è come se fosse scritto, volessi mettere le parentesi come dovrei metterle. all'esponente. Quindi diciamo, quando è scritto così senza parentesi vuol dire si parte dall'esponente. Quando si vuole fare la potenza di potenza bisogna mettere per forza le parentesi. Benissimo, questo era il terzo caso. Quarto caso, che è quello forse un po'più delicato. Adesso facciamo in generale A alla 1 su n, dove A è maggiore di 0 e n è intero positivo. Quindi sto facendo il caso in cui l'esponente è una frazione con numeratore uguale a 1. Quindi esponente uguale frazione con numeratore uguale a 1. Questo qui cosa diventa? Radice ennesima di A Ora... Che cos'è la radice ennesima di A? Radice ennesima di A, allora questa intanto è la definizione, dove Radice ennesima di A è l'unico numero x positivo, e non è l'unico numero x positivo, tale che Qual è la proprietà della radice in mesi? E'quel numero x tale che se lo elevo alla n ottengo a è giusto per capirci radice cubica di 27 radice cubica di 8, questo vuol dire che 2 è l'unico x maggiore di 0 tale che x al cubo fa 8. E fin qui sicuramente ci eravate tutti, ma io vi voglio qui. Ah, avete capito niente. Lo sapevo che l'avreste detto. Due. Perché due? È l'unico numero. Quando voi schiacciate un... Ve lo dico brutalmente, se prendete una calcolatrice, quattro radici, cosa vi viene fuori? Più o meno due? No, vi viene fuori due. È l'unico. è l'unico x maggiore di 0 tale che x al quadrato uguale a 4. Cioè, cosa voglio dire? L'equazione x al quadrato uguale a 4 ha due soluzioni. x uguale a 2 e x uguale a meno 2. A noi quale ci interessa? A noi interessa quella positiva. Per definire radice di 4 ci interessa quella positiva. Radice quarta di 16. 2. Se devo rifare il discorso, cosa direi? L'equazione x alla quarta uguale a 16, quante soluzioni ha? ha due soluzioni x uguale a 2 e x uguale a meno 2 ma ci interessa solo x uguale a 2 ecco, proprietà, quali sono le proprietà di queste potenze le stesse del caso esponente intero. Nota bene la definizione, è data in modo da estendere, è data in... da estendere le proprietà. Cosa vuol dire che è dato il modo di estendere le proprietà? Che se noi abbiamo, pensiamo alla potenza di potenza, se noi abbiamo A alla N, e lo eleviamo alla 1 su n usando la definizione, cosa vorrebbe dire questo? vorrebbe dire radice ennesima di a alla n quindi qui cosa ho usato? qui ho usato la definizione Qualcosa elevato alla 1 su n è la radice ennesima del qualcosa, ma la radice della potenza, questo diventa A E se invece di usare questo avessi usato la potenza di potenza, uso potenza di potenza, e cosa diventa? a elevato alla n per 1 su n, non a elevato a 0, a elevato a 1 che fa a. Quindi, diciamo, se voglio porre la definizione in maniera che la potenza di potenza continui a funzionare, sono obbligato a porre questa definizione. Cioè, non è una definizione casuale dire che la potenza un terzesima è la radice cubica. È l'unica definizione che è compatibile con la regola di potenza di potenza. Ecco, caso 5. Caso 5, quinto caso, beh cos'è il quinto caso? A elevato alla frazione qualunque, quindi A l'esponente è una frazione qualunque. con numeratore e denominatore interi e la base deve essere sempre da quando appena l'esponente non è più intero, positivo o negativo, appena l'esponente non è più intero ci si riduce alle basi maggiori di zero. Se no succedono dei problemi che è meglio non verificare. Questo qui per definizione che cos'è? Volendo è il precedente elevato alla m, quindi questa è radice ennesima di a elevato alla m. Volendo uno cosa dice? a alla m su n, questo è a alla 1 su n, moltiplicato così, oppure, perché no? E sempre quando vado a fare il prodotto degli esponenti rimane sempre m diviso m, che ci metta dentro il numero su n o la m, la stessa cosa. E questo qui è proprio, questo qui è radice ennesima di a alla m. Questo invece cosa sarebbe? Sarebbe radice ennesima di A elevato a M, a livello di interpretazione della scrittura. Questo è A alla 1 su M, quindi radice ennesima di A tutto elevato a M. E questo invece è A alla M, radice. Sono la stessa cosa, ovviamente sono la stessa cosa, ma sono modi di scrivere la stessa cosa. Impariamo ad usarli. Partite, se uno è disperato, esercizi. Se non è disperato, radice indice misterioso a di 16 è uguale a 2. Usate le potenze frazionali. Questo cosa vuol dire? Radice aesima vuol dire 16 elevato alla... 1 su A Ritornano? Legame tra la radice e le potenze frazionali. Adesso 16 che cos'è? Portiamo tutto in base 2. 16 è 2 alla... Questo è 2 alla quarta. elevato alla 1 su A uguale a 2. 2 alla quarta alla 1 su A che cos'è? Potenza? Di potenza, quindi 2 alla 4 su A uguale a 2, volendo 2 alla 1. Quindi 4 su A e quindi A uguale a 4. Adesso questo si vedeva a occhio che era 4 risponente, ma se uno è disperato può comunque procedere in questo modo, applicando soltanto quelle 4 proprietà che abbiamo visto da sopra. Allora che cos'era il primo? 2. Era, non mi ricordo già più, ditemi il testo. Radice quarta di A uguale a 3. Scritto in termini di potenze frazionari, che cos'è? a elevato alla un quarto uguale a 3. Adesso come faccio qui per portare il 4 di là? Come si porta un 4 da qui sotto alla... Elevo a destra e a sinistra alla quarta. Perché è conveniente fare questo? Elevo alla quarta, a destra e a sinistra. Cosa ottengo? A alla un quarto uguale a 3, questo è quello che avevo, elevo alla quarta. Cosa succede? Potenza di potenza, qui rimane a alla 1, cioè a alla 1 uguale 3 alla 4, quindi a uguale 3 alla 4 che fa 81. Chiaro l'utilizzo della potenza, come si fa a levarsi un 4 qui sotto? Certo, uno può ricordarsi che il 4 da qui migra lassù, ma perché ricordare una regola quando è conseguenza di una regola precedente? La regola precedente è che io elevo la quarta ovunque. Quello dopo che cos'era? a alla un mezzo uguale 5. Cosa faccio? Elevo a alla 2. e quindi ottengo a uguale 25, 5 al quadrato, cioè 25. Allora, com'è a alla tre mezzi uguale 27? Cosa faccio? Questo volendo è a alla tre mezzi uguale 27, che cos'è? 3 al cubo. Adesso cosa faccio? Elevo a destra e a sinistra alla 2 terzi, così faccio andare via l'esponente. Quindi elevo alla 2 terzi e elevo alla 2 terzi. Cosa ottengo? a elevato alla 1 uguale 3 elevato... Potenza di potenza, moltiplicato di esponenti, uguale a 3 elevato a 3 per 2 terzi, uguale a 3 al quadrato, uguale a 9. Quindi a uguale a 9. Qua, come posso scriverlo? Intanto a alla meno un mezzo. E questo ce lo teniamo. 4 come posso scriverlo? 2 alla meno 2 adesso elevo tutto alla devo fare andare via questo meno un mezzo quindi elevo alla meno 2 elevo alla meno 2 quindi qui cosa ottengo? a meno un mezzo per meno 2 diventa A uguale a 2 elevato a 16. Ritorno, altre due, 6, 8 alla A uguale a 4. Come lo scrivete questo? uguale a 2 al quadrato, quindi 2 alla 3a uguale a 2 alla 2, uguale agli esponenti A uguale a 2, A uguale a 2 terzi. Radice aesima di 16 uguale a 8. dice la esima di 16 uguale a 8 questo che cos'è? è 16 alla 1 su a uguale a 8 scriviamo tutto usando le potenze 2 alla 4 alla 1 su A uguale a 2 alla terza, quindi 2 alla 4 su A è uguale a 2 alla terza, quindi 4 su A uguale a 3, frazioni A uguale a 4 terza. Quello dopo, 8, 2 alla 20 meno 2 alla 19. La cosa da non pensare assolutamente, questo è assolutamente vietato, perché 2 alla a meno 2 alla b non è. 2 alla 1, questa è la grande tentazione ma non va bene. Fatto correttamente che cos'è? Se ci pensate un attimo 2 alla 20 è 2 alla 1 più 19, quindi questo è 2 alla 1 per 2 alla 19. Quindi è 2 per 2 alla 19. Quindi 2 alla 20 meno 2 alla 19, questo è 2 per 2 alla 19 meno 2 alla 19. E questo quanto fa? Ora dice no, perché due galline meno una gallina fa una gallina, cioè è la stessa logica. Due volte qualcosa meno qualcosa fa qualcosa. Questo è 2b meno b uguale b. Non è niente di più furbo di questo. Ho usato questa regola per tutta la realtà. E facciamo ancora questo. 3 alla 8 più 3 alla 8 più 3 alla 8 questo che cos'è? questo è 3 alla 9 perché è 3 alla 9? Non mi dite 3 alla 24, 3 alla 8 per 8 per 8, non mettessi risposta multipla, 3 alla 9 sarebbe la meno gettonata, questo sono sicuro. Le preferenze se le dividirebbero, 3 alla 24, 3 alla 8 al cubo... e altre cose strane di questo tipo qua. Questo qui è 3 volte 3 alla 8, un cavallo più un cavallo più un cavallo fanno 3 cavalli, lo stesso discorso, quindi questo qui è 3 alla 1 per 3 alla 8, quindi è 3 alla 1 più 8 uguale 3 alla 9. E se invece fosse stato 3 alla 8 più 3 alla 8? Al massimo che potevate rispondere era 2 per 3 voltare. Va bene, allora per domani io vi consiglierei, se vi procurate il fascicoletto, di arrivare fino al fondo di questi. Siamo arrivati qui, vi consiglierei di arrivare fino in fondo. Domani partiremo vedendo ancora alcuni di questi, se avete avuto problemi, e poi andiamo avanti con i polinomi.

voi dite a alla x questa è una potenza Allora, partiamo dal caso più semplice di tutti. Il primo caso è quello molto semplice, il primo caso è quello in cui a, a vabbè, insomma, quando scrivo a alla x cosa intendo? a lo chiamerò la base, e x si chiama esponente. giusto come terminologia. Quindi il primo caso è quello in cui la base è qualunque e l'esponente è un intero positivo.

Questo è il caso facile di potenze. Quindi possiamo indicarlo con a alla n. Positivo vuol dire positivo, maggiore di zero, maggiore stretto di zero. Positivo vuol dire maggiore stretto di zero. Allora, come si definisce a alla n in questo caso?

A moltiplicato per se stesso n volte. A alla n è uguale a per a per a n volte. Chiaro? Questo è il caso semplice. A può essere un numero qualunque, n è un intero positivo, a moltiplicato per se stesso è un numero.

Esempi, questa è la definizione. Esempi, vabbè, gli esempi si sprecano. 5 al quadrato.

e 5 per 5, cioè 25. 2 alla quinta, 2 per 2, per 2, per 2, per 2, e questo diventa 32. 3 alla terza, 3 per 3, per 3, viene 27. Meno 3 alla terza, meno 3 per meno 3 per meno 3 meno 3 al quadrato vale 9 1 alla sesta Rientra in questa casistica? Sì. E 1, moltiplicato per se stesso, 6 volte. 0 alla settima?

Rientra in questa casistica? Sì, base qualunque. 0 ripetuto per se stesso? 7 volte.

E fa 0. meno 1 alla quinta 5 meno 1 moltiplicati meno 1 meno 1 alla 2008 1 proprietà 1 Proprietà A alla M per A alla N è uguale a m più n, perché? che cos'è a m? A moltiplicato per se stesso m volte, questo sarebbe a alla m, per a alla n che cos'è?

A moltiplicato per se stesso n volte, mettendo insieme in tutto. Queste sono m più n, quindi questo diventa a moltiplicato per se stesso m più n volte. E quindi questo è a elevato alla m più n. Chiaro? Cioè se avete chiara la definizione di A alla M, il primo sono M volte A, il secondo sono N volte A, attaccati diventa M più N volte A Seconda proprietà, A alla M tutto alla N, questo è uguale?

E per E, così. Questa è la prima proprietà, questa è la seconda proprietà. Motivo che cos'è? Motivo, a alla m alla n, questo che cos'è?

Fare elevato alla n vuol dire moltiplicare per se stesso n volte, quindi questo è a alla m per a alla m per per a alla m, quante volte? n volte ma ciascuno di questi ha la m quando lo vado a espandere che cos'è? m volte la a moltiplicata quindi quando vado a espandere questo cosa diventa?

diventa a alla m che è a per a e questi sono m poi c'è il secondo blocco secondo blocco sono a per per a e questi sono di nuovo m e tutto così via per a per a questi sono m chiaro cosa ho fatto? ciascuno di questi lo ho esparso come m volte la a in tutto quante sono le a? m per n, cioè sono n blocchi, questi sono n blocchi, n blocchi di m a, quindi in totale m per n a, quindi è uguale Quindi quando siete in crisi, voi ricordatevi la definizione, dalla definizione recuperate tutto. Ecco, la prima proprietà è relativa alla moltiplicazione. Con la divisione cosa succede?

Terza proprietà, se abbiamo a alla m diviso a alla n. Questo qui cosa diventa? A elevato a m meno n. Questa per ora che ipotesi richiede?

Ecco, questa per ora richiede che m sia maggiore stretto di n, se no qui mi rimane l'esponente 0 che per il momento non sappiamo cos'è, quindi richiede per ora questa e per sempre, c'è un'altra ipotesi che invece servirà sempre, che a sia diverso da 0, basta diverso da 0. Richiede per ora m maggiore di 0 e per sempre a diverso da 0, perché per 0 non si potrà mai dividere. Come si dimostra questa? A alla n diviso A alla n, che cos'è? A per A diviso... Quante sono sopra e quante sono sotto?

Sotto ce ne sono n. Sopra ce ne sono M, cosa faccio? Semplifico quello che si può e avanzano sopra. Perché avanzano delle a sopra? Perché m è più grosso di n, quindi ce n'è più sopra che sotto.

Semplifico, quante le avanzano? m-n a. Quindi rimane a alla m-n. Torna? Semplifico le a.

Esempio. A all'ottava diviso A alla quinta, sopra c'ho 8A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, sotto ho 5A, 2, 3, 3, 4, 5, semplifico tutto quel che posso, cioè ne tolgo 5, 1, 2, 3, 4, 5, giustamente ne avanzano 3. Non è nulla di più furbo di questa la regola della divisione. Quarta proprietà, quarta proprietà A alla N per b alla n a per b tutto elevato alla n mi raccomando serve che l'esponente sia lo stesso serve che l'esponente sia sempre lo stesso che l'esponente sia sempre lo stesso Vi sapete dare la giustificazione come ho fatto prima per questa qui? Che cos'è A alla N per B alla N? Questo è un blocco di N A moltiplicato un blocco di N B. Questi sono N E questi sono n.

Adesso cosa posso fare? Posso sfruttare la proprietà commutativa della moltiplicazione mettendo questi n e b accanto alle a. Quindi questo lo posso scrivere come a per b per a per b per a per b.

Facendo tutti i blocchetti così. Perché li posso accoppiare tutti? Perché sono tante le a quante le b.

Grazie. Quindi qui ho n blocchi di A, ma questo che cos'è? Questo è esattamente per definizione A per B.

Altre proprietà. 5, a alla n più b alla n, oppure a alla n più o meno, diciamo, a alla m. E qui, ricordatevelo bene, è tanto importante ricordare le proprietà vere quanto è importante ricordare le proprietà false. Ve lo scrivo così, così vi rimane lo slogan.

Cioè, non c'è una formula furba. Qui cosa vi avrebbe da dire? A più B alla N? Assolutamente no.

Qui cosa vi avrebbe da dire? A elevato alla N più M? Assolutamente no.

Non c'è nessuna formula furba per queste cose qui. Bene, facciamo degli esempi. Quanto fa 10 alla 7 diviso 10 al cubo?

10 alla quarta. Quanto fa... 1000 per 10 al cubo diviso 100 al quadrato allora scriviamo tutto usando le potenze di 10 1000 allora 1000 che cos'è? 10 alla terza per 10 alla terza diviso 10 alla seconda per la seconda.

e questo fa 10 alla sesta cosa ho usato? a alla m più a alla n quindi sommo gli esponenti qui gli esponenti cosa si fa? si moltiplicano, quindi qui fa 10 alla quarta adesso cosa faccio? 10 alla sesta diviso 10 alla quarta fa 10 alla seconda, cioè fa 100 ecco 1000 alla 1000 Se sono numeri bassi le cose vanno meglio che se sono numeri alti.

Questo qui è uguale a 10 elevato alla... Ecco, tutte le cose che volevo non sentire le ho sentite. Questo cosa sarebbe?

10 alla 3. Adesso questo in quale regola rientra? Rientra in questa regola qui, potenza di potenza. Quindi gli esponenti si moltiplicano. Quindi è 3000, ma sono sicuro che qualcuno ha pensato a 1300, sono sicuro che tutto il possibile è stato pensato. Ecco, l'anno scorso nel test di fine percorso c'era questa domanda qua che cos'era?

100, 100 diviso 200 Beh, questo lo potete fare in tanti modi, insomma, cioè ci sono tanti modi di dare la risposta. Beh, questo volendo è 100 alla 100 diviso 2 per 100. Quindi volendo questo è un mezzo per 100 alla 100 diviso 100. Quindi è uguale a un mezzo per 100 elevato... A 99, questo è un modo di dare la risposta.

Se volessimo usare potenze di 2 e potenze di 5, cosa potremmo dire? Usando potenze di 2 e di 5. Beh, intanto... 200, 100 alla 100, che cos'è? 100 abbiamo detto è 10 elevato alla 200. 10 è 2 per 5. Quindi 2 elevato alla 200 per 5 elevato, che proprietà abbiamo usato? Quella della...

abbiamo usato questa proprietà qua. 2 alla 100 per 5 alla 100 è uguale a 10, cioè... 200 che cosa è uguale?

Usando le potenze di 2 e di 5. Volendo i 2 per 100, quindi 2 alla terza per 5 al quadrato. Quindi quando faccio 100 alla 100 diviso 200, questo cosa diventa? 100 alla 100 abbiamo detto e 2 alla 200, 100 per 5 alla 200 diviso il 200 che abbiamo detto che è 2 al cubo per 5 al quadrato quindi questo diventa 2 alla 197 per 5 elevato alla 198 ritorna? facciamo un altro esempio Forse era meglio di averci numerati questi esempi. Esempio 1, esempio 2, 1000 alla 1000 è l'esempio 3, questo è l'esempio 4, facciamo l'esempio 5. 1000 alla 100 diviso 100 alla 1000 Sì, allora, 1000 e 10 alla terza, tutto alla 100, non sto facendo null'altro che non sia usare quelle quattro regole che abbiamo scritto, sotto 100 alla 1000 che cos'è?

10 al quadrato, tutto alla 1000. Quindi, adesso questa è potenza di potenza. 10 elevato alla 3000, 300, perché ci ho messo uno 0 un po'più, 10 elevato alla 300 diviso 10 elevato alla 2000. Dove avanzano i 10? Al numeratore o al denominatore?

Al denominatore, qui sopra c'ho 310 e sotto c'hanno 2000, quindi ne avanzano. ne avanzano 1700 denominatore esempio 6 200 alla 200 diviso 400 alla 100 e mi date la risposta usando le potenze di 2 e di 5, le varie risposte ovviamente allora intanto Io farei così, 200 come si scrive usando potenze di 2 e di 5? Questo volendo è 2 per 100, 100 è 2 al quadrato per 5 al quadrato, quindi questo diventa 2 alla terza per 5 al quadrato. Questo è il 200. 400, che cosa sarà? Devo aggiungere un fattore 2, quindi 2 alla quarta per 5 al quadrato.

Quindi quando vado a fare il conto, 200 alla 200 diviso 400 alla 100, cosa devo scrivere? Nel 200 scrivo 2 alla terza per 5 al quadrato alla 200. diviso 2 alla quarta per 5 al quadrato per 100. Adesso che proprietà applico? A per B alla 200 uguale A alla 200 per B alla 200. Poi faccio le potenze di potenze e cosa mi diventa? 2 elevato alla...

Facciamo il passaggino, siamo alla prima giornata, facciamo il passaggino per 5 al quadrato elevato alla 200 sotto 2 alla quarta elevato alla 100 per 5 al quadrato elevato alla 100 uguale 2 elevato alla 600 per 5 elevato alla 400 diviso 2 elevato alla 400 per 5 elevato alla 200, uguale 2 alla 600 meno 400 per 5 alla 400 meno 200, quindi 2 alla 200 per 5 alla 200, quindi volendo anche 10 alla 200. Mi era venuto? In alternativa, oppure... Altro modo, diciamo che Ho fatto un procedimento come si potrebbe dire bovino, nel senso ho eseguito quello che dovevo fare, ho scritto tutto come potenze di 2 e di 5 e ho usato le proprietà delle potenze come le abbiamo annunciate sopra.

Fine, non ho fatto niente di più furbo di questo. Volendo si poteva essere un po'più furbi e osservare che 400 che cos'è? È due volte... 200, volendolo, questa era una cosa che si poteva fare.

O ancora meglio, uno poteva dire, forse un po'più semplicemente, questo è 400 e 2 al quadrato per 100. Quindi, 200 alla 200, Diviso 400 alla 100, è sostanzialmente la stessa cosa. Questo cosa diventa? 2% alla 200 diviso 2 al quadrato per 100 alla 100. Questo cosa diventa?

2 alla 200 per 100 alla 200 diviso 2 alla 200 per 100 alla 100. Questi si semplificano e rimane 100 alla 100, altro modo di fare lo stesso esercizio. Imparate a riguardarvi con calma questi due. Va bene, questo era il primo caso di potenze. Quindi, primo caso di potenze, base qualunque esponente intero positivo. Secondo caso, esponente uguale a zero.

Quindi A alla 0, quanto viene questo? E'però la base diversa da 0. Valgono le stesse proprietà di sopra. In particolare questa definizione perché è sensata? Perché?

In particolare, no, se noi facciamo a alla n diviso a alla n, questo cosa diventerebbe? E ne ha? Diviso N, quindi si semplifica tutto e viene 1. D'altra parte, per la proprietà che abbiamo detto sopra, questo sarebbe fare la differenza degli esponenti.

Quindi è ragionevole che A alla 0 faccia 1. Se vogliamo mantenere le proprietà precedenti, capite perché serve A diverso da 0, perché deve dividere, insomma. Quindi, se vogliamo... conservare la proprietà conservare conservare conservare conservare la proprietà come l'avevamo chiamata quella della divisione proprietà 3 porre a alla 0 uguale a 1 è l'unica possibilità Questo giustifica, mantenere le proprietà giustifica questa definizione.

Terzo caso, esponente intero negativo. 30 secondi Esponente intero negativo, quindi cosa voglio definire? a elevato alla meno n.

Questo qui che cos'è? 1 su a alla n. Quindi n intero.

maggiore di 0, così meno n diventa un intero negativo. Esponente intero negativo, base, richieste particolari, deve essere diversa da 0. Base, diversa da 0. Ancora una volta, tutte le proprietà rimangono valide. Tutte le proprietà restano valide. Quindi facciamo degli esempi in cui si usano un po'queste cose.

Esempi. Esempio 1. 7 alla meno 7 per un settimo alla quinta. Cosa fa? 7 alla meno 7 è 1 diviso 7 alla 7 1 diviso 7 alla quinta Ho usato sempre le solite regole delle potenze. Questo volendo, come lo potevo anche scrivere, questo volendo, lo potevo scrivere 7 alla meno 7 per...

un settimo cosa sarebbe? Un settimo, solo. Sarebbe 7 alla meno 1. Tutto alla quinta.

Adesso cosa faccio? 7 alla meno 7 per 7 alla meno 5. E qui che regola? ho applicato per passare da qui a qui? Potenza di potenza, la regola 2, potenza di potenza, la regola 2, e adesso cosa faccio?

Da qui 7 alla meno 12 e cosa ho applicato? a alla m per a alla n. prodotto di potenze e questo per definizione è 1 diviso 7 alla 12. Esempio 2. Ditemelo eh se sono troppo elementare, però forse almeno la prima volta...

secondo me c'è qualcuno un po'arginito. 7 alla meno 3 diviso 7 alla meno 6, alla meno 12. Uguale? 7 alla 9. Sarebbe 7 alla meno 3 meno 12 uguale 7 alla meno 3 più 12 uguale 7 alla 9. Oppure, in alternativa...

Quando avete un esercizio così, risolvetelo in due modi, sempre meglio risolvere in due modi. 7 alla meno 3 cosa sarebbe? 1 su 7 alla terza. Diviso 7 alla meno 12 cosa sarebbe?

1 su Visto che abbiamo fatto l'ora sulle frazioni, dividere vuol dire moltiplicare per la frazione girata, quindi questo è 1 su 7 alla terza per 7 alla 12, quindi 7 alla 12 meno 3 uguale 7 alla 9. Viene uguale in due modi diversi, c'è qualche probabilità che sia giusto. Terzo esercizio. 12 alla meno 12 diviso 4 alla meno 4, il tutto per 3 alla meno 3. Vediamo, questo che cos'è?

12 alla meno 12 sarebbe 1 su 12 alla 12 diviso 4 alla meno 4, 4 alla meno 4 che cos'è? 1 su 4 alla quarta per 3 alla meno 3 1 su 3 alla terza uguale sistemiamo qua diviso 4 alla quarta vuol dire diviso 1 su 4 alla quarta 4 alla 4 vuol dire moltiplicare per 4 alla 4, quindi questo è 1 diviso 12 alla 12 per 4 alla 4 per 1 diviso 3 alla 3. Adesso usiamo solo le potenze di 2 e di 3, beh anche di 4 insomma, 1 diviso 12 e 3 per 4 alla 12 per 4. per 1 su 3 alla terza, quindi questo è 1 diviso 3 alla 12 per 1 diviso 4 alla 12 per 4 alla quarta per 1 su 3 alla terza. Quindi alla fine di 3 quanti ne rimangono? 1 su 3 elevato al?

15 per 1 su 4 alla 8, volendo usare le potenze negative. per 4 alla meno 8, volendo usare potenze di 2 invece che di 4, 3 alla meno 15 per 2 elevato alla meno 16. Cominciate a entrare un po'nel... ah, non ve l'ho detto prima, ve l'ho detto ora.

Vi invito a considerare la differenza tra queste due cose. Qual è la differenza tra queste due scritture? Questa è 2 alla nona e questa è 2 alla sesta, questa è potenza di potenza.

Questa è quella che abbiamo visto prima, questo dice prendi 2 alla terza e levalo al quadrato, quindi questo è 2 alla terza per 2 alla terza, cioè 2 alla sesta. Questo è 2 alla nona, quando non ci sono le parentesi, si intende che si parte a esaminare dall'alto, così. Cioè, è come se fosse scritto, volessi mettere le parentesi come dovrei metterle. all'esponente.

Quindi diciamo, quando è scritto così senza parentesi vuol dire si parte dall'esponente. Quando si vuole fare la potenza di potenza bisogna mettere per forza le parentesi. Benissimo, questo era il terzo caso.

Quarto caso, che è quello forse un po'più delicato. Adesso facciamo in generale A alla 1 su n, dove A è maggiore di 0 e n è intero positivo. Quindi sto facendo il caso in cui l'esponente è una frazione con numeratore uguale a 1. Quindi esponente uguale frazione con numeratore uguale a 1. Questo qui cosa diventa? Radice ennesima di A Ora... Che cos'è la radice ennesima di A?

Radice ennesima di A, allora questa intanto è la definizione, dove Radice ennesima di A è l'unico numero x positivo, e non è l'unico numero x positivo, tale che Qual è la proprietà della radice in mesi? E'quel numero x tale che se lo elevo alla n ottengo a è giusto per capirci radice cubica di 27 radice cubica di 8, questo vuol dire che 2 è l'unico x maggiore di 0 tale che x al cubo fa 8. E fin qui sicuramente ci eravate tutti, ma io vi voglio qui. Ah, avete capito niente.

Lo sapevo che l'avreste detto. Due. Perché due? È l'unico numero. Quando voi schiacciate un...

Ve lo dico brutalmente, se prendete una calcolatrice, quattro radici, cosa vi viene fuori? Più o meno due? No, vi viene fuori due.

È l'unico. è l'unico x maggiore di 0 tale che x al quadrato uguale a 4. Cioè, cosa voglio dire? L'equazione x al quadrato uguale a 4 ha due soluzioni. x uguale a 2 e x uguale a meno 2. A noi quale ci interessa? A noi interessa quella positiva.

Per definire radice di 4 ci interessa quella positiva. Radice quarta di 16. 2. Se devo rifare il discorso, cosa direi? L'equazione x alla quarta uguale a 16, quante soluzioni ha?

ha due soluzioni x uguale a 2 e x uguale a meno 2 ma ci interessa solo x uguale a 2 ecco, proprietà, quali sono le proprietà di queste potenze le stesse del caso esponente intero. Nota bene la definizione, è data in modo da estendere, è data in... da estendere le proprietà. Cosa vuol dire che è dato il modo di estendere le proprietà?

Che se noi abbiamo, pensiamo alla potenza di potenza, se noi abbiamo A alla N, e lo eleviamo alla 1 su n usando la definizione, cosa vorrebbe dire questo? vorrebbe dire radice ennesima di a alla n quindi qui cosa ho usato? qui ho usato la definizione Qualcosa elevato alla 1 su n è la radice ennesima del qualcosa, ma la radice della potenza, questo diventa A E se invece di usare questo avessi usato la potenza di potenza, uso potenza di potenza, e cosa diventa? a elevato alla n per 1 su n, non a elevato a 0, a elevato a 1 che fa a.

Quindi, diciamo, se voglio porre la definizione in maniera che la potenza di potenza continui a funzionare, sono obbligato a porre questa definizione. Cioè, non è una definizione casuale dire che la potenza un terzesima è la radice cubica. È l'unica definizione che è compatibile con la regola di potenza di potenza. Ecco, caso 5. Caso 5, quinto caso, beh cos'è il quinto caso?

A elevato alla frazione qualunque, quindi A l'esponente è una frazione qualunque. con numeratore e denominatore interi e la base deve essere sempre da quando appena l'esponente non è più intero, positivo o negativo, appena l'esponente non è più intero ci si riduce alle basi maggiori di zero. Se no succedono dei problemi che è meglio non verificare. Questo qui per definizione che cos'è?

Volendo è il precedente elevato alla m, quindi questa è radice ennesima di a elevato alla m. Volendo uno cosa dice? a alla m su n, questo è a alla 1 su n, moltiplicato così, oppure, perché no? E sempre quando vado a fare il prodotto degli esponenti rimane sempre m diviso m, che ci metta dentro il numero su n o la m, la stessa cosa. E questo qui è proprio, questo qui è radice ennesima di a alla m.

Questo invece cosa sarebbe? Sarebbe radice ennesima di A elevato a M, a livello di interpretazione della scrittura. Questo è A alla 1 su M, quindi radice ennesima di A tutto elevato a M. E questo invece è A alla M, radice.

Sono la stessa cosa, ovviamente sono la stessa cosa, ma sono modi di scrivere la stessa cosa. Impariamo ad usarli. Partite, se uno è disperato, esercizi. Se non è disperato, radice indice misterioso a di 16 è uguale a 2. Usate le potenze frazionali.

Questo cosa vuol dire? Radice aesima vuol dire 16 elevato alla... 1 su A Ritornano? Legame tra la radice e le potenze frazionali.

Adesso 16 che cos'è? Portiamo tutto in base 2. 16 è 2 alla... Questo è 2 alla quarta. elevato alla 1 su A uguale a 2. 2 alla quarta alla 1 su A che cos'è? Potenza?

Di potenza, quindi 2 alla 4 su A uguale a 2, volendo 2 alla 1. Quindi 4 su A e quindi A uguale a 4. Adesso questo si vedeva a occhio che era 4 risponente, ma se uno è disperato può comunque procedere in questo modo, applicando soltanto quelle 4 proprietà che abbiamo visto da sopra. Allora che cos'era il primo? 2. Era, non mi ricordo già più, ditemi il testo. Radice quarta di A uguale a 3. Scritto in termini di potenze frazionari, che cos'è?

a elevato alla un quarto uguale a 3. Adesso come faccio qui per portare il 4 di là? Come si porta un 4 da qui sotto alla... Elevo a destra e a sinistra alla quarta. Perché è conveniente fare questo?

Elevo alla quarta, a destra e a sinistra. Cosa ottengo? A alla un quarto uguale a 3, questo è quello che avevo, elevo alla quarta.

Cosa succede? Potenza di potenza, qui rimane a alla 1, cioè a alla 1 uguale 3 alla 4, quindi a uguale 3 alla 4 che fa 81. Chiaro l'utilizzo della potenza, come si fa a levarsi un 4 qui sotto? Certo, uno può ricordarsi che il 4 da qui migra lassù, ma perché ricordare una regola quando è conseguenza di una regola precedente?

La regola precedente è che io elevo la quarta ovunque. Quello dopo che cos'era? a alla un mezzo uguale 5. Cosa faccio?

Elevo a alla 2. e quindi ottengo a uguale 25, 5 al quadrato, cioè 25. Allora, com'è a alla tre mezzi uguale 27? Cosa faccio? Questo volendo è a alla tre mezzi uguale 27, che cos'è?

3 al cubo. Adesso cosa faccio? Elevo a destra e a sinistra alla 2 terzi, così faccio andare via l'esponente.

Quindi elevo alla 2 terzi e elevo alla 2 terzi. Cosa ottengo? a elevato alla 1 uguale 3 elevato... Potenza di potenza, moltiplicato di esponenti, uguale a 3 elevato a 3 per 2 terzi, uguale a 3 al quadrato, uguale a 9. Quindi a uguale a 9. Qua, come posso scriverlo?

Intanto a alla meno un mezzo. E questo ce lo teniamo. 4 come posso scriverlo? 2 alla meno 2 adesso elevo tutto alla devo fare andare via questo meno un mezzo quindi elevo alla meno 2 elevo alla meno 2 quindi qui cosa ottengo? a meno un mezzo per meno 2 diventa A uguale a 2 elevato a 16. Ritorno, altre due, 6, 8 alla A uguale a 4. Come lo scrivete questo?

uguale a 2 al quadrato, quindi 2 alla 3a uguale a 2 alla 2, uguale agli esponenti A uguale a 2, A uguale a 2 terzi. Radice aesima di 16 uguale a 8. dice la esima di 16 uguale a 8 questo che cos'è? è 16 alla 1 su a uguale a 8 scriviamo tutto usando le potenze 2 alla 4 alla 1 su A uguale a 2 alla terza, quindi 2 alla 4 su A è uguale a 2 alla terza, quindi 4 su A uguale a 3, frazioni A uguale a 4 terza.

Quello dopo, 8, 2 alla 20 meno 2 alla 19. La cosa da non pensare assolutamente, questo è assolutamente vietato, perché 2 alla a meno 2 alla b non è. 2 alla 1, questa è la grande tentazione ma non va bene. Fatto correttamente che cos'è?

Se ci pensate un attimo 2 alla 20 è 2 alla 1 più 19, quindi questo è 2 alla 1 per 2 alla 19. Quindi è 2 per 2 alla 19. Quindi 2 alla 20 meno 2 alla 19, questo è 2 per 2 alla 19 meno 2 alla 19. E questo quanto fa? Ora dice no, perché due galline meno una gallina fa una gallina, cioè è la stessa logica. Due volte qualcosa meno qualcosa fa qualcosa.

Questo è 2b meno b uguale b. Non è niente di più furbo di questo. Ho usato questa regola per tutta la realtà. E facciamo ancora questo.

3 alla 8 più 3 alla 8 più 3 alla 8 questo che cos'è? questo è 3 alla 9 perché è 3 alla 9? Non mi dite 3 alla 24, 3 alla 8 per 8 per 8, non mettessi risposta multipla, 3 alla 9 sarebbe la meno gettonata, questo sono sicuro. Le preferenze se le dividirebbero, 3 alla 24, 3 alla 8 al cubo...

e altre cose strane di questo tipo qua. Questo qui è 3 volte 3 alla 8, un cavallo più un cavallo più un cavallo fanno 3 cavalli, lo stesso discorso, quindi questo qui è 3 alla 1 per 3 alla 8, quindi è 3 alla 1 più 8 uguale 3 alla 9. E se invece fosse stato 3 alla 8 più 3 alla 8? Al massimo che potevate rispondere era 2 per 3 voltare.

Va bene, allora per domani io vi consiglierei, se vi procurate il fascicoletto, di arrivare fino al fondo di questi. Siamo arrivati qui, vi consiglierei di arrivare fino in fondo. Domani partiremo vedendo ancora alcuni di questi, se avete avuto problemi, e poi andiamo avanti con i polinomi.

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Introduzione alle potenze in matematica