Résoudre une inéquation

Introduction

• Inégalité: Par exemple, 2 < 7 est une inégalité vraie.
• Inéquation: Une inégalité qui peut être vraie ou fausse selon les valeurs des variables.
• Résoudre une inéquation: Trouver les valeurs des variables qui rendent l'inégalité vraie.

Exemple: Résolution de l'inéquation "3x + 6 < x"

1. Soustraire x des deux côtés : 3x + 6 - x < x - x
   • Résultat: 2x + 6 < 0
2. Soustraire 6 des deux côtés : 2x + 6 - 6 < 0 - 6
   • Résultat: 2x < -6
3. Diviser par 2 des deux côtés : (1/2) * 2x < (1/2) * -6
   • Résultat: x < -3

Discussion et Justification

• Justification: Il est crucial de montrer que la solution trouvée vérifie l'inéquation initiale.
• Enchaînement des implications:
  • Si 3x + 6 < x alors 2x + 6 < 0, donc 2x < -6, et finalement x < -3.
  • Cette démonstration montre que la solution correcte est x < -3.

Importance de la Justification

• Trouver une solution sans justification n'est qu'à moitié utile.
• On doit s'assurer que chaque étape de la transformation de l'inéquation est valide.
• Utilisation de propriétés de l'égalité addition et multiplication par des valeurs positives.

Exemple Suppplémentaire: Équation avec des racines

• Équation: √(x + 2) = √2
  1. Soustraire √2 des deux côtés: √(x + 2) - √2 = 0
  2. Élever au carré: (√(x + 2) - √2)^2 = 0^2
     • Résultat: x + 2 = 2
  3. Soustraire 2 des deux côtés: x + 2 - 2 = 2 - 2
     • Résultat: x = 0
• Problème potentiel: Examiner si toutes les transformations sont valides.
  • Si √(x + 2) = √2, alors x + 2 = 2.
  • Vérifier les solutions obtenues après transformations, attention aux restrictions de domaine (par exemple, les racines carrées de nombres négatifs).

Conclusion

• Différence entre "donc" et "si et seulement si": La rigueur mathématique exige la distinction entre ces termes.
• Vérifier l'équivalence des transformations: s'assurer que chaque implication est valide dans les deux sens.
• Vérifications: Toujours vérifier les solutions par rapport à l'équation ou l'inéquation initiale.