Ayrılabilir Diferansiyel Denklemler

Temel Kavramlar

• Ayrılabilir diferansiyel denklemler: Birinci derece diferansiyel denklemler.
• Çözüm Yöntemi: İlk adım, denklemin ayrılabilir olup olmadığını kontrol etmektir.

Ayrılabilirlik

• Ayrılabilirlik nedir? Y'nin türevi (dy/dx) şeklinde yazılır.
• Eğer y'nin türevi (dy/dx) yerine yazılmışsa hazır verilmiştir.
• Denklemin ayrılabilir olduğunu anlamak için değişkenler x ve y ayrı ayrı toplanabilir olmalı.

Çözüm Yöntemi

1. Y'nin türevi yerine (dy/dx) yazın.
2. Değişkenleri ayırın:
   • x'leri bir tarafa, y'leri diğer tarafa toplayın.
3. Her iki tarafın integralini alın.
   • Y'nin tarafına (+C) eklenmez, sadece x'in tarafına eklenir.
4. Y'yi yalnız bırakın:
   • Eğer mümkünse, y'yi tek başına bırakın.

Örnekler

Örnek 1:

Y'nin türevi (dy/dx = 6y^2x)

• Ayrılabilir mi? Evet, çünkü değişkenler ayrı toplanabiliyor: (dy/y^2 = 6x , dx)
• İntegral al: (\int y^{-2} , dy = \int 6x , dx)
• Çözüm: (y = \frac{1}{-3x^2 - C})

Örnek 2: Başlangıç Değer Problemi

Y'nin türevi (dy/dx = (3x^2 + 4x - 4)/(2y - 4)), (y(1) = 3)

• Ayrılabilir mi? Evet: (2y-4 , dy = (3x^2 + 4x - 4) , dx)
• İntegral al:
  • (y^2 - 4y = x^3 + 2x^2 - 4x + C)
• Başlangıç koşulunu uygula: (C = -2)
• Çözüm: (y^2 - 4y = x^3 + 2x^2 - 4x - 2)

Örnek 3:

Y'nin türevi (dy/dx = xy^3/(1 + x^2))

• Ayrılabilir mi? Evet: (y^{-3} , dy = x/(1 + x^2) , dx)
• İntegral al ve değişken değiştir:
  • (y^{-2} = \frac{-2}{1 + x^2} + C)
• Çözüm: (y = \frac{1}{\sqrt{-2(1+x^2) - 2C}})

Önemli Notlar

• Kapalı Çözüm (Implicit Solution): Y'yi yalnız bırakmanın zor olduğu hallerde kullanılır.
• Açık Çözüm (Explicit Solution): Y'yi tek başına bırakmak gerekir.
• Başlangıç Değer Problemleri: Verilen başlangıç değerine göre (C) bulunur.

Ayrılabilir diferansiyel denklemlerin çözümü, değişkenlerin ayrı ayrı integrallerinin alınması ve uygun başlangıç değerlerinin uygulanması ile gerçekleştirilir.