Ayrılabilir diferansiyel denklemler. Ayrılabilir diye nitelenen diferansiyel denklemler birinci derece diferansiyellerdir. Birinci derece diferansiyellerdir. Bu nedenle ayrılabilir diferansiyel denklemleri çözme kavramı, birinci derece diferansiyelleri çözme kavramıdır.
Birinci derece diferansiyel de ilk akla gelmesi gereken yöntemdir. Birinci derece diferansiyel çözmeye kalkıştığımızda ilk akla gelmesi gereken yöntem ayrılabilir olup olmadığıdır diferansiyeli. İlk akla gelmesi gereken yöntemdir. Ayrılabilir ne demek? Şimdi bu kavramın ne demek olduğuna bakarsak bir diferansiyel denklemi Y'nin türevi dy bölü dx eşittir.
Ayrılabilir diferansiyel denklem ile çözüm yapacaksak, bir diferansiyelin ayrılabilir olup olmadığını anlamak istiyorsak, ilk iş y türevi yerine dy bölü dx yazmaktır. dy bölü dx'i yazmışsa zaten bize hazır vermiş demektir. Eğer ki y'nin türevi yerinde dy bölü dx yazmıyorsa biz bu y türevi yerine dy bölü dx yazıp ayrılabilirliği onun arkasından araştıracağız. dy bölü dx yazdığımızda bir diferans geldi. Bu tarafa y'lileri toplayabiliyorsak, y'liler, bu dx'in yanına da x'leri toplayabiliyorsak, Bir diferansiyelde bu diferansiyel ayrılabilirdir.
Birinci derece bir diferansiyelde y'nin türevi y'ne dy bölü dx yazmamızın ardından x'lilerin hepsini bir tarafa, y'lilerin hepsini diğer tarafa toplayabiliyorsak bu diferansiyel denklem ayrılabilirdir. Diferansiyel denklem ayrılabilir olursa her iki tarafın integrali alınarak diferansiyel denklem çözülür. Çok basit bir yöntemdir.
Sadece integral almaya muhtaç bir yöntem olması zaman zaman zorlu bir soru karşımıza gelmesi neden olur. Her iki tarafın integrali alınarak ayırdıktan sonra Her iki tarafın integrali alınarak Çözüme ulaşılır. Çözüme ulaşılır. Şimdi karşımıza gelen birinci derece bir diferansiyelde bunu bir test edelim. Y'nin türevi eşittir.
6y²x Diferansiyelinin çözümü nedir? Y'nin çözümü Nedir? Şimdi baktığımızda diferansiyel denklem birinci derece bir diferansiyel.
Aklımıza ilk gelmesi gereken yöntem, acaba bu ayrılabilir bir diferansiyel mi? Bunu test etmek istiyorsak birinci adım yapacağımız şey y'nin türevi yerine dy bölü dx yazmak olacak. Yazalım.
dy bölü dx eşittir 6y kare x. Şimdi x'leri bir tarafa y'leri bir tarafa toplayabiliyorsak evet ayrılabilir. Bu dx'i bu tarafa çarpma olarak geçirirsek dy eşittir 6y kare çarpı x dx. Şimdi buradaki bu y kareyi de bu tarafa bölü olarak geçirebilirsek ayırmaya başarabiliyoruz referansı yeri.
dy bölü y kare eşittir 6x dx. Anladık ki bu diferansiyel denklem ayrılabilirmiş. Ayrılabilir diferansiyel denklem bu.
Bu nedenle ikinci adımda her iki tarafın integralini alarak diferansiyelimizin çözümüne ulaşıyoruz. 6x dx Buradaki y kareyi yukarıya y üzeri eksi 2 diye çevirmeliyiz. y üzeri eksi 2 dy eşittir. 6x dx.
Şimdi her iki tarafın integralini alalım. y'ye göre integral alıyoruz bu tarafta. Üstü bir arttıracağız. Oluşan üstü de böleceğiz. y üzeri eksi 1 bölü eksi 1 eşittir.
Bu tarafın integralini alırsak 6'yı dışarıda düşünelim. x'in integralı x kare bölü 2. Şimdi önemli husus geliyor. Artı c Sadece x'in tarafına konulur.
Sadece x'in tarafına artı c konulur. Artı c yazılır. Yani y'nin tarafına artı c yazmayacağız.
Buradan işlemimize devam edersek, şu eksi 1 ile bu tarafı çarpalım. y üzeri eksi 1 eşittir. Eksi 3x kare eksi c oldu.
Bizim amacımız bir diferansiyel denklemi çözmede y'nin ne olduğunu bulmaktır. Her iki tarafın eksi birinci üstünü alırsak y eşittir 1 bölü eksi 3x kare eksi c olur. Ve diferansiyel denklemimizin çözümü budur. Eğer başlangıç koşulu verilmediyse bu c değeri bulunmaz. Burada bir başlangıç koşulu olmadığı için diferansiyel denklemimizde c değeri bu şekilde kalacak.
Yaptığımız işleme bir bakarsak birinci derece bir diferansiyel ile karşılaştığımızda ilk aklımıza gelmesi gereken yöntem ayrılabilir mi? y'nin türevi yerine hemen dy bölü dx yazdık ve yerleri bir tarafa x'leri bir tarafa toplamayı başarabildik. Bu ayrılabilirmiş.
Her iki tarafın integralini aldık. İntegralırken dikkat etmemiz gereken şey y'nin tarafını artıcıya koymuyoruz. Sadece x'in tarafını artıcıya koyuyoruz.
Ve amacımız y'nin kendisini yalnız bırakmak ki burada da yalnız bırakmayı başardık. Şimdi bir örnek daha yapalım. Bu başlangıç değerli bir örnek olsun.
y'nin türevi eşittir. 3x kare. Artı 4x eksi 4 bölü 2y eksi 4 y1 eşittir 3. Başlangıç değer problemini çözün.
Başlangıç değer problemini çözün. Burada y1 eşit 3 gibi bir başlangıç değer verildiği zaman buna başlangıç değer problemi denir. Problemini çözün.
Şimdi buradaki birinci derece bir diferansiyel görüyoruz. Acaba ayrılabilir mi geçmesi lazım aklımızdan? Birinci adım olarak hemen y'nin türevi y'ne dy bölü dx yazıyoruz.
Ve ayrılabilirlik inanılmaz derecede net gözüküyor burada. Bu 2y-4'ü bu tarafa, dx'i bu tarafa geçirdiğimizde ayrılabilirliği elde etmiş oluyoruz. 2y-4 dy. 3x kare artı 4x eksi 4 dx.
Ayrılabilirlikte dikkat edilmesi gereken önemli hususlardan birisi. dy ve dx'in kesinlikle pay kısımlarında bulunması gerekir. Payda da dy dx görmeyeceğiz. dy dx her zaman yukarıda olacaklar.
Şimdi bu diferansiyel denklemi açık bir şekilde ayırabildik. Her iki tarafın integralini alarak diferansiyel denklemin çözümünü Çözümüne ulaşalım. 2y'nin integrali 2y kare bölü 2 olacağından dolayı y kare. Eksi 4'ün integrali yanına bir y gelir eksi 4y olur.
Artı c'yi sadece x'in tarafına koyuyoruz. 3x karenin integrali 3x küp bölü 3. x küp. 4x'in integrali 4x kare bölü 2'den 2x kare.
Eksi 4'ün integrali yanına 1x kare eksi 4x artıcı. Şimdi diferansiyel denklemin çözümüne ulaştık. Burada y'yi yalnız bırakmak mümkün olmadığı için, kolay olmadığı için diferansiyel denklemin çözümünü böyle bırakabiliriz.
Bu diferansiyel denklemin çözümünü böyle bırakmaya kapalı çözüm denir. Yani y'yi tam olarak bulmadık. İngilizcesi de implicit solution'dır bunun.
Yani y'yi yalnız bırakmadıysak tamamen buna kapalı çözüm diyoruz. Yanlış sayılmaz. Bazen hocalar özellikle, İngilizcede daha çok bu tabirler vardır. Explicit solution'ı bulun.
Yani tam çözümü bulun dediği zaman y'yi kesinlikle yalnız bırakmamız gerekir. Ama burada bize öyle bir şey söylemiyor. Y'yi yalnız bırakmak zorunda değiliz.
Şimdi ikinci adımda bizim başlangıç değerimiz var burada. İkinci adıma gelsek başlangıç değerimiz. Kaçtı bir bakalım şuna.
Y1 eşittir 3. Bunun anlamı x yerine 1 konulunca y3 çıkıyor. Y yerine 3 koyuyoruz. X yerine 1. 9 eksi 12 eşittir.
1 artı 2 eksi 4 artı c. Eksi 3 eşittir. Eksi 1 artı c, c eşittir, eksi 2. Bunu da bulduğumuza göre tam çözümümüz y kare eksi 4y eşittir.
x küp artı 2x kare eksi 4x eksi 2'dir. Son bir örnek daha yapıp ayrılabilir diferansiyel denklenme metodunu böylece tamamlamış olacağız. Zorluk sadece integral alırken karşımıza gelebilecek zorlu integrallerde.
Biraz daha zorlayıcı bir örnekle başlayalım. y'nin türevi eşittir. x y küp bölü 1 artı x kare.
Diferansiyerini çözün. Başlangıç değer vermedim. Yani en sondaki c'yi bulmayacağız.
Diferansiyerini çözün. Şimdi baktık birinci derece bir diferansiyel. Acaba ayrılabilir mi diye aklımızdan geçirmeliyiz. Şu y türevi yerine dy bölüde x'i yazdık hemen.
Bazen bize hazır verir dy bölüde x'i. Ben hiçbir örnekte hazır vermedim. dy bölüde x yazarsa direkt sağa sola toplamaya başlayacağız. x y küp 1 artı x kare. Şuradaki dx'i karşıya y küpü bu tarafa getirdiğimizde ayrılabilirdik.
Çok açık gözüküyor. dy bölü y küp x bölü 1 artı x kare dx. Ayırmayı çok açık başardık. Her iki tarafın integralini alıyoruz.
Buradakini yukarıya y üzeri eksi 3 diye çevireceğiz. Üstünü bir arttırırsak y üzeri eksi 2 oluşan üstü bölersek eksi 2 eşittir. Bu tarafın integrali bitti. Bu tarafın integraline geldiğimizde değişken değiştirme yöntemi uygulamaya mecbur. Direkt integral alma kuralı yok içeride.
Buradaki 1 artı x kareye u dediğimizde Bunun türevi 2x etmektedir. Bunun türevi eğer dx ile çarpım durumunda olursa biz ona du diyorduk. 1 artı x karenin türevi 2x. Fakat yukarıda x var.
Yanına bir 2 çarpanı koyup bir de integralimizin dışına 1 bölü 2 atarsak artık buna du diyebiliriz. Değişken değiştirme yönteminin temeli, u dediğimiz şeyin türevinin dx ile çarpım durumunda bulunması gerekir ki, o dx ile çarpım durumundaki kısma du diyebilirim. Devam ediyoruz, daha buradaki integral bitmedi.
du bölü kök u'ya ulaştık. Kök u yukarıya u üzeri eksi 1 bölü 2 diye döner. Şurayı da biz bir adam edelim.
Ya daha gerek yok. Eksi y üzeri eksi 2 bölü 2 diyelim. Eşittir.
1 bölü 2. Kök u yukarıya u üzeri eksi 1 bölü 2 diye döner. Üstünü bir arttırırsak u üzeri 1 bölü 2. Oluşan üste bölersek 1 bölü 2. Bu 1 bölü 2'ler birbirini götürdü. Bir de artı c'mizi ekliyoruz. c dediğimiz şeyi de yerine yazarsak. Eksi y üzeri eksi 2 bölü 2 eşittir.
1 artı x kare yu demiştik. Üstün 1 bölü 2 olması bunun kök içinde olacağı anlamına gelir. Artı c. Buradaki 2 ile karşı tarafı çarparsak.
Hatta eksi 2 ile çarpalım. y üzeri eksi 2 eşittir. Eksi 2. 1 artı x kare.
Eksi 2 c olur. Buradan da her iki tarafın eksi birinci üstünü alırsak. y kare eşittir.
1 bölü eksi 2, 1 artı x kare eksi 2c. Bu işlemleri neden yaptım? Aslında diferansiyel denklemin çözümü şurada bitmişti. Daha güzel bir görüntüye sahip olan çözüm üretmek için yaptım.
Yoksa bir anlamı yok. Şurada şöyle bıraktığımızda da tam puanı almamız gerekir. Bu şekilde ayrılabilir diferansiyel denklemlerle ilgili videomuzu tamamlıyoruz.