poi un merito benvenuti ragazze la seconda lezione sulla geometria del piano della precedente elezione abbiamo studiato gli enti primitivi della geometria euclidea punto retta e piane in questa seconda lezione vi parlerò di alcuni enti geometrici come se li rette segmenti lì le piane e poligonali che si possono definire a partire dagli enti primitivi visti la volta scorsa il primo ente che vi presento sono le semi rette per definire una semi eretta sono necessarie una retta è un punto che indichiamo con la lettera o qui date una retta è un punto che chiameremo origine su tale retta la retta risulta divisa in due parti una prima parte a sinistra che vediamo qui evidenziati in rosso e una seconda parte blu a destra bene entrambi sono dette semi rette quindi in generale dato una retta è scelto un punto su tale retta tale retta viene suddivisa in due semi erette una prima semi eretta formata dal punto detto origine della semi retta ed a tutti i punti che si trovano nel nostro caso sulla sinistra quindi la parte in rosso la seconda semi retta invece costituita dall origine o e da tutti i punti sulla destra quindi la parte migliore le semi erette analogamente alle rette hanno un'unica dimensione che è la lunghezza questo ricordo non vuol dire che possiamo misurare e indicare con un numero quant'è questa lunga perché le semi rette come le rette sono infinite ma che possiamo spostarci nel nostro caso a destra e sinistra teniamo presente che la grossa differenza tra le rette le segnerebbe chi mentre le rette sono limitate in entrambe i lati quindi nel nostro caso sia verso destra verso sinistra le semi erette invece sono illimitate solo da una parte le semi rette essendo una parte dirette vengono indicate generalmente come si fa con le rette con delle lettere minuscole dell'alfabeto il secondo ente che vi presento sono i segmenti per definire un segmento abbiamo bisogno di una retta e di 2 punti heidi quindi sostanzialmente gli stessi ingredienti delle semi rette ma in questo caso abbiamo bisogno di due punti date una retta e due punti a è vissuta leretta abbiamo in questo modo diviso la retta in tre parti una prima parte è quella che vedete in rosso che è costituita dai punti a e b ed a tutti i punti compresi tra i b che viene detta segmento teniamo presente che i segmenti si indicano generalmente con come vediamo in alto le lettere dei due punti a e b sopra le quali viene messa un piccolo tratto in orizzontale i punti a e b vengono detti estremi del segmento mentre tutti i punti che appartengono al segmento vengono anche detti punti interni le due parti che rimangono sono due segni rette e le vediamo segnate i blu i punti che appartengono le due semi e rette sono anche detti punti esterni al nostro segmento quindi in generale che cos'è un segmento data una retta e due punti a e b su tale retta l'insieme di tutti i punti a v e quelli compresi tra e b costituisce il segmento le altre due parti in cui viene divisa la retta sono due semi rette per i seguenti essendo una parte diretta spesso come vediamo in basso si indicano anche con delle lettere minuscole dell'alfabeto i segmenti esattamente come le rette le semi rette hanno una lunghezza però in questo caso la lunghezza è finita ciò significa che una volta scelta l'unità di misura metri cm eccetera possiamo esprimere la lunghezza di talenti attraverso un numero per esempio 5 cm 2 cm eccetera ed esiste uno strumento per poterli misurare per esempio righello i segmenti poi possono essere consecutivi due segmenti si dicono consecutivi quando condividono un estremo per esempio abbiamo un segmento a b e il segmento b c come vediamo questi due segmenti quello rosso e quello blu condividono l'estremo b per questo si dicono consecutivi due segmenti possono essere adiacenti quando sono consecutivi e in più giacciono sulla stessa retta questo vuol dire che abbiamo per esempio il segmento a b abbiamo un secondo segmento b c e che condivide con abile estremo behind quindi due sono consecutivi e in più stanno sulla stessa retta quindi i segmenti adiacenti sono un caso particolare dei segmenti consecutivi come conseguenza del fatto che i segmenti hanno una lunghezza finita possiamo allora confrontarli tra di loro in particolar modo diremo che due segmenti sono congruenti se hanno la stessa lunghezza il simbolo per la congruenza el uguale con sopra questa piccola ondina ecco preso due segmenti a b e c di è semplice verificare come vediamo in animazione che i due segmenti hanno la stessa lunghezza perché sono perfettamente sovrapponibili attraverso un movimento rigido in questo caso scriveremo che abi e congruente acidini i segmenti possano essere non congruenti quindi avere sostanzialmente lunghezze diverse ad esempio consideriamo due segmenti a b e c di come è chiaro il segmento abili e più lungo del segmento c in questo caso scriveremo che ab è maggiore di cd o analogamente cd minore di abi il concetto di lunghezza ci permette di introdurre anche il punto medio dato un segmento a b il punto medio del segmento b non è nient'altro che quel punto che suddivide il segmento a b e in due segmenti congruenti tra di loro per esempio il punto m che abbiamo appena disegnato il rosso divide il segmento b in due segmenti am e mb e sono perfettamente congruenti tra milioni in altre parole questo vuol dire che il punto medio fa sì che i segmenti a mm vi abbiano lunghezza pari alla metà di quella del segmento a b con i segmenti anche possibile svolgere delle operazioni sia dal punto di vista geometrico che dal punto di vista algebrico per esempio la dizione dati due segmenti a b e c d il nostro scopo è quello di calcolare la somma abili più civili dal punto di vista geometrico il risultato della somma di due segmenti a un nuovo segmento f ottenuto nel seguente modo si prende il segmento a b di seguito in modo tale che si adiacente ad abc o nel segmento c d e quello che risulta è un nuovo segmento f questa è la costruzione geometrica dal punto di vista algebrico questo significa fare la somma delle lunghezze ovvero se a b è lungo 5 centimetri e cd ea lungo quattro beppe sarà lungo cinque più 49 centimetri analogamente si può svolgere la sottrazione sia dal punto di vista geometrico che dal punto di vista algebrico la sottrazione tra due segmenti a b e c di produce un nuovo segmento f costruito nel seguente modo si parte dal segmento a b al segmento a b si sovrappone il segmento c d la parte iniziale quella che viviamo evidenziate in rosso costituisce il nuovo segmento f ottenuto proprio per differenza dal punto di vista algebrico questo significa fare la differenza tra le lunghezze quindi se a via lungo sette e cv a lungo tre e f sarà lungo sette meno 34 cm per esempio i multipli di un segmento come multipli di un numero si ottengono moltiplicando quel segmento per un certo numero n quindi moltiplicare un segmento per un certo numero n vuol dire sommare il segmento a se stesso n volte esattamente quello che si fa per i molti più di un numero ecco per esempio che se vogliamo calcolare il triplo di abili cioè 3 x ab dovremmo prendere ab tre volte questo produce un nuovo segmento f che vediamo qui rappresentato in nero e che avrà come lunghezza il triplo di quella per cui si avvia lungo 500 f sarà loro 15 infine i sottomultipli i sottomultipli di un segmento a b si ottengono suddividendo in parti uguali il segmento b per esempio in n parti uguali per questo scriviamo un ennesimo di abi per esempio se vogliamo un quarto di abi come sappiamo il significato di frazione è quella di prendere l'intero cioè tutto a v e suddividerlo in quattro parti uguali di queste quattro parti uguali noi ne scegliamo una e questo genera un nuovo segmento che è af che vediamo disegnato in nero dal punto di vista delle lunghezze questo vuol dire prendere la lunghezza di tutto a b e dividerla diviso 4 per cui se a b è lungo 12 cm f sarà 12 diviso 43 centimetri riassumendo le operazioni di multiplo e sottomultiplo di un segmento in un'unica operazione possiamo definire le frazioni di un segmento per esempio se vogliamo calcolare i due terzi di abi sempre affidandoci al concetto di frazione questo vuol dire prendere l'intero avi suddividerlo in tre parti uguali e di queste tre parti uguali sceglierne due ecco che il nuovo segmento f che coincide con i due terzi di abili sarà formato da due parti delle tre nelle quali avevamo diviso il segmento a b dal punto di vista delle lunghezze vuol dire che se ab fosse lungo 18 centimetri noi dobbiamo dividere 18 diviso tre fa 6 e siccome scegliamo due parti fare 6x2 che fa 12 cm ricapitolando abbiamo definito le semi rette successivamente abbiamo definito i segmenti e con i segmenti abbiamo visto che è possibile confrontarli ed è possibile svolgere delle operazioni l'ente che definiamo successivamente sono le linee piane per poter capire che cos'è una linea piana per prima cosa pensiamo alla rappresentazione di una linea piana e per far questo possiamo immaginarci di passare una matita sul foglio senza mai staccarla quello che si ottiene è una linea ondulata come vediamo rappresentato in figura che è proprio una linea piana però attenzione la linea piana dobbiamo immaginarci la illimitata cioè che prosegue all'infinito sia verso destra che nel nostro caso verso il basso il tratteggio nel disegno sta indicare proprio questo analogamente a quanto visto per le rette e per le semi rette anche le linee piane hanno una sola dimensione che è la lunghezza ma attenzione proprio come per le rette le semi rette questa lunghezza è infinita perché sono illimitate e linee piane sono anche dette linee curve o più semplicemente curva dall'argomentazione che vi ho appena presentato risulta chiaro dunque che le rette sono un caso particolare di linee piane perché anche le rette si disegnano per esempio su un foglio scorrendo con una matita senza mai staccarla la differenza tra una linea piana qualunque ed una retta è il fatto che la retta è costituita da punti allineati per cui possiamo dire che le rette sono speciali linee piane pertanto anche le linee piane si indicano esattamente come le rette con delle lettere minuscole dell'alfabeto nel nostro caso abbiamo scelto la lettera a proseguendo questa analogia tra linee piane erette possiamo considerare una linea piana e possiamo considerare due punti su questa linea piana i punti ai.bi abbiamo visto come scegliere due punti su una retta fa sì che venga così definito un nuovo ente geometrico che si chiama segmento nel caso invece delle linee piane scegliere due punti su una linea fa sì che si determini un insieme di punti che qui viene evidenziato in rosso che insieme ai agli estremi a e b si chiama curva quindi mentre le rette sono un caso particolare di nelle piane i segmenti sono un caso particolare di curve il concetto di linea piana ci permette di introdurre un'altra definizione molto importante in matematica che è quella di distanza per fare questo consideriamo 2 generici punti a e b sul nostro piano risulta abbastanza chiaro che tra questi due punti possiamo definire infinite linee per esempio la linea blu la linea rossa e la linea nera ma abbiamo visto che per due punti passa una sola retta che quella cui disegnate il nero possiamo immaginarci tutte le linee che sono state cui disegnate retta compresa come dei possibili cammini che ci portano dal punto a al punto b ed è abbastanza chiaro capire come il percorso più breve che porta da vi è quello realizzato dalla retta per cui se consideriamo il segmento a b abbiamo che la lunghezza di tale segmento è proprio la distanza tra il punto a al punto b quindi la definizione di distanza è la seguente dati due punti allevi la distanza fra e via esattamente la lunghezza del segmento che ha per estremi a e b in sostanza questo dice in maniera abbastanza intuitiva che la distanza e la lunghezza del percorso più breve tra e vi le linee si possono classificare in base alle loro caratteristiche in particolar modo si possono dividere in linee aperte e linee chiuse la differenza tra una linea aperta e una linea chiusa e che nelle linee chiuse i capi della linea si ricongiungono mentre nella linea aperta inoltre queste linee si dicono semplici per distinguerle dalle linee intrecciate le linee intrecciate sono linee che hanno delle auto intersezioni cioè ritornano su loro stesse e anche in questo caso le linee intrecciate poi si possono dividere a seconda che i loro capi si ricongiungano meno in aperte e in chiese fondamentalmente la classificazione delle linee si può vedere leggendo il foglio in orizzontale e in questo caso in alto abbiamo la rappresentazione di linee aperte mentre in basso abbiamo la rappresentazione di linee chiuse oppure si può leggere in verticale mentre a sinistra abbiamo la rappresentazione di linee semplici a destra abbiamo la rappresentazione di linee intrecciate mettendo assieme queste due caratteristiche abbiamo la classificazione completa in linea aperte semplici linee aperte intrecciate linee chiuse 16 linee chiuse intrecciate l'ultimo ente che definiamo in questa lezione sono le poligonali le poligonali sono delle linee piane particolari formate da più segmenti consecutivi dove vi ricordo che segmenti consecutivi significa segmenti che condividono un estremo ecco qui di seguito un esempio costituito da una poligonale di quattro segmenti le poligonali poi vengono anche dette linee spezzate o semplicemente spezzate ed esattamente come le linee possono essere classificate in spezzate aperte spezzate chiuse in base al fatto che abbiano o meno gli estremi coincidenti e poi si possono dividere ancora in semplici e intrecciate quindi anche in questo caso abbiamo una classificazione completa costituita da spezzate aperte semplici che spezzate che non hanno i punti estremi coincidenti e non hanno neanche auto intersezioni spezzate chiuse semplici nessun'auto intersezione ma i capi coincidono con i due punti estremi della spezzata coincidono spezzate aperte intrecciati spezzate chiuse intrecciate invece con auto intersezioni bene i concetti che dobbiamo ricordare di questa lezione sono i seguenti intanto dobbiamo conoscere le definizioni degli enti g m c che abbiamo studiato ovvero semi rette segmenti linee piane e poligonali dobbiamo conoscere le caratteristiche di questi enti e dobbiamo sapere tutto il linguaggio specifico ad essi legati per esempio dobbiamo ricordare che cos'è l'origine in una semi retta che cosa sono gli estremi in un segmento che cosa sono le curve nelle linee piane eccetera inoltre dobbiamo ricordare la classificazione delle linee delle poligonali che come sappiamo si dividono aperte chiuse semplici e intrecciate infine l'ultimo aspetto che abbiamo studiato riguarda le operazioni con i segmenti dobbiamo sia saperle svolgere dal punto di vista geometrico che dal punto di vista algebrico con le eventuali lunghezze bene siamo così giunti alla fine di questa seconda lezione certo