Bentuk Akar dan Sifat-Sifatnya

Jul 14, 2024

Bentuk Akar dan Sifat-Sifatnya

Kelas: Matematika Peminatan, Kelas 10 SMA, Kurikulum 2013

Definisi Bentuk Akar

  • Definisi: Jika n adalah bilangan bulat positif dan A serta B adalah bilangan real, maka B^n = A.
    • B disebut akar pangkat n dari A.
    • Notasi: ( \sqrt[n]{A} )
  • Contoh:
    • 3^2 = 9 ( \rightarrow ) 3 = ( \sqrt[2]{9} ).
    • 2^3 = 8 ( \rightarrow ) 2 = ( \sqrt[3]{8} ).
    • Untuk akar pangkat 2, simbol 2 tidak perlu dituliskan (misal ( \sqrt{9} )).

Sifat-Sifat Bentuk Akar

Sifat 1: Perkalian Akar

  • Rumus: ( \sqrt[n]{A} \times \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{AB} ).
  • Contoh:
    • ( \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3 \times 9} = \sqrt[3]{27} = 3 ).

Sifat 2: Pembagian Akar

  • Rumus: ( \frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}} = \sqrt[n]{\frac{A}{B}} ).
  • Contoh:
    • ( \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{96}{6}} = \sqrt{16} = 4 ).
    • ( \frac{4\sqrt{28}}{3\sqrt{7}} = \frac{4}{3} \times \sqrt{\frac{28}{7}} = \frac{4}{3} \times \sqrt{4} = \frac{4}{3} \times 2 = \frac{8}{3} ).

Sifat 3: Penjumlahan dan Pengurangan Akar

  • Rumus Penjumlahan: ( B\sqrt[n]{A} + C\sqrt[n]{A} = (B + C) \sqrt[n]{A} ).
  • Rumus Pengurangan: ( B\sqrt[n]{A} - C\sqrt[n]{A} = (B - C) \sqrt[n]{A} ).
  • Contoh Penjumlahan:
    • ( 3\sqrt[5]{7} + 6\sqrt[5]{7} - 2\sqrt[5]{7} = (3 + 6 - 2) \sqrt[5]{7} = 7\sqrt[5]{7} ).
    • ( \sqrt{18} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} ) (dengan ( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ) dan ( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} )).

Sifat 4: Akar dari Pangkat yang Sama

  • Rumus: ( \sqrt[n]{A^n} = A ).
  • Contoh:
    • ( \sqrt[3]{5^3} = 5 ).
    • ( \sqrt[7]{19^7} = 19 ).
    • ( \sqrt[4]{x^4 y^4} = xy ).

Sifat 5: Perkalian dengan Koefisien

  • Rumus: ( P\sqrt[n]{A} \times Q\sqrt[n]{B} = PQ\sqrt[n]{AB} ).
  • Contoh:
    • ( 2\sqrt{50} \times 3\sqrt{32} = 6\sqrt{1600} = 6 \times 40 = 240 ).

Latihan Soal

Soal 1: Sederhanakan Bentuk Berikut

  • Bentuk: 4(\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) (\times 2\sqrt{2} - 5\sqrt{3})
    • Kalikan pertama antara 4(\sqrt{3}) dengan 2(\sqrt{2}), lalu teruskan dengan yang lain.
    • Hasil: -7(\sqrt{6}) + 12 - 60

Soal 2: Sederhanakan Bentuk Berikut

  • Bentuk: (\sqrt[5]{64 \times 48} / \sqrt[5]{3})
    • Penyederhanaan internal: (64 \times 16 = 4^5)
    • Hasil: 4