Specjalne Trójkąty: 90, 45, 45 oraz 90, 60, 30

Wstęp

• Omówienie własności specjalnych trójkątów.
• Nawiązanie do poprzedniej lekcji o przekątnej kwadratu i wysokości trójkąta równobocznego.

Trójkąt 90, 45, 45

• Przekątna kwadratu: d = bok ( \times \sqrt{2} )
• Własności:
  • Kąt prosty i dwa kąty po 45 stopni (trójkąt równoramienny).
  • Jeśli bok wynosi A, to przekątna (przeciwprostokątna) wynosi ( A \times \sqrt{2} ).
• Przykład: Znasz bok A = 9 cm, więc pozostałe boki to 9 cm i 9( \times \sqrt{2} ) cm.
• Znaczenie: Pomocne w szybkich obliczeniach w zadaniach geometrycznych.

Trójkąt 90, 60, 30

• Wzór na wysokość trójkąta równobocznego: ( CD = A \times \frac{\sqrt{3}}{2} )
• Własności:
  • Jeden kąt prosty (90 stopni), drugi 60 stopni, trzeci 30 stopni.
  • Bok naprzeciw kąta 30 stopni to połowa dłuższego boku (A/2).
  • Dłuższy bok (przeciwprostokątna) dwa razy dłuższy od krótszego (A).
  • Krótszy bok oznaczamy B (A/2) dla uproszczenia.
• Przykład: Jeśli B = 2 cm, to przeciwprostokątna wynosi 4 cm i bok naprzeciw kąta 60 stopni wynosi 2( \times \sqrt{3} ) cm.

Zastosowanie

Zadanie 1: Obliczanie obwodu trójkąta

• Dane: Trójkąt prostokątny równoramienny o bokach 8 cm.
• Obliczenia:
  • Przeciwprostokątna: 8( \times \sqrt{2} ) cm.
  • Obwód: 16 + 8( \times \sqrt{2} ) cm.

Zadanie 2: Obliczanie brakujących elementów trapezu

• Dane: Trapez z podstawami 12 cm i 8 cm, kąty przy jednym z boków to 60 stopni.
• Konstrukcja:
  • Narysowanie wysokości z wierzchołków trapezu (kąty 90 stopni).
  • Kąty w małych trójkątach po 30 i 60 stopni.
  • Trójkąty przystające, co umożliwia dalsze obliczenia.

Podsumowanie

• Nauka własności trójkątów 90, 45, 45 oraz 90, 60, 30 umożliwia szybkie obliczenia w zadaniach geometrycznych.
• Kluczowe jest zapamiętanie wzorów i zasad z nimi związanych.