Lekcja pod tytułem trójkąty o kątach 90, 45, 45 oraz 90, 60 i 30. Czyli poznamy własności tych specjalnych trójkątów. Te własności będą bezpośrednio wynikać z poprzedniej lekcji, z tego czego dowiedzieliśmy się o przekątnej kwadratu i o wysokości trójkąta równobocznego. Na początek przypomnijmy sobie, jak to było z przekątną kwadratu. Oto mieliśmy kwadrat, przekątną d.
I wyprowadziliśmy wzór, że D to jest bok razy pierwiastek z dwóch. Świetnie. Przyjrzyjmy się naszemu kwadratowi. Skoro to jest kwadrat, to tu jest 90 stopni.
Patrz, ja to u dołu narysowałem, co? Połowę kwadratu po prostu wyciąłem o ten trójkąt. To jest dokładnie ten trójkąt, więc to, co robię w kwadracie, od razu będę w tym trójkącie robił. Więc tu mamy 90 stopni. Świetnie.
Ponieważ tu... Oczywiście też jest 90 stopni, a przekątna dzieli ten kąt na pół. Zatem 90 na pół to jest ile?
45 stopni. Zarówno tu i z tych samych przyczyn tutaj też. No to wpisujemy 45 stopni i 45 stopni.
Świetnie. Teraz jeszcze tylko przepiszę. Tutaj jest bok A, tutaj też jest bok A, no a tu jest przekątna D, tylko zamiast D...
Ja skorzystam z wzoru, który już znamy, czyli A pierwiastka z dwóch. I oto jest pierwsza własność, jaką dzisiaj poznajemy, bo to jest własność dotycząca trójkąta o kątach 90, 45 i 45. A no taka własność, że tenże przemiły trójkąt, wystarczy w nim znać jeden z boków. Powiedzmy, znasz ten bok A, dowiadujesz się, że on jest na przykład równy 9 cm.
To natychmiast znasz ten, bo też jest 9, no i natychmiast znasz fen, bo to jest 9 razy pierwiastek z dwóch. Od razu liczymy. Znając jeden z boków, natychmiast liczysz pozostałe.
Warto więc tą własność zapamiętać, albo zapamiętać, że tak naprawdę ona bezpośrednio wynika z wzoru na przekątną kwadratu. I można powiedzieć, brać sobie połówkę kwadratu, jak trzeba w jakimś zadaniu. Choć bezpieczniej jest po prostu pamiętać o tą własność.
przydaje się na geomu. A więc jak widzisz, z poprzedniej lekcji, z wzoru na przekątną kwadratu, natychmiast wynika własność tego trójkąta. 90, 45, 45. Co o nim możemy powiedzieć? Dodatkowo, że jest oczywiście trójkątem równoramiennym. Te dwa ramiona są równe.
I prostokątnym. Tu jest kąt prosty. Więc tu moglibyśmy równie dobrze po prostu napisać kropkę. Tak to się zazwyczaj robi.
Ponieważ w nazwie wpisałem 90, 45, 45, to i tutaj też wpisałem te 90. Tyle jeśli chodzi o ten pierwszy trójkąt. Tą pierwszą własność warto się nauczyć. A teraz powiedziałem, że skorzystamy także z wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.
No bo popatrz, tak jak przed chwilą wyciąłem kawałek kwadratu i na dole rysowałem, tak ja tutaj wyciąłem. Ten kawałek naszego trójkąta równobocznego oznacza wierzchołki A, B, C i tutaj punkt padania wysokości oznacza przez D. Więc to jest trójkąt A, D, C. No i po kolei, co mamy? Tu mamy kąt prosty, prawda? Czyli tutaj jest 90 stopni.
Tak. Ile tutaj stopni jest? Kto pamięta? Skoro ten trójkąt A... ABC jest trójkątem równobocznym, wszystkie boki równe, więc wszystkie kąty mają po 60 stopni.
Więc tu jest 60, zatem tu też jest 60. No a ile będzie w tym kącie? W tym kącie ACBD. Tutaj duży kąt 60 stopni wysokością został przecięty na pół, na równe dwie połowy. A 60 na pół to jest ile?
30, więc tu jest 30 stopni. Wytrę tą resztę, żeby tylko połówkę było widać. W takim razie tutaj też mamy 30 stopni. Świetnie, można powiedzieć. No a teraz jak z bokami, bo tu znowu dążymy do tego, żeby mieć boki pooznaczane.
Dla ułatwienia, żeby nam się ułamki nie plątały, ja przyjmę rzecz następującą. Literką B oznaczę A przez 2. O, to A przez 2. Więc zamiast wpisywać A przez 2, po prostu wpiszę B. Dobra? Będzie mniej ułamkowości.
Skoro tak, tutaj było A przez 2, a tu jest A. A to jest dwa razy więcej niż A przez 2. Czyli ten bok A jest dwa razy dłuższy niż ten A przez dwa. A więc ten bok też musi być dwa razy dłuższy od tego.
A dwa razy dłuższy od B to jest dwa razy B. Już ten znam. A jak jest z tym?
No ten bok, ten CD, to jest nic innego jak nasza wysokość CD. A jej wzór tutaj mamy. To jest ten wzór. A razy pierwiastek z trzech przez dwa. Napiszmy sobie A razy pierwiastek z trzech.
przez 2. Napiszę go troszkę inaczej. Zobacz. A przez 2 razy pierwiastek z 3, bo to jest to samo.
A myśmy A przez 2 oznaczyli literką B. Więc po prostu piszę B pierwiastek z 3. I tutaj to wpiszemy. B pierwiastek z 3. I znowu zobacz. Wszędzie występuje literka B.
Przy każdej długości boku. Bok długości B, no to ten ma 2B, a ten ma B pierwiastków z 3. I ponownie poznaliśmy, tak jak przed chwilą dla trójkąta tego, 45, 45, 90, tak i dla trójkąta 60, 30, 90. Jeżeli znamy choć jeden z boków, to wszystkie pozostałe też natychmiast jesteśmy w stanie policzyć. Bo na przykład znamy bok B długości 2 cm.
No to wtedy ten bok ma 2 razy 2 cm, a ten bok ma 2 cm razy pierwiastek z 3. Wystarczy, że jeden z boków znasz. Resztę policzysz pod warunkiem, że pamiętasz tę zasadę. No niestety znów się trochę trzeba na pamięć nauczyć. To była nasza pierwsza zasada, wynikająca, pierwsza własność tego pierwszego trójkąta, wynikająca z przekątnej kwadratu, a tu mamy drugą własność, wynikającą z wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.
Naucz się tego, no a teraz jeszcze tak na do widzenia, zrobimy sobie dwa... zadanka, które wykorzystają te wzory. No popatrz, mamy takie polecenie.
Oblicz obwody narysowanych figur. Mamy tutaj trójkąt, popatrzmy, co o nim wiemy. Aha, że jest trójkątem prostokątnym, czyli tu mamy 90 stopni zaznaczone, i równoramiennym.
Oba te ramiona mają po ile? Po 8 centymetrów, prawda? No to skoro tu jest kąt prosty i to jest trójkąt równoramienny, to mamy z własności trójkątów w pewność, że tu jest 45 stopni i tu jest 45 stopni.
Więc którą z wiec dzisiejszych wykorzystamy? Ano tą, prawda? O, 90, 45, 45. Jeżeli znamy, że jest jeden z boków A, drugi też oczywiście jest A, no to ten przeciwprostokątna jest A pierwiastków z dwóch.
Czyli o ta przeciwprostokątna A pierwiastków z dwóch. Czyli 8 pierwiastków z dwóch. A więc obwód tego trójkąta całego, obwód O, to będzie 8 cm, dodać 8 cm, dodać 8 pierwiastka z 2 cm, czyli 16 cm, dodać 8 pierwiastka z 2 cm.
Można by to zapisać elegancko, może tak, napiszmy sobie, wynieśmy sobie 8 przed nawias i będziemy mieli wtedy 2 plus pierwiastek z 2 O. Ale to już jest taka fanaberia moja, że tak to zapisałem. W każdym razie udało nam się natychmiast policzyć ten trzeci bok przeciwprostokątną, bo pamiętaliśmy zasadę, której się na początku tej lekcji nauczyliśmy.
Obwód policzony. A teraz popatrzmy na drugą figurę. O, tu mamy trapez.
Cóż możemy o tym trapezie powiedzieć? Tak, jedna podstawa 12, druga 8. Brakuje nam tych dwóch ramion. Ale skoro tutaj są kąty 60 stopni, to coś Ci pokażę. Tylko narysuję to może innym kolorkiem.
Wysokość trapezu rysuję dwa razy. Z jednego wierzchołka trapezu i z drugiego wierzchołka trapezu. Wysokość, o ta, zielona, zarówno jedna jak i druga, oczywiście pada pod kątem prostym, czyli o, tu jest kąt prosty.
I tu jest kąt prosty. Prawda? Skoro tu jest 60 stopni, tu jest kąt prosty, to już wiemy, tutaj będzie 30. I tutaj też jest 30 stopni.
Co możemy powiedzieć o tych dwóch trójkątach, tym po lewej i po prawej? Że one są przystające, czyli potocznie można powiedzieć identyczne. Z jakiej zasady?
Kąt, bok, kąt. Kąt, bok, kąt. Mamy co więc nawet trzy kąty identyczne i te dwa boki są identyczne.
Zobacz, ten bok i te dwa kąty.