डिफरेंसिएशन - बेसिक्स

परिचय

• यह सेशन 21 दिन के 21 टॉपिक चैलेंज का हिस्सा है।
• यह डिफरेंसिएशन पर आधारित है, जो बेसिक्स से शुरू होगा।
• सेशन का उद्देश्य डेरिवेटिव की ताकत को समझना है।

औसत गति और तात्कालिक गति

• औसत गति: कुल दूरी/कुल समय
• तात्कालिक गति: किसी विशिष्ट समय पर गति, जिसे डेरिवेटिव कहते हैं।

डेरिवेटिव की परिभाषा

• एक मात्रा के परिवर्तन की दर दूसरी मात्रा के सापेक्ष।
• डेरिवेटिव = rate of change of one function with respect to another.

जियोमेट्रिकल मीनिंग

• डेरिवेटिव ग्राफ पर टैन्जेंट को दर्शाता है।
• जैसे-जैसे दो पॉइंट्स एक-दूसरे के करीब आते हैं, चॉर्ड टैन्जेंट बन जाती है।

डेरिवेटिव के नोटेशन

• ( \frac{dy}{dx}, f'(x), y' )

महत्वपूर्ण फॉर्मूले

• ( \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} )
• ( \frac{d}{dx} (e^x) = e^x )
• ( \frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x} )
• ( \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x )
• ( \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x )

डेरिवेटिव के नियम

• समान्तर नियम (Sum Rule): ( \frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) )
• गुणा नियम (Product Rule): ( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) )
• भाग नियम (Quotient Rule): ( \frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{[v(x)]^2} )
• चेन नियम (Chain Rule): यदि ( y = f(g(x)) ), तो ( \frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x) )

ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन्स के डेरिवेटिव

• ( \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x )
• ( \frac{d}{dx} (\cot x) = -\csc^2 x )

लॉगरिदमिक डिफरेंशिएशन

• लॉग का उपयोग कठिन फंक्शन्स को सरल बनाने के लिए किया जाता है।
• आवश्यक फॉर्मुला: ( \log a^b = b\log a )

इंप्लिसिट डिफरेंशिएशन

• जब y को सीधे x के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
• ( \frac{dy}{dx} ) को सीधे अंतर करने से प्राप्त करें।

पैरामीट्रिक डिफरेंशिएशन

• ( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} )
• इस दृष्टिकोण से x और y को t के रूप में व्यक्त किया जाता है।

उच्चतर क्रम के डेरिवेटिव

• ( y'' ) या ( \frac{d^2y}{dx^2} ) का मतलब है पूर्व के डेरिवेटिव को फिर से डिफरेंशिएट करना।
• सामान्य रूप से, ( y^{(n)} ) दर्शाता है nth order derivative।

निष्कर्ष

• डिफरेंशिएशन एक मूलभूत गणितीय क्रिया है, जो गणना में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।
• प्रत्येक नियम और फॉर्मूला का सही प्रयोग आपको विभिन्न सवालों को हल करने में मदद करेगा।