Binomiale Eksperimenter

Definition af et Binomalt Eksperiment

• Binomalt eksperiment: Gentagelse af et enkelt afgrænset forsøg (basisforsøg) flere gange.
• To betingelser:
  1. Uafhængige basisforsøg: Resultatet af ét forsøg påvirker ikke resultatet af andre.
  2. To mulige udfald: Enten succes eller fiasko.

Sandsynlighedsbegreber

• Primær sandsynlighed (p): Sandsynligheden for succes i et enkelt basisforsøg.
• Sandsynlighed for fiasko: 1 - p.

Eksempler på Binomiale Eksperimenter

Eksempel 1: Pakkeleg

• Situation: Slå med en terning, og hvis man slår en 6'er, må man tage en pakke.
• Basisforsøg: Slå med terningen.
• Uafhængighed: Sandsynligheden for at slå en 6'er er konstant (1/6).
• To udfald: 6'er (succes) eller ikke 6'er (fiasko).

Eksempel 2: Over eller Under Kortspil

• Situation: Trække et kort og se, om det er over eller under en 10'er.
• Uafhængighed: Trækning påvirker sandsynligheden ved efterfølgende trækning (ikke binomalt).
• To udfald: Over 10 (succes) eller under 10 (fiasko).

Beregning af Binomiale Sandsynligheder

Grundlæggende Formel

• Formel: Sandsynligheden for at få R successer ud af N forsøg:

  [ P(X = R) = \binom{N}{R} \cdot p^R \cdot (1 - p)^{N - R} ]

Eksempel 3: Terningekast

• Situation: Kast en terning 5 gange. Succes er at slå en 6'er.

• Sandsynlighed for succes (p): 1/6

• Sandsynlighed for to 6'ere ud af 5 kast:

  [ P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 ]

• Binomialkoefficient:

  [ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 ]

• Udregning:

  [ \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{1}{36} ]

  [ \left( \frac{5}{6} \right)^3 = \frac{125}{216} ]

• Slutresultat:

  [ P(X = 2) \approx 0,16 ]

  Sandsynligheden er cirka 16%.

Afsluttende Bemærkning

• Der kan ses et bevis for denne opsætning i en anden video.