वेक्टर और मोशन इन एन प्लेन

परिचय

• पूरे सत्र में हम वेक्टर और मोशन इन एन प्लेन पर चर्चा करेंगे।
• एनसीईआरटी के अनुसार, दो भागों में विभाजित है: वेक्टर और मोशन इन एन प्लेन।
• स्पष्ट समझ के लिए अध्याय को विभाजित करने पर ध्यान दिया गया है।

वेक्टर

प्रकार

• वेक्टर: जिसमें परिमाण (magnitude) और दिशा (direction) होती है। जैसे बल (force) और वेग (velocity) आदि।
• स्कॉलर: जिसमें केवल परिमाण होता है और दिशा नहीं। जैसे द्रव्यमान (mass), समय (time) आदि।

गुण

• वेक्टर को परिभाषित करने के लिए परिमाण और दिशा चाहिए होती है।
• वेक्टर को जोड़ने और घटाने के लिए विशेष नियम होते हैं।

पहचान

• वेक्टर को तीर के द्वारा दर्शाया जा सकता है। तीर की लंबाई परिमाण और दिशा को इंगित करती है।

वेक्टर की गणितीय अभिव्यक्ति

• वेक्टर को संख्या और कैप के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$
• यूनिट वेक्टर: केवल दिशा को दर्शाते हैं और परिमाण 1 होता है। जैसे $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$

वेक्टर के घटक (components)

• एक वेक्टर को अलग-अलग दिशाओं में विभाजित किया जा सकता है।
• $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$

वेक्टर जोड़ (Addition)

• $\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x) \hat{i} + (A_y + B_y) \hat{j}$

वेक्टर घटाव (Subtraction)

• $\vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x) \hat{i} + (A_y - B_y) \hat{j}$

त्रिभुज और पैरललोग्राम नियम

• त्रिभुज नियम: दो वेक्टरों को जोड़ने के लिए एक वेक्टर के सिर को दूसरे वेक्टर की पूंछ से जोड़ना।
• पैरेललोग्राम नियम: दो वेक्टरों को जोड़ने के लिए उन्हें समानांतर दिशा में बढ़ाना, जो उनकी परिणामी (resultant) देता है।

मोशन इन एन प्लेन

परिचय

• प्लेन में मोशन दो दिशाओं (x और y) में विभाजित होता है।

चेंज इन पोजीशन

• पोजीशन वेक्टर: $\Delta \vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i$
• डिस्प्लेसमेंट: $\Delta \vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i$

वेग (Velocity)

• औसत वेग: $\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$
• तात्कालिक वेग: $\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

त्वरण (Acceleration)

• औसत त्वरण: $\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$
• तात्कालिक त्वरण: $\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

मोशन इन प्लेन विद कांस्टेंट एक्सीलरेशन

• $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$
• $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$
• $\vec{v}^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{a}\vec{s}$

प्रोजेक्टाइल मोशन

• परिभाषा: एक वस्तु को एक कोण पर फेंकने पर उत्पन्न मोशन।
• प्रारंभिक वेग के घटक: $u_x = u \cos \theta$ और $u_y = u \sin \theta$
• तालिका:
  • मैक्सिमम हाइट: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
  • टाइम ऑफ फ्लाइट: $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$
  • रेंज: $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$
• मैक्सिमम रेंज तब होती है जब $\theta = 45^ ext{°}$

यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन

• स्थिर गति से एक गोलाकार पथ पर गति।
• परिभाषाएं:
  • एंगुलर डिस्प्लेसमेंट: $\theta$
  • एंगुलर वेलोसिटी: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$
  • एंगुलर एक्सीलरेशन: $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$
• सेंट्रिपेटल एक्सीलरेशन:
  • $a_c = \frac{v^2}{r}$
  • Sआउटे\omega^2 \cdot r$

समरी

• दो प्रकार: वेक्टर (परिमाण और दिशा) और स्कॉलर (सिर्फ परिमाण)।
• वेक्टर जोड़, घटाव, त्रिभुज और पैरेललोग्राम नियम।
• यूनिट वेक्टर, पोजीशन वेक्टर, डिस्प्लेसमेंट, औसत और तात्कालिक वेग, औसत और तात्कालिक त्वरण।
• प्रोजेक्टाइल मोशन के फार्मूले और यूनिफॉर्म सर्कुलर मोशन की विशेषताएं।