Lezione sulle Derivate: Derivata Prima

Definizione e Significato Geometrico

• Obiettivo: Calcolare l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione (f(x)) nel punto di ascissa (x_0).
• Formula della tangente: [ y - f(x_0) = m \cdot (x - x_0) ]
  • Dove (m) è il coefficiente angolare da determinare.

Strategia per Determinare il Coefficiente Angolare

1. Introduzione di un secondo punto:
   • Nuova ascissa: (x_0 + h) dove (h \neq 0).
   • Ordinata: (f(x_0 + h)).
2. Coefficiente angolare della retta secante:
   • [ m_{secante} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{(x_0 + h) - x_0} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} ]
   • Questo è chiamato rapporto incrementale.

Passaggio dalla Secante alla Tangente

• Idea: Avvicinare il secondo punto al primo ((h \to 0)).
• Limite del rapporto incrementale:
  • [ m_{tangente} = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} ]
  • Se questo limite esiste ed è finito, la funzione (y = f(x)) è derivabile in (x_0) e il valore del limite è la derivata di (f) in (x_0).

Notazioni della Derivata

• Diverse notazioni possibili, ad esempio:
  • ( f'(x_0) )
  • ( \frac{d}{dx}f(x) \bigg|_{x=x_0} )
  • ( \frac{df}{dx}(x_0) )

Applicazioni delle Derivate

• Comprendere l'andamento della funzione: Crescita e decrescita.
• Punti di massimo e minimo: Determinazione delle coordinate dei punti estremi.
• Calcolo concreto delle derivate: Saranno trattate nelle lezioni successive.

Conclusione

• Saranno introdotte scorciatoie per calcolare le derivate senza risolvere sempre il limite del rapporto incrementale.
• Funzioni fondamentali e le loro derivate verranno esplorate nei prossimi video.