Ciao ragazzi in questo video parleremo di derivate ed in particolare ci occuperemo della derivata prima di cui vedremo la definizione il significato geometrico e soprattutto le principali applicazioni Cominciamo con il Porcino seguente problema ragazzi consideriamo una funzione che potete immaginare sia definita da un certo intervallo dei Reali a valori nei reali E consideriamo un punto x con zero appartenente al dominio della funzione quello che vogliamo fare è trovare un modo che ci consenta di calcolare le equazione della retta tangente al grafico della funzione FX nel punto di ascissa X con zero Quindi questa retta qui vediamo innanzitutto che cosa possiamo dire di questa retta È chiaro che dovrà essere una retta passante per il punto di coordinate x con zero FX con zero e quindi l'equazione della tangente dovrà essere di questa forma qui Y almeno la Y del punto di tangenza uguale a m che Moltiplica X - la x del punto di tangenza questa formula Se vi ricordate ragazzi è quella della generica retta passante per un punto di cui sono note le coordinate a questo punto È chiaro che il problema sarà determinare il valore del coefficiente angolare che ci interessa e per fare questo dovremo trovare una strategia che ci consenta di trovarlo conoscendo solo la funzione FX e il punto x con zero dove vogliamo che la retta sia tangente per capire come fare a trovare il coefficiente angolare e procediamo per gradi e cerchiamo prima di risolvere un problema adesso collegato però un pochino più semplice immaginiamo di introdurre un secondo punto sul grafico di FX la cui ascissa sia un pochino più grande dell'ascissa del punto che consideravamo prima quindi se la fissa del punto precedente alla X con zero quella del punto che consideriamo Adesso sarà X con zero più qualcosa Io l'ho chiamato h in questo caso quindi h rappresenterebbe questa distanza e naturalmente l'ordinata questo punto se la sua ascissa è X con zero + h e il punto si trova sulla funzione sarà F di X con zero + h quello che vogliamo fare adesso ragazzi è calcolare i coefficiente angolare di questa retta che è secante al grafico di FX Come facciamo a calcolare i coefficiente angolare Beh chiaramente sappiamo che passa per questo punto e che passa per questo punto e quindi se vi ricordate come si faceva calcolare il coefficiente angolare di una retta passante per due punti e vi ricordo Bastava fare la differenza tra le ordinate dei due punti divisa per la differenza tra le ascisse dei due punti si conclude che il coefficiente angolare della secante deve essere uguale a f di X con zero + h che sarebbe l'ordinata del secondo punto meno F di X con zero che sarebbe vedete l'ordinata del primo punto diviso per che cosa X con zero + h che è l'ascissa del secondo punto meno X con zero che è l'ascissa del primo punto se Adesso fate il conto al denominatore quindi semplificate X con zero si ottiene come risultato questa quantità a cui diamo un nome la chiamiamo rapporto incrementale naturalmente ragazzi affinché la cosa abbia significato H deve essere diverso da zero il che significa che il punto di ascissa X con zero e il punto di ascissa X con zero + h non devono coincidere E come facciamo adesso a collegare il discorso della secante al discorso sulla tangente che era il problema no che in partenza volevamo risolvere Beh l'idea fondamentalmente è questa più noi questo secondo punto lo avviciniamo al primo più succede che la retta secante tende a diventare la retta tangente questa cosa si capisce molto bene dando un'occhiata a questa animazione ragazzi e vedete che man mano che il secondo punto si avvicina al primo la retta secante tende sempre di più a diventare la retta tangente finché idealmente le due coinci giorno quando i due punti Vanno a sovrapporsi a questo punto tutto quello che dobbiamo fare è tradurre in termini matematici l'idea che il secondo punto si avvicini al primo e se considerate la nostra figura di partenza Ragazzi vedete che il secondo punto aveva ascissa X con zero più h mentre il primo punto ascissa X con zero Dunque sarà sufficiente che riduciamo la distanza tra le ascisse di questi due punti e quindi se facciamo tendereh a 0 avremo che il secondo punto tenderà a coincidere con il primo e quindi il coefficiente angolare della secante si trasformerà nel coefficiente angolare della retta tangente Quindi avremo in formule che il coefficiente angolare della tangente sarà uguale al limite per H che tende a 0 del rapporto incrementale Cioè se volete il limite per H che tende a 0 del coefficiente angolare della retta secante se questo limite esiste ed è finito Cioè nel senso che interviste e fa un numero reale come risultato Allora la funzione y uguale a FX cioè la nostra funzione di partenza si dice derivabile nel punto di ascissa X con zero ed il valore che il limite assume prende il nome di derivata della funzione F in X con zero per indicare la ragazzi si possono utilizzare diverse annotazioni vi ho riportato qui le trecce si incontrano forse più frequentemente Però sappiate che ce ne sono anche delle altre quindi ragazzi capite che in un certo senso siamo riusciti a risolvere il problema di partenza Cioè abbiamo trovato un modo per determinare il coefficiente angolare della retta tangente Infatti ragazzi il coefficienti angolare sarà dato dalla derivata prima della funzione calcolata in X con zero quello che ci resta da capire ragazzi è come fare concretamente a trovare la derivata prima e scopriremo che non sempre è necessario risolvere il limite del rapporto incrementale che peraltro in un certo senso la definizione no della derivata ma vedremo che ci sono delle scorciatoie che ci consentono non appena uno ha imparato a memoria le derivate di alcune funzioni fondamentali di risparmiare un sacco di tempo nei calcoli prima di salutarvi Ragazzi volevo dirvi un po' Come mai uno va a calcolare le derivate Cioè che cosa se ne fa fondamentalmente dei coefficienti angolari delle rette tangenti Beh l'idea è che conoscere l'andamento dei coefficienti angolari ci consente di capire dove la funzione che stiamo considerando è crescente e dove invece la funzione che stiamo considerando è decrescente e ci consente inoltre di stabilire e vedremo in che modo le coordinate dei punti di Massimo e di minimo della funzione che stiamo considerando di tutto questo parleremo diffusamente nei video successivi nel prossimo in particolare ci occuperemo di calcolare concretamente le derivate delle funzioni fondamentali detto questo Ragazzi io vi saluto come sempre se vi sono rimaste delle domande potete farmele nei commenti qui sotto Se avete trovato utile questa videolezione ricordatevi di mettere mi piace e Date un'occhiata all'interno del canale dove troverete moltissimi altri video