Fue descubierto por Galileo, perfeccionado después por Isaac Newton y en manos de Albert Einstein proporcionó una teoría de la mecánica del cosmos. Fue uno de los mayores misterios de la física. Todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante. Ley de la gravedad o ley de la caída de los cuerpos.
En el vacío, todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante. Esta es la ley de la gravedad. No parece que esto quiera decir mucho, pero veamos ahora exactamente en qué consiste. Dice esta ley que el efecto de la gravedad en todos los cuerpos es siempre el mismo, con independencia de su peso. Desde Galileo a Isaac Newton y hasta Albert Einstein, este fue uno de los mayores misterios de la física.
Y hay más, también dice que los cuerpos caen con una aceleración constante. Ahora bien, entender esto sería casi imposible si no contáramos con un dispositivo de la gravedad. matemático llamado derivada. Luego veremos lo que significa.
Y finalmente, aunque esto nos parezca muy profundo e interesante, está violentando nuestra más simple intuición, porque esto que decimos sucede en el vacío y no en el mundo que nos es familiar. Seguramente para todos nosotros nuestro primer contacto con las leyes de naturaleza habrán sido el efecto de la fuerza de la gravedad en la Tierra. Entendamos o no cómo funciona la fuerza de la gravedad. Tenemos un temor innato a sus efectos, pero ¿qué es exactamente ese efecto de la gravedad? Hay cuerpos que caen con rapidez y de forma rectilínea, pero hay otros en cambio que tienen un comportamiento diferente.
En algunos casos, casi no se puede definir cómo y por qué caen los cuerpos. Debemos distinguir el efecto de la gravedad sobre un cuerpo que cae del efecto de oposición del aire por donde cae. En otras palabras, tenemos que imaginarnos un cuerpo que cae en el vacío.
Por ejemplo, si una moneda y una pluma caen simultáneamente desde la misma altura, se comportarán como esperábamos. Han caído a diferente velocidad. Pero eso es sólo a causa de la resistencia del aire sobre ambos objetos. En el vacío, una moneda, una pluma y cualquier otro objeto caerían a la misma velocidad. La moneda y la pluma están ahora en el tubo de cristal, sin prácticamente aire, es decir, en el vacío, y ahora seremos testigos de la ley de la gravedad en acción.
Sin el efecto que produce la resistencia del aire, todos los cuerpos, independientemente de su peso, caen exactamente a la misma velocidad. Cuando el astronauta del Apolo 15, David Scott, exploraba la luna sin nada de aire, hizo una demostración de este tradicional experimento. Bien, aquí tengo una pluma y un martillo. Una de las razones por las que vinimos a la Luna fue porque un caballero llamado Galileo hizo un importante descubrimiento sobre la caída de los objetos en campos gravitatorios. ¿Y dónde encontraríamos un sitio mejor para ver si su descubrimiento era correcto que en la Luna?
Los dejaré caer aquí mismo. Es de suponer que los dos golpeen en el suelo a la vez. ¿Qué les ha parecido?
Por lo visto el señor Galileo tenía razón. El señor Galileo tenía razón. Hace casi 400 años, cuando todo el mundo pensaba que los cuerpos pesados caían con más rapidez que los ligeros, Galileo se dio cuenta de que en el vacío todos los cuerpos caerían a la misma velocidad. Por supuesto, Galileo no podía conseguir un vacío, pero pudo imaginar uno.
Pintó un cuerpo pesado unido a otro ligero. Este cuerpo compuesto caería más deprisa o más despacio que el cuerpo pesado solo. Si el cuerpo ligero caía más despacio, retardaría la caída del cuerpo pesado. Pero al mismo tiempo, el cuerpo pesado se despegó. tiempo un cuerpo compuesto tiene que pesar más que uno solo pesado por lo tanto el cuerpo compuesto tendría que caer más deprisa que el cuerpo pesado solo pero nunca más despacio es obvio que la idea de que un cuerpo pesado cae con más rapidez sólo conduce a una ineludible contradicción Galileo se dio cuenta entonces de que la única opinión lógicamente aceptable era que todos los cuerpos caen a la misma velocidad cuando se suprime la resistencia del aire.
Si todos los cuerpos caen en el vacío a la misma velocidad, La siguiente pregunta es, ¿y cuál es exactamente esa velocidad? Por nuestras propias experiencias sabemos que la velocidad de un cuerpo al caer aumenta durante la caída, lo cual significa que acelera, cae en un momento. cada vez con más rapidez.
Incluso antes de Galileo, algunos eruditos ya habían intentado dar una explicación a ese movimiento de aceleración. Aproximadamente 100 años antes, Leonardo da Vinci ya había hecho su propio estudio de la caída de los cuerpos, animado quizá por su sueño de volar. Más que preguntarse por la rapidez de la caída de los cuerpos, Da Vinci se preguntaba cuánto caerían en los sucesivos intervalos de tiempo.
Su teoría del movimiento acelerado era que un cuerpo recorrería cayendo mayores distancias en intervalos posteriores. Después concluyó con la teoría de que las distancias seguían la ley de los números enteros. Es decir, una unidad de distancia en el primer intervalo de tiempo, dos unidades en el segundo intervalo de tiempo, etc. Galileo adoptó el método de descripción de Leonardo da Vinci pero llegó a una conclusión diferente de cómo crecían las distancias.
En lugar de crecer de ese modo Galileo tenía la teoría de que las distancias estaban relacionadas con los números impares, una unidad de distancia en el primer intervalo de tiempo, tres unidades de distancia en el segundo intervalo, cinco unidades de distancia en el tercer intervalo, etc. En otras palabras, según Galileo, la distancia recorrida en cada intervalo es proporcional a los números impares. Galileo llegó a sus conclusiones después de realizar una brillante serie de experimentos en los que medía el tiempo que rodaba una bola por planos inclinados cada vez más empinados.
La ley de los números impares de Galileo se puede ver en acción en algún lugar sorprendente y que a Galileo le hubiera causado más asombro que la misma superficie de la luna en una montaña rusa de un parque de atracciones al sur de California Los visitantes pagan con gusto una cantidad de dinero por el privilegio de dejarse caer en caída libre a través del espacio bajo la influencia de la gravedad....algodón de azúcar, candy, es mucho mejor. A mí esto no me gusta nada. No.
De hecho, esta parte del paseo es gratis. Por lo que realmente pagan los visitantes es por una serie de medidas que se han tomado y que les permite sobrevivir a cualquier velocidad. Pero, ¿y qué hay de Galileo?
Si esto es una unidad de distancia, esto debería de ser tres, y esto cinco, y así sucesivamente, y realmente lo son. Galileo tenía razón. En sucesivos intervalos de tiempo las distancias se han dividido en dos.
recorridas cayendo siguen los números impares aquí hay algo más que galileo también vio fíjense en la distancia total recorrida en un instante después del primer intervalo de tiempo una unidad de distancia después del segundo intervalo 4 unidades de distancia. Después del tercer intervalo, 9 unidades de distancia. Después del cuarto, 16 unidades. En otras palabras, al final de cada intervalo, la distancia total recorrida cayendo es de 1, 4, 9, 16, 25 y así sucesivamente.
Y esos números son, por supuesto, cuadrados perfectos. O sea, que la distancia recorrida en la que se encuentra el ángulo de la distancia la caída es proporcional al cuadrado del tiempo. Y de este modo, la ley de Galileo se puede escribir en una simple ecuación, utilizando S para la distancia y T para el tiempo. ¿Qué quiere decir que estamos hablando de la distancia como función del tiempo? Esta constante C numéricamente es igual a la distancia que recorre el cuerpo cayendo durante el primer segundo, es decir, 16 pies, aproximadamente 5 metros.
En cualquier punto de la caída, la distancia es igual a c veces el cuadrado del tiempo. Así, después de dos segundos, la distancia recorrida cayendo es igual a c veces 2 al cuadrado, o sea 4c. Si tomamos el valor 16 para c, sabemos que ha caído 64. pies, unos 19 metros y medio. De nuevo, esta fórmula quiere decir que para cualquier instante t se puede encontrar el valor ds. En este punto, cualquier visitante, aunque petrificada por el susto, puede preguntarse cuánto ha recorrido en su caída.
en cada instante. Y quizá quiera también saber con qué rapidez está cayendo. Se divide entonces la distancia que recorre cayendo entre el tiempo que ha empleado. Por ejemplo, como durante los dos primeros segundos cayó 64 pies, su velocidad media será de 32 pies por segundo, unos nueve metros y medio por segundo.
Pero eso es sólo su velocidad media. Al comienzo ella estaba parada. Después de dos segundos ella está cayendo mucho más. deprisa que 32 pies por segundo.
Pero lo que realmente desea saber esta mujer no es su velocidad media, sino su velocidad exacta o instantánea en cualquier instante dado. Sin embargo, si queremos utilizar la misma ecuación, dividiendo, la variación de distancia por la variación de tiempo se nos plantea un serio problema. En cualquier instante durante la caída, digamos a 1.5 segundos, la variación en la distancia y en el tiempo es exactamente cero.
Así, una fórmula que determine la velocidad dividiendo la variación en el tiempo no es útil cuando se tiene un punto A, pero no un punto separado B para trabajar con él. Y para complicar aún más las cosas, el máximo y el mínimo del cociente serían cero. Dividir por cero es un desastre matemático.
Tal vez. vez la expresión velocidad instantánea sea una contradicción en sus términos. Sin embargo, el propio sentido común nos dice que un objeto en movimiento debe tener una cierta velocidad en cada instante.
El problema es mucho más que un juego ingenioso de palabras, es un dilema que ha importunado durante miles de años a todos los matemáticos, pero no había modo de resolverlo. En lugar de pedir la velocidad instantánea en un tiempo exacto t, pida cuál es la velocidad media entre el tiempo t y un tiempo h segundos más tarde, el tiempo t más h. El cambio en el tiempo Si la distancia recorrida cayendo en un tiempo t es igual a c veces t al cuadrado, la distancia recorrida cayendo en el tiempo t más h debe ser igual a c veces th al cuadrado.
Hemos resuelto el problema y ahora ya podemos calcular la velocidad media comenzando en cualquier instante para cualquier intervalo h h puede ser un segundo, medio segundo, una décima de segundo o incluso cero porque ahora no estamos dividiendo por cero Ahora podemos reducir el intervalo y hacerlo más pequeño, más pequeño y más pequeño hasta llegar al límite. En ese instante, hemos calculado una derivada, ya que el intervalo se ha reducido a cero. Si h es exactamente cero, nos encontramos con que en un instante t cualquiera, existe una velocidad instantánea y la llamaremos v. v es igual a 2ct.
Si seguimos utilizando el valor 16 para C, podríamos decirle a esa joven, no se preocupe señora. La distancia que usted ha recorrido es sólo 16 veces T al cuadrado pies unos 5 metros, y su velocidad en cada instante ha sido 32 veces T pies por segundo, casi 10 metros por segundo. Obviamente se ha quedado impresionada. ¿Cómo lo calculó?
Podría preguntar. Nosotros acabamos de inventar la derivada. En el lenguaje común, derivada quiere decir que deriva de algo, como por ejemplo, en la frase, el dulce de chocolate es derivado del chocolate.
Pero en matemáticas esa palabra tiene un significado técnico muy concreto, es el ritmo con el que algo está cambiando. La velocidad de la caída de esta señora era la derivada de la distancia desde lo alto. En otras palabras, la velocidad es la derivada de la distancia. Al principio, cuando hablamos de su velocidad media, estábamos haciendo álgebra, simplemente dando valores a la ecuación velocidad igual a distancia dividida por tiempo.
Pero, cuando comenzamos a trabajar con un intervalo de duración h, y lo hicimos tender a cero, estábamos calculando una derivada, y entramos en el mundo del cálculo diferencial. El cálculo diferencial es la matemática. de utilizar derivadas.
Calcular una derivada se llama diferenciación. Las derivadas no sólo se aplican a los cuerpos en movimiento. Se puede calcular también una derivada que represente el ritmo de cambio de una población de delfines con relación a la temperatura del océano.
O del volumen de un globo respecto al área de su superficie. o a la variación en el precio de una pizza respecto a su diámetro. En otras palabras, las derivadas se pueden calcular para casi toda situación en la que haya variación en alguna cantidad cuando otra de las cantidades aumente o disminuya. Para ir de la distancia a la velocidad tuvimos que calcular una derivada. Pero, ¿y qué pasa con la aceleración de un cuerpo al caer?
Pues que para ir de la velocidad a la aceleración hacemos exactamente lo mismo. Si v como función de t es igual a 2ct, entonces v de t más h igual a 2c de t más h. A de t igual 2c. Pero vean lo que ha ocurrido. Primero, la distancia S se mantiene creciendo con el tiempo.
Si hay variación en t, Hay variación también en S. Y la velocidad V también crece con el tiempo. Pero ahora nos hemos encontrado con que la aceleración A no depende en absoluto del tiempo.
Es sencillamente una constante A igual 2C. Independiente del valor de T, A es siempre la misma. Por fin lo hemos conseguido.
Hemos obtenido que el resultado de la gravedad es una aceleración constante. Teníamos tres preguntas sobre la caída de los cuerpos. ¿Cuánto caían? ¿Con qué velocidad?
¿Y con qué rapidez variaba su velocidad? Con bastante facilidad pudimos saber la distancia recorrida. Observando a nuestra joven amiga, Su velocidad media se obtuvo por medio del álgebra.
Y luego, para saber a qué velocidad caía exactamente el cuerpo en cada instante y con qué rapidez variaba su velocidad, tuvimos que utilizar ese maravilloso instrumento matemático. la derivada usando la derivada hemos podido explicar el movimiento de caída de los cuerpos los cuerpos caen con aceleración constante como esa aceleración es muy importante tiene su símbolo propio una g minúscula g igual 2c y ahora ya podemos escribir las tres expresiones de la ley de la gravedad en su forma definitiva cambiando c por g partido por dos. Según esta ley, un cuerpo cae con una aceleración constante, con velocidad proporcional al tiempo y recorre una distancia al caer proporcional al cuadrado del tiempo. Este tipo de movimiento se llama movimiento uniformemente acelerado. Es difícil, pero no imposible llegar a conocer esos tres hechos sobre el movimiento uniformemente acelerado sin hacer uso del cálculo diferencial.
Pero Galileo comprendió los tres hechos. En realidad, casi 300 años antes de Galileo, un erudito francés llamado Nicole Oresme, trabajó sobre el comportamiento del movimiento uniformemente acelerado. Oresme y Galileo utilizaron casi idénticos métodos matemáticos para analizar el problema.
Dichos métodos se basaban no en ecuaciones algebraicas, sino en proporciones entre cantidades y en figuras geométricas. La derivada fue inventada una generación después de la muerte de Galileo por Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leinich. Con este nuevo y poderoso método de análisis se pueden analizar tipos aún más complicados de movimientos.
Describir el movimiento uniformemente acelerado llega a ser incluso muy fácil. Sin las derivadas, es muy difícil entender qué significa aceleración, y menos aún describir el movimiento uniformemente acelerado y explotar a fondo sus consecuencias. Y, sin embargo, Oresme y Galileo lo hicieron. Describieron el movimiento uniformemente acelerado y explotar a fondo sus consecuencias.
movimiento uniformemente acelerado y sacaron sus consecuencias. Fueron verdaderos genios. Una de las tareas de la física es la de encontrar principios sencillos, económicos pero importantes que expliquen nuestro complicado mundo. Y eso es lo que hemos hecho hoy.
Si yo dejo caer algo, cae bajo la influencia de la gravedad de la Tierra. Al caer, su movimiento ha sufrido una cierta influencia debido a la oposición del aire. Si ahora imagino que puedo deshacerme del aire y dejo caer el objeto en el vacío, enseguida descubro un dramático y a la vez sorprendente hecho.
Todos los cuerpos caen a la misma velocidad. Gracias. Podría contentarme con este hecho. Descubrirlo, desde luego, fue un logro impresionante.
Pero no nos contentamos. Ahora queremos saber por qué sucede esto así. ¿Cuál es la naturaleza de la gravedad que lleva a tan extraño comportamiento? Esa cuestión es una de las más profundas de la física. Duró hasta nuestro propio siglo.
Fue el punto de partida para la teoría general de la relatividad de Albert Einstein. Pero nos estamos adelantando. en nuestra historia.
Una vez aprendimos que todos los cuerpos al caer se regían por una ley, nuestra tarea consistió en explicar esa ley con toda precisión. Todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante, y la aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad. Y la velocidad es el ritmo de cambio de la distancia.
Así tenemos, en realidad, tres proposiciones matemáticas precisas de la ley de la gravedad. Se relacionan entre sí por medio de la velocidad. de un grande y crucial descubrimiento de la historia de las matemáticas. El cálculo diferencial, descubierto por Newton y por Leinich.
Un gran triunfo. El suceso más importante en matemáticas durante miles de años. Newton y von Leinich sacrificaron la dicha de su descubrimiento en una amarga discusión sobre quién lo descubrió primero. Las tres proposiciones son cabos sueltos de la historia que estamos tratando de desarrollar.
No hay contestación. Según la ley de la gravedad, un cuerpo cae con una aceleración constante a una velocidad proporcional al tiempo y recorre en la caída una distancia proporcional al cuadrado del tiempo.