Catatan Kuliah: Persamaan Schrödinger Dalam Kotak 2 Dimensi

Konsep Dasar

• Memperluas persoalan persamaan Schrödinger untuk partikel dalam kotak 2 dimensi.
• Partikel dapat bergerak di dalam kotak dua dimensi.

Potensial

• Potensial V = 0:
  • 0 < x < L1
  • 0 < y < L2
• Di luar batas tersebut, potensial menjadi lebih besar dari 0.

Persamaan Schrödinger

• Menggunakan koordinat kartesian:
  [-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V\Psi = E\Psi]
• Laplacian dalam dua dimensi:
  [\nabla^2 \Psi = \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2}]

Pemisahan Variabel

• Pemisahan fungsi: (\Psi(x,y) = X(x)Y(y)).
• Persamaan difersial:
  [-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 X}{dx^2} + V\cdot X = E]

Penyelesaian untuk Fungsi X

• Diperoleh:
  [\frac{d^2 X}{dx^2} = -k^2 X]
• Solusi:
  [X(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)]
• Dengan kondisi batas:
  • Jika (X(0) = 0), maka (B=0).
  • Jika (X(L1) = 0), maka (k = \frac{n\pi}{L1}) (n = 0, 1, 2, ...).

Penyelesaian untuk Fungsi Y

• Diperoleh:
  [\frac{d^2 Y}{dy^2} = -l^2 Y]
• Solusi:
  [Y(y) = C \sin(ly) + D \cos(ly)]
• Dengan kondisi batas:
  • Jika (Y(0) = 0), maka (D=0).
  • Jika (Y(L2) = 0), maka (l = \frac{p\pi}{L2}) (p = 0, 1, 2, ...).

Fungsi Gelombang Total

• Fungsi gelombang total:
  [\Psi_{np}(x,y) = \frac{2}{\sqrt{L1 L2}} \sin\left(\frac{n\pi}{L1}x\right) \sin\left(\frac{p\pi}{L2}y\right)]

Energi Kuantisasi

• Energi:
  [E_{np} = \frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{n^2 \pi^2}{L1^2} + \frac{p^2 \pi^2}{L2^2}\right)]

Tingkat Degenerasi

• Degenerasi:
  • Jika ada N fungsi eigen berbagi nilai eigen yang sama.
  • Contoh:
    • (\Psi_{1,2} = \frac{2}{L} \sin\left(\frac{p\pi}{L}x\right) \sin\left(2\frac{p\pi}{L}y\right))
    • Energi (E_{1,2}) sama, namun fungsi gelombang berbeda.

Kesimpulan

• Energi dalam sistem kotak 2 dimensi terdegenerasi tingkat 2 apabila ada dua nilai fungsi eigen yang sama.