Catatan Kuliah: Pengantar Integral

1. Definisi Integral

• Integral dikenal juga sebagai anti turunan.
• Sangat disarankan untuk memahami turunan terlebih dahulu sebelum belajar integral.

2. Hubungan antara Turunan dan Integral

• Rumus turunan untuk fungsi perpangkatan:
  ( y = x^n \Rightarrow \frac{dy}{dx} = n \cdot x^{n-1} )
• Contoh:
  • ( x^3 \Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 )
  • ( x^3 + 5 \Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3 + 5) = 3x^2 )

3. Proses Integral

• Jika kita ingin mencari fungsi awal sebelum diturunkan, kita menggunakan integral: ( \int x^n , dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C )
• Contoh:
  • ( \int x^3 , dx = \frac{1}{4}x^4 + C )
  • ( \int x^5 , dx = \frac{1}{6}x^6 + C )
  • ( \int x^{-3} , dx = -\frac{1}{2}x^{-2} + C )
  • ( \int \sqrt{x} , dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C )

4. Sifat Dasar Integral

• Penjumlahan/Pengurangan: Jika ada penjumlahan, integral masing-masing fungsi: ( \int (f(x) + g(x)) , dx = \int f(x) , dx + \int g(x) , dx )
• Konstanta: Konstanta di depan fungsi menjadi pengali: ( \int k , f(x) , dx = k \cdot \int f(x) , dx )
• Integral Konstanta: Hasil dari integral suatu konstanta: ( \int k , dx = kx + C )

5. Integral Tentu

• Bentuk integral dengan batas:
  ( \int_a^b f(x) , dx )
• Hasilnya:
  ( F(b) - F(a) )
  di mana ( F(x) ) adalah fungsi hasil integral.
• Contoh:
  • ( \int_2^3 3x^2 , dx = [x^3]_2^3 = 3^3 - 2^3 = 19 )

6. Sifat-Sifat Integral Tentu

• Jika batas bawah sama dengan batas atas, hasilnya 0: ( \int_a^a f(x) , dx = 0 )
• Tukar batas menghasilkan minus: ( \int_a^b f(x) , dx = -\int_b^a f(x) , dx )
• Batas integral dapat dibagi: ( \int_a^b f(x) , dx = \int_a^c f(x) , dx + \int_c^b f(x) , dx )

7. Contoh Integral Tak Tentu

• Integral dari ( \frac{x^3}{\sqrt{x}} ):
  • Ubah menjadi ( x^{5/2} ) dan integralkan.
• Integral ( 2x(x^2 + 2) ):
  • Ubah menjadi ( 2x^3 + 4x ) dan integralkan.

8. Teknik Integrasi

• Untuk soal yang kompleks, gunakan teknik integrasi yang sesuai:
  • Metode substitusi
  • Integral parsial
  • dll.
• Teknik ini akan dibahas lebih lanjut di video mendatang.

9. Penutup

• Penting untuk memahami dasar integral dan sifat-sifatnya untuk soal-soal di ujian.
• Terima kasih telah menonton, jangan lupa like dan subscribe.