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फंक्शन और उनका परिचय

Hello बच्चो, कैसे हैं आप सब लोग? I hope that all of you are doing amazingly great. I welcome you again to this amazing platform of Physicswala. तो मेरा नाम है कुंदर मांकर्ड और हम शुरुवात करने जा रहे हैं Functions Lecture 4 की. तो आज के session के अंदर हम particularly कौन से topic पर बात करेंगे?

Last class में हमने exponential function start किया था. तो उसी exponential function पे कुछ और detail में बाते होगी. exponential function उसके ऊपर कुछ हलग लग प्रकार के equations, किस type के equations है, last year में वो देखेंगे, इसके बाद में देखो, exponential का ही एक भाई है, है न, इसका inverse है, जिसको अपन बोलते है logarithmic function, logarithmic function, इसके बारे में discuss करेंगे, logarithmic inequality के बारे में मैं आपको बताऊंगा, फिर बाद में हम modulus function start करने जा रहे हैं guys, modulus function बड़ा ही cool function है, modulus function, modulus function, इसके graphs देखने वाले हैं, modulus function पे past year में किस type के equations पूछे गए हैं, वो भी हम लोग देखेंगे आज के session में, फिर अगर time मिला, तो greatest integer function and fractional part function हम इन दोनों के बारे में discuss करेंगे आज के session में, ठीक है, तो बहुत ही amazing session होने वाला है, बहुत सारी हम अच्छी अच्छी चीज� अब वो जो हम past year के questions लेने वाले हैं, हो सकता है कि जो बच्चे लक्षे batch में पढ़े हैं यहाँ पे, उन्होंने वो questions किये हो, ठीक है, क्योंकि past year के questions वहाँ पे भी आपको मिलेंगे वो सारे, तो देखो बचा लोग, वो question मैं फिर से कराऊंगा, क्योंकि यह मेरा फर्स बनता डू आल दोस पास्ट येर क्वेश्चन, जितने भी इंपोर्टेंट टाइप के क्वेश्चन हैं, वो सारे इंक्लूड करूँ, बट अगर कोई बच्चा ऐसा है, है न, ये भी मैं ध्यान में रख रहा हूँ, उन बच्चों के लिए, लक्षे बैच के बच्चों के लिए भी और कुछ पुराना भी देखने को मिल जाये, familiar, है न, तो एक तरीके से आपका अच्छा revision भी हो जाएगा, तो revision करने वालों के लिए भी अच्छा हो ये, और जो revision ना कर रहे हो, जो first time पढ़ रहे हो, उनके लिए तो भाई बहुत ही अच्छा हो, ठीक है, क्योंकि मेरा जो major है कम से कम ऐसा नहीं हो कि कल को कोई ऐसा बोले बच्चा कि है ना ऐसा एक भी बच्चा नहीं होना चाहिए इंडिया में जो यह बोले कि मैं अच्छी कॉलेज में इसलिए नहीं जा पाया या फिर आयाटी में अच्छी रेंक इसलिए नहीं आ पाया क्योंकि बड़ी बड़ी को� तो बहुती important word है न, बहुती ज़्यादा important word है faith guys, बरोसा रखे, अपने उपर बरोसा रखे, अपने teachers पे बरोसा रखे, खुद की काबिलियत पे बरोसा रखे, ठीक है, कि आप लोग करोगे और बहुत अच्छा करोगे, faith बहुत important है, जब आप कोई काम कर रहो, तो आपको faith र तो चलिए शिरुवात करते हैं फिर आज के session की, बहुत सारी important चीज़े, सबसे पहले तो exponential function, last class में हमने देखा था, exponential function कुछ इस प्रकार के होते हैं, fx is equal to a raise to the power x, जहांपे ये a कुछ base है, और ये base हम कैसा लेने वाले है, base greater than 0 लेना है, positive base लेना है, and base not equal to 1 लेना है, ठीक है बहुत important है, देखो इसका graph ना बहुत ज़्यादा important है, कई जगे पर आता है, तो एक तो pattern यह रहता है, जब a greater than 1 होता है, तो 0,1 से पास करता हुआ इस type का एक graph मिलेगा, इस graph के बारे में हमें यह चीज़ ध्यान लखनी है, चलो पहले दूसरा वाला graph भी बना लेता हूँ, ठ less than 1 है, जैसे y is equal to 0.5 की power x या 0.9 की power x, ठीक है, जैसे 0.9 की power x का graph पूछा जाया, तो इस type का pattern मिलेगा, x is equal to 0 पे, वो pass तो 0,1 से ही कर रहा है, पास तो एंजी करेगा, देखो यह दोनों ग्राफ का common point तो यह है 0,1, बट फरक क्या है, कि यहाँ पे power बढ़ाओगे तो value decrease होगी, और यहाँ पे power बढ़ाओगे, देखो variable is x, exponential function का मतलब होता है कि जो हमारा variable हो, वो variable power के अंदर हो, अगर यहाँ पे x increase हो रहा है, y belonging to 0 to infinity, है ना? y मतलब हो गया range की, y is equal to a raise to the power x, so the values of y are from 0 to infinity, y 0 से infinity तक की values cover करता है, और रही बात x की, तो x तो कोई भी real number हो सकता है, right?

power कुछ भी रखे है अपन, power minus infinity तक भी लेके जाएं, उस direction में लेके जाएं, तो power कुछ भी हो सकती है, कोई भी real number हो सकता है, बट जो y है, जो output है exponential function का, वो हमेशा 0 से infinity के बीच में रहता है, power पे depend करता है, देखो, तो range के कुछ questions कर लेते हैं, सबसे पहले, हाँ मुझे याद है, एक question दिया था आपको last class में, तो वो question भी हम लोग देखेंगे, पर range के उपर कुछ questions कर लेते हैं, जैसे find range, रेंज ऐसा टॉपिक है जिसको आगे जाके मैं अलग से भी लूँगा है, अलग से रेंज के उपर एक पूरा लेक्चर आएगा, जिसके अंदर पूरी रेंज में अलग लग टाइप के एक्वेश्चन डिस्कस करेंगे, बट यहाँ पे जब हम exponential function के बारे में बात करी रहे हैं, तो exponential function के रेंज के बारे में हमें पूरा ज्यान होना चाहिए, पूरा आइडिया होना चाहिए, अपने को, right guys? अपने को, right guys? अब दोनों के अंदर हमें range बतानी है कि इनकी range कहां से कहां तक हो गए, ठीक है, तो first part का answer क्या होगा बच्चों लोग, first part में लिखा है y is equal to 2 ratio to the power x, second part में लिखा है y is equal to 2 ratio to the power x square, and range के बारे में basic चीज़े आपको पता है कि range is basically the values of y, कि y कहां से कहां तक है, ठीक है, यहाँ बट यहाँ पे range के बारे में पूछा गया है, मतलब y की values, तो first वाले के अंदर observe करेंगे, कि अगर x infinity जाएगा, तो y भी infinity जाएगा, right? In the first one, if x goes to infinity, y also goes towards infinity.

सही बात है न, power बढ़ाओगे, infinity तक जाएगा. और वैसे ही x minus infinity को जाएगा, तो y कहां को जाएगा? अगर power minus infinity को जाएगी, जैसे 2 की power minus infinity, तो 2 की power minus infinity 0 को approach करेगा, right?

y goes towards 2 raise to the power minus infinity, which is 0. तो y कहां से कहां तक की values ले रहा है, 0 से लेके infinity तक की. तो first part में जो range आएगी, range belongs to open bracket 0 to infinity. 0 exactly achieve नहीं कर रहा है, 0 को approach कर रहा है ये. Okay, अब second part में देखेंगे, second part में क्या फरक आ गया है, देखो exponential function ऐसा मैंने दिया है, तो मैंने बोला ही है कि इसकी range 0 से infinity रहेगी.

अगर मैं इसका third part बनाता हूँ, जैसे y is equal to 0.5 की power x, तो इसकी भी अगर मैं range के बारे में पूछूं, तो इसकी भी range क्या रहने वाली है, गाई, 0 से infinity रहने वाली है, but second part में कुछ अलग है, अगर y is equal to 0.5 की power x पूछूं, तो इसकी भी range 0 से infinity रहने वाली है, क्योंकि यहाँ अब अगर power infinity को जाएगी, तो y की value 0 को approach करेगी, but अगर यहाँ पर x minus infinity जाएगा न, तो y plus infinity जाएगा, है न, अगर x minus infinity, तो y basically approach कर रहा है, 0.5 की power minus infinity, that is basically approaching towards plus infinity, तो इसकी भी range जो है, 0 से infinity, first part की range जो है, वो 0 से infinity, अब second part की range के बारे में हम लोग सोचेंगे कि 2 की power x square इसकी range कहां से कहां तक आएगी, 2 raise to the power x square, ठीक है, सोचेंगे आप सब लोग, तो अब देखो power पे observe करेंगे, यह जो power है ना x square, वो greater than or equal to 0 होती है, क्या अब जो power है, वो minus infinity जा सकती है क्या, देखो first part में power minus infinity तक जा सकती तो भी यहाँ पे power अगर plus infinity गई तो y जीरो तक चला गया, बट इस part के अंदर क्या हो रहा है ना guys, y is equal to 2 raise to the power x square, second part में, गौर फर्माएंगे second part में, ठीक है, हाँ जी, अब यहाँ पे x square हमें पता है वो कि हमेशा greater than or equal to 0 रहता है ना, राइट, x square, is always greater than or equal to 0, तो y की जो minimum value रहने वाली है, y minimum is equal to 2 raise to the power 0, minimum value y की 2 raise to the power 0 रहेगी, फिर जब आप x को बढ़ाओगे, x को increase करते चले जाओगे, तो y भी increase करेगा, मतलब जब x को infinity लेके जाओगे, तो y बहुत बड़ी value आजाएगी, बट जो minimum value है, जो power की minimum value है, that is basically 0, तो y minimum 2 raise to the power 0, तो second part का answer आएगा कि y belongs to close bracket 1 to infinity, that is the answer for our second part, है ना, इसकी जो range है second part में, वो close bracket 1 से infinity के बीच में इसकी range आने वाली है, ठीक है, आगे जाके जब हम transformation of graphs पढ़ेंगे, तो वहाँ पे इसका अपन graph भी discuss करेंगे, कि 2 raise to the power x square का graph कैसे बनता है, अगर आपने already पढ़ रखा है transformation of graph, तो सूचिएगा कि इसका graph किस तरीके से बनेगा, चलो एक और question मैं देता हूँ, जहांपे, जैसे कि हो गया y is equal to 0.9 की power x square, इसकी range पूछ ली मैंने, कि what is the range for this, तो फिर से logically सोचना जरा, कि अगर power जो minimum है, minimum value of power क्या होने वाली है, minimum value of power हो जाएगी 0.9 की power 0, मतलब जब x 0 होगा, when x is equal to 0, What is the value for y? The value for y will be 0.9 की power 0 which is equal to 1. जब x जीरो होगा तो value of y होगी. और अगर जब x infinity को जाएगा, when x approaches towards infinity, तो y की value क्या आएगी?

तो जब power infinity को approach कर रही है, तो 0.9 की power infinity हमें पता है कि ये 0 को approach कर जाएगा. अगर 1 से जस्ट छोटा नंबर है, पावर infinity को approach किया जाये, तो वो 0 को approach करेगा, तो इसलिए देखो इसके पीछे एक moral story भी है, कि जब भी आप अपना कुछ काम करे ना, तो अपना 101% दो, 99% मत दो, क्योंकि 0.99 की पावर, अगर आप एक number of days के साफ से, कि आप daily 0.99 देते हो अ क्योंकि जिन्दी की तो बहुत लंबी है ना ठीक है तो suppose यहाँ पे 10,000 ही ले लिया अपने और 1.01 की power 10,000 calculate करके देखना इन दोनों में बहुत फरक पड़ जाएगा यह 1 से छोटा number आएगा 0.99 की power 10,000 एक 1 से छोटा number आने वाला है and 1.01 की power 10,000 वैसे ही अगर मैं power infinity को 0.99 की power infinity तो यह 0 को ही मिल जाएगा, और 1.01 की power infinity अगर मैं रखूंगा, 1.01 की power infinity तो यह infinity को चला जाएगा, यह बहुत बड़ा फरग आ गए हैं, देखो यहाँ पर 99% दिया, और बहुत सारे दिन अगर ले ले, सपोस है न, हर एक moment को ले ले, सपोस per second ले लिया मैंने, कि हर second तो 0.99 की power infinity 0 को approach करेगा, but 1.01 की power infinity guys infinity को approach करता है, चलिए, अब इसके graph के बारे में discuss करते हैं, क्योंकि मेरे को बड़ा interest इसका graph भी बताई देते हैं, तो इसका graph कुछ इस तरीके का बनेगा guys, कि x बराबर 0 पे y की value क्या है, जब power आप 0 रख रहे हो, x बराबर 0 हो, x बराबर 0 पे तो y की value 1 है, x बराबर 0 पे तो y की value 1 है, फिर सोचो जब आपने x को बढ़ाया, positive x-axis की तरफ का मैं graph एक बार सोच रहो, एक बार positive x-axis की तरफ का graph देखते हैं, तो जब आप x को बढ़ाओगे, x को 1 रखोगे, तो 0.9 आएगी y की value, x को 2 रखोगे, तो 0.81 आगई, x को 3 रखोगे, तो समझ में आ रही है ना पावर, और जो ग्राफ positive x-axis की तरफ बन रहा है, वही same to same ग्राफ negative x-axis में भी छापने का है अपने को, क्यों छापना है, क्योंकि देखो, यह even function है, even function क्या होता है, नहीं पता तो आगे जाके पता चल जाएगा, but even function के बारे में मैं कुछ बाते बता दूं, कि even function वो होता है, जो कि positive x-axis की तरफ जैसा ग्राफ बनेगा, वही ग्राफ negative x-axis की तरफ भी बनने वाला है, Basically, even functions are those functions which are symmetric about the y-axis. Y-axis के about symmetric functions को अपन लोग even function के नाम से जानते हैं.

ठीक है? यह symmetric क्यों होगा y-axis के about? बहुत logical चीज है, logical सोचो.

कि यार जो value 2 पे आ रही है, वही value minus 2 पे भी आएगी. x की जगे 2 रख दू, 2 का square 4, x की जगे minus 2 रख दू, minus 2 का square 4, मतलब जो value x बराबर 2 पे आ रही है, वही value minus 2 पे भी आएगी, जो value x बराबर 3 पे आ रही है, वही value minus 3 पे भी आएगी, तो that is why it is symmetric about the y-axis, तो इसका graph कुछ ऐसा बनेगा, और graph देखके भी आप range के बारे में comment कर सकते हो, कि minimum value of y 0 को approach कर रही है, maximum value of y 1 को जा रही है, तो इसकी range के बारे में हम लोग comment करेंगे, that its range is open bracket 0 to close bracket 1, 0 exactly हो नहीं पा रहा है, ठीक है, 1 exactly achieve कर रहा है guys, but 0 exactly हो नहीं पा रहा है, ना 0 को approach कर रहा है ये, so that is the range of 0.9 raise to the power x square, okay, तो इस type के अगर exponential function के साथ खेला जाए, आपसे range पूछ ली जाए, जैसे कि इस type का exponential function मैंने दी दिया, y is equal to 2 raise to the power, x2-4x3 suppose इसे दे दिया मैंने आप पावर में कुछ हैसा है एक quadratic मैंने दे दी है पावर के अंदर और इसके बारे में आपसे पूछा जाए कि what is the range of this exponential function what is the range of this exponential function ठीक है 2 raise to the power x2-4x3 तो फिर से मैं आप पावर को observe करूँगा कि जो पावर है x2-4x3 observe question क्या है question लिख देते हैं यहाँ पे find range find range. ठीक है? तो power है x square minus 4x plus 3. तो observe x square minus 4x plus 3. ठीक है? इसको observe करते हैं.

कि इसकी minimum value क्या होगी? इसकी maximum value क्या होगी? एक quadratic expression है.

quadratic expression की minimum maximum value निकालने के लिए चाहे तो यहाँ पे perfect square बना लो, perfect square बना के भी हम इसकी minimum and maximum value easily निकाल सकते हैं, ठीक है, एक तो यह तरीका हो गया है यहाँ पे, दूसरा तरीका हमने result देखा है कि यह जो quadratic होने वाली है ना, यह एक upward parabola होगी, मैं इस quadratic को observe कर रहा हूँ, ठीक है, सब कुछ भूल जाओ, बस इस इसकी जो minimum value होगी, इसकी कुछ minimum value होने वाली है, और वो minimum value क्या होती है, minus d upon 4a होती है, that minimum value is equal to minus d upon 4a, तो ऐसे करके हम minimum value निकाल सकते हैं, which is basically minus of discriminant, what is the discriminant for this, b square which is 16, minus 4ac, 16 minus 12, divided by 4a, divided by 4, So, minus of 16 minus 12 divided by 4, which is minus 4 by 4, which is minus 1. ठीक है? That is the y minimum. नहीं ना, this is the minimum value for this expression.

ठीक है? Minimum value. So, minimum value for this expression is equal to minus 1. Y minimum की जो value आ रही है, वो minus d by 4 ए calculate किया, तो minus 1 आ गई.

दूसरा तरीका होता है ये calculate करने का, कि हमें ये पता है, कि minimum जो occur करेगा, वो x बराबर minus b by 2a, ठीक है, x बराबर 2 पे minimum value इसकी occur करेगी, दूसरा तरीका यह हो गया, कि at x बराबर 2, minimum value will occur, तो x की जगए पे 2 रखके देखो, क्या बन रहा है, 4, 2 square 4, minus 8 plus 3, 4 minus 8 plus 3, that is again equal to minus 1, तो जो minimum value है, वो आने वाली है minus 1, तो इस expression की minimum value minus 1 है, और maximum value तो इस expression की infinity तक जा रही है, because यह upward quadratic है, and upward quadratic infinity तक की value धारन कर सकता है, ठीक है, तो इधर से range of y, ठीक है, range of y, basically range is equal to minimum value power की, 2 raise to the power minus 1, and maximum value हमने बोला infinity तक जा सकती है, तो maximum यह 2 raise to the power infinity तक जा सकता है, ठीक है, maximum यह 2 ratio to the power infinity तक जा सकता है, which is basically 1 by 2 to infinity, 2 ratio to the power minus 1, that is 1 by 2, 1 by 2 to infinity, that is the range of this expression, ठीक है, देखो quadratic की range ना guys, अपने आप में ना एक बहुत important topic है, कि what is the range of a quadratic, क्या तरीके है quadratic की range निकालने के, ठीक है, तो चलिए range जब मैं पढ़ाऊंगा, यहाँ ना range जब पढ़ाया जाएगा तो वहाँ पे discuss किया जाएगा तो अभी तो आगे बढ़ते हैं last class में मैंने एक question दिया था यह कुछ हमने property पढ़ी थी कि exponential function यह एक बहुती important property को satisfy करता है एक बहुती important property that f of x plus y is equal to fx into f of y बहुती ज़्यादा important property है यह जो कि exponential function fx is equal to a raise to the power x satisfy is this property, और इसी property पे J.E. Mace ने कई बार सवाल पूछे है, जैसे कि यह वाला हमने equation देखा था last class के अंदर, कि f of x plus y is equal to fx into f of y, मैंने बताया था कि इसके अंदर आप fx को, अगर यह functional equation दे रखी है, तो समझ जाना कि किसको बुलाना है a की power x को बुलाना है यहाँ पे x की value नहीं निकालनी, यहाँ पे a की value निकालनी, base पता चल जाएगा, तो हमारा function पता चल जाएगा, हमारा function पता चल जाएगा, तो जो भी पूछा गया है, जैसे f of 4 की value पूछी गई, आ जाएगी, x की जग़े पे 4 रखोगे, तो a की power 4, f of 4 की value आ गई, x की जग� 2, the value for this thing, summation x is equal to 1 to infinity f of x, इसकी value 2 है, ठीक है तो basically given है कि f of 1 plus f of 2 plus f of 3 and so on up to infinity, its value is 2 इस summation को expand कर दिया मैंने नहीं न, x की जगे 1 रखोगी तो f of 1 मिलेगा, x की जगे 2 रखा तो f of 2 x की जगे पर 3 रखेंगे तो f of 3 मिलेगा and so on, यह चीज चल रही है infinity तक, तो इसको मैंने x expand कर दिया, यह equal to दे रखा है, 2 के equal, f of 1 की value सोचो जरा, कि जब x की जगे 1 रखेंगे, तो f of 1 की value क्या आएगी, a की power 1 आएगी sir, 2 रखोगे तो, a की power 2 आएगी sir, तो समझ जाओ ना बातों को, क्या समझे, कि f of 1 तो a की power 1 आगया, f of 2 a की power 2 आजाएगा, f of 3 a की power 3 आजाएग ये class 11th का portion है, कई बच्चे बोलते रहते हैं कि सर, मैं आपके comments देखता हूँ, तो कई बच्चों ने बोला है कि सर 11th revise करवाईए, तो बिल्कुल मैं चाहता हूँ कि 11th revise करवाईए, पर एक बार के लिए आप 12th पर थोड़ा focus करें, because 12th जब करोगे न, तो 11th के important concept आप धीरी धीरे अपना आप समस्ते चले जाओगे, तो 12th पर focus करो, बट tension मत लो, 11th के भी लियाएंगे one shot, don't worry, तुम्हें अगर चाहिए कि 11th के सारे यह टॉपिक्स हमें रिवाइस करने हैं, बता देना, लियाएंगे, ओके गाइस, तो अभी तो यह दुरुना सीरीज चल दिये, तो इसके अंदर तो हम 12th पर फोकस कर रहे हैं, बहुत सारे वीडियोस प्लांड है आपके लिए 12th के उप अपन 1 minus the common ratio, common ratio is also a, the first term is a, the common ratio is also a, so the sum of this infinite GP is a upon 1 minus a, which is equal to 2, ठीक है, तो यह बन गया, a is equal to 2 minus 2a, तो इदर से 3a की value आ गई, the value for 3a is equal to 2, so the value of a is equal to 2 by 3, एक वैल्यू यहां से 2 by 3 के equal आई है, जो यहां पे put कर दोगे, जो हमें finally निकालना है, क्या निकालना है, f of 4 upon f of 2 की value निकालनी है, तो वो तो आ गई, बहुत ही आसान की, sir, f of 4 upon f of 2, that will be equal to, f of 4 हो जाएगा, तो एक जगह पे 2 by 3 रखा ना, function हमें मिल गया है, fx is equal to, 2 by 3 की power x, that is the function we are getting, fx is equal to 2 upon 3 की power x, एक ही जगए पर 2 by 3 रख दिया तो, तो f of 4 की value हो जाएगी guys, f of 4 की value हो जाएगी 2 by 3 की power 4, तहीं बोल रहो मैं, f of 4 की value 2 by 3 की power 4, and f of 2 की value हो जाएगी 2 by 3 का square, देखो अब तो हो गया, खतम है सवाल, f of 4 की value 2 by 3 की power 4, और f of 2 की value 2 by 3 की power 2, ठीक है, x की जगह पर 2 रखोगे, तो basically a square, x की जगह पर 4 रखोगे, तो a की power 4, a की value या चुकी थी, वही हमारा सवाल था, कि a की value निकला है, अब देखेंगे एक और सवाल, इसी टाइप का, जैसे ये j means, अपरिल, 90 में पूछा गया है, फिर से यही functional equation दे दिये, देखो, ज� पहला step ही आपका ये होगा कि function मनना भाईया पहला step क्या होगा function मनना अगर ये functional equation given है तो अगर ये भूल गया है तो पुरा game खतम है अगर ये functional equation को भूल गया है कि f of x plus y is equal to fx into f of y, इसको satisfy करने वाला function एक ही power x है, अगर ये भूल गया है तो पूरा equation हो, फिर तो क्या ही करोगे आगे, फिर इस question में कुछ नहीं बचेगा, तो इसलिए ये important है, और अगर ये याद रह गया, तो सचो कितना मज़ा आजाएगा, और आपको यह याद रहा कि हाँ, ऐसा कुछ होता तो है, तो सोचो कितना मज़ा आजाएगा, उसके बाद सवाल में कुछ नहीं बचाएगा, इसके बाद सवाल में कुछ नहीं बचाएगा, अब यह जो given आपके सामने दे रखा है न, equation, पस इससे information निकालनी है, तो fx is equal to a की power x हमने मना है, और यहाँ पे दे रखा है कि f of a plus k, f of a plus k को क्या लिख सकते हैं अपन, f of a plus k को लिख सकते हैं, f of a into f of k, है ना, f of a plus k को f of a into f of k लिख सकते हैं हम. अच्छा मैं fx a की power x की बजाय कुछ और मान लेतों guys, क्योंकि a already equation में दे रखा है ना, a already किसी और चीज के लिए, इस variable को already equation में use कर लिया, तो अपन अगर कोई exponential function consider कर रहे हैं ना, तो कुछ और variable consider कर लो, क्योंकि already equation के अंदर a variable को use किया गया है, तो ताकि आप confusion ना हो, क्योंकि हमने यहाँ पे a को consider कर लिया, तो एक काम करो, base A की बजाए कुछ और मान लेते हैं, K भी, अरे K भी इसने consider कर लिया, क्या माना जाए?

B की power X मान ले क्या? ठीक है? चलो B raise to the power X मान लिया, है न? चलो ये मान लेता है, Fx is equal to B raise to the power X, जहांपे B कोई base है, B की power X हमने, ये हमारा exponential function यहाँ पे मना है, तो F of A plus K की value हो जाएगी, F of A into F of K, लिख सकते हैं?

A क्या होगा guys, F of A क्या होगा, अगर ये F of X है, तो X की जगए पे A रख दूँगा, तो F of A हो जाएगा न, क्या बन जाएगा, B की पावर A बन जाएगा, समझ मारी बात है, हाँ जी guys, F of A, अगर X की जगए पे A रखूँ, तो ये B की पावर A बन जाएगा, so that is F of A, and F of K क्य तो यह बन रहा है b raised to the power a into b raised to the power k, that is the value for f of a plus k, यह हमें मिल रही है, f of a plus k के value, b raised to the power a into b raised to the power k, अब इसके उपर summation लगा गया है, k is equal to 1 से लेके 10 तक, तो चलिए अपन भी लगा देते है, अपन भी लगा देते है, कि summation, summation k is equal to 1 to 10, k is equal to 1 to 10, and f of a plus k है न, और इसकी value दे दी किसी के एक बल, ठीक है, और f of a plus k को मैंने अभी भी बोला कि इसको f of a into f of k लिख दो, f of a की value यह है, f of k की value यह है, तो यहाँ पर लिख दिया, k is equal to 1 to 10, b raised to the power a into b raised to the power k, समझो यहाँ पर बातों को ध्यान से, ठीक है, तो यह है, f of a plus k की value b raised to the power a into b raised to the power k, साथ के साथ लिखते चलो, करते रहो साथ में equation, ऐसा नहीं कि तुम सब चीज़े देख रहे हो, क्योंकि देखने से, मैस का equation जब lengthy चला जाता है ना, तो वहाँ पे सिर्फ बैठ के देखने से कुछ नहीं होगा, ठीक है, वहाँ पे अपने को सासात करना पड़ेगा, वीडियो बीच में पॉस करो, देखो अभी तक मैंने क्या-क्या चीज़े समझाई है, क्या-क्या information हमने collect करी है equation से, तो यही information k को submission के अंदर रखा क्यूं क्यूंकि submission k पे है submission k पे है तो b ratio the power k को ही submission के अंदर रख दो b ratio the power a का तो कोई काम ही नहीं है वहाँ पे के के शादी है k रहेगा ना यार बाकियो क्या काम है इसको क्यों बिना मतलब खड़ा कर रखा है साइड में तो ये बन रहा है guys b ratio the power a times summation b ratio to the power k, k is equal to 1 to 10, तो देखो जब k की value 1 रखोगे तो b की power 1 बनेगा, k की value 2 रखोगे तो b की power 2 बनेगा, right, ऐसा कुछ बनेगा, k की value 1 रखोगे तो b ratio to the power 1, k is equal to 2 पे b ratio to the power 2, k is equal to 3 पे b ratio to the power 3, and so on, up to b ratio to the power 10, यह बनने वाला है, यही वो summation है जो लिख रखा था, और equal to इसके equal दे रखा है, तो यह बन रहा है b ratio दा power a times एक gp दिखाई दे रही है अपने को, एक gp है जिसकांदर number of terms 10 है, जिसकाई first term भी b है, common ratio भी b है, first term भी b, common ratio भी b, तो gp का sum मैं आपको याद दिला दूं कि sum of this gp is equal to है ना, sum of this GP is equal to b raise to the power, b into b raise to the power n minus 1 upon b minus 1, ठीक है, यह होगी sum of this GP, ठीक है, is equal to अपने को कुछ दे रखा है, अच्छा सवाल पूरा पढ़ना चाहिए था मुझे भी, कि f of 1 की value भी 2 दे रखी है, मज़ा आ गया, फिर तो मतलब base पता चल गया अपने को, अगर f of 1 की value यहाँ प तो थोड़ा b की value तो पता ही चल गई, थोड़ा simplify हो जाएगा ना guys, समझ मारी वात है, तो चलिए, तो यहाँ पे x की जगह पे 1 रखते हैं, तो f of 1, which is b raised to the power 1, which is given as 2, यह given है guys, ठीक है, f of 1 will be b raised to the power 1, which is given as 2, so b की value 2 आ गई, b की value 2 यहाँ पे put कर दो, तो equation और simplify हो गया, ठीक तो यहाँ पे b की जग़े पे 2 put कर देंगे, तो यह बन रहा है 2 की power a, 2 raise to the power a, into 2, multiplied by 2, multiplied by 2 raise to the power n minus 1, और n की value क्या है, 10 है, number of terms is gp में 10 है, तो 2 raise to the power 10 minus 1, upon 2 minus 1, 2 minus 1, denominator में 1 बन जाएगा, is equal to, is equal to दे रखा है 16 into 2 raised to the power 10 minus 1, is equal to 16 into 2 raised to the power 10 minus 1, समझेंगे बातों के धियान से, f of a plus k is equal to f of a into f of k लिख दिया, f of a की value b की power a, f of k की value b raised to the power k, जहांपे b हमने इस exponential function का base मना है, इस b की value भी निकाल ली थी, क्योंकि यह information दे रखी, जो मैंने finally in the end put करी है, तो f of a plus k की value, f of a into f of k हमने लिख दी, b ratio to the power a को बाहर ले लिया, summation k is equal to 1 to 10, b ratio to the power k, that is basically b ratio to the power 1, plus b square, plus b cube, up to b ratio to the power 10, यहाँ पे sum of 10 terms of a GP का formula लगा दिया, और फिर जिसके equal दे रखा है, उससे finally in the end equate कर दिया, तो क्या इस equation से आप a की value देख पा रहे हो क्या? यह जो equation बनी in the end, क्या इदर से a की value आप लोग पहचान पा रहे हो, कि यह तो factor cancelled out ही हो गया, 2 raise to the power 10 minus 1, 2 raise to the power 10 minus 1, ठीक है, 2 को the division में भेजा, 16 by 2, 8 हो जाएगा, मतलब यहां से, 2 raise to the power a की value 8 आ गई, और हमें a की value ही पूछी गई थी, then the natural number a is equal to, so if 2 raise to the power a is equal to 8, the value of a will be 3, so this was good equation अच्छा था पर इतना भी ज़्यादा अच्छा नहीं था ठीक ठाक था कर लोगे बहुत easily आप इस type के equations ठीक है अब देखो एक और equation j means 2020 में फिर से यहाँ पर यही functional equation फिर से टकरा गई है तो यह कर लेना guys homework मैं दे रहा हूँ मैं आपको यह equation you can easily do this one okay now let's move ahead If a function is defined by an implicit equation, 2 raised to the power modulus of x plus modulus of y, plus 2 raised to the power modulus of x minus modulus of y is equal to 2, एक function इस तरीके से equation में है, implicit किसको बोलते हैं? Implicit function देखो क्या होता है, implicit, explicit के बारे में idea दे देता हूँ आपको, explicit function होता है, जो कि ऐसे represent होता है, y is equal to f of x, अगर कोई function इस तरीके से represented है, y as a function of x, तो मतलब वो express है, explicit हो गया, इसको अपन बोलेंगे explicitly defined, explicit मतलब कि explain किया गया है, obvious में explain किया गया है y as a function of x, यहाँ पर देखो y as a function of x की तरह represent नहीं किया गया है, जैसे कि अगर मैंने एक equation दे दी, y is equal to x square minus 1, तो यह तो मैंने explicit तरीके से लिख दिया, और इस equation को मैंने अगर ऐसा लिख दिया y-x2 plus 1 equal to 0, तो यह हो गया implicit तरीका लिखने का, ठीक है, है न, यह तो explicit तरीका हो गया कि y as a function of x, यह मैंने implicit तरीके से लिख दिया इस equation को, तो वैसे यह matter नहीं कर रहा था, बट अगर किसी के मन में doubt आ जाए, सर यह implicit का मतलब क्या है, ओके, तो एक equation दे रखी है, 2 ratio to the power modulus of x plus modulus of y, 2 raised to the power modulus of x plus modulus of y plus 2 raised to the power modulus of x minus modulus of y is equal to 2. ये एक equation हमारे सामने दे रखी है, तो हमें इसकी domain बतानी है, इसकी range बतानी है.

तो domain and range क्या होती है guys? Domain is basically the values of x, range is basically the values of y. एना, domain मतलब x की values क्या होगी, range मतलब y की values क्या होगी. ठीक है, ये तो था domain and range. ओके, समझते हैं यहाँ पे, तो domain range निकालने के लिए इधर observe करना पड़ेगा अपने को, observe देखो कैसे करेंगे, सबसे पहले तो basic property of exponential हमने लगाए कि 2 की power modulus of x plus modulus of y को, क्या हम ऐसे लिख सकते हैं, 2 की power modulus of x into 2 ratio the power modulus of y, we can write it like this, plus 2 ratio the power modulus of x upon 2 ratio the power modulus of y is equal to 2, 2 ratio to the power modulus of x minus modulus of y can be written like this, 2 ratio to the power a minus b is equal to 2 ratio to the power a upon 2 ratio to the power b, ऐसे लिख सकते हैं, अब देखो कुछ common जा रहे हैं गया इन दोनों टम्में से, हाँ जी, तो 2 ratio to the power modulus of x common जा रहा है, तो 2 ratio to the power modulus of x को हमने common निकाला, तो अंदर क्या बचा, अंदर बचा है 2 ratio to the power modulus of y, यह common निकालने के बाद में यह बचेगा bracket के अंदर, which is equal to 2. अब यहाँ पे observation बहुत काम आएगी.

I hope कि आपने इस question को, है ना, इसका solution देखने से पहले एक बार खुछ से, pause करके attempt किया होगा, मैं बस इतनी उमीद करता हूँ, अब observation क्या है guys, सबसे पहले तो इस expression को देखके आपको क्या feel आती है? इस expression को देखके हमें ये feel आती है कि एक number और उसका reciprocal लिखा है. A sum of a number plus its reciprocal and always remember, एक चीज़ हमेशा ध्यान रखे, कि एक number ले लूँ मैं और उसका reciprocal ले लूँ और इसका sum मैंने पूछ लिया, और अगर ये number positive number है, तो इसका sum हमेशा greater than or equal to 2 होगा, अगर ये number positive number है तो.

But अगर ये ही number negative number हुआ, तो इसका sum हमेशा less than or equal to minus 2 होगा, ये सत्य वचन है, ये universal fact है, जहाँ पे a is any real number, एक ऐसा number है, एक real number है, imaginary की बात नहीं चल रही है, तो कोई भी real number ले लो, तो इसका sum जो होगा, वो greater than or equal to 2 होगा, अगर वो number positive हुआ तो, मतलब 2 उसकी minimum value होगी positive number के लिए, जब इसकी value भी 1 हो जाए, इसकी value भी 1 हो जाए, मतलब 1 and 1 का reciprocal 2 value देगा, अब अगर आप 1 के अलावा कोई भी positive number लेते हो, जैसे 0.5 लेनी, 0.5 and 0.5 का reciprocal, क्या मैं बोल सकता हूँ कि इसका जो sum होगा वो 2 से बड़ा होने वाला है, है ना guys, है की नहीं है, देखो 0.5 हो गया 1 by 2 तो minimum value कब achieve कर रहा है, जब ये number 1 हो जाए, तब minimum value achieve कर रहा है, positive numbers के बारे में बात करूँ तो मैं, ठीक है, यहाँ पे भी जब ये minus 1 value achieve कर रहा है, एक printing mistake हो गई यहाँ पे, ठीक है, a plus 1 by a, अगर a एक negative number है, तो इसका sum less than or equal to minus 2 होने बाला है, ओके, clear इति बात है, जैसे कि हमने एक example लेके भी देख लिया, कुछ से कुछ example सोच लो, जैसे 0.9 and 0.9 का reciprocal, 2 से बड़ा number है, तो minimum value का बचीफ कर रहा है, जब ये number 1 हो, 1 and 1 का reciprocal, greater than or equal to 2 है, तो यहाँ पे अगर मैं बात करूँ इस question में, तो ये positive number है न, 2 की power modulus of y, 2 ratio to the power modulus of y is a positive number, एक positive number है ये, तो positive number है, तो मतलब ये greater than or equal to 2 होने वाला है, और 2 raise to the power modulus of x, ये greater than or equal to 1 होने वाला है, range of 2 raise to the power modulus of x, है न, जब modulus of x, power जब 0 हो जाएगी, तब इसकी minimum value आएगी 1, 2 raise to the power 0, that is 1, otherwise आप x की value कुछ भी ले लो, वो 1 से बड़ी ही value आ रही है, जैसे x की value 0.5 ली, 2 की power 0.5, which is root 2, which is 1.4 something, ठीक है, तो x की value कुछ भी ले लो, 0 के Observe कर सकते हो, Observation, strong करो अपनी. तो देखो, यह greater than or equal to 1 है, यह greater than or equal to 2 है, तो इसका जो product होगा, वो भी हमेशा greater than or equal to 2 होने वाला है. Their product will always be greater than or equal to 2, but the right hand side is written as 2, right hand side वह 2 दे रखा है. तो यह left hand side, right hand side के equal तभी आएगी, equality कब आएगी, equation कब satisfied होगी, जब यह 1 के equal हो जाए, मतलब 2 ratio to the power modulus of x तो 1 होना चाहिए, 2 ratio to the power modulus of x वन होना चाहिए, and यह जो value है वो 2 के equal होने चाहिए, तो 2 ratio to the power modulus of x वन होगा, जब x 0 के equal होगा, ठीक है, and 2 ratio to the power modulus of y, plus 1 upon 2 ratio to the power modulus of y, that should be equal to 2, और यह equal to 2 तब आएगा, जब y 0 होगा, देखो, observe करो, हाँ जी, समझ में आ रही बात है, कि जब देखो y जी 0 के equal होगा, तो ये बन रहा है 2 की power 0, which is 1, plus 1 upon 2 की power 0, which is again 1, तो 1 plus 1 लिखा है, that is equal to 2, तो y is equal to 0 and x is equal to 0, यही points ऐसे हैं, मतलब x की एकी value आ गए 0, y की एकी value आ गए 0, इसके अलावा कोई भी इस equation को satisfy नहीं कर रहा है, x is equal to 0 and y is equal to 0 are the only members which are satisfying this equation.

ठीक है? तो domain of this function is singleton, singleton मतलब single value, क्या domain में एक ही single value है? जी हाँ है. Range of this function is singleton, range में एक ही value है? जी हाँ है.

Range मतलब y की value? y की एक ही value आ रही है 0, x की value एक ही आ रही है 0. Basically ये function ना सिर्फ एक point को represent कर रहा है. अगर कल को आपको कोई बूल दे की, बताओ इस function का graph draw करो, तो इस function का graph क्या आएगा, एक बिंदू आएगा, एक point आएगा, बस, और कुछ नहीं आएगा, और वो point है 0,0, ठीक है, clear, so range of this function is singleton, yes, second is correct, first is also correct, domain of this is also singleton, third says that graph of the function intersects the line y is equal to x, है न, इसका graph क्या है, एक point है, 0,0, तो क्या वो y is equal to x को intersect कर रहा है, जी हाँ, y is equal to x 0,0 से pass कर रही है, तो a,b,c correct हो गया, maximum value of function is 2, नहीं, function की जो maximum value आ रही है, वो 0 ही आ रही है, देखो, ठीक है, y की value 0 ही आ रही है, एक ही value आ रही है इस function की, ठीक है, तो ये कहना अपना गलत हो जाएगा, ठीक है, तो a,b,c, देखो, y की value आ रही है, 0, ये बोल रहा है कि y की value 2 आ सकती है, function की value क्या हो गई, function की value basically y की value हो गई, यह बोल रहा है कि y की value 2 आ रही है, तो 2 तो नहीं आ रही है, y की value तो सिर्फ 0 आ रही है, तो यह एक ऐसा function है, जिसको सिर्फ x is equal to 0 and y is equal to 0 ही satisfy कर पा रहा है, चलिए आगे बात करते हैं, let's move ahead, the domain of definition of the function yx is given by this equation, तो देखो एक इस परकार की फिर से एक implicit function दे रखा है अपने साथ में, which is 2 raised to the power x, plus 2 raise to the power y is equal to 2, एक implicit function हमको दे दिया है, और इसमें क्या पूछा गया है, domain, what is the domain of this function, लगे हाथ range भी निकाल लेंगे, j2000 का question है, domain पूछा गया है, range भी हम लोग दोनों find out करने की कोशिश करेंगे, what is the domain, what is the range of this function, okay, let's hear me, हाँ जी guys, तो domain और range का तड़ीका क्या रहता है न, इस question को देखके हमें ये feel आ रही है कि इसकी domain and range same होने वाली है, domain and range will be same, same क्यों होंगी इसकी domain and range, क्योंकि देखो x and y के terms में एक symmetric function है, this is symmetric in terms of x and y, symmetric in terms of, x and y, x and y के terms में एक symmetric सा function है, अगर x और y के values पलट दूँ तो कोई फरक नहीं पड़ रहा है, अभी अपन domain range निकालेंगे तो और आपको feel आजाएगी कि domain and range same क्यों है, ऐसा क्यों है कि domain and range same आ गई, तो guys, I can write this function as 2 raised to the power y या फिर 2 raised to the power x, क्योंकि इन दुनों में से किसी भी एक term को इस side भेजोता है, इन दोनों में से किसी भी एक term को right hand side में रवाना कर दो, तो suppose मैंने 2 ratio to the power y को रवाना किया, या फिर 2 ratio to the power y को यहाँ पर रखा, and 2 ratio to the power x को उस side रवाना कर दिया मैंने, तो ऐसा बनेगा क्या, 2 ratio to the power y is equal to 2 minus 2 ratio to the power x, ठीक है, तो इसको मैं या तो explicit form में बदलने की कोशिश करूँ, एक तरीका होता है कि इसको मैं explicit form में बदलने की कोशिश करूँ, मतलब यहाँ पे y की value निकालू in terms of x, अगर कोई function मेरे को y is equal to f of x format में given हो, तो उसकी domain के बारे में comment करना थोड़ा easy हो जाता है, तो approach यह रहती है एक तो, तो यहाँ से अगर मैं y की value निकालता हूँ in terms of x, तो इसके लिए log ले लो दोनों side, दोनों side log ले लेंगे, तो left hand side में दोनों साइड हमने log ले लिया with base 2 दोनों साइड लॉग लिया है with base 2, तो यह देखो, left hand side में 2 raise to the power y है, वो लॉग के अंदर आ गया, right hand side में यह complete expression है, जो लॉग के अंदर आ गया with base 2, ठीक है, y इधर multiplication में आ जाएगा, तो y की value आ गया, y की value क्या आ रही है, log 2 minus 2 raise to the power x to the base 2, that is the value of y we are getting from here, कि log के अंदर जो भी मसाला होना चाहिए, वो greater than 0 होना चाहिए, है ना, तो 2 minus 2 ratio to the power x, should be greater than 0, तो 2 should be greater than 2 ratio to the power x, तो basically this is 2 ratio to the power 1, greater than 2 ratio to the power x, यही तो लिखा हुआ है, left hand side में क्या है, 2 ratio to the power 1 है, that is greater than 2 ratio to the power x, तो powers को compare करो, तो समझ मा रहा है, जो यहाँ पे power x है, x should be less than 1, x should be less than 1, तो x की value कहां से कहां तक आ सकती है, minus infinity से 1 तक कोई भी value आ सकती है, है ना, x should be less than 1, तो minus infinity से 1, option में दे नहीं रखा, किसी भी option में, ठीक है, यहाँ पे कुछ तो गडबड है दया, minus infinity से 0, the domain of the following, अच्छा, मेरे का अगर equation गलत print हो गया है, ओके, equation ही गलत print हुआ है, तो इसके अंदर मैं चारो options हटा देता हूँ एक बार के लिए, इस equation को अलग से ले लेते हैं, ठीक है, तो यह जो equation है, जैसे इसकी domain and range, find domain and range, तो एक तरीका मैंने बताया इसका, इसका मैं दूसरा तरीका बताता हूँ, range of 2 raise to the power x plus 2 raise to the power y is equal to, इसकी domain and range के बारे में फिर से discuss करते हैं मैंने जैसा कि बताया था कि किसी भी एक को set बेज दो तो अगर मैं को domain and range निकालनी है तो फिर से दूसरा तरीका बिना log लिये दूसरा तरीका यह रहेगा बिना log लिये कि 2 ratio to the power y is equal to 2 minus 2 ratio to the power x ऐसा हमने ले लिया है अब left hand side जो है वो हमें पता है greater than 0 है LHS जो है we know that 2 ratio to the power y यह जो चीज होने वाली है, 2 ratio to the power y, वो हमेशा greater than 0 चीज होगी, right?

क्योंकि exponential function is always greater than 0. तो यही जो right hand side भी होने वाली है, वो भी greater than 0 होना चाहिए, ठीक है? बस यही एक फंडा हमने लगा दिया. बिना log लिये basically, इसी चीज को observe करने का तरीका. अब यह equation मैंने log लेके भी दिखाया था आपको, कि log लेके मैंने बता दिया था, कि y की value बताती थी, log of 2 minus 2 ratio to the power x to the base 2, है न, log लेके हमने देखा था.

अब बिना log लिया अगर इस equation को करेंगे, तो directly इसको greater than 0 बोल दो, इसको greater than 0 बोलेंगे, तो इदर यह मिल रहा है कि 2 should be greater than 2 ratio to the power x, ठीक है, 2 ratio to the power x को set भीजा, 2 should be greater than 2 ratio to the power x, so basically 2 ratio to the power 1, अगर 2 ratio to the power x से बड़ा है, तो 1 भी x से बड़ा होने वाला है, मतलब x should be less than 1, 1 से छोटी सारी values ले लो, मतलब x belong to minus infinity to 1, तो ये इसकी domain हो जाएगी, minus infinity से 1 तक, this is the domain for this function, okay, clear, और वहीं पे ये अगर मैं इसकी range के बारे में बात करूँ, range मतलब y की values, तो समझ सकते हो y की values भी same आने वाली है, क्यों same आने वाली है, क्योंकि अगर ये same तरीका मैं वहाँ पे भी अपनाऊंगा, कि इस बार मैंने 2 की power x को रखा इदर, और 2 raise to the power y को side भेज दिया, तो ये बनेगा न, 2 raise to the power x is equal to 2 minus 2 raise to the power y, ऐसा बनेगा guys, right, फिर से अपने यही बोलेंगे, कि यह चीज तो positive चीज है, तो यह वाली चीज होगी, वो भी greater than 0 होना चाहिए, मतलब 2 should be greater than 2 ratio to the power y होना चाहिए, तो आप power को compare करोगे, कि 1 is greater than y, so y less than 1, so the values of y, which is the range, the values of y is the range, is from minus infinity to 1, तो domain and range इसकी same आ रही है, और वो हमने starting में ही बता दिया था, feel लेके कि भाईया domain and range की same आने वाली है, clear है इतनी बाते, चलिए आगे बढ़ते हैं फिर, okay, कुछ question है आपके सामने, थोड़ा graph की आप feel ले लो, इसलिए आपके सामने कुछ सवाल है, कि state the value of f of minus 1, ये graph देखके आपको f of minus 1 की value क्या नजर आ रही है, क्योंकि graph पढ़ना हमें आना चाहिए, graph पढ़ पाना बहुत important है, तो f of minus 1 मतलब जब x की value minus 1 है, देखो जब x minus 1 है, यहाँ पे x-1 होगा, तो एक random graph given है आपके सामने, है न, तो x-1 है, तो y की value क्या है इदर, तो इदर से देखो, y की value कितनी मिल रही है, ये कितनी value मिल रही है, तो ये minus 2 value मिल रही है, देखो, ये होगे minus 1, ये होगे minus 2, so the value of f of minus 1 is equal to minus 2, simple, now let's move ahead, For what values of x is f of x is equal to 2? x की किस value के लिए? मतलब y की value हमको 2 दे दी है, f of x की value 2 दे दी, और हमसे x की value पूछी गई है, मतलब y की value अपने को 2 provide कर दी है इन्होंने, कि y is equal to 2, ये बताओ x क्या होगा? y is equal to 2, ये बताओ x क्या होगा? तो जब y 2 है, तो यहाँ पे x क्या मिल रहा है?

देखो, when y is 2, x is 1, so the value for x, is equal to 1, this is the answer for this part है न, pause करें एक बार खुछ से जरूर attempt करें, जैसे इसने domain and range पूछी है, तो एक बार pause करना, खुछ से attempt करना क्या आप domain and range देख रहे हो फिर मेरी आगे के बास सुनना, ठीक है तो domain इसकी क्या हो जाएगी domain के लिए मैं देखूँगा कि horizontally x कहां से कहां तक cover कर रहा है तो देखो सबसे जो leftmost point है सबसे leftmost point हो गया ये वाला और सबसे rightmost जो point है इस graph का वो ये वाला है guys, ठीक है, तो कहां से कहां तक horizontal distance cover करी गई है, ये point minus 1, ये point minus 2, ये point minus 3 हो जाएगा, तो minus 3 से लेके 3 तक horizontal distance cover करी है, तो x belongs to minus 3 to 3, that is the domain of this function. रेंज के बारे में देखूंगा तो मैं vertical movement देखूंगा, vertically कहां से कहां तक, तो सबसे जो lowest point है, सबसे lowest point कौन सा दिख रहा है, यह वाला दिख रहा है कि आपको भी, मुझे भी यही दिख रहा है, यह सबसे lowest point दिख रहा है, जो कि है, यह हो गया, minus 1, यह हो जाएगा, minus 2, so minus 2 is the lowest point on this graph, right, minus 2 lowest हो गया, highest point देखा जाएगा, तो यह वाला highest point है, which is 3, तो minus 2 से 3 के बीच में ग्राफ है, तो यहाँ पे y की value, which is range, range is minus 2 to 3, so that is the answer for this part, are we clear, हाँ जी, okay, now, on what interval is function increasing, कौन से interval में function increase हो रहा है, तो increasing देखो, मतलब जहाँ पे slope, positive मिल रही हो वो increasing हो गया देखो इधर तो slope 0 है ये minimum वाला point हो गया यहाँ पे क्या होती है न slope 0 होती है slope मतलब हो गया कि अगर इधर tangent drop करोगे तो tangent is parallel to x axis that is why slope is 0 इसके आगे देखा जाए तो slope positive है हर जगे इसके आगे slope positive है ठीक है तो इस point से आगे है न on what interval x की किस values के लिए तो x बराबर minus 1 से x बराबर 3 minus 1 से आगे भड़ो, आप किसी को भोलोगे, तो देखो, minus 1 से आगे जाओगे, तो increase हो रहा है, जैसे से आगे भड़ रहे हो, यह increase हो रहा है, कहीं पर भी देख लो, इस point पर देखो, slope positive है, देख पारो न, कि tangent drop करी, and positive slope की tangent मिल रही है, ठीक है, slope अपने को पहचानना आना चाहिए, positive slope का मतलब क्या हुआ, कि यह जो line है, that is making an acute angle with the positive direction of x-axis, ठीक है, अगर कोई line ऐसा acute angle बना रही है, तो मतलब slope उसकी positive है, अगर कोई line obtuse angle बना रही है, तो मतलब इसकी slope negative है, slope के बारे में comment करना आना चाहिए अपने को, तो अगर यहाँ पर कहीं पर भी tangent drop करोगे, तो acute angle बनाएगी, that is why we can say that slope is greater than 0, m greater than 0 हो जाएगा, ठीक है, so कौन सा interval मिला, minus 1 से लेके 3 तक का interval मिल रहा है, तो x belongs to minus 1 to 3, minus 1 से 3 तक के interval में, है न, यह increasing है, इससे पहले देखो decreasing है, यहां से minus 3 से लेके, minus 1 तक इधर यह decrease हो रहा है, right guys, now, estimated value of f of 2, f of 2 की estimated value आपसे पूछी गई है, तो x बराबर 2 पे देखो जरा, x बराबर 2 पे, value क्या मिल रही है estimated, तो कुछ, 3 के करीब मिल रही है, एक्स बराबर 2 पे कुछ 3 के करीब value मिल रही है, तो 3 के पास में 2.8 दिख रहा है अपने को, 2.2 से तो ज्यादा ही है, और ये 2.8 हमारा answer हो जाएगा इस question के लिए, 2.5 से भी ज्यादा ही है, 3 के ज़्यादा पास ही है, तो ये 2.8, easy, estimated value of x such that f of x is equal to 0, f of x कहां 0 हो रहा है, function किदर zero हो रहा है, so function वहाँ zero होगा, जहाँ पर यह x-axis को cut कर रहा होगा है, f of x zero, मतलब y की value दे दी, अपने को x की value बतानी है, तो x की value एक तो इदर यह function zero हो रहा है, एक point यह मिल गया, ठीक है, तो एक point मिल रहा है, देखो, 0 से 1 के बीच में, जीरो के करीब वाला point है, 0 से 1 के बीच में, कुछ 0.5 से छोटा point मिल रहा है, estimate करने को बोला है, तो estimate अपन, minus 2.5, 0.8, minus 2.9, 0.3 दिख रहा है और साथ के साथ एक और point यहां पे भी दिख रहा है अपने को यह point exactly यह हो गया minus 2, यह हो गया minus 3 तो यह वाला जो point है ना वो exactly minus 2 and minus 3 के बीच का point है मतलब minus 2.5 हो जाएगा यह minus 2.5 तो इसके दो answer होंगे guys estimated value of x such that f of x is equal to 0, so minus 1, minus 2, minus 2 and minus 3 के बीच में, exact उनके middle में मेरे को ये point दिखाई दे रहा है, so minus 2.5 भी आ जाएगा, and 0 के करीब, मतलब ये 0.3 भी आ जाएगा, तो इसका answer option A and option D दोनों हो जाएगे, clear, तो बस ये equation इसलिए था, ताकि आप लोग graph के बारे में अच्छे से समझ पाएं, ओके गाइस, तो चलिए अब बात करते हैं logarithmic function की, तो logarithmic function log of a to the base b, ये क्या देता है, एक power देता है, the output of logarithmic function is a power, so log of a to the base b, ये हमें क्या power देगा, this is basically कि b की क्या power raise करूँ कि a मिल जाया है, ना, b की क्या power हम raise करें कि ये number a मिल जाया है, ये notation होता है लिखने का, ठीक है, य तो इसका मतलब यह हुआ कि यह base 10 की क्या power raise करूँ कि मुझे यह वाला number मिल जाए, 100 मिल जाए, 10 की क्या power raise करूँ कि 100 मिल जाए, तो यहाँ पे आपको पता है कि इसकी power अगर आप 2 raise कर दोगे तो 100 मिल जाएगा, तो यह हो गया logarithmic form of a statement, लोग form, logarithmic form of a statement, इसी form को exponential form में भी change करा जा सकता है, क्योंकि मैंने बोला था exponential and logarithmic एक दूसरे के inverse होते हैं, ठीक है, अब इसी को अगर exponential form में change करना है, तो बाहु बली method को ध्यान रखना, बाहु बली method is sir, कौन सा method, तो इसने क्या होता है न, basically, कि जैसे हम base को इस side भेज रहे हैं, तो जब 10 base उस side जाएगा, exponential form में change करनी है, तो right hand side में जो power है न, उसको बाहु बली की तरह, ऐसे उठा लेगा आइना देखा आपने वो वाला सी कि शिवलिंग को भावली ऐसे उठाता है फिर पीछे गाना बसता है देखो देखो कौन है वो कहां से वो आया तो देखो ये 10 उस साइड गया और 10 ने जो भी right hand side में चीज लिखी हुई है उसको अपने कंदे पे उठा लिया मतलब left hand side में 100 बचा और right hand side में ये base 10 right hand side में जाएगा तो 10 की power 2 है ना right hand side में जो लिखा है exponential form ठीक है, exponential form, तो हमें बहुत अच्छे से आना चीए कि logarithmic form को exponential form में कैसे change किया जाए, bahubali method लगा दो, ठीक है, bahubali method लगा दो, यह जो base है, भेजो उस side, bahubali की तरह जाएगा, एकदम जोश में, और जो भी right hand side में लिखा है, उसको उठा लेगा कंदे पर, ठीक है, तो left hand side में 100 So this is the logarithmic form of a statement, this is the exponential form of the same statement. है ना guys?

अब यहां पे कुछ important बात है, कि log तबी defined होगा, जब यह हमारा a जो है, वो greater than 0 होना चाहिए, मतलब यहां पे जो भी number लिखा है, वो positive number होना चाहिए, दूसरी condition, जो base है, base भी greater than 0 होना चाहिए, and base not equal to 1 होना चाहिए, base 1 नहीं होना चाहिए, base positive, greater than 0, a b positive, positive ये दुनों हो, but base 1 नहीं हो सकता, A1 हो सकता है, ये बाते सबको पता है, बच्चा बच्चा जानता है, कि log of 1 to some base, जैसे कोई base A लिया मैंने, तो इसकी value क्या होती है, 0 होती है guys, मतलब वही सवाल हो गया है, कि भाईया, A की क्या power raise करूँ, A की power अगर 0 raise करोगे, बहु बली method लगाओगे है ना exponential form में बदला base a उस साइड जाएगा left hand side में 1 मिल जाएगा 1 is equal to a raise to the power 0 this is the exponential statement ठीक है कि 1 is equal to a raise to the power 0 simple बाते अब इसके ग्राफ के बारे में चर्चा कर ली जाए, ग्राफ of logarithmic function, तो इसका ग्राफ के लिए भी दो प्रकार के nature बनते हैं, कि जब a greater than 1 हो, तो increasing ग्राफ बनेगा, और अगर base, ठीक है, 0 से 1 के बीच में है, मैं ग्राफ बना रहा हूँ, y is equal to log of x to some base a, 0 से 1 की बीच में होगा, तो कुछ अलग टाइप का नेचर मिलेगा, क्या नेचर मिलता है, देखते हैं ध्यान से, ठीक है, when base is greater than 1, अब देखो यहाँ पर कुछ बातें मैं आपको बता देता हूँ, कुछ important point note करने वाले हैं, सबसे पहली बात है, कि जब x की value 1 रखोगे, तो y at x is equal to 1, the value of y is 0, because log of 1 is 0, वही सेम बात यहां पे भी होगी guys, इधर भी अपन graph plot करेंगे, तो x की value 1 पे y की value 0 मिलना वाली है, x is equal to 1 पे y is 0 मिलना वाला है, 1,0 से तो मतलब दोनों का graph पास करे गई, चाहे आप base 0 से 1 के बीच में लो, 0 से 1 के बीच में कोई भी number ले लो, let's say हमने graph बना रहे हैं यहाँ पे y is equal to log of x to the base 0.5, ठीक है, y is equal to log of x to the base 0.5, यहाँ पे इसका graph बना जा रहा है, यहाँ पे जो मैं graph बना रहा हूँ, that is, let's say y is equal to log of x to the base 2, ठीक है, इसका graph बनाते हैं, greater than 1 base के लिए, तो किस तरीके का nature हमें अब इसके graph में क्या है ना, कि जैसे इसे x की value बढ़ाओगे, जैसे x की value 2 रखी, x is equal to 2 पे y is equal to 1 मिलेगा, देखो x is equal to 2 पे y की value 1 मिलने वाली है, x is equal to 4 पे y की value 2 मिलने वाली है, देखो log of 4 to the base 2, log of 4 to the base 2 इसकी value 2 हो जाएगी, x की value अगर 8 रखोगे, तो log of 8 to the base 2, its value is 3, तो जैसे इसे अपन x बढ़ा रहे है, y increase होता चला जा रहे है, तो x को जब आप infinity को approach करोगे, तो यहाँ पे y भी infinity को approach करता है, अब यह बात हमें समझ में आती है, कि जो x होगा, वो greater than 0 होना चाहिए, x 0 से तो बड़ा ही होगा, मतलब जो graph बनने वाला है, वो positive x-axis की direction में ही इसका graph रहेगा, negative x-axis को नहीं cross करेगा इसका graph, क्योंकि negative x-axis, मतलब x negative हो गया, जो की possible नहीं है, log defined नहीं होगा उस case के अंदर, तो देखो अगर x की value 0 से 1 के बीच में, सपोस आप x की value 1 by 2 रखते हो, तो log of 1 by 2 to the base 2, log of 1 by 2 to the base 2, इसकी value minus 1 मिल जाएगे, जब x की value 1 by 4 रखोगे, तो आप समझ सकते हो, लोग of 1 by 4 to the base 2, इसकी value minus 2 हो गई, तो जैसे इसे x 0 को approach करेगा, जो y है, वो negative में भड़ता चला जाएगा, मतलब minus infinity को approach करेगा, यहाँ पे जब x 0 को जाता है, तो y minus infinity को चला जाएगा, यह important बात है इधर, ठीक है, कि जब x 0 के करीब number लेगा, है न, जैसे 1 by 16, 1 by 32, 1 by 64, जितना जितना आप 0 के करीब जाओगे, y minus infinity को approach करता वा दिखाई देगा, तो y की जो value है, देखो, minus infinity से infinity तक है, graphs पूरा minus infinity से infinity तक जा रहा है, मतलब दो, जो range होने वाली है ना, range minus infinity से infinity है, the values of y are from minus infinity to infinity, but the value of x is greater than 0, x जीरो से बड़ा है, y minus infinity से infinity तक है, यहाँ पे अगर आप graph देखोगे तो decreasing nature मिलेगा, देखो, x is equal to 1 पे तो y जीरो है, बट यहाँ पे जब x की value 2 put करी, जैसे at x is equal to 2, 0.5 हो गए 1 by 2 right guys, तो basically हम graph बना रहे हैं, log x to the base 1 by 2, इसका graph बना रहे हैं, तो सुनना ज़राद यहां से, जब x को भी 1 by 2 रखोगे, तो log of 1 by 2 to the base 1 by 2, मतलब x is equal to 1 by 2 पे, y की value 1 आ जाएगी, जब x को 1 by 4 रखोगे, तो y की value 2 आ जाएगी, जब x को 1 by 8 रखोगे, तो y की value 3 आएगी, तो इस तरी अब x की value अगर आपने यहाँ पे 2 रखी, तो log of 2 to the base 1 by 2, मतलब value आगे minus 1, जब x की जगे 4 रखोगे, तो log of 4 to the base 1 by 2, मतलब value आगे minus 2, तो जब आप x को increase कर रहे हो, तो y decrease होता हुआ दिखाई दे रहा है, यह एक decreasing nature बनेगा graph का, यहाँ पे जसे से x को increase करते जाओगे, y minus infinity की तरफ approach कर रहा है, तो range minus infinity से infinity तक है, तो ग्राफ दोनों का ध्यान रखना, ठीक है, इसका ग्राफ देख रहो, इस तरीके से इस तरीके से इसका ग्राफ increasing बन रहा है, इसका ग्राफ decreasing बन रहा है, इसमें important point हमें यह ध्यान में रखना है, कि जब भी हम अगर ग्राफ draw कर रहे है, base 1 से छोटा है, तो अगर अब x increase कर रहा है, मतलब x infinity को approach करेगा, तो y minus infinity को जाएगा, और जब x 0 को approach कर रहा है, when x approaches towards 0, then y approaches towards infinity अगर base 0 से 1 के बीच में है तो जब x 0 को approach करेगा तो y infinity को approach कर रहा है और जब x infinity को approach कर रहा है तो y minus infinity को approach कर रहा है तो यह important nature है इनके graph के तो एक बार फिर से अपन इसका graph बनाते हैं देखो मैंने बोला था exponential function and logarithmic function एक दूसरे के inverse होते हैं तो दोनों के graph एकी page पर बना लिया जाए है ना, जब base greater than 1 ले रहा हूँ, तो y is equal to a raise to the power x का graph ऐसा बनता है, this is the graph of y is equal to a raise to the power x, right, याद है आपको, जब base greater than 1 होता है, तो this is the graph of y is equal to a raise to the power x, and जब base greater than 1 होता है, तो this is the graph of y is equal to log of x to the base है, अब यहाँ पे observe करो, यह जो दोनों ग्राफ है, वो y is equal to x के about symmetric ग्राफ है, these graph are symmetric about y is equal to x है न, this is the line y is equal to x, both of these graph y is equal to a raise to the power x and y is equal to log of x to the base a, they are symmetric about the line y is equal to x, inverse function है, inverse कैसे, inverse में क्या होता है, input output बदल जाता है, यहाँ पे देखोगे exponential function में है तो input power है, power कुछ input डाल रहे हैं अपन, base A पे, ठीक है, यहाँ पे देखोगे, यहाँ पे output power है, y यहाँ पे power है, क्योंकि मैंने बताया था ना कि log आपको क्या दे रहा है, log आपको power दे रहा है, log आपको base B पे, यहाँ पे basically the power that the base needs to be raised to get this value है ना, मतलब base A को क्या power raise करो कि x मिल जाए, तो वो y power raise करो कि x मिल जाए, ठीक है, y is equal to log of x to the base a, y is equal to log of x to the base a, इसी को अपने ऐसे भी तो लिख सकते हैं, a raise to the power y is equal to x, है न, जब base को इस side लेके आये, तो base ने y को power में चड़ा दिया, a raise to the power y is equal to x, तो a raise to the power y is equal to x, and y is equal to a raise to the power x, they are inverse of each other, यहाँ पे input output बदल गया है, यहाँ पे देखो, x and y की जगे x y की जगए बैठा है, y x की जगए बैठा है, so that is basically the inverse of two functions, so ये तो base greater than 1 के लिए मैंने बताया है, वही अगर base less than 1 के लिए discuss करेंगे, base less than 1 greater than 0, तब भी आप यही same चीज observe कर सकते हैं, कि this is the graph of exponential function, this is the graph of y is equal to a raise to the power x, when base is between 0 to 1, ठीक है? और लोगरिथमिक फंक्शन का ग्राफ कुछ ऐसा होने वाला है, ठीक है, यह लोगरिथमिक फंक्शन का ग्राफ होगा, यह तो base greater than 1 के लिए हो गया, यह लोगरिथमिक फंक्शन का ग्राफ होगा, यह लोगरिथमिक फंक्शन का ग्राफ होगा, तो यह दोनों ग्राफ भी symmetric है, about the line y is equal to x, symmetric about the line y is equal to x, so base less than 1 के लिए, this is the exponential function, a decreasing function, this is the logarithmic function, ये भी decreasing function है, and they are symmetric about the line y is equal to x, ये है, तो इसके उपर कई बार domain के equation बन जाता है, log के अंदर कि आपको domain पूछ ली जाए, find domain, ठीक है, जैसे पहला सवाल दिया मैंने, कि y is equal to log of x square minus 4x plus 3 to some base 10, ये दे रही है मैंने, मैंने पूछा कि इसकी domain क्या है, तो domain के लिए हमें क्या ध्यान रखना होता है, कि जो भी लिखा हो log के अंदर मसाला, ये greater than 0 होना चाहिए, y कुछ भी हो सकता है, y से हमें फरक नहीं पड़ रहा है, पड़ ये जो है, वो greater than 0 होना चाहिए, मतलब, domain निकालने के लिए हम simple सी condition लगाएंगे यहाँ पे, कि x square minus 4x plus 3 should be greater than 0, that is the condition to find the domain. ठीक है, तो x square minus 4x plus 3, इसके दो factors हो जाएंगे, x minus 3 into x minus 1, that is greater than 0, now we can further solve it using wavy curve method, wavy curve method आपको यादे, कि जब भी देखो product आ जाए न, दो factors का, whenever the product of two factors is positive, तो वहाँ पे wavy curve method को याद रख लेना, wavy curve method क्या बोलता है, कि पहले number line बनाओ, Critical points mark कर दो, critical points यहाँ पे है, x is equal to 1 and x is equal to 3. अगर मैं extreme right के बारे में बात करूँ तो कुछ positive value आएगी, मतलब 3 से बड़ी अगर आपने x की value रखी, तो देखो इनका product positive आ रहा है क्या?

x की value अगर 3 से बड़ी रखोगे तो product positive आ रहा है. 1 से 3 के बीच में बात करोगे तो product negative आ जाएगा and फिर से positive आ गया. हर critical point पे हमने sign बदला है. Extreme right से start किया है positive sign के साथ. 3 पे sign बदल दिया, फिर sign बदल गया, sign क्यों बदल रहा है, because यह ऐसे points है, जहां पे यह factors अपना sign बदल रहे हैं, यह factors अपना रंग बदल रहे हैं, जैसे x-3 है, यह factor अपना रंग बदलेगा, x is equal to 3 के about, है न, x is equal to 3 के about यह अपना रंग बदल लेगा, मतलब जब x की value 3 से ब तो इसलिए अपन ऐसे sign बदलते हैं, और हमें चाहिए greater than 0, इनका product greater than 0 चाहिए, तो इनका product greater than 0 मिल रहा है 3 के right में, and 1 के left में, तो यहाँ पे x की final value आ जाएगी, x belongs to minus infinity to 1, minus infinity to 1, open, union, open bracket, 3 to infinity, union मतलब और, कि या तो अपन minus infinity से 1 तक की value ले सकता है, बट 1 नहीं ले सकते, 1 क्यों नहीं ले सकते, because exactly 1 पे ये 0 बन जाएगा, log के अंदर 0 नहीं हो सकता, defined नहीं होता, log of 0 to some base, ठीक है, आपको पता है कि ये चीज greater than 0 होनी चाहिए, and 3 से right में अपन ले सकते है, 3 से right में भी value positive आने वाली है, ठीक है, तो ये कुछ basic से domain के उपर question है, तो the base b to be defined three conditions are, इसको define होने के लिए जो तीन condition है, वो condition क्या है, पहली condition तो a greater than 0 होना चाहिए, दूसरी condition b भी greater than 0 होना चाहिए, and base में जो भी number लिखा हो, वो 1 नहीं होना चाहिए, ठीक है, यह condition है, पर दूसरी चीज, if log of a to the base b is equal to c, अगर log a to the base b की value c है, तो यहाँ पर मैं exponential बहुबली method, देखो b उस side जाएगा, जो भी right hand side में लिखा है, उसको चड़ा लिया power में, तो a is equal to b raised to the power c, this is how we can write it, ठीक है, फिर देखेंगे, log of m to the base a, plus log of n to the base a, that will be equal to log of mn to the base a, यह बहुत important property log की, कि अगर दो log को add कर रहे हैं, और दो log तबी add हो पाएंगे, जब उनके base same हो, ध्यान रखना, base same होगी, तब ही add कर पाएंगे, तो जो भी इसके अंदर number लिखा है, बीच में plus है, तो वो numbers multiply हो जाएंगे, log of mn to the base है, log of m to the base है, minus log of n to the base है, अगर बीच में minus है, तो ये m by n, ये numbers divide हो जाते हैं, बहुत important properties, ये हमने देखी है वैसे class 11 में properties, एक और property log की, बहुत important property, कि अगर ऐसा लिखा है, log of A to the base B, this is known as base changing property, log of A to the base B can be written as log of A upon log of B, ऐसा लिख दो इसको, इसको log of A upon log of B ले लो, and common base अपनी मरजी से कुछ भी choose कर लो, जो allowed होना चाहिए, ठीक है, जैसे common base हमने C choose कर लिया यहाँ पे, allowed होना चाहिए.

ऐसा नहीं कि आप minus 1 choose कर लो, ठीक है, C ऐसा number होगा, जो कि base, ठीक है, अपनी मर्यादा में रहेगा, base की मर्यादा में रहने वाला number है C है, ओके, so C should be greater than 0, and C should not be equal to 1, है न, तो log of A to the base B, इसको ऐसा लिख सकते है, log of A to the base C, upon log of B to the base C, ठीक है, तो ये, इसी property को हम लोग जानते है, base changing theorem के नाम से, base changing, थिवरम, बेस चेंजिंग प्रॉपर्टी बोल दो या तो इसे, ओके, नाओ प्रॉपर्टी 6, जो की बेस चेंजिंग थिवरम से याई है, वो प्रॉपर्टी ऐसी है कि लॉग आफ ए टू द बेस बी इस इक्वल टू वन अपान लॉग आफ बी टू ठीक है, reciprocal किया, तो a and b आपस में interchange होंगे, for an example, अपन ऐसा लिख सकते हैं, कि log of 3 to the base 2 can be written as 1 upon log of 2 to the base 3, ठीक है, 3 and 2 आपस में interchange कर लिए, यह property कहां से आई है, यही से आई है, अगर यहां पर c की value a ले लो, suppose, मैंने बोला था, base कोई भी choose कर सकते हैं, अगर c आपने a choose कर लिया, denominator में लिखा है log b to the base है, तो देखो, log of a to the base b is equal to 1 upon log of b to the base है, okay, तो इस example के थूँ भी आप याद रखेंगे, और यह बहुत important property है, I hope you guys already know about this property, है न, let's move ahead, अगली important property log की, कि जब log power में बैठा हो गईज, है न, जब भी log power में बैठा हो, जैसे a raise to the power log of b to the base c, जब भी log power में बैठा हो, तो इस property को याद रख लेना, यह property यह बोलती है कि आप इन दोनों numbers को interchange कर सकते हो, कौन से दोनो numbers को, इसको और इसको interchange मार दो, कोई फरक नहीं पड़ेगा, same value आएगी, so a raise to the power log of b to the base c can be written as b raise to the power log of a to the base c. दियान रखना किसको अपने interchange कर रहे हैं, a and b को interchange कर रहे हैं, a and b को यहाँ पे interchange किया जा रहा है, इसी तरह की एक similar property होती है, कि a raise to the power कुछ k times log of b to the base c लिखा है, तब भी आप बिनदास interchange कर सकते हो, है न, log के multiplication में कोई number k लिख दिया, तो घबराना मत इस number से, फिर भी आप बह ठीक है, A and B को आपस में interchange कर सकते हैं, log के अंदर जो number है, और जो base में यहाँ पे number है, उन दोनों को आपस में interchange कर दिया, इस property को हम तब याद करेंगे, जब भी log power के अंदर दे रखा हो, और एक आखरी property बचा लो, which is, कि अगर log में किसी number की power में, जैसे x की power में कुछ number n1 है, and base की power में कुछ number n2 है, ठीक है, x की power में कुछ number n1 है and base की power में कुछ number n2 है, तो x की power में जो number होगा वो तो directly multiplication में आ जाएगा, और जो base की power में number है वो as a reciprocal होके आएगा, मतलब इसको अपने ऐसे लिख सकते है, n1 by n2 times log of x to the base है, ठीक है, x की power में जो number है वो directly आएगा, base की power में जो number है वो reciprocal होके आएगा, for an example, कि अगर ऐसा लिखा है कि log of a raise to the power 4 to the base a raise to the power 3, suppose यह लिखा है तो यहाँ पे 4 जो है वो तो directly multiplication में आ जाएगा और जो base की power में number 3 है वो reciprocal हो के आएगा ठीक है, 3 का reciprocal 1 by 3 so 4 by 3 times log of a to the base a लिखा है यह है न log of a to the base a, its value is 1 so this is equal to 4 by 3 only तो यह कुछ basic सी बात है, log की जो हम class 11 बस ताजा हो जाए पुरानी बाते, इसलिए मैंने इनिक्वालिटी के बारे में चर्चा कर लेते हैं, कि अगर log A to the base B is greater than or equal to C लिखा हो, और हमें भेजना हो उस साइट, ठीक है, anti-log लेना हो basically, basically बहु बली method लगाना हो, अगर ऐसा कुछ लिखा है, एक log के terms में इनिक्वालि इसके पर कुछ questions भी देखेंगे हम अच्छे हैं बेस को जब अपन उस साइड भीजेंगे न भावबली method लगाओगे बेस को उस साइड भीजोगे आपको पता है बेस जब उस साइड जाएगा तो जो भी right hand side में चीज लिखी है उसको पावर में उठा लेगा जैसे equality में उठाता है बस inequality की पंडा inequality में यह है तो बेस पर depend करता है कि inequality पल्टेगी की नहीं पल्टेगी ठीक है जब base उस से जाएगा, तो inequality पल्टेगी की नहीं पल्टेगी, यह base पर depend करता है, depends upon the base, तो अगर base हमारा greater than 1 है, अगर base 1 से बड़ा number है, तो inequality में कोई change नहीं आएगा, मतलब a इस side रह जाएगा, greater than का sign है, तो greater than or equal to, मतलब जो sign है, वही sign रहेगा inequality का, और right hand side में बनेगा b की power base हमारा 1 से छोटा है, if base is less than 1, greater than 0, then the sign of inequality, inequality reverse हो जाएगी, तो यह बनेगा a is less than or equal to b raised to the power c, ठीक है, तो फंडा इतना सा है, कि यहाँ पे inequality changes, इनिक्वालिटी रिवर्स नहीं होगी, है ना, no change in inequality यहाँ पे तो, no change in inequality, तो जब भी base greater than 1 है, तो inequality में कोई change नहीं आएगा, बट अगर base less than 1 है, तो inequality changes, ठीक है, इसके पीछे reason simple सा इतना ही है, कि increasing and decreasing function, कि अगर base greater than 1 होता है, तो function increasing होता है, तो कोई फरक नहीं पड़ रहा है, inequality पे कोई फरक नहीं पड़ रहा है, वही चीज तो तब भी आ रहा था, जैसे एकी power x and एकी power y को compare कर रहे थे powers में, तो अपन base के बारे में बोल रहे था न, कि a raised to the power x is greater than a raised to the power y, और अगर base 1 से बड़ा है, तो x भी greater than y होगा, तो इसका reverse होता न, inequality पलट जाती, x less than y होता है, inequality क्यों पल्टी, क्योंकि जब base 1 से छोटा हो गया, तो decreasing function बन गया, तो वही same game यहाँ पे भी हो रहा है, कि inequality क्यों change हुई इस case में, क्योंकि base 1 से छोटा हो गया, that is why inequality changed over here, इसके पर question देखते हैं अच्छा सा, कि log B to the base A is greater than or equal to log C to the base B, दोनों साइड log को compare किया जा रहा है, base दोनों साइड same है, तो अब base पे depend करेगा कि base कैसा है, अगर base greater than 1 है, तो a भी greater than or equal to c होगा, बट अगर base less than 1 है, तो inequality पर लड़ जाएगे, a less than or equal to c हो जाएगा इस case में, तो इधर फिर से अपने दो cases बना है, what are those two cases, that if base is greater than 1, if base is greater than 1, then, a is greater than or equal to c, देखो equality है, तो इसलिए यहाँ पे equality भी लगाई है, but if base is less than 1, greater than 0, है ना, अगर base ऐसा है, 1 से छोटा, greater than 0, तो इस case में inequality पलट जाएगी, a less than or equal to c हो जाएगा, ठीक है, तो जब भी log के terms में inequality हो, तो base पे गौर फर्माईएगा, कि base किस type का है, है ना, अब इस पे questions देखो कैसे बनते हैं, जैसे मैंने domain का question पूछा, find domain, ओके, equation दिया मैंने, log to the base 3, log to the base 2, log to the base 1 by 2, x, ठीक है, मैंने domain पूछ लिया, यह आपके सामने जो expression दे रखी है, इसका मैंने domain पूछा है, कि what is the domain, यहाँ पर मतलब x की क्या values रख सकते हैं, what are the permissible values of x, that is domain, right, अब अगर हमें इसकी domain निकालनी है, तो फिर से, सबसे पहले log की basic condition याद रखो, कि सबसे जो बाहर वाला log बैठा है, इसके अंदर जो मसाला लिखा है, ये greater than 0 होना चाहिए, सबसे पहले तो दूर से picture देखो, दूर से, सबसे बड़ा idea है, बड़ी picture क्या है यहाँ पे, वो greater than 0 होना चाहिए, कि ये जो expression है, which is ऐसा है, देखो, log के अंदर log, इसके अंदर एक और log, इस type का लिखा हुआ है, ये है, है न, तो ये वाली चीज जो है, वो greater than 0 होने चीज है, मतलब, log to the base 2, log x to the base 1 by 2, that should be greater than 0, that is the first condition, right, अब log हटाना start करो, तो सबसे पहले बाहर वाले log को हटाएंगे, तो ज right hand side में 0 लिखा है, 0 को बहुबली की तरह ले लेगा power में, अब ये बताओ inequality पल्टेगी की नहीं पल्टेगी, inequality नहीं पल्टेगी, क्योंकि 2 को भेज रहे हैं उस side, ठीक है, तो there will be no change in the inequality, तो जब 2 उस side गया, तो यहाँ पे बचेगा log of x to the base 1 by 2, greater than 2 raise to the power 0, right guys, 2 उस side गया, और 2 ratio to the power 0 को 1 लिखा जा सकता है, इसको अपने 1 लिख दिया, 2 ratio to the power 0, अब इस वाले बेस को उस साइड भेजने की तियारी करते हैं, इसको launch करते हैं उस साइड, है न, बहु बली की तरह जाएगा, बट इस बार inequality पलट देगा, तो 1 by 2 उस साइड गया, तो x is less than, देखो greater than का तो x is less than 1 by 2 हो जाएगा, x will be less than 1 by 2, क्या ये हमारा final answer है, नहीं, क्योंकि ये भी ध्यान रखना है कि ये ना x less than 1 by 2 बोलना तो ठीक है, greater than 0 भी बोलना चाहिए, क्योंकि less than 1 by 2 में तो negative numbers भी आ गए, और x यहाँ पर negative तो हो नहीं सकता, greater than 0 तो होना ही होना चाहिए, तो x is less than 1 by 2, greater than 0, that is the domain, that is our final answer for this question, ठीक है, तो सबसे पहले अपने क्या सोचा, कि यह जो चीज है, वो greater than 0 होनी चाहिए, फिर मैं बस inequality, anti-log लिए जा रहूं, कि base कब पलटना है, कब नहीं पलटना है, बस इस चीज़ का हमें ध्यान रखा जा रहा है जब जैसे कि एक और question ले लेते है, थोड़ा और complicated type, find domain, find domain, question है आपके सामने कि y is equal to log to the base 2, log to the base 1 by 2, log to the base pi by 3, नहीं ना, x, चलो यह ले लिया, suppose यह आपके सामने सवाल है, सबसे बाहर वाला log है, जिसके बेस 2 है, फिर इसके अंदर कुछ expression दे रखी है, ऐसा मैंने equation दे लिया है, अब इसके अंदर सबसे पहले condition, इसको मोटा मोटा दूर से देखा, तो यह समझ माया, वो greater than 0 होने चाहिए, मतलब, log to the base 1 by 2, and log, x to the base pi by 3, it should be greater than 0, सबसे पहले तो यह समझ में आती बात है, फिर जब 1 by 2 को उस साइड भेजेंगे, तो inequality पलट जाएगी, inequality change हो जाएगी यहाँ पे, क्योंकि base 1 से चोटा है, तो 1 by 2 उस साइड गया, तो इस साइड क्या बचेगा, log x to the base pi by 3 बचेगा, log x to the base pi by 3 बचेगा, तो inequality change हो गई, right hand side में 1 by 2 की पार 0 बन गई, तो ये जो log से अजाध होके ये जो चीज आई है न, log x to the base pi by 3, that should be less than 1 by 2 की part 0, but जब भी ये चीज less than something दे रखी है, तो greater than 0 लगाना ना भूले, क्यों greater than 0 लगाना है, क्योंकि अभी भी तो ये देखो, लोग से अजाध होके आया गाईज, तो वो greater than 0 होना चीज है, तो जब भी आपने ये हटाया है, और less than something आया है तो greater than 0 लगा देना लेस्ट देन सम्थिंग आया है तो greater than 0 लगा देना ये लॉजिक है इसके पीछे का क्लियर इतनी बात है अब देखेंगे यहाँ पे अब पाई बाई 3 कैसा नमबर है गाईस पाई बाई 3 is greater than 1 इनिक्वालिटी will not change over here तो पाई बाई 3 उस साइड गया, तो पाई बाई 3 की पावर 0, लेफ्ट इंड साइड में बनेगा, पाई बाई 3 की पावर 0, तो x is greater than पाई बाई 3 की पावर 0, and less than, यह देखो राइट इंड साइड में 1 लिखा है न, 1 by 2 की पावर 0 क्या होता है, 1 होता है, तो पाई बाई 3 क x is greater than pi by 3 raised to the power 0 which is 1, pi by 3 raised to the power 1, pi by 3 ही होने वाला है, so this is our domain, जिसको अपने लिख सकते हैं, x belongs to 1 to pi by 3, 1 से pi by 3 के बीच में, तो जब भी log के अंदर, log के अंदर, log कुछ इस type का scene हो गया, जैसे इस equation में अगर मैं थोड़ा सा changes करता हूँ, ठीक है, और क्या क्या variation इसमें बनाई जा सकती है, सारी variation देख लेता है, equation में देखो और क्या variation हो गई, कि suppose मैंने इस पूरी चीज को under root के अंदर रख दिया, मैंने पूछा बताओ अब क्या होगी इसकी domain, अब यह पूरी चीज under root के अंदर रख दिया, तो अब कुछ बदलेगा, जैसे पहले तो क्या कर रहा था, पहले तो मैं यह बोल रहा था कि यह greater than 0 होना चीज है, क्योंकि under root के अंदर कुछ भी बैठा हो, domain निकालने के लिए ज़रूरी है कि under root के अंदर कुछ भी बैठा हो, वो greater than or equal to 0 हो, तो यह जो पूरी expression हो चुकी है, which is log to the base 2, तो log to the base 2, log to the base 1 by 2, log to the base 5 by 3, x, यह जो complete expression मैंने उठाई, और इसको मैंने बोल दिया कि it should be greater than or equal to 0, क्योंकि log के अंदर कुछ भी मसाला, मतलब under root के अंदर कुछ भी मसाला बैठा हो, अणा under root में, कुछ भी मसाला बैठा हो, वो हमेशा greater than or equal to 0 होना चाहिए, तो मैंने यह condition लगाई है, under root को देखकर, clear, तो इसको greater than or equal to 0 बोला, तो सबसे पहले 2 को इस साइड रवाना किया, तो जब 2 इस साइड जाएगा, तो 2 की power 0 बनेगा, 2 की power 0, 1 आएगा, ठीक है, तो 2 को इस साइड र So greater than or equal to 2 raised to the power 0, 2 raised to the power 0 is 1. So greater than or equal to 1 आ रहा है, ठीक है? So greater than or equal to 2 raised to the power 0, which is 1. चाहिए बात है? So जब already यह expression greater than or equal to 1 है, तो इसको greater than or equal to 0, मतलब greater than 0 रखने की जरूरत नहीं है, समझ मा रहे हैं बात है? इसको greater than 0 रखने की जरूरत नहीं है, तो already मैंने बोल दिया कि यह greater than or equal to 1 है.

बट सपोस ये less than or equal to something आता, तो मैं इसके उपर एक और अपनी तरफ से condition लगाते की, भाईया, ये log से just निकल के आया है, तो इसको greater than 0 भी रख देना, है ना, ठीक है, अब 1 by 2 को उस साइड भेजा मैंने, अब inequality पलटेगी, पीछे छोड़ जाएगा ये log x to the base pi by 3, देखो log x to the base pi by 3, अब ये भी log में से आजाद हुआ है, less than or equal to 1 by 2 उस side गया, तो 1 by 2 की power 1, less than or equal to 1 by 2 की power 1, अब इसको अपने 1 by 2 से छोटा तो बोल दिया, अब यहाँ पे हमें जरूरी है कि इसको greater than 0 भी बोलना चाहिए, क्योंकि अभी अभी यह log से अजाद हुआ है, ठीक है, अब pi by 3 को दोनों side बेजते हैं, तो x बचेगा यहाँ पे, पाया बाई 3 उस साथ जाएगा, इनिक्वालिटी में कोई चेंज नहीं, पाया बाई 3 की पावर 0 बनेगा, है न, और less than or equal to पाया बाई 3 की पावर 1 by 2, पाया बाई 3 की पार 1 by 2, तो our final answer is, x is, x belongs to, x belongs to, पाया बाई 3 की पावर 0, which is 1, 1 to पाया बाई 3 ratio to the power 1 by 2, ठीक है, या फिर इसको under root of pi by 3 भी बोला जा सकता है, so that is the final values of x, this is our answer, this is the domain of this given function, कि x belongs to open bracket 1 to open bracket, है न, close bracket आ जाएगा इधर, close, क्यूंकि इधर equality है, ठीक है, तो x belongs to open bracket 1 to close bracket under root of pi by 3, that will be our final answer for this question. Are we clear everybody? Simple है? तो ये कुछ logarithmic inequality के example.

कुछ और example देख लेते हैं, जैसे ये log के उपर basic से example है, जो कि advanced 2018 में पूछा गया है, कि log 9 to the base 2 का square, and power में लिखा है, 1 upon log 9 to the base 2, देखो ये log के अंदर है, ठीक है? तो इसको expression को solve करने के लिए मैंने क्या सूचाना सबसे पहले, यह वाली expression solve करना easy है, देख पा रहे हूँ, यह expression solve करना बहुत आसान रहेगा, क्योंकि अगर इसको solve करना है, तो ऐसे कर लूँगा, देखो, इस expression को solve करना है, तो यह root 7 की power, root 7 की power में लिखा है, वन अपॉन log 7 to the base 4 को मैं ऐसा लिख सकता हूँ, log of 4 to the base 7, ऐसा लिखना सही रहेगा, वन अपॉन log 7 to the base 4, 4, इसको numerator में लेके गया, तो interchange हो गई, जैसे 1 upon log a to the base b is equal to log b to the base a, ठीक है, अब interchange मार दो, किसको interchange मारोगे, base को और यहाँ पे जो number लिखा है इसको, यह दोनों आपस में interchange हो गए, interchange होने के लिए ऐसा होना चाहिए, ना कि log reciprocal में लिखा हो, ठीक है, तो 4 इसकी log of root 7 to the base 7 log root 7 to the base 7, its value is 1 by 2, so this is 4 raised to the power 1 by 2, which is equal to 2, तो यह वाला पार्ट तो easily sorted है, solved है, तो इसकी value तो 2 आ गई, 2 multiplied by what, इसकी value क्या है, तो इसके लिए log 9 to the base 2 को मैंने कुछ t माल लिया guys, इसको suppose कुछ t माल लिया जाए, तो यह ऐसा कुछ लिखा है न, अगर मैं log, 9 to the base 2 को t मानता हूँ, तो यह ऐसा लिखा है, t square, t square, raise to the power, t square, raise to the power, जी, 1 upon log t to the base 2, देखो जरा ध्यान से, दिख के सोचो या सोच के देखो यह क्या लिखा है? T square की power 1 upon log T to the base 2 and 1 upon log T to the base 2 power में जो लिखा है इसको अपने ऐसे लिख सकते हैं कि log of 2 to the base T 1 upon log T to the base 2 को ऐसे लिख रहते हैं log of 2 to the base T अब फिर से interchange मारा किसको interchange किया? T square and 2 को interchange किया पूरे base और इस 2 को interchange कर दिया T square and 2 को तो इधर यह बन गया, 2 ratio to the power, log of t square to the base t, and log t square to the base t की power, मतलब इसकी value 2 हो जाएगी, तो यह 2 ratio to the power 2 लिखा है, log of t square to the base t, power की value 2 है, तो 2 ratio to the power 2, which is 4, तो इसकी value 4 आई है, इसकी value 2 आई है, 4 into 2, our final answer will be equal to 8 for this question.

तो ये JEE Advanced 2018 का बहुत ही आसान सा question, अगर इस type का question आता है, तो बिलकुल छोड़ के आने की गलती ना करें, क्योंकि कभी-कभी ही तो होता है ऐसा, कि JEE Advanced में ऐसे Solvable question मिल जाए, ये देखो JEE Advanced 2013 का question, which is, if 3 raised to the power x is equal to 4 raised to the power x minus 1, then what will be the value of x, यहाँ पे x की value क्या-क्या होने वाली ह लोग क्या लेना है दोनों साइड, base 3 लेना है कि base 4 लेना है, तो option देखोगे तो option में base 3 भी है, option में base 2 भी है, option में base 4 भी लिख रखा है, ठीक है तो कुछ भी base ले लो, कोई भी base के साथ लोग ले लो द���नों साइड, तो देखो यहाँ पे अगर मैंने log लिया with base 3, तो यह बने दोनों साइड लॉग ले रहा हूँ with base 3, तो left hand side में बन जाएगा, log of 3 raised to the power x to the base 3, right hand side में बन रहा है, log of 4 raised to the power x minus 1 to the base 3, तही बात है guys, x यहाँ पे multiplication में कूद के आएगा, भगे भगे, ठीक है, तो x यहाँ पे multiplication में आया, तो यह बनेगा x times log of 3 to the base 3, which is 1 only, इधर यह x minus 1 आजाएगा multiplication में, so it is x, minus 1 times log of 4 to the base 3, right, this is what we have, now we want to find the value of x from here, so we have x is equal to x times log of 4 to the base 3, minus log 4 to the base 3, ठीक है, log 4 to the base 3 को अंदर multiply कर दिया, तो x times log of 4 to the base 3, minus 1 times log of 4 to the base 3, ये बन गया, तो x वाली term को एक side लेके जाते हैं, log of 4 to the base 3 को left hand side में लेके आए, and right hand side में x times log of 4 to the base 3, इसको यहीं पे रखा, x इदर गया, तो यह minus x, अब इन दोनों terms में से सूचो क्या common जाएगा, इन दोनों terms में से x common चला जाएगा, ठीक है, तो अपने पास left hand side में बन रहा है, log of 4 to the base 3, और right hand side में से x common लिया, तो यह बन रहा है log of 4 to the base 3 minus 1, ऐसा बन रहा है, तो इधर से x की value आ गई, log of 4 to the base 3 upon log 4 to the base 3 minus 1, that is the value of x, कोई option दिख रहा है क्या ऐसा, log 4 to the base 3 upon log 4 to the base 3 minus 1, ऐसा तो कोई option नहीं है, log 2 to the base 3 के terms में option जरूर दिख रहा है, तो यहाँ पे 4 को 2 square ले रखेंगे guys, 4 को क्या रखने वाले है, 2 square, अपने को बता है यह चीज तो basic है, लोग of 4 to the base 3 is equal to 2 times log 2 to the base 3, 4 को लिखा 2 square, 2 multiplication में आया, तो log 4 to the base 3 को 2 times log 2 to the base 3 लिखा जा सकता है, इसी की value अपन लिख सकते हैं, 2 times log of 2 to the base 3, तो जब इसकी value ऐसे replace करेंगे, तो option 1 हमको दिख जाएगा, So the value of x, 2 times log of 2 to the base 3, upon, यहां पे भी log 4 to the base 3 को ऐसा लिख दिया, 2 times log of 2 to the base 3, minus 1, तो यह आ गया, यह आ गया option A, ठीक है? So this is our option A. वैसे ही, क्योंकि multiple choice equation है, तो बाके option भी देखो कि बाके option भी ला सकते हैं, कि नहीं ला सकते हैं, ठीक है? यहां पे log 3 to the base 4 के terms में है, तो option C भी आ जाएगा, जब यहाँ पे log 4 to the base 3 को replace कर दोगे, log 4 to the base 3 को अगर अपने 1 upon log 3 to the base 4 से replace कर दिया, क्योंकि value same है न, log 4 to the base 3 and 1 upon log 3 to the base 4, their values are same, so अगर log 4 to the base 3 को 1 upon log 3 to the base 4 से replace करके LCM लोगे, तो option C मिल जाएगा, ऐसा करने पर अपने को option C भी मिल जाएगा, okay, simple, अब देखते है option B, option B के लिए भी easy है, Option B के लिए option A में ही, आप क्या करो, कि log 2 to the base 3 को replace कर दो 1 upon log 3 to the base 2 से, log 2 to the base 3 को अगर 1 upon log 3 to the base 2 से replace कर दोगे, तो option B भी मिल जाएगा, so A, B and C will be our right answer for this question.

एक बार attempt करना इसके आगे, एक बार try करना, equation को complete कर देना, ठीक है, clear है इतनी बात है, देख लेते है कितना time हो गया है, ओके, तो session की समाप्ती की तरफ है, यह J-Mains 2019 का equation है, और बहुत ही very easy equation में आता है, यह very easy equation में guys, ठीक है, एफ एक्स की value यह दे रखी है, f of 2x upon 1 plus x square की value पूछी गई है, तो x की जगे पे अपन रख देंगे 2x अपन 1 प्लस x square, ठीक है? तो f of 2x अपन x square will be equal to ln of, है न? ln क्या होता है?

log to the base e, log to the base e को ही प्यार से ln बोल देते हैं अपन, ठीक है? तो यह बन रहा है 1 minus 2x अपन 1 प्लस x square, अपन 1 plus 2x अपन 1 प्लस x square, कि यहाँ पे log of 1 minus x upon 1 plus x, x की जगे पे हम किस से replace कर रहे हैं? x की जगे पे यह आ चुका है, तो इदर भी देखो, x की जगे पे यह आ चुका है, देखो ज़रा देहां से, कि 1 minus 2x upon 1 plus x square, x की जगे पे यह आ चुका है, 1 minus 2x upon 1 plus x square, x की जगे पे 2x upon 1 plus x square रख दिया, answer आपके सामने खुद बखुद प्रकट हो जाएगा, so this is equal to log to the base e, LCM लेंगे यहाँ पे, तो यह बन रहा है x square plus 1 minus 2x, denominator में बन रहा है x square plus 1 plus 2x, so this numerator is 1 minus x whole square, and denominator is 1 plus x whole square, ठीक है, numerator है, 1 minus x whole square है, denominator है 1 plus x whole square, 2 यहाँ पे multiplication में कूदेगा, तो 2 times यह बन रहा है, log of 1 minus x upon 1 plus x, ठीक है, which is 2 times fx है न, 2 times fx, okay guys, 2 times fx, क्योंकि modulus of x हमें 1 से छोटा दे रखा है न, वैसे तो देखो जब यह 2 multiplication में आएगा, तो यहाँ पे modulus आना चाहिए, ठीक है, यह होता है सही rule, modulus आना भी चाहिए, modulus आएगा भी, देखो आ भी रहा है modulus, ठीक है, but अगर modulus of x less than 1 है, तो यह जो modulus है, वो positive के साथ open होके, this is equal to 2 times fx only, ठीक है, modulus of x less than 1, तो यह positive के साथ open होके, 2 times this thing fx, तो हमारा answer is 2 fx, तो this is basically a very very easy question, कई बार पूछा जा चुका है, जै मेंस में, पिछले सालों में इस type का question कई बार आया है, कि fx हमको ये दे दिया, f of इसकी value पूछ ली गई है, तो बस x की जगए पर ये replace किया, lcm, lcm, लो दिख जाएगा आपको कि this is the square of, नहीं न, log of 1 minus x upon 1 plus x, इसके अंदर इसका square है, 2 इधर multiplication में आ गया, ये अपने पास answer हो जाएगा, ओके, simple, ठीक है, इसके आगे हमें वैसे तो modulus function के बारे में बहुत सारी बाते करनी है, modulus function के graph के बारे में बात करनी है, आलग लग तरीके से कैसे graph बन सकते हैं, ठीक है, बहुत सारे अच्छे अग्जांपल्स मैं आपके लिखे आया हूँ, modulus function के लिए, जैसे कि इसका graph क्या होने वाला है, तो ये सारी बाते हम करेंगे guys, next class में, there are so many amazing examples, J-Mains 2018 में इस तरीके का equation पूछा गया है, ठीक है, तो modulus मतलब ऐसा function है ना जिससे आई जाते है कहीं न कहीं दिखी जाता है यह तो modulus function के बारे में चर्चा करेंगे फिर next class में detail में we'll discuss about this in detail in the next session ओके तो चलिए आज के लिए काफी है इतनी बातें we'll continue in the next class क्योंकि modulus के बारे में मुझे बहुत सारी बातें आपको बतानी है बहुत सारी चर्चा अपने को करनी है So, let's continue guys in the next session.

I hope all of you enjoyed this session. Thank you so much everybody for being a part of this session. See you in the next one. Till then, पढ़ते रहें, revise करते रहें, stay positive, have faith in yourself, अपने उपर भरोसा रखो कि कर लोगे तुम लोग. ठीक है?

भरोसा रखो अपने उपर, और knowledge के लिए पढ़ाई करते रो. मिलते हैं फिर अगली क्लास में, till then take care, टाटा, बाइ बाइ, have a great day guys.