Multiplication Matricielle

Introduction

• Sujet : Multiplication matricielle, souvent perçue comme complexe et contre-intuitive.
• Importance : Essentiel pour diverses applications dans le cours.

Définition

• Matrice A : Dimensions M x N (M lignes, N colonnes)
• Matrice B : Dimensions N x Q (N lignes, Q colonnes)
• Condition :
  • Le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B pour que la multiplication soit définie.

Méthodologie

1. Vérification des Dimensions :

   • A (M x N) et B (N x Q) : les chiffres du milieu doivent être identiques.

2. Produit Matriciel C :

   • Dimensions : M x Q (résultat du produit)
   • Entrée C_ij : Produit scalaire entre la i-ème ligne de A et la j-ème colonne de B.

Procédure de Calcul

• Vecteurs :
  • Lignes de A et colonnes de B sont traitées comme des vecteurs.
  • Exemple : Pour un vecteur ligne de A et un vecteur colonne de B, effectuer le produit scalaire.

Exemple

• Matrice A : 2 x 3
• Matrice B : 3 x 4
• Vérification : 3 (milieux égaux), donc produit défini.
  • Résultat : Matrice 2 x 4

Calcule du Produit A x B

• Étapes :
  1. Encerclez les lignes de A et les colonnes de B.
  2. Superposez chaque colonne de B sur chaque ligne de A pour calculer les éléments de la matrice produit.
  3. Exemple de calcul pour une entrée spécifique :
     • (1ère ligne de A) x (1ère colonne de B) donne une première valeur dans la matrice résultat.

Remarques

• Non-Commutativité :
  • A x B ≠ B x A (B x A peut être non défini)
  • Exemple : A x B est défini, mais B x A n'est pas car 3 ≠ 2.

Conclusion

• Importance de l'organisation et de la vérification des dimensions.
• La multiplication matricielle demande de la rigueur pour être effectuée correctement.