Salut à toutes et à tous, et nous continuons notre aventure dans la matrice. What is the matrix ? Comme j'avais dit à la section précédente, quoi que je me suis trompé quand je l'ai mentionné à la fin de la vidéo, la seule chose qui est probablement compliquée dans ce chapitre-ci sur les opérations matricielles, c'est la multiplication matricielle.
La multiplication matricielle, c'est... extrêmement étrange, un peu contre-intuitif, mais il faut apprendre à multiplier les matrices. On va utiliser ça vraiment beaucoup dans ce cours ici pour toutes sortes de raisons.
Donc, comment on définit la multiplication matricielle ? Encore une fois, je vous rappelle ces frettes-là. Je vous donne les définitions.
On fait des exemples. Aucune institution géométrique. Tout est purement algébrique.
Il faut que tu apprennes à faire les choses as soon as possible. OK, donc... On commence avec deux matrices.
La première matrice A, c'est une matrice M par N, donc avec M lignes et N colonnes. Et la deuxième matrice, c'est une N par Q. Donc, le nombre de colonnes, donc ça c'est extrêmement important, donc le nombre de colonnes de la première matrice A est égal au nombre de lignes de la deuxième matrice B.
Donc ça, c'est vraiment la condition. qui est nécessaire, donc il y a juste une condition à regarder, il faut que le nombre de lignes, excusez, le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. Puis normalement, le truc, moi j'aime l'écrire avec les matrices, donc si j'ai une matrice A, puis je sais que c'est une M par N, puis que je veux la multiplier par la matrice B, qui est une N par Q, il faut que les nombres du milieu soient égaux.
Si les nombres du milieu ne sont pas égaux, alors la multiplication matricielle n'est pas définie. Donc, c'est vraiment les chiffres du centre. Puis, comment on fait ?
Donc, ça, c'est la première chose. On s'assure que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. Ensuite, une fois que cette condition-là est satisfaite, on sait que le produit matriciel est bien défini. Donc, on sait que ça va exister, mais là, maintenant, comment on calcule ce produit matriciel-là ? Donc, ici, l'idée est la suivante.
Encore une fois, c'est un peu frette. Donc, qu'est-ce qu'on fait sur la matrice A ? C'est qu'on définit des vecteurs.
Des vecteurs, c'est juste soit des lignes ou des colonnes. Donc, AI, ça va être le vecteur dans ARN, donc un truc avec N coordonnées, qui va être la IM ligne. Donc, on regarde les lignes de A, donc simplement dit. Puis pour B, on va les regarder comme...
BG, ça va être quoi ? Ça va être un vecteur dans ARN qui va être la JM colonne. Simplement parlant, puis on va voir ça avec des exemples, quand tu fais une multiplication matricielle, qu'est-ce que tu fais ?
C'est que tu encercles tes lignes de la première matrice, celle qui est à gauche, puis tu encercles les colonnes de la matrice qui est à droite. Ça, ça va donner des lignes ou des colonnes de nombres. Si on utilise la bonne terminologie, on appelle ces lignes ou ces colonnes de nombres des vecteurs. Bien sûr, Lorsqu'on encercle les lignes de A... Puis lorsqu'on en cercle, les colonnes de B, ces lignes de A et ces colonnes de B vont avoir le même nombre de nombres, qui va être n, qui est la condition pour la multiplication matricielle.
Donc, comment tu calcules le produit ? Le produit, ça va te donner une matrice C, puis la dimension de la matrice, ça va être n par q. Puis encore une fois, ici, moi, j'aime utiliser ma petite analyse dimensionnelle d'où ça vient, le n par q. Donc, il faut que les chiffres du centre...
Soit les mêmes, puis les chiffres extérieurs te donnent la dimension du produit. Donc, M par Q, c'est le résultat du produit matriciel. Je vais avoir une boîte avec M, ligne, et Q, colonne.
Donc, c'est quoi l'entrée sur la ligne I et la colonne J ? Mais qu'est-ce que tu dois faire ? C'est que tu dois faire le produit scalaire entre la ligne I de A et la colonne J de B. Gros calcul ici, on a la formule qui est là. Honnêtement, je ne vais jamais utiliser cette formule-là.
Ce que je vais faire, c'est que je vais vous montrer des exemples. Ce n'est pas intuitif la multiplication, mais une fois qu'on a une méthode pour le faire, ce n'est pas compliqué. Souvenez-vous, si le nombre de colonnes de A n'est pas égal au nombre de lignes de B, automatiquement, la multiplication est non définie. Comme j'ai dit, j'ai déjà mentionné le truc pour bien commencer une multiplication matricielle, c'est encercle les lignes de la matrice de gauche, donc typiquement A, et les colonnes de la matrice.
de droit, donc dans mon cas, la matrice B. Donc, la meilleure manière d'assimiler ça ou d'apprendre ces choses-là, c'est avec des exemples. Donc, on a deux matrices ci-dessous et on veut ensemble calculer le produit A fois B et B fois A.
Donc, première chose à remarquer, c'est que la matrice A a deux lignes. Donc ici, j'ai deux lignes. pour la matrice A.
Je vais les souligner. J'ai deux lignes, trois colonnes. Je vais juste encercler les lignes.
Je vais juste l'utiliser dans mon marqueur. A, c'est une matrice 2 par 3. La misère, excusez-moi. A, c'est une matrice 2 par 3. Je vais utiliser sa dimension dans une seconde avant de multiplier.
Puis la matrice B, je vais encercler les colonnes. C'est une matrice qui a trois lignes. 4 colonnes. Donc, c'est une matrice 3 par 4. Donc, B, c'est une matrice 3 par 4. Donc, quand je fais le produit, OK, donc, qu'est-ce que je fais d'abord si je vérifie que les dimensions sont compatibles pour le produit ?
Donc, A, c'est une matrice 2 par 3. B, c'est une matrice 3 par 4. Qu'est-ce que je fais ? C'est que je regarde les chiffres du milieu. Les chiffres du milieu, c'est quoi ? Bien, c'est 3. Puis, ces deux chiffres-là sont égales.
Donc, je sais que le produit est défini. Non seulement ça, en utilisant les chiffres extérieurs, je sais que mon résultat va être une 2 par 4. Donc, whatever BS que tu vas faire, t'es mieux de finir avec une 2 par 4. Souvent, c'est la seule chose qu'on vous demande. On peut juste vous demander, A, c'est une matrice 2 par 3, B, c'est une matrice 3 par 4. Est-ce que AB est définie ?
Si oui, donne la dimension. Il y a un exercice comme ça qu'on va faire tantôt. All right. Donc, le fameux produit. Donc ici, comme j'ai dit tantôt,...
Première chose qu'on fait lorsqu'on fait un produit matriciel, il y a plusieurs trucs, si vous connaissez votre propre truc, faites ce que vous voulez tant que vous avez la bonne réponse, mais moi, j'encercle les lignes de la matrice de gauche, donc ça c'est la première chose que je fais, puis j'encercle ensuite les colonnes de la matrice de droite. Puis ici, je vois que toutes les lignes de A, Et toutes les colonnes de B ont trois entrées. Donc, il faut que ça soit avec tous les triplets, sinon ça ne marchera pas. Donc, j'ai encerclé mes lignes pour A, j'ai encerclé mes colonnes pour B. Encercler les lignes de A, encercler les colonnes de B, c'est tous des trucs qui contiennent trois chiffres.
Donc, c'est quoi le truc maintenant ? Moi, la manière que j'aime calculer mon produit, c'est que je prends ma... Je prends ma première colonne, 4, 0, 2, et je viens la coucher sur la première ligne.
Donc, qu'est-ce que je fais ? Je prends mon 4, 0, 2 et je la couche. Donc, je vais avoir 4, 0, 2, puis c'est là que les dimensions sont importantes.
Donc, en couchant 4, 0, 2, je vais avoir 4, 0, 2, puis c'est là que les dimensions sont importantes. 0, 2, sur la première ligne, le produit que je vais obtenir, donc le produit scalaire entre les deux vecteurs, la manière que je l'obtiens, mais c'est de la manière suivante. Donc ici, qu'est-ce que je fais ?
Je fais 1 fois 4 plus 2 fois 0 plus 4 fois 2. Donc je suis mon... Juste le souligner en même temps que je le fais. Je le fais en jaune, donc je fais 1 fois 4 plus 2 fois 0 plus 4 fois 2, donc les chiffres qui sont un par-dessus l'autre se multiplient, puis tu additionnes le tout.
Ensuite, le 4, 0, je le descends sur l'autre, donc je mets le 4 par-dessus le 2, le 0 par-dessus le 6, et le 2 par-dessus le 0, puis je fais mon produit, donc j'ai 2 fois 4, plus 6 fois 0, plus 0 fois 2. Puis lorsque je fais ces calculs-là, Je vais avoir mon résultat en dessous. Donc, quand je fais, j'aurais dû dire pour le premier, mais 1 x 4 plus 2 x 0 plus 4 x 2, ça me donne mon 12. Puis 2 x 4 plus 6 x 0 plus 0 x 2, ça va me donner mon 8. Donc, je construis vraiment mes sorties colonne par colonne. J'utilise la première colonne de B pour calculer la première colonne de mon produit en les couchant sur les lignes de A.
Puis ensuite, c'est vraiment du rinse and repeat. Si vous savez comment coucher la première. La première ligne sur la matrice, la première colonne, excusez, sur la matrice A, on fait le même processus.
Donc, qu'est-ce qu'on fait ensuite ? C'est qu'on vient, donc on efface nos chiffres qu'on a utilisés, on vient coucher maintenant 1 moins 1, 7 sur la première ligne et on fait notre premier produit. Donc, ça va nous donner 1 fois 1 plus 2 fois moins 1 plus 4 fois 7, qui va nous donner 27. Ensuite, on couche 1 moins 1, 7 sur 2. 6, 0. Ça va me donner 2 fois 1 plus 6 fois moins 1 plus 0 fois 7 qui va s'additionner à moins 4. Donc ça, c'était pour la deuxième ligne. Puis là, comme je l'ai dit, c'est vraiment du rinse and repeat.
Donc je fais la même affaire avec la troisième colonne. Peut-être ici, si je veux peut-être distinguer les produits, je vais mettre en double orange la deuxième colonne pour que vous voyez bien où c'est que j'ai utilisé la deuxième colonne. dans mon produit. Puis, en fait, je vais faire le double vert. C'est une bonne idée, ça.
Double vert pour... La double, ah, trip, trip, trip, trip, trip, trip, trip, pour que ce soit un peu plus foncé. Donc ici, j'ai utilisé la deuxième ligne. OK. Donc sur la deuxième ligne, j'utilise toujours la deuxième ligne.
OK, here we go. Donc juste pour distinguer les deux lignes, j'ai utilisé du vert un petit peu plus foncé sur ma deuxième ligne. Puis j'utilise du orange.
Pour ma troisième ligne, j'utilise maintenant ma troisième ligne. Qu'est-ce que je viens faire ? Je viens coucher 4, 3, 5 sur 1, 2, 4 et ensuite sur 2, 6, 0. Et je fais mon produit. Je vais avoir 1 x 4 plus 2 x 3 plus 4 x 5 qui va s'additionner à 30. Ensuite, j'ai 2 x 4 plus 6 x 3 plus 0 x 5. qui va s'additionner à 26. Donc, finalement, pour la dernière colonne, OK, de B, qui va me donner la dernière colonne de mon produit. Donc, ici, j'ai ma dernière colonne.
OK, je vais la mettre vraiment foncier, foncier. OK, donc, j'ai envie de la faire tantôt. Je suis consistant dans mes trucs, là.
Donc, je vais juste le mettre, pour que vous puissiez le voir. C'est un peu subtil, là, les couleurs, là, mais... Ça peut faire une différence. 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2. OK.
Anyway, so, donc, qu'est-ce que je viens faire ensuite ? Donc, je viens coucher mon vecteur, ma colonne 3, 1, 2 sur 1, 2, 4. Puis, je viens aussi le coucher sur 2, 6, 0. Et je fais mon produit. Donc, pour la première ligne, je vais avoir 1 fois 3 plus 2 fois 1. plus 4 fois 2 puis finalement je vais avoir 2 fois 3 plus 6 fois 1 plus 0 fois 2 donc ils vont me donner 13 et 12 respectivement. Je vois que mon résultat c'est une matrice qui a deux lignes quatre colonnes avec des entrées réelles. Donc, c'est beaucoup d'organisation.
Les calculs eux-mêmes ne sont pas compliqués, mais il faut être bien organisé. Donc, moi, j'aime coucher les colonnes de la matrice de droite sur les lignes de la matrice de gauche. Si vous avez vu d'autres trucs, je m'en fous, en quêtant que vous le faites correctement. Donc, on vous demande aussi de calculer le produit entre A et B.
Je vais vous montrer pourquoi ce produit-là est non défini. La matrice B, c'est une matrice 3 par 4, tandis que A, c'est une matrice 2 par 3. Maintenant, les chiffres du centre. ne sont plus égales, donc puisque les chiffres du centre ne sont plus égales, alors la matrice B fois A est non définie.
Puis une remarque qui est importante, parce qu'on est habitué, lorsqu'on fait un produit, si tu fais 2 fois 5 ou 5 fois 2, ça donne la même chose. Ici, pour les matrices, c'est hautement non commutatif. Si tu calcules A fois B, tu obtiens une matrice 2 par 4, mais si tu calcules B fois A, c'est même pas défini.
Donc ici, remarque, AB, c'est clairement pas égal à BA. Il y en a un qui n'est même pas défini. Donc, c'est hautement non commutatif, la multiplication matricielle.