Лекція на тему: Криві другого порядку

Загальне рівняння

• Крива другого порядку: змінні x², y², або їх добуток xy.
• Коефіцієнти A та C не дорівнюють нулю одночасно.
• Для визначення типу кривої складаємо визначник:
  • A, B/2, C
  • Визначник = AC
• Знак визначника:

  • 0: еліпс

  • < 0: гіпербола
  • = 0: парабола

Еліпс

• Канонічне рівняння: (x² / a²) + (y² / b²) = 1
• A і B - півосі еліпса, a >= b
• Фокуси: ±√(a² - b²)
• Характеристики еліпса:
  • Ексцентриситет: e = c/a

Приклад побудови

• Почнемо з канонічного вигляду: (x²/5²) + (y²/3²) = 1
• Півосі: a = 5, b = 3
• Фокуси: ±4 уздовж осі x
• Ексцентриситет: 4/5
• Директриси: x = ±25/4

Гіпербола

• Канонічне рівняння: (x²/a²) - (y²/b²) = 1
• Фокуси: ±√(a² + b²)
• Ексцентриситет завжди > 1
• Асимптоти: лінії до яких графік наближається

Приклад побудови

• Звести до виду: (x²/9) - (y²/16) = 1
• Півосі: a = 3, b = 4
• Фокуси: ±5 уздовж осі x
• Ексцентриситет: 5/3

Парабола

• Канонічне рівняння: y² = 2px
• Параметр: p > 0
• Фокус: p/2
• Директриса: x = -p/2

Приклад побудови

• Канонічне рівняння: y² = 2 * 3x
• Параметр: p = 3
• Фокус: ±1.5
• Директриса: x = -1.5
• Гілки направлені праворуч
• Ексцентриситет: 1*

Підсумки

• Визначник рівняння: тип кривої
• Канонічний вигляд рівняння для побудови
• Основні параметри: півосі, фокуси, ексцентриситет, асимптоти, директриси