криві другого порядку загальне рівняння кривої другого порядку має ось такий вигляд крива другого порядку тому що змінні у нас в квадратах от другий степень x² y² або їх добуток XY і ми вважаємо що коефіцієнти АС одночасно не дорівнюють нулю для того щоб з'ясувати який тип кривої другого порядку ми складаємо визначник писуємо коефіцієнти коефіцієнт А - це прих ква оцей коефіцієнт при добутку XY ділимо навпіл його ну 2Б тут в формулі далі оце коефіцієнт при yквадра а далі ми аналізуємо знак от порахували цей визначник якщо визначник більше нуля крива еліптичного типу менше нуля гіперболічного дорівнює нулю параболічний тип перша крива яку ми розглянемо еліпс канонічне рівняння еліпса виглядає Ось таким чином А і B - це півосі еліпса у еліпса є два фокуси координати їх можна знайти Ось таким чином і для еліпса Важливо щоб півось а була більше або дорівнювала півосі B так також є характеристики еліпса ексцентриситет і дві прямі директриси розглядаємо задачу 232 побудувати еліпс знайти півосі координати фокусів ексцентриситет рівняння директрис для того щоб побудувати еліпс оце рівняння еліпса треба звести до канонічного вигляду але спочатку ми з вами перевіримо що це ді дісно буде у нас еліпс для цього ми складаємо визначник коефіцієнт А чому дорівнює дев'яти так [музика] детьб нуль я так зрозумів Так правильно У нас же нема добутку xy0 і коефіцієнт с 25 так 25 цей визначник буде дорівнювати 9 на 25 225 тобто більше за нуль і ми з вами визначили що це крива еліптичного типу так добре еліптичний тип у нас для того щоб зробити побудову ми рівняння зводимо до канонічного вигляду канонічний вигляд у нас ось такий праворуч одиниця А ми маємо 225 тому оце рівняння поділимо на 225 так 9х к поділити 225 + 25yк поділи 225 = 1 і скоротимо ідх квадра у нас тоді буде 25 і yк поді 9 = 1 виділимо півосі Тобто це у нас буде 5 квадра під іксом і yк поді 3 квадрат півось А дорівнює 5 півось B дорінє 3 і будемо з вами схематично зображувати еліпс вісь Ох оу тепер дивіться посі X ми відкладаємо півось а то буде 5 і -5 і -5 по осі y відкладаємо півось B 3 і -3 Ну нам треба схематично з'єднати ці точки так щоб у нас вийшов еліпс Так я скористаюсь шаблоном тепер далі Треба знайти координати фокусів координати фокусів знаходяться наступним чином параметр с потрібен Так с Так я ось тут ліворуч напишу C у нас буде дорівнювати √а² - b² так 25 - 9 - це 16 тобто 4 фокус два фокуса це дві точки плюс міну 4 координата перша і нуль так і на рисунку зобразимо перший фокус і другий Фокус для еліпса виконується така властивість що будь-яка точка яка належить еліпсу будь-яка точка має ну властивість оця сума оцих відстаней це не рисуйте от для будь-якої точки яка належить еліпсу сума відстаней від фокусів до цієї точки буде стале величина ексцентриситет обчислюємо Так с поді а с у нас 4 а 5 тобто буде 4/5 для еліпса ексцентриситет завжди менше ніж одиниці у кола ексцентриситет нуль чим більше таки витягнутий еліпси тим його ексцентриситет Ну більше наближ до одиниці і оце поняття ексцентриситета використовується в астрономії Сонячна система планети всі мають орбіти у формі еліпса Ну І от різні орбіти по-різному витягнути і використовуюти це поняття так і ще дві прямі директриси ми їх порахуємо Так ось тут напишу директриси X = п мі а на інтеситет тобто плюс міну А у нас 5 ділимо на 4/5 скільки це буде просто п'ять Ага а як правильно дро А ні Ніні 25/4 так 25/4 так або 6,25 це дві прямі так відкладаємо 625 одна точка у нас так і друга точка по осі ох так що в мене ось тут 625 я їх проведу червоним кольором Ці дві прямі так одна директриса і ще одна позначимо директриса d1 пряма і D2 встановити що кожна з наступних рівнянь визначає еліпс знайти його центр півосі ексцентриситет та рівняння директрис складемо визначник щоб впевнитись що це дійсно еліпс ось тут напишу порахуйте чому цей визначник дорівнює складіть його 12 так А у нас 4 B 0 с 3 тобто визначник дорівнює 12 більше за нуль крива еліптичного типу добре для того щоб знайти всі параметри і рисунок зробити рівняння цього еліпса треба звести до канонічного вигляду канонічний вигляд у нас такий x²* a² + y²* b² = О І ми будемо рівняння зводити до такого вигляду що ми зробимо згрупуємо доданки окремо з іксом окремо з ігреком от у нас з іксом є доданки і з ігреком і спільний множник винесу за дужку так з іксом групую це буде ква - 2х і тепер з ігм 3 ми винесли y ква + 4y - 32 = 0 тепер по кожній змінні будемо виділяти повний квадрат для цього згадаємо формулу квадрат різниці це у нас а ²ва - 2ab + b² а що ми маємо от перша дужка у нас ква - 2х в якості B яке число Ми додамо Ну от bква і [музика] віднімемо b яке у нас о о тобто я одразу тут пишу 4х² - 2х +1 і -1 щоб нічого не змінилось додали одиничку відняли одиницю 3y² + 4y до повного квадрата що додаємо + 4 так + 4 -4 -32 = 0 згортаємо у нас буде - 1² ще залишається -4 так далі + 3 yже Там хіба не міну1 повинен залишитись після ікса а ми ще на чотири помножили а так точно так ну молодці перевіряєте це правильно так y + 2² І тепер у нас вже буде -12 так і мі32 дорі Ну ми оці вільні члени порахуємо і перенесемо праворуч що це у нас буде тут 44 -4 48 -48 так Ну що ми маємо 4х - 1² + 3y + 2 квара р 48 так а в канонічному рівнянні праворуч тобто наше рівняння все треба поділити на одиницю Ой на 48 поділили на 48 так і тоді буде - 1 квадра поділи 12 п y + 2 квадра поділи 16 = 1 і виділимо півосі да в знаменниках щоб в квадраті було число так х - 1 12 можна представити як 4 * 3 тоді буде 2 на√3 квара плюс y + 2² на 4² от виділили півосі але наш еліпс буде зміщений відносно початку координат в яку точку центр так правильно у нас центр буде в точці 1 мі2 і ми можемо ще зробити пере значення дивіться ввести нові осі 1 це у нас буде - 1 а y1 y + 2 і тоді рівняння записати так 1² поділи 2 на√3² п y1² діле на 4² рі 1 оце у нас канонічне рівняння ельпса y тепер ми відкладаємо новий центр по осі ох - це одиниця по осі оу -2 так -2 аце оди ось новий центр це точка с через цю точку проводимо нові осі парале ну нашим Так це у нас буде вісь 1 і вісь y1 і всю побудову ми будемо в вести от в цій новій системі координат з осями 1 і y1 тепер що ми робимо по осі Ох відкладаємо півось оця та що під іксом стоїть бачите 2 на√3 √3 - це 1,7 тобто ось тут приблиз 3,4 оце 3,4 і це ми відкладаємо посх праворуч ліворуч так 2 на √3 і -2 на√3 тепер по осі y1 відкладаємо чотири і -4 і через ці точки схематично через оці вершини проводимо еліпс так як у нас півосі не дуже сильно відрізняються одна від одної ну 4 3,4 то от наш так ну такий кругленький вийшов так тепер дивіться коли ми з вами в теорії розглядали еліпс то Важливо щоб параметр а був більше за B для того щоб розрахувати фокуси оце с про яке було питання А у нас в нашій задачі навпаки виходить що оце значення менше ніж оце і тому наш еліпс витягнутий вздовж осі оу коли оце значення менше а оце більше тоді витягнути в по осі Ох А у нас вийшов витягнути по осі оу тому оцю більшу величину ми позначимо буквою а а оце буквою в тобто дивіться ми Запишемо що у нас а буде дорівнювати 4 а B =і 2 на Кор 3 і параметр с Ми рахуємо як а² - b² це у нас 16 - 12 4 тобто буде дорівнювати 2 Як ви думаєте фокуси на якій осі будуть розташовані на о чи о на оу так дійсно на оу тобто перша ната буде нуль а друга буде плюс мінуд так ось буде один фокус Ось тут перший і ще один фокус так другий Це через те що у нас еліпс витягується по осі ігреків Так це правильно да тому що він витягнутий по осі ОІ але при побудові що треба от які півосі відкладати от дивитесь по осі Ох то що під іксом стоїть Да По ігреку то що під ігриком ексцентриситет Ми рахуємо як с поділити на А тобто у нас 2 под 4 1/2 і директриси це вже дві прямі які будуть паралельні осі ох тобто вже ми Запишемо що це y буде дорівнювати плюс міну А на ексцентриситет так плюс мінус А у нас 4 і ми ділимо на 1/2го що це буде ві Плю міну8 так дійсно п мі8 Так і що ми можемо провести тепер одну ще одна так позначимо d1 D2 наступна крива гіпербола канонічне рівняння гіперболи має ось такий вигляд від еліпса відрізняється тим що знак ось тут буде мінус фокуси знаходяться трошки по-іншому параметр с у нас а ²ва + b к неважливо що більше А чи B ексцентриситет знаходиться так як і у еліпса директриси також і ще є дві прямі які називаються асимптоти оце помно 236 побудувати гіперболу знайти півосі координати фокусів ексцентриситет рівняння асимптот рівняння директрис Спочатку ми з вами переконаємось Що це рівняння визначає дійсно гіперболу для цього складаємо визначник при х квадрат коефіцієнт 16 добутка XY немає тому коефіцієнт ну ну вважаємо і при yк коефіцієнт -9 і у нас вийти що дискримінант від'ємний менше нуля тобто крива гіперболічного типу для того щоб побудувати гіперболу рівняння оце рівняння треба звести до канонічного вигляду канонічний вигляд праворуч у нас одиниця Тобто ми оце рівняння все поділимо на 144 так 16х² - 9y² а ділимо ж на 144 так і дорівнює 1 скорочуємо так ²ва буде ділено на 9 - y² д/ 16 = 1 і виділимо повни Квадрати у знаменниках тобто наше півосі це буде ква на 3² - yк на 4² = 1 півось А у нас буде 3 півось B 4 почнемо будувати гіперболу а потім всі характеристики пообчислюємо координатна площина для того щоб побудувати гіперболу по осі Ох відкладаємо півось а і мі А це у нас 3 і мі3 в осі y відкладаємо півось B 4 і міну чотири ее з'єднуємо ці точки прямокутником це додаткова така побудова ось такий у нас прямокутник далі проводимо діагоналі так одна діагональ і ще одна оці діагоналі - це асімптоти тобто лінії до яких графік функції наближається Але їх не перетинає як нам зобразити гілки гіперболи Я спочатку покажу а потім буду зображувати дивіться оце асімптота Тобто ми про димо лінію Ну наближаємось к асимптоті але не перетинаємо обов'язково проходить через вершину Ну і так само до іншої асимптоти Отакі будуть у нас дві гілочки залишилось акуратно провести так одна лінія і інша визначимо фокуси параметр с рахуємо Як а² + b² так що це ми будемо мати 9 + 16 Це буде 25 тобто 5 фокус у нас фокус 1 2 П -ну 5 координата нуль фокуси належать осі ох так п'ять ось пять і -нус5 так один фокус і другий фокус Так є далі ексцентриситет ексцентриситет с поділи аце ми порахували 5 а 3 5/3 у гіперболи ексцентриситет завжди більше ніж одиниця так тоді ми можемо рівняння директрис знайти це дві прямі їх рівняння такі плюс мінус а на ексцентриситет А у нас 3 плюс мінус і ділимо на 5/3 Так 9/5 це трошки менше двох так одна директриса і інша так d1 D2 і оці діагоналі це якраз асимптоти і рівняння цих асимптот ми можемо обчислити асимптоти y доріє п міб на А тобто у нас вийде B4 а а і помножити ж на ще А 3 і помножити нах оця буде із знаком плюс чи і знаком мінус плюс так плюс і ми тут біля неї напишемо що це y = 43х і відповідно інша Y = -4 т Вибачте а параболи з асимптотами ніколи не перетинаються чи перетинається все ж таки це у нас гіпербола ні О гіпербола Вибачте гіпербола асимптота - це лінія на якої до якої графік наближається але не перетинає ну чим далі ми від Е віддаляємось від центра тим гілочки так більше Наближаються ну ніколи не перетинають Дякую Так поглянемо на наступну задачу От дивіться побудувати гіперболу спряжену до гіперболи із попередньої задачі Я оцю задачу зараз скопіюю і так сюди їє так якщо ми подивимось на рівняння От дивіться Дуже схоже але ми маємо знак мінус ось тут мінус звести до канонічного вигляду треба так само тільки ми будемо ділити на -144 і тоді рівняння у нас буде таке тільки ось знаки знаки будуть Так протилежні Ну давайте я запишу Тоді це буде ²ва мінух квадра на на 9 плюс y ква на 16 дорівнює 1 і для цієї гіперболи гілки будуть розташовані по-іншому вони будуть ось вже перетинати вісь оу одна Буде зверху а інша знизу Ну ось тут схематично Ось так будуть розташовані гілки гіперболи от вісь яку гіпербола не перетинає називається уявна вісь для першої гіперболи уявна вісь була оу а для цієї уявна вісь Ох а для того щоб визначити як розташовані гілки гіперболи ви дивитесь на оцей знак тобто якщо мінус перед змінною да то вісь Ох буде уявна її гіпербола перетинати не буде парабола парабола вам знайома із шкільного курсу ми будемо розглядати канонічне рівняння в такому вигляді y² = 2px P - це параметр і він більше за нуль фокуси он один фокус у параболи знаходиться за такою формулою і одна пряма директриса оце параметр P - це відстань від фокуса до до директриси так як відстань то Ну бажаємо відстань додатнім числом так розглядаємо пункт а побудувати наступні пара параболи і знайти їх параметри так для першї параметр чому буде дорівнювати трьом так трм дійсно а гілки будуть напрямлені в який бік ну вгору донизу праворуч ліворуч ну вгору вгору тому що позитивне значення так ще які варіанти праворуч так праворуч Да ви ж в школі розглядали ²ва = 2px і далі аналізували оцей коефіцієнт прих квадра вгору чи донизу А у нас тепер і квадра тобто для отакого рівняння гілки будуть напрямлені праворуч і центр буде в початку координат Ну якщо х0 то y0 це зрозуміло Ну ми будемо зображувати схематично не по координатам Ну так приблизно якщо [музика] 1 то y буде Корі 6 Це між два і три десь так так Ну десь так одна гілочка і інша порахуємо фокус фокус один у нас так фокус P над тобто 3/2 ну 1,5 так оце у нас буде фокус і директриса Це пряма = мі p/ 2 тобто -3/2 Так -3/2 це у нас буде директриса Все все ми зробили дивіться для параболи виконується таке співвідношення що для будь-якої точки яка належить параболі оця відстань дорівнює оцій тобто для будь-якої точки екцентриситет параболи одиниця так розглянемо пункт в так параметр Який Ну допомагайте параметр P дорів -2 так ну хотілась було -2 алед дивіться чому два тому що параметр P - це відстань от згідно означення відстань від директриси до фокуса от в минулій задачі у нас ця величина була три оця відстань для того щоб зробити побудову дуже добре якщо б вона була -2 ну згідно теорії що нам треба додатні додатнє значення два гілки куди будуть направлені вліво таквоть тобто якщо мінус то вони вліво вйдуть а якщо вправо якщо плюс ТО вправо схематично Так позначино це ж по суті обернені виходять Ну так да А за яким принципом точно малювати цю параболу типу як по клітинкам чи що Та ну багато ви по клітинкам там не забразите схематично головне в який бік гілки напрямлені що можна взяти там ну дві-три точки Ну небільшеж так тепер фокус він буде праворуч чи Ліворуч від осі оу думаю ліворуч так ліво ліворуч да десь ось тут ліворуч тоді координати фокуса у нас будуть такі дивіться Вони ж бу мінус треба поставити да міну P над ну тобто у нас вийде точка -1 Ну ось тут -1 це буде Фокус і директриса тоді піде праворуч від осі оу вже буде дорівнювати П1 Так це директриса встановити що кожне з наступних рівнянь визначає параболу знайти координати її вершин вершини а та величину параметра P перевіримо що це парабола визначник складаємо складіть його самостійно нас виходить 32 так Які ще варіанти Ну а ні нуль нуль Угу парабола так для параболи визначник повинен дорівнювати нулю ква у нас немає коефіцієнт нуль XY добутку нема нуль іце буде один тобто визначник дорівнює нулю - це крива параболічного типу для того щоб знайти То що В умові вимагає графік побудувати ми рівняння параболи оце рівняння зводимо до канонічного вигляду канонічний вигляд у нас такий Y Y к = 2px Тобто нам треба виділити оце 2П Ну а по іксу подивимось що у нас тут буде може бути зміщена вершина відносна початку координат я зроблю таке спільний множник 4тири винесу за дужку y² тоді буде 4х - 2 от тепер вже ми можемо сказати координату вершини ну це у нас як Давайте так визначимо гілки праворуч чи ліворуч вгору чи донизу напрямлення праворуч направи праворуч праворуч Да тоді оця вершина Ну це як зміщений початок координат Да так в якій точці буде по іксу куди зміщення на два вниз воч по Ісу на два а по ігреку нуль от по іксу на 2 по ігреку ну так відкладаємо цю вершину Ось вона у нас це точка буде А так і схематично гілочки направимо ди праворуч P у нас дорівнює 2 фокус да для фокуса значення у нас один Ну це як вй системі координат Да один Ви молодці так а директриса тоді буде від точки А на одиницю ліворуч так директриса ну тобто Головне що визначити тип рівняння Так це еліпс гіпербола чи парабола далі звести рівняння задане до канонічного вигляду а після цього ви вже Можете робити побудову схематичну Ну ось так