Урок 21. Гравітаційне поле, сила тяжіння, перша космічна швидкість. Ми знаємо, що планети, зокрема Земля, обертаються навколо Сонця. Сонце притягує планети, Земля притягує Місяць, утримуючи його на орбіті.
Від чого залежить сила взаємного притягання між небесними тілами? Чи тільки небесні тіла можуть взаємодіяти? Гравітаційна взаємодія це взаємодія, яка є властивою всім тілам у Всесвіті. Її виявляється в їхньому Взаємному притяганні одне до одного.
Гравітаційна взаємодія здійснюється за допомогою гравітаційного поля. Гравітаційне поле особливий вид матерії, за допомогою якого здійснюється гравітаційна взаємодія та існує навколо будь-якого тіла. Зорі, планети, людини, книжки. Молекули, атоми тощо. Змінне в часі гравітаційне поле породжує в просторі гравітаційну хвилю.
Гравітаційна хвиля випромінюється рухомою масою і має здатність за певних умов відриватися від свого джерела. Гравітаційні хвилі передбачені загальною теорією відносності. Їх існування офіційно підтверджено 11 лютого 2016 року.
Як розрахувати силу гравітаційного притягання? До 17 століття вчені вважали, що тільки Земля має особливу властивість притягувати до себе всі тіла. що перебувають поблизу її поверхні. У 1667 році Ньютон висловив дивне для тих часів твердження, що між усіма тілами діють сили взаємного притягання, та сформулював закон всесвітнього тяжіння. Між будь-якими двома тілами Діють сили гравітаційного притягання, які прямо пропорційні добутку мас цих тіл і обернено пропорційні квадрату відстані між ними.
Закон всесвітнього тяжіння у вигляді математичної формули записується так. Ф великий. Сила гравітаційного притягання дорівнює G, велике, помножити на m1, помножити на m2 і поділити на r2, де G, велике, так звана гравітаційна стала. Гравітаційну сталу вперше виміряв англійський учений Генрі Кавендіш, роки життя 1731. 1810-й. У 1798-му році за допомогою крутильних терезів.
Її значення дорівнює 6,67 на 10 у мінус 11 степені ньютон, помножений на метр квадратний і поділений на кілограм в квадраті. Гравітаційна стала чисельно дорівнює силі з експериментом. з якою дві матеріальні точки масою 1 кг кожна взаємодіють на відстані 1 метр одна від одної. Схема досліду Кавендіша з визначення гравітаційної сталої виглядала наступним чином.
На довгому легкому коромислі, підвішеному на пружному дроті, зрівноважено дві маленькі кульки масою М, маленькі кожна, біля маленьких кульок. Розміщено дві великі свинцеві кульки масою М великі. У результаті притягання кульок дріт закручується. Кут закручування реєструють на шкалі за поворотом світлового пучка, який відбивається від Дзеркальце закручується аналогічно з дротом, на якому підвішене коромисло. За кутом закручування дроту визначають силу гравітаційного притягання, а згідно формули Отримане із закону всесвітнього тяжіння, уже розраховують безпосередньо числове значення гравітаційної сталої.
Сила тяжіння це сила, з якою Земля притягає до себе тіла, що перебувають на її поверхні або поблизу неї. Застосуємо закон. Всесвітнього тяжіння для визначення сили гравітаційного притягання, що діє між землею масою М великі землі та тілом масою М маленькі, що знаходиться на деякій висоті аж над поверхнею. Під відстанню між тіломи Розуміють відстань між центрами тяжіння цих тіл, які найчастіше співпадають з центрами мас. До прикладу, для куле-подібної землі центр тяжіння знаходиться в центрі сфери, радіус якої рівний радіусу землі.
Таким чином ми отримали формулу для розрахунку сили тяжіння, яка діє на всі тіла. Поблизу поверхні землі. Прискорення, яке надає тілам сила тяжіння поблизу поверхні землі, носить назву прискорення вільного падіння.
І позначається маленькою літерою G. Його можна визначити, застосувавши другий закон Ньютона. Тоді G буде дорівнювати F, сила тяжіння. Поділити на М масу тіла.
Як і сила тяжіння, прискорення вільного падіння завжди напрямлене вертикально вниз, незалежно від того, в якому напрямку рухається тіло. Отже, маємо дві формули для визначення модуля сили тяжіння. Співставивши їх, отримаємо Для розрахунку значення модуля прискорення вільного падіння на різних висотах h маленьке над землею.
g прискорення вільного падіння дорівнює g велике гравітаційна стала помножити на масу землі і поділити на квадрат суми радіус землі плюс h маленьке. на якій знаходиться тіло над землею. З останньої формули для визначення прискорення вільного падіння випливає, що 1. Прискорення вільного падіння не залежить від маси тіла.
В формулі, як бачимо, маса тіла відсутня. 2. Прискорення вільного падіння зменшується в разі збільшення висоти аж маленьке. Тіла над поверхнею землі. Причому помітна зміна відбувається, якщо аж становить десятки й сотні кілометрів.
До прикладу, на висоті 100 кілометрів прискорення вільного падіння зменшиться лише на 0,3 метра за секунду в квадраті. Третє, якщо тіло... Перебуває на поверхні землі, тобто аж дорівнює нулю, або на висоті кількох кілометрів, коли аж набагато менше за радіус землі, тобто другим доданком в знаменнику можна просто знехтувати, тоді же Буде рівне гравітаційна стала помножити на масу Землі і поділити на радіус Землі в квадраті.
Знаючи масу Землі та радіус Землі і гравітаційну сталу, можна розрахувати значення G. Воно наближено буде рівне 9,8 метра за секунду в квадраті. Варто також зазначити, що через обертання Землі А також через те, що форма Землі не ідеальна сфера, а еліпсоїд, екваторіальний радіус Землі більший за полярний на 21 км, прискорення вільного падіння залежить від географічної широти місцевості.
З віддаленням від екватора прискорення... вільнопадіння буде зростати. Процитуємо Костянтина Ціолковського «Роки життя Людство не залишиться назавжди на землі, але в гонитві за простором спочатку несміливо проникне за межі атмосфери, а потім підпорядкує собі весь навколо сонячний простір.
Першими такими рукотворними ластівками, які проникли за межі атмосфери, стали штучні супутники Землі. Штучний супутник Землі це тіло, яке рухається на певній висоті над поверхнею Землі по коловій орбіті. Перша космічна швидкість це швидкість, яку потрібно надати тілу в момент запуску з даної планети, щоб тіло стало її штучним супутником. І при цьому рухалося б по колу, центр якого збігається з центром цієї планети. Як обчислити першу космічну швидкість для будь-якої планети?
Як відомо, рухаючись рівномірно по колу з деякою постійною лінійною швидкістю, будь-яке тіло, в тому числі і потенційний штучний супутник планети, зазнає доцентрового прискорення, яке визначається по формулі v квадрат лінійна швидкість, яка залишається незмінною поділити на r. Радіус кола, який для випадку штучного супутника буде рівний сумі R велике, радіус планети, плюс аж маленьке, висота супутника над поверхнею планети. З іншого боку, прискорення вільного падіння тіла біля поверхні планети, яке напрямлене вертикально вниз, і є нічим іншим, як... тим самим доцентровим прискоренням. І його можна визначити за допомогою другого закону Ньютона та закону всесвітнього тяжіння.
Співставивши ці дві формули, отримаємо, що значення швидкості V першої космічної до рівня. Корінь квадратний з G великі гравітаційна стала, помножити на m масу планети, поділити на суму R велике радіус планети плюс h маленьке висота супутника над Землею. Формула 1 є формулою для обчислення швидкості руху супутника на висоті h маленьке надповерхної планети.
Вивівши формулу першої космічної швидкості для довільної планети, застосуємо її для Землі. Оскільки поблизу поверхні Землі висота аж маленька, набагато менша за радіус Землі, тобто її Формулі можна покласти наближено рівною нулю. Першу космічну швидкість ми можемо розрахувати для випадку Землі наступним чином.
V маленьке буде дорівнювати корінь квадратний з G гравітаційна стала, помножити на масу Землі і поділити на радіус Землі. Якщо ми... Домножимо чисельник і знаменник під коренем на радіус землі, то отримаємо, що під коренем буде добуток G, помножити на масу землі і поділити на радіус землі в квадраті.
Ця величина дорівнює G маленьке при скоренню вільного падіння. Підставивши значення в останню формулу, а саме G, яке рівне 9,8 м за секунду в квадраті, та радіус Землі, отримаємо, що перша космічна швидкість поблизу поверхні Землі буде рівна 7,9 км за секунду. Саме таку швидкість у горизонтальному напрямку потрібно надати тілу на невеликий, порівняно з радіусом Землі висоті, щоб це тіло стало штучним супутником Землі, який рухається по коловій орбіті.
Що станеться, якщо тілу надати швидкість більшу за першу космічну? Швидкість, при досягненні якої космічний апарат, що запускається з Землі, може подолати земнетяжіння і здійснити політ до інших планет Сонячної системи, називається другою космічною швидкістю. Для Землі вона дорівнює 11,5 км.
0,2 км за секунду. Третя космічна швидкість мінімально необхідна швидкість тіла, що дозволяє перебороти тяжіння Сонця і в результаті вийти з сонячної системи у міжзоряний простір. Вона рівна 16,67 км за секунду.
Четверта космічна швидкість мінімально необхідна швидкість тіла, що дозволяє подолати тяжіння галактики. Четверта космічна швидкість не постійна для всіх точок галактики, а залежить від відстані до центральної маси. Для нашої галактики такою є об'єкт «Стрілець А» надмасивна чорна дірка.
За приблизними попередніми розрахунками, в районі нашого Сонця четверта космічна швидкість становить близько 550 км за секунду. Розв'язування задач. Задача 1. Космічний корабель масою 8 тонн наблизився до орбітальної космічної станції масою 20 тонн.
На відстань 100 метрів. Знайдіть силу їх взаємного притягання. Відповідь.
Запишемо дану. Космічний корабель масою 8 тонн, позначимо М1, тонна це 10 в третій степені кілограм. Наблизився до орбітальної космічної станції масою М2 20 тонн. 20 помножити на 10 в третій степені отримаємо 2 на 10 в четвертій степені кілограм. На відстань, відстань між космічною станцією кораблем, позначимо маленькою літерою R, 100 метрів.
100 це 10 в квадраті. Знайдіть силу їх взаємного притягання. Позначимо силу взаємного притягання космічного корабля та орбітальної станції великою літерою F. Відомо, що тіла в Всесвіті і взагалі будь-які тіла взаємно притягуються одне до одного, тобто вступають в гравітаційну взаємодію. Силу цієї взаємодії...
Гравітаційної взаємодії, тобто силу взаємного притягання, можна розрахувати, скориставшись законом всесвітнього тяжіння, який сформульований для двох пар тіл, що між собою взаємодіють. Як у нашому випадку. Ми маємо справу з кораблем і космічною станцією. Отже, між кораблем і космічною станцією. космічною станцією діють сили гравітаційного притягання.
Ці сили або ця сила прямо пропорційна добутку мас цих тіл, тобто станції і космічного корабля, і оберну пропорційна квадрату відстані R між станцією і космічним кораблем. Ж В даній формулі для розрахунку сили притягання це так звана гравітаційна стала. Гравітаційну сталу вперше виміряв англійський учений Генрі Кавендіш у 1798 році. Вона дорівнює 6,67 на 10-11 степені ньютон, помножений на метр квадратний, поділити на кілограм в квадраті. Застосуємо Цю формулу для визначення сили взаємного притягання космічної корабля і орбітальної станції.
Перевіряємо одиниці вимірювання. G, як ми щойно сказали, ньютон на метр в квадраті поділити на кілограм в квадраті. Маси кілограми, відстань в метрах і в квадраті.
Після цього у нас метри квадратні і кілограми уже квадратні скорочуються, залишаються лише ньютони. Тобто сила вимірюється в ньютонах, і це правильно. Підставляємо числове значення G, помножити на добуток мас, 8 на 10 в третій степені, помножити на 2 на 10 в четвертій степені, і поділити на 100 метрів, 10 в квадраті, ще раз в квадрат.
Провівши обчислення, отримаємо, що ця сила буде наближно рівна 107. помножити на 10 у мінус 8 степені Ньютона, або 1,07 на 10 у мінус 6 степені Ньютона, або замінивши 10 у мінус 6 степені префіксом мікро, приблизно 1 мікроньютон. Задача 2. Як змінилася сила гравітаційної взаємодії космічного корабля із Землі, якщо корабель здійснює політ на висоті 400 км від поверхні Землі? Розв'язок. Запишемо дану.
Як змінилася сила гравітаційної взаємодії космічного корабля із Землі? Якщо корабель здійснює політ на висоті аж маленьке 400 км, в 1 км 10 в 3 степені метрів, 400 помноживши на 10 в 3, отримаємо 4 на 10 в 5 степені метра. Від поверхні землі, коли ми хочемо дізнатися, як змінилася сила. Ми повинні знати, скільки разів вона збільшилась або зменшилась.
В даному випадку нам необхідно порівняти силу гравітаційної взаємодії космічного корабля і Землі. В першому випадку позначимо її F1, коли корабель стояв на пусковому майданчику на поверхні Землі, та коли... Він здійснює політ на висоті 400 км від поверхні Землі.
Позначимо цю силу F2. Тобто, нам необхідно знайти відношення F1 поділити на F2. Гравітаційна взаємодія це взаємодія, яка є властивою всім тілам у Всесвіті і виявляється в...
їхньому взаємному притяганні одне до одного. Тобто, космічний корабель і Земля взаємно притягуються між собою. Силу цього взаємного їх притягання можна визначити, спираючись на закон всесвітнього тяжіння, який стверджує, що між будь-якими двома тілами Діють сили гравітаційного притягання, які прямо пропорційні добутку мас цих тіл і оберну пропорційні квадрату відстані між ними.
Тобто F дорівнює G гравітаційна стала, помножити на M1, помножити на M2 маси двох тіл і поділити на R квадрат. ДР відстань між центрами тяжіння цих обох тіл. У випадку, коли ми маємо справу з землею та тілом набагато менших розмірів і набагато меншої маси, біля поверхні землі силу гравітаційної взаємодії називають силою тяжіння. Сила тяжіння це сила, з якою земля притягує до себе тіла, що перебувають на її поверхні або поблизу неї.
В цьому випадку, якщо тіло знаходиться поблизу Землі, на деякій висоті аж над Землею, силу тяжіння, яка виражається через закон всесвітнього тяжіння, можна записати наступним чином. F тяжіння до рівня G, гравітаційна стала, помножити на масу тіла, помножити на масу... самої землі і поділити на квадрат відстані між землею та тілом.
Ця відстань буде рівна сумі радіус землі плюс аж висота даного тіла надповерхною землі. Якщо тіло знаходиться не надповерхньою землі, а безпосередньо на поверхні, в цьому випадку аж буде рівне нулю. І оцим доданком можна взагалі знехтувати.
Тому у випадку, коли космічний корабель знаходиться на пусковому майданчику на поверхні Землі, сила гравітаційної взаємодії між землею і кораблем буде визначатися ось за такою формулою. А, коливін! буде знаходитися на висоті 400 км, здійснюючи політ, то ось за такою.
Відношення цих двох сил буде наступним. Після цього у нас скоротиться G, маса тіла і маса землі. А радіус землі плюс H в квадраті піде в чисельник. Підставимо значення, врахувавши, що радіус Землі дорівнює 6400 км в 1 км 1000 м, або 10 в 3 степені. 6400 це 6,4 на 10 в 3 степені.
Помноживши 10 в 3 степені на 10 в 3 степені, отримаємо 10 в 6 степені метра. Таким чином... Відношення F1 до F2 буде рівне в дужках радіус землі 6,4х10 в 6 степені метра плюс висота 400 км або 4х10 в 5 степені метра підносимо в квадрат і ділимо на радіус землі в квадраті.
Провівши обчислення, отримаємо наближену значення 1,1. Означає, що сила гравітаційної взаємодії зменшилася приблизно в 1,1 рази з віддаленням космічного корабля від поверхні Землі. Задача 3. Яку швидкість необхідно розвинути ракеті, щоб стати штучним супутником Венери? Завуважте, що маса Венери дорівнює 4,92 на 10,24 степені кілограм, а її радіус 6050 кілометрів. Розв'язок.
Запишемо дану. Яку швидкість? В маленьке.
Необхідно розвинути ракеті, щоб стати штучним супутником Венери. Маса Венери дорівнює, позначимо літерою М, велике 4,92х10 в 24 степені кілограма, а радіус Венери, Р велике 6050 кілометрів. 6050 це 6,05 на 10 в третій степені.
Префікс кіло теж означає 10 в третій степені. Тому ми отримаємо 6,05 на 10 в шостій степені метра. Штучний супутник це тіло, яке рухається на певній висоті над поверхною планети по коловій орбіті.
Для того, щоб тіло стало штучним супутником планети, йому треба надати швидкість, яка називається першою космічною швидкістю. Це така швидкість, яку потрібно надати тілу в момент запуску з даної планети, а в нашому випадку мова йде про ракету. Щоб ракета стала її супутником Землі і при цьому рухалася б по колу, центр якого збігається з центром цієї планети. Формула для розрахунку першої космічної швидкості, яка включає в себе такі параметри, як масу планети.
Радіус планети та висоту, на якій буде обертатися штучний супутник, а в нашому випадку ракета, довкола планети, має наступний вигляд. V дорівнює корінь квадратний з G, гравітаційна стала, помножити на M велике масу планети і поділити на R велике плюс H. Так як... Штучні супутники зазвичай обертаються по коловій орбіті на висоті над Землею, яка набагато менша, точніше, на висоті над планетою, яка набагато менша за радіус самої планети, то в цьому випадку доданком, який включає в себе висоту, можна взагалі знесктувати, так як сума R велика плюс H буде наближено дорівнювати просто радіусу цієї планети.
Тому формула для розрахунку першої космічної швидкості, поки що для будь-якої планети, ще більш спроститься. В дорівнює G. Гравітаційна стала 6,67 на 10 у мінус 11 степеню ньютон на метр квадратний поділений на кілограм квадраті помножити на масу планети і поділити на R її радіус. Перевіряємо даниці вимірювання G. Маса в кілограмах, радіус в метрах.
Після цього у нас одні кілограми і одні метри. В нас залишиться корінь квадратний з ньютони, помножені на метри і поділені на кілограми. Ньютони це з другого закону Ньютона добуток маси на прискорення, тобто кілограм, помножений на метр, поділений на секунду в квадраті.
Після цього в нас знову дещо скорочується, зокрема кілограми, а корінь з метрів квадратних, поділених на секунду в квадраті, дасть метрі за секунду. що і є одиницею вимірювання швидкості. Підставляємо числові значення.
Корінь квадратний G667х10-11, маса Венери 492х10-24 і ділимо на радіус цієї планети 6,05х10 в 6 степені. Це буде рівне, наближено корінь квадратний з 54,2 на 10 в. 6 степені, або добувши корінь приблизно 7,4 на 10 в 3 степені метр за секунду.
Замінивши 10 в 3 степені префіксом кіло, отримаємо 7,4 км за секунду. Задача 4. Визначте масу планети, навколо якої супутник обертається по коловій орбіті радіусом 3800 км з періодом 2 години розв'язок. Запишемо дану. Визначте масу планети.
Традиційно масу таких великих об'єктів позначають великою літерою М. навколо якої супутник обертається по коловій орбіті радіусом r великі 3800 км або 3,8х10 в 6 степені метра з періодом t великі 2 години в 1 годині 3600 секунд домноживши на 2, утримаємо 7200 або 7,2х10 в 3 степені секунд. Якщо мова йде про супутник, який обертається по коловій орбіті, значить ми маємо справу з штучним супутником.
Штучний супутник це тіло, яке рухається на певній висоті надповерхної планети по коловій орбіті. Для того, щоб тіло перетворилося в штучний супутник планети, Йому необхідно надати першу космічну швидкість. Це швидкість, яку потрібно надати тілу, а саме перша космічна швидкість, в момент запуску з даної планети, щоб це тіло стало її штучним супутником і при цьому рухалось по колу, центр якого збігається з центром цієї планети.
Тіло, якому надали першу космічну швидкість, опиняється на коловій орбіті. Воно рухається рівномірно по колу з деякою лінійною швидкістю, яка якраз і буде рівна першій космічній швидкості. Тому, знаючи... Значення першої космічної швидкості для даної планети ми зможемо з'ясувати лінійну швидкість, з якою рухається дане тіло по коловій орбіті або по коловій траєкторії. Формулу для розрахунку першої космічної швидкості довільної.
Планети ми вже знаємо. V дорівнює корінь квадратний з G. Гравітаційна стала помножити на масу планети і поділити на її радіус. З цієї формули ми могли б визначити масу планети, якби знали V значення лінійної швидкості.
супутника при русі по коловій орбіті, яке в свою чергу дорівнює першій космічної швидкості для даної планети. Але ми її не знаємо. З іншого боку, ми можемо розглянути рух супутника, рівномірний по коловій орбіті з деякою лінійною швидкістю.
З точки зору кінематики. З кінематики ми знаємо, що лінійна швидкість V рівномірного руху тіла по колу, виражена через період Т велике обертання, визначається по формулі V дорівнює 2πr поділити на T dr радіус цього кола. В випадку, коли ми маємо справу з супутником, який обертається по коловій орбіті, радіус його орбіти дорівнює сумі радіуса планети плюс висоті, на якій він обертається. Проте, коли...
Мова йде про супутник, ця висота, аж вона набагато менша за радіус самої планети. Тому ми можемо вважати, що з великим ступенем точності радіус кола, по якому обертається супутник, наближено до рівні радіусу самої планети. Тобто V дорівнює 2πr поділити на Т велике. Маючи з ліва однакові величини, порівнюємо праві. Підносимо обидві частини рівності в квадрат.
І після цього визначаємо масу планети. Вона буде рівна 4π квадрат. r квадрат на r дасть нам r куб.
Поділити на все, що залишилося. G велике, гравітаційна стала, помножена на t квадрат. Перевіряємо даниці вимірювання. 4,5 квадрат безрозмірне, радіус вимірюється в метрах, в даному випадку ще й в кубі.
Вже гравітаційна стала, ньютони на метри квадратні поділені на кілограми в квадраті і період обертання супутника секунди в квадраті. Після цього у нас скоротяться метри квадратні і в чисельнику залишаться лише метри. Ньютони, ми розпишемо другий закон Ньютона, маса на прискорення, кілограм на метр поділений на секунду в квадраті. Після цього у нас секунди в квадраті у нас скорочуються, скорочуються у нас метри. Квадратні, а також у нас скорочуються одні кілограми.
І одні кілограми в знаменнику, ось внизу, підуть в чисельник. Таким чином маса вимірюється в кілограмах, що є правильним. Підставляємо числові значення. 4π, 4 на 3, 14 в квадраті. Радіус планети 3,8 в 16 степені в кубі.
Поділити на G66710-11 і поділити на період обертання 7,2 на 10 в третій степені в квадрат. Провівши обчислення, отримаємо наступне значення. Маса планети наближено дорівнює 6,3 на 10 в 23 степені кілограм.
Задача 5. Середня відстань між центрами Землі та Місяця становить приблизно 384 тисячі кілометрів. На якій відстані від центру Землі, напрямі що з'єднує центри Землі та Місяця, космічний корабель притягується до Місяця та Землі з рівними за модулем силами. Врахуйте, що маса Місяця у 81 раз менша за масу Землі. Розв'язок. Запишемо дану.
Середня відстань між центрами Землі та Місяця становить приблизно 384 тисячі кілометрів. Позначимо цю відстань між центрами R. 384 000 км це 3,84 на 10 в 5 степені.
Префікс кіло дасть нам ще 10 в 3. Отже, R буде рівне 3,84 на 10 в 8 степені метра. На які відстані від центра землі Напрямій, що з'єднує центри Землі та Місяця, космічний корабель притягується до Місяця та Землі з рівними за модулем силами. Якщо ми позначимо силу, з якою Земля притягує космічний корабель F1, а силу, з якою Місяць притягує той же самий космічний корабель F2, Тоді F1 по модулю має бути рівне F2. Рівні по модулю, але, як ми бачимо з малюнка, протилежні за напрямком. Знайти нам необхідно відстань від центру Землі до місця розташування у цей момент, коли сили рівні космічного корабля.
Позначимо її маленькою літерою S. Врахуйте, що маса місяця у 81 раз менша за масу Землі. Тобто, маса Землі дорівнює 81-ій масі місяця. Згідно з законом всесвітнього тяжіння, між будь-якими двома тілами, тобто між Землею та Місяцем, між Землею і космічним кораблем, між Місяцем і космічним кораблем, діють сили гравітаційного притягання.
Ці сили прямо пропорційні добутку мас цих тіл. І оберну пропорційні квадрату відстані між ними. Отже, ми можемо, виходячи з закону всесвітнього тяжіння, записати вираз для визначення сили F1 у випадку взаємодії Землі та космічного корабля та F2 у випадку взаємодії... Космічного корабля та Місяця. Врахувавши, що маса Землі, ми позначили М велике Землі, а масу Місяця М велике Місяця, відстань між Землею та Місяцем R, відстань між Землею та Космічним кораблем шука на S.
Отримаємо, що відстань між кораблем і місяцем буде рівна R-S. Отже, F1 у відповідності до закону всесвітнього тяжіння буде рівна G. Помножити на масу космічного корабля.
помножити на масу Землі і поділити на квадрат відстані між ними, який нам треба знайти. Підставивши значення маси Землі, яке виражено через масу Місяця, отримаємо, що G до рівня 81, М маленьке, тобто маса космічного корабля, помножити на масу Місяця і поділити на S квадрат. Аналогічно, у випадку взаємодії гравітаційної між кораблем та місяцем, отримаємо силу F2, де відстань, як ми вже сказали, рівна R-S. Після цього можемо перейти до використання умови, що ці сили F1 та F2 з рівнуваження з відси у нас.
Після того, як скоротиться G, скоротиться M, скоротиться маса місяця. І після того, як ми перевернемо праву і ліву частину, домноживши на 81, матимемо, що S квадрат дорівнює 81 помножити на R-S в квадраті. Добудемо з лівої і правої частини квадратний корінь. Це нам дасть, слідуючи, S дорівнює 9 помножити на R-S. Відкривши дужки, матимемо, що 10S буде дорівнювати 9R.
Звідси шукана відстань S від центру Землі до космічного корабля буде рівна 9R поділити на 10. Підставивши значення відстані між Землею та Місяцем, 3,84 на 10 восьмій степені метра, отримаємо 3,456 на 10 восьмій степені метра або 345 тисяч 600 кілометрів. Саме такою була відстань від Землі до космічного корабля. Тобто, можемо зробити висновок, що космічний корабель був дуже-дуже близько біля поверхні Місяця.
Щойно дивно, тому що маса Землі все ж таки 81 раз перевищує масу Місяця. Задача 6. Визначте прискорення вільного падіння на Юпітері, якщо відомо, що середня густина планети дорівнює 1300 кг на метр кубічний, а радіус становить 71 тисячу кілометрів. Вважайте, що Юпітер має форму кулі. Розв'язок. Запишемо дано.
Визначте прискорення вільного падіння на Юпітері. Традиційно прискорення вільного падіння позначається маленькою літерою G. Якщо відомо, що середня густина планети, позначення густини Ро, 1300 кг на метр кубічний, а радіус Юпітера становить R велике 71 000 км.
71 тисяча це 7,1 на 10 в четвертій степені. Префікс кіло 10 в третій степені. Отже, радіус буде рівний 7,1 на 10 в сьомій степені метра. Вважайте, що Юпітер має форму кулі. Прискорення вільного падіння для планети.
яка має масу m і радіус r залежить від висоти над її поверхнею. Висота позначається маленькою літорою h. Розрахувати його можна по формулі g дорівнює g велике, гравітаційна стала, помножити на m маса планети, поділити на r плюс h в квадраті dr радіус планети. У випадку, якщо ми маємо ситуацію, коли тіло перебуває на поверхні планети, або на висоті кількох кілометрів, тобто на висоті, яка набагато менша за радіус самої планети, формула спрощується, тому що доданком плюс h в знаменнику під квадратом можна знехтувати. Тоді G буде рівне G велике на масу і поділити на R квадрат.
Ми могли б розрахувати G для Юпітера, якби знали масу Юпітера. В даному випадку в довідники заглядати не будемо, а підемо іншим шляхом, тому що нам відома середня густина планети Ро. Це раз. І друге, що Юпітер має форму кулі. Густина це фізична величина, яка характеризує речовину і дорівнює відношенню маси суцільного тіла до об'єму цього тіла.
В даному випадку середня густина характеризує не речовину, а суцільне тіло. Але все одно вона рівна відношенню маси до її об'єму. З цієї формули масу можна розрахувати масу планети Юпітера, помноживши середню густину на об'єм Юпітера. В велике позначається.
Так як Юпітер ми можемо вважати кулею, тобто фактично сферою, то Знаючи радіус такої сфери, об'єм розраховується по формулі V дорівнює 4 третіх πr куб. Тому, підставивши це значення у формулу для розрахунку маси Юпітера, отримаємо, що M велике дорівнює 4 третіх πr куб помножити на ρ. Підставимо цю формулу в формулу для розрахунку. прискорення вільного падіння g. Коли ми це зробимо, у нас скоротиться r квадрат в чисельнику і знаменнику.
І все, що залишиться, це 4 третіх πr помножити на ρ і помножити на g. Велика. Де же велика гравітаційна стала рівна 6,67 на 10-11 ньютон на метр квадратний поділити на кілограм в квадраті.
Перевіряємо дониці вимірювання. 4 третіх пі безрозмірне, R. Радіус Юпітера метри, ρ кілограми на метр кубічний, g ньютони на метри квадратні, поділені на кілограми в квадраті.
Дещо у нас скоротиться. А саме, метри і метри квадратні дадуть метри кубічні, і вони скоротяться з метрами кубічними в знаменнику. Кілограми одні теж скоротяться. Залишаться ньютони, поділені на кілограми.
Ньютони, в свою чергу, як одиниця вимірювання. Один ньютон рівний кілограм, помножений на метр на секунду в квадраті. Після цього кілограм у нас скорочується і залишиться лише метри на секунду в квадраті. Одиниця вимірювання прискорення. Підставляємо числові значення G до рівні 4 третіх.
П'3,14. Радіус Юпітера 7,1 на 10 в сьомій степені метра, ρ середня густина 1300 кг на метр кубічний і g 6,67 на 10 в мінус 11 ньютон на метр квадратний поділити на кілограм в квадраті. Провівши обчислення, матимемо, що прискорення вільного падіння на Юпітері наближено буде рівне.
Біля поверхні цієї планети 25,8 метра за секунду в квадраті. Тобто, практично втричі більше, ніж на Землі. З метою самоперевірки спробуйте дати відповідь на наступні запитання. Перше.
Яку взаємодію називають гравітаційною? Наведіть приклади. Друге.
Сформулюйте й запишіть закон всесвітнього тяжіння. Третє. Яким є фізичний зміст гравітаційної сталої?
Чому вона дорівнює? Четверте. Дайте визначення сили тяжіння.
За якими формулами її обчислюють? П'яте. Як розрахувати прискорення вільного падіння поблизу поверхні Землі?
Шосте. Дайте визначення першої космічної швидкості. Домашнє завдання. Опрацювати параграф 11, вправа №11, пункти 3 та 5.