Hallo liebe Schüler und willkommen zur nächsten Lektion! Heute wollen wir uns die sogenannte Skalarmultiplikation anschauen. Lasst euch von diesem Wort nicht abschrecken, es meint einfach nur die Multiplikation. einer Zahl, also Skalar könnt ihr euch als Zahl merken, also eine Zahl wird mit einem Vektor multipliziert. Schauen wir uns das genauer an.
Stellen wir uns vor, wir haben hier einen Vektor und diesen Vektor addieren wir mit sich selbst. Das heißt, wir nehmen ihn und setzen ihn hier nochmal ran. Seine Komponenten waren 3, 0 und die Summe aus v plus v. ist dann 6,0.
Wir haben also die 3, die x-Komponente, verdoppelt. Und genau diese Verdopplung müssen wir nicht über die Addition ausdrücken, wir können genauso gut die Multiplikation wählen, indem wir also unseren Vektor v mit einer 2 multiplizieren. Nehmen wir uns hier einen Vektor r, der zweimal so lang werden soll wie Vektor v. Schauen wir hier. Hier steht ein kleines s, das ist unsere Zahl, die wir wie gesagt auch Skalar nennen.
Dies multiplizieren wir mit dem Vektor und erhalten unseren resultierenden Vektor. Und dabei müssen wir aufpassen. Stellen wir mal unseren Skalar auf 2. Wir sehen, er wird doppelt so lang.
Das heißt, das ist unser resultierender Vektor. Und hier rechnen wir 2 mal die x-Komponente. 2 mal 3 sind Senks.
Und wir rechnen 2 mal y-Komponente, 2 mal 0 sind 0. Und unser resultierender Vektor ist 6,0. Das heißt, wollt ihr einen Vektor in seiner Länge verdoppeln, rechnet ihr einfach den Skalar hinein, 2 mal die beiden Komponenten des Vektors. Und wenn wir den Vektor mit 1 multiplizieren, dann bleibt er erhalten.
Also der resultierende Vektor entspricht dann dem Ursprungsvektor. Wenn ihr so wollt, ist die 1 sozusagen das neutrale Element der Skalarmultiplikation. Und mit Hilfe dieses Skalars haben wir also die Möglichkeit, unseren Vektor beliebig zu verlängern oder aber auch ihn kleiner zu machen, indem wir eine Zahl zwischen 0 und 1 wählen, wie zum Beispiel 0,5. 0,5 mal 3 sind 1,5.
Wir haben also die 3 halbiert. Und 0,5 mal 0 ist 0. Und hier unser resultierender Vektor eingezeichnet, er ist halb so lang wie unser Ursprungsvektor. Und wir können ihn natürlich immer kleiner machen. Und wenn wir die 0 erreichen, sehen wir 0 mal 3 ist 0, 0 mal 0 ist 0. Wir haben einen Nullvektor erschaffen. Merken wir uns also?
Multiplizieren wir einen Vektor mit dem Skalar 0, so erhalten wir 0. den Nullvektor. Und wenn wir jetzt einen Wert kleiner als 0 wählen, wie zum Beispiel sehen wir, erschaffen wir den Gegenvektor. Wir haben also unseren Ursprungsvektor um gedreht. Also aus 3 0 wurde durch die mal und 0. Das ist auch die Regel für den Gegenvektor. die wir schon kennengelernt hatten.
Wir vertauschen die Vorzeichen, 3 wird zu minus 3, 0, hier ist nichts zu vertauschen, 0 bleibt 0. Das heißt, das, was wir dem Gegenvektor gesagt haben, dass wir die Vorzeichen umkehren, bedeutet, dass wir die Komponenten mit minus 1 multiplizieren. Und wenn wir jetzt den Wert noch kleiner werden lassen, zum Beispiel minus 2, dann verdoppeln wir die Länge unseres Ursprungsvektors und machen aus ihm den Gegenvektor. Also wenn wir den verdoppelt haben, dann sehen wir, das ist 2 mal unser Vektor v und dann mal minus 1 gerechnet, also als Gegenvektor.
Und wie wir sehen, durch diesen Skalarwert, je nachdem wie groß oder kleiner ist, können wir unseren Ursprungsvektor vergrößern oder verkleinern. Und dieses Vergrößern und verkleinern nennt man auch skalieren. Vielleicht habt ihr das schon mal in einem Bildbearbeitungsprogramm gesehen. Ihr habt ein Bild vergrößert oder verkleinert und es damit skaliert. Und deshalb nennt man diese Zahl, die unseren Vektor vergrößert oder verkleinert, skalar.
Denn damit möchte man aussagen, dass er unseren ursprünglichen Vektor in seiner Größe verändert. Statt von dem resultierenden Vektor spricht man übrigens auch vom skalierten Vektor. Gut, wiederholen wir noch einmal ganz kurz die Aussagen zum Skalar.
Ist der Skalar gleich 1, so bleibt die Länge des Vektors unverändert. Ist der Skalar größer als 1, so verlängert sich der Vektor. Man spricht auch von einer Vektorstreckung.
Ist der Skalar zwischen 0 und 1, so verkleinert sich der Vektor, also die Länge nimmt ab. Man sagt auch Vektorstauchung hierzu. Ist der Skalar 0, so erhalten wir unseren Nullvektor, der, wie wir wissen, keine Länge und keine Richtung hat.
Haben wir einen negativen Wert zwischen 0 und verkleinern wir unseren Vektor und machen aus ihm den Gegenvektor. Das heißt, er zeigt in die andere Richtung. Wir sagen gestauchter Gegenvektor.
Haben wir so erschaffen wir genau den Gegenvektor. Und haben wir einen Wert kleiner als so verlängern wir unseren ursprünglichen Vektor. Er zeigt dann jedoch in die andere Richtung.
Für unsere Beispiele hier haben wir jetzt immer nur die die x-Komponente betrachtet, aber noch nicht die y-Komponente. Deswegen wollen wir unseren Vektor jetzt einmal verändern, zum Beispiel zu Vektor. Wenn wir diesen Vektor haben und ihn jetzt mit 2 multiplizieren, also mit dem Skalar 2, sehen wir, so wurde aus der x-Komponente 3, die x-Komponente 6 und aus der y-Komponente 2, 2 mal 2, wurde die Komponente 4. Wie wir sehen, müssen wir, wie wir schon gesagt haben, die 2 multiplizieren auf die x-Komponente und auf die y-Komponente.
Und hier gilt das Gleiche. Bei einem Wert größer als 1 ist der Vektor länger, bei 1 entspricht der resultierende Vektor dem Ursprungsvektor, zwischen 1 und 0 wird er kleiner, Bei 0 erhalten wir den Nullvektor und unter 0 erschaffen wir den Gegenvektor, skaliert. Sehr schön.
Wir merken uns auch weiterhin, wenn der Skalar größer als 0 ist, wird der resultierende Vektor immer in die gleiche Richtung zeigen wie unser Ursprungsvektor. Und wenn der Skalar kleiner als 0 ist, wird der resultierende Vektor immer in die andere Richtung zeigen. entgegengesetzte Richtung zeigen als der Ursprungsvektor.
Sehr schön! Lasst uns im nächsten Teil anschauen, ob das Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und das Distributivgesetz für die Skalarmultiplikation gilt.