Skalarmultiplikation

Einführung

• Skalarmultiplikation: Multiplikation einer Zahl (Skalar) mit einem Vektor.
• Ein Skalar ist einfach eine Zahl.

Verdopplung eines Vektors

• Beispiel: Vektor mit Komponenten (3, 0).
• Durch Addition: V + V = (6, 0).
• Durch Multiplikation: Skalar 2 x Vektor (3, 0) = (6, 0).

Eigenschaften der Skalarmultiplikation

• Skalar 1: Vektor bleibt unverändert (neutrales Element).
• Skalar > 1: Vektor wird verlängert (Vektorstreckung).
• Skalar zwischen 0 und 1: Vektor wird verkleinert (Vektorstauchung).
• Skalar 0: Erzeugt den Nullvektor (0, 0).
• Skalar < 0: Erzeugt den Gegenvektor (entgegengesetzte Richtung).

Beispiele

• Skalar 0,5 x Vektor (3, 0) = (1,5, 0) (Halbierung).
• Skalar -1 x Vektor (3, 0) = (-3, 0) (Gegenvektor).
• Skalar -2 x Vektor (3, 0) = (-6, 0) (verlängerter Gegenvektor).

Skalierung

• Begriff "skalieren": Vergrößern oder Verkleinern eines Vektors.
• Der resultierende Vektor wird auch als "skalierter Vektor" bezeichnet.

Auswirkungen auf die Richtung

• Skalar > 0: Resultierender Vektor zeigt in gleiche Richtung wie Ursprungsvektor.
• Skalar < 0: Resultierender Vektor zeigt in entgegengesetzte Richtung.

Weitere Beispiele

• Vektor (3, 2) mit Skalar 2:
  • x-Komponente: 2 x 3 = 6
  • y-Komponente: 2 x 2 = 4
  • Resultierender Vektor: (6, 4)

Nächste Themen

• Untersuchung der Gültigkeit des Assoziativgesetzes, Kommutativgesetzes und Distributivgesetzes bei der Skalarmultiplikation.

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Diese Notizen fassen die wesentlichen Punkte der Vorlesung über Skalarmultiplikation zusammen und dienen als Studienhilfe.