Harmonische Schwingungen und ihre Bedeutung

Grundlagen der Harmonischen Schwingung

• Schwingung einer Gitarrensaite:

  • Eine richtig gestimmte A-Saite schwingt mit 110 Hz.
  • Die Frequenz ist unabhängig von der Lautstärke der Schwingung.

• Definition der Harmonischen Schwingung:

  • Schwingung: Bewegung eines Objekts um seine Ruheposition.
  • Harmonische Schwingung: Erzeugt eine Sinuskurve im Zeit-Weg-Diagramm.

Wichtige Begriffe

• Amplitude: Maximale Auslenkung eines schwingenden Objekts (in Metern).
• Schwingungsdauer (T): Zeit für eine vollständige Schwingung (in Sekunden).
• Frequenz (f): Anzahl der Schwingungen pro Sekunde (in Hertz).

Bedingungen für Harmonische Schwingungen

• Rückstellkraft proportional zur Auslenkung.
• Lineare Beziehung beschrieben durch das Hookesche Gesetz.
• Frequenz ist unabhängig von der Amplitude.

Bedeutung in der Musik

• Harmonische Schwingungen sind essenziell für die konstante Tonhöhe von Instrumenten.
• Tonhöhe bleibt unabhängig von Lautstärke gleich.
• Notwendig für das Zusammenspiel mehrerer Instrumente.

Herleitung der Gleichung für Harmonische Schwingungen

• Verbindung zwischen Kreisbahn und Harmonischer Schwingung.

• Schattendarstellung eines konstant drehenden Objekts auf einer Kreisbahn.

• Verwendung der Winkelgeschwindigkeit zur Ableitung der Schwingungsgleichung.

• Gleichungen:

  • Schwingungsgleichung: ( y(t) = A \cdot \sin(\omega t) )
  • ( \omega = \frac{2\pi}{T} )
  • ( y(t) = A \cdot \sin(2\pi f t) )

Gedankenexperiment: Harmonische Schwingung durch die Erde

• Loch von Nord- zu Südpol, ohne Luftwiderstand.
• Apfel fällt harmonisch hin und her.
• Verbindung mit der Kreisbahn: Apfel auf der Kreisbahn benötigt 84 Minuten für eine Umrundung.
• Tunnel-Apfel benötigt dieselbe Zeit für eine Hin- und Herbewegung.