die a-seite einer richtig gestimmten gitarren schwingt mit 110 herz spielt dabei keine rolle ob ich die seite leise zupfen oder laut [Musik] die frequenz ist also nicht von der lautstärke also von der schwingungs weiter abhängig das ist keinesfalls selbstverständlich es hat mit der harmonischen schwingung zu tun die harmonische schwingungen ist die königin der schwingungen sie ist eines der wichtigsten physikalischen modellen um bewegungsabläufe zu beschreiben und sie hat überraschend viel mit musik zu tun [Musik] unter einer schwingung versteht man einfach gesagt dass ich etwas pausenlos um seine ruhe lage hin und her bewegt was versteht man aber unter einer harmonischen stimmung nehmen wir an dass die schwingungen dieses fehler pendels ungedämpft sind mit der zeit also nicht abnehmen wenn ich jetzt die position des pendels über derzeit auf trage dann erhalte ich eine sinuskurve und immer wenn das der fall ist dann spricht man von einer harmonischen schwingung ich kann also allgemein und zusammengestaucht so sagen immer dann wenn die schwingung eines objekts im zeit weg diagramm eine sinuskurve erzeugt dann spricht man von einer harmonischen stimmung anhand dieser schwingung können wir uns gleich drei wichtige begriffe anziehen die amplitude ist die maximale auslenkung des schwingenden objekts sie wir den metern angegeben die schwingungs dauer große ist die zeit die das objekt für eine ganze schwingung braucht bis es also wieder exakt an derselben stelle ist die schwingung -strategie den sekunden angegeben und dann ist da noch die frequenz kern f sie ist der care wird der stimmungs dauernd wir den herz angegeben wenn die schwingung es dauert zum beispiel eine fünfzigstel sekunde beträgt dann stimmt das objekt mit 50 hertz also 50 mal pro sekunde hin und her das ist zum beispiel beim wechselstrom der fall unter welchen bedingungen entsteht eine harmonische stimmung eine harmonische schwingungen steht immer dann wenn die rückstellen die kraft proportional zur auslenkung ist wenn also das objekt doppelt so stark aus gelenkt wird dann ist die rückstände kraft doppelt so groß wenn das objekt dreimal so stark ausgelegt wird ist die rückstellung die kraft dreimal so groß und so weiter und so fort ein solcher linearer zusammenhang zwischen auslenkung und kraft wird übrigens durch das hübsche gesetz geschrieben dieser lineare zusammenhang zwischen auslenkung und rückstellungen der kraft führt aber nicht nur zu einer sinus schwingung es gibt noch einen zweiten sehr interessanten effekt bei einer harmonische schwingungen hat nämlich die amplitude keinen effekt auf die frequenz das feder pendelt stärke schwingt dann ist die amplitude größer trotzdem schafft das pendel den längeren hin und her weg in derselben zeit warum weil durch die stärkere auslenkung auch die einwirkenden kräfte pausenlos größer sind und das gleicht sich unter dem strich immer exakt aus dass die frequenz der harmonische stimmung nicht von amplitude abhängt ist in der musik von höchster bedeutung warum instrumente erzeugen immer viele schwingungen auf einmal die sich dann zum charakteristischen instrumenten kern zusammensetzen der springende punkt ist avatar dass die grundschwingung also die den tonhöhen eindruck vermittelt immer harmonisch ist warum kann ich das behaupten nehmen wir noch einmal die gitarre her egal ob ich die a-seite leise oder laut zugführer der tonhöhen eindruck ist in beiden fällen derselbe weil die frequenz in beiden fällen 110 herz beträgt die frequenz der seite und auch alle anderen zeiten hängt also ganz offensichtlich nicht von der lautstärke beziehungsweise schwingungs weiter ab und das ist nur bei einer harmonischen schwingung der fall harmonische schwingungen treten aber nicht nur bei saiteninstrumenten auf sondern generell bei allen musikinstrumenten mit denen man tonhöhen erzeugen kann also zum beispiel auch bei blasinstrumenten und das ist unglaublich wichtig musizieren ohne harmonische schwingungen wäre praktisch unmöglich warum während die schwingungen nämlich nicht harmonisch dann würde sich ja die tonhöhe beim leiser oder lauter spielen pausenlos verändern und das würde vor allem beim zusammengehen von mehreren instrumenten wirklich furchtbar klingen wie kann man die gleichung für die harmonische stimmung herleiten es gibt eine faszinierende verbindung zwischen der kreisbahn und eine harmonische stimmung ziehen wir uns dazu ein objekt an dass sich gleichmäßig auf einer kreisbahn belegt der schatten denn dieses objekt wirft beschreibt eine harmonische stimmung man kann eine harmonische schwingungen daher auch so definieren das schatten eines objekts dass ich mit konstanter winkel geschwindigkeit auf einer kreisbahn bewegt schwingt harmonisch und mit hilfe dieser definition kann man in drei einfachen schritten die gleichung für die harmonische schwingungen ableiten schritt eins wir ziehen eine linie von mittelpunkt des kreises zur aktuellen position des objekts die länge dieser linie entspricht dem radius des kreises gleichzeitig aber auch der amplitude a da sieht man dann besonders gut wenn sich das objekt gerade in der höchsten oder tiefsten stelle befindet schritt 2 das sinus ist allgemein gegen katheter durch hypothese in unserem fall ist sinus alpha y durch a und wenn ich das umstellen kann ich schreiben y ist mal sinus alpha schritt 3 jetzt müssen wir noch die dynamik ins spiel bringen dazu nehmen wir die winkel geschwindigkeit diese gibt allgemein gesagt an und welchem winkel sich ein objekt in einer bestimmten zeit dreht umgeformte gibt sich tougher ist megamind und wenn ich das in die gleichung von vorhinein setzte er halte ich oops i lon von tee ist ein minus von omega t und das ist auch schon die gleichung für die harmonische schwingungen man kann die gleichung aber auch noch anders anschreiben eine volle umdrehung entspricht 360 grad und im bogen was 2 p für die volle umdrehung braucht das objekt genau die schwingungs dauer groß t und deshalb kann ich die winkel geschwindigkeit omega auch als zwei bi durch die anschreiben und wenn ich das wieder in die gleichung einsätze erhalte ich y von tee ist mal sinus von zwei mal klein t durch gross team und weil 1 durch die wiederum die frequenz ist kann ich die gleichung auch so schreiben y von tee ist gleich mal sinus von 2 x 11 x t alle varianten sind gleichwertig und es ist geschmackssache welche ich verwende mit diesen gleichungen kann ich die position y eines harmonie schwingenden objekts zu jedem beliebigen zeitpunkt berechnen die verbinde inzwischen kreisbahn und harmonische schwingungen bringt mich zum schluss noch zu einem sehr netten gedankenexperiment nehmen wir dazu an ich bohre ein loch vom nordpol zum südpol durch die ganze erde nehmen wir vereinfacht an dass die erde durch und durch massiv ist dass die masse völlig gleichmäßig verteilt ist und dass es keinen luftwiderstand gibt im gedankenexperiment darf man so etwas nehmen jetzt eigentlich las am nordpol einen apfel in das loch fallen weil die gravitation vom nordpol bis zum mittelpunkt der erde linear abnimmt und vom mittelpunkt der erde bis zum südpol wie der linear zunimmt beginnt derart will harmonisch zwischen nord- und südpol hin und her zu springen wie lange dauert so eine ganze stimmung und jetzt kommt die kreisbahn ins spiel ich kann nämlich einen apfel mit superkräften einmal um die ganze erde werfen wenn ich ihn mit 7,9 kilometer pro sekunde das sind etwa 28.000 km/h horizontal abwerfe auch hierbei vernachlässige ich den luftwiderstand der springende punkt ist jetzt der wenn ich einen apfel in den tunnel fallen lassen und gleichzeitig ein zweiter apfel mit 79 kilometern pro sekunde einmal um die erde schieße dann befinden sich beide äpfel wegen der verbindung zwischen der kreisbahn und der harmonischen stimmung immer genau auf derselben höhe weil der satelliten apfel für eine umrundung 84 minuten braucht braucht daher auch der tunnel apfel für einmal hin und her 84 minuten man könnte also im freien fall von pol zu pol in nur 42 minuten gelangen und würde dabei in der mitte der erde eine sagenhafte geschwindigkeit von 28.000 km h erreichen