लीनियर प्रोग्रामिंग के कॉन्सेप्ट

परिचय

• वक्ता: रोशनी
• विषय: लीनियर प्रोग्रामिंग का परिचय और इसके रियल-लाइफ एप्लीकेशन्स
• लक्ष्य: लीनियर प्रोग्रामिंग के माध्यम से मैथमेटिकल मॉडलिंग और ऑप्टिमल सॉल्यूशन निकालना

लीनियर प्रोग्रामिंग क्या है?

• यह एक मैथेमेटिकल मेथड है जिसका उद्देश्य किसी गिवन प्रॉब्लम का बेस्ट आउटकम निकालना है।
• इसमें सिस्टम ऑफ लीनियर इनिक्वालिटीज (Linear Inequalities) का उपयोग होता है।

उदाहरण: फर्नीचर डीलर का प्रॉब्लम

कहानी का विवरण

• डीलर: जगतपाल
• प्रोडक्ट्स: टेबल और चेयर
• कांस्ट्रेंट्स:
  • वित्तीय: अधिकतम ₹50000
  • स्पेस: 60 पीस तक स्टोर कर सकते हैं
• कॉस्ट और प्रॉफिट:
  • टेबल: कॉस्ट प्राइस ₹2500, प्रॉफिट ₹250
  • चेयर: कॉस्ट प्राइस ₹500, प्रॉफिट ₹75

उद्देश्य

• ऑप्टिमल प्रॉफिट निकालना: यानि की अधिकतम प्रॉफिट कितने टेबल और चेयर खरीदने पर होगा।

मैथमेटिकल फॉर्मूलेशन

नॉन-नेगेटिव कंस्ट्रेंट्स

• एक्स ≥ 0 (टेबल की संख्या)
• ए ≥ 0 (चेयर की संख्या)

वित्तीय कंस्ट्रेंट

• 2500X + 500A ≤ 50000

स्पेस कंस्ट्रेंट

• X + A ≤ 60

प्रॉफिट फंक्शन

• स = 250X + 75A

ग्राफिकल रेप्रेजेंटेशन

• एक्स ≥ 0 और ए ≥ 0 को पहचानना
• 2500X + 500A ≤ 50000 तथा X + A ≤ 60 के लिए ग्राफ बनाना
• कॉमन रीजन (फीजिबल रीजन) को पहचानना

ऑप्टिमल सॉल्यूशन कैसे निकालें?

• फीजिबल रीजन का पता लगाएं
• कॉर्नर पॉइंट्स पर प्रॉफिट फंक्शन के वैल्यूज चेक करें
• सबसे अधिक प्रॉफिट वाली वैल्यू को ऑप्टिमल सॉल्यूशन मानें

थ्योरम्स

थ्योरम 1

• ऑप्टिमल वैल्यू फीजिबल रीजन के कॉर्नर पॉइंट्स पर ही प्राप्त होती है।

थ्योरम 2

• यदि फीजिबल रीजन अनबॉउंडेड है, तो मैक्सिमम या मिनिमम वैल्यू आवश्यक नहीं है।
• लेकिन अगर एक्जिस्ट करती है, तो यह कॉर्नर पॉइंट्स पर मिलेगी।

प्रक्रिया

1. मैथमेटिकल फॉर्मूलेशन करें
2. इनिक्वालिटी कंस्ट्रेंट्स के ग्राफ्स बनाएं
3. फीजिबल रीजन पहचानें
4. फीजिबल रीजन के कॉर्नर पॉइंट्स ढूँढें
5. ऑप्टिमल सॉल्यूशन निकालें (प्रॉफिट मैक्सिमम/मिनिमम वैल्यू प्राप्त करने के लिए)

प्रैक्टिकल एग्जाम्पल्स और क्वेश्चंस

1. **बॉन्डेड फीजिबल रीजन: ताबुल और चेयर
   • एक्स और ए के लिए कॉर्नर पॉइंट्स निकालें, जैसे 20, 0; 10, 50 इत्यादि
   • प्रॉफिट फंक्शन की वैल्यूज चेक करें और मैक्सिमम प्रॉफिट वाले कॉर्नर पॉइंट्स की वैल्यू निकालें**
2. **अनबॉउंडेड फीजिबल रीजन
   • प्लॉट बनाएँ और अनबॉउंडेड वाली स्थिति में मिनिमम वैल्यू कुछ ऐसे पॉइंट्स पे चेक करें जहाँ पर कॉमन रीजन हो**
3. **नो फीजिबल रीजन
   • ऐसे मामले जहां पर कोई कॉमन रीजन नहीं है, उस केस में नो फीजिबल सॉल्यूशन होता है**

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महत्वपूर्ण बिंदु

• लीनियर प्रोग्रामिंग का उद्देशय रियल-लाइफ प्रॉब्लम का ऑप्टिमल सॉल्यूशन निकालना है
• यह कॉन्सेप्ट पर आधारित होता है, इसलिए इसे लॉजिकल रूप से समझना आवश्यक है
• ग्राफ और कॉर्नर पॉइंट्स के माध्यम से सही सॉल्यूशन निकलेगा

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उसका धन्यवाद!