लीनियर इक्वेशन सॉल्व करना सिखा है लीनियर इन इक्वालिटीज सॉल्व करना वो भी सिखा है आज देखेंगे किस तरीके से हम इन कॉन्सेप्ट्स के हेल्प से सॉल्व करते हैं हमारे आस-पास के रियल लाइफ प्रॉब्लम्स हेलो एवरीवन आप सभी अच्छे हैं और आज मैं लेकर आई हूं क्लास 12th मैथमेटिक्स प्रिंसिपल्स ऑफ लीनियर प्रोग्रामिंग का वैन शॉट वीडियो हमेशा की तरह खत्म करेंगे इस पूरे लहसुन को सिर्फ एक वीडियो में और इस वीडियो को देखने के बाद लीनियर प्रोग्रामिंग के कॉन्सेप्ट्स होंगे हमेशा की तरह क्रिस्टल क्लियर तो मैं हूं रोशनी फ्रॉम लालू हैव डी फ्री लर्निंग प्लेटफार्म जहां पर आप पढ़ सकते हो फिजिक्स केमिस्ट्री मैथ्स बायोलॉजी सब कुछ अब्सोल्युटली फॉर फ्री ओनली hub.com तैयार हो सभी लोग आई एम सर तैयारी होंगे लेट्स गेट स्टार्टेड सबसे पहला सवाल दिमाग में यही आता है की व्हाट इस लीनियर प्रोग्रामिंग तो आप यूं समझ लो की लीनियर प्रोग्रामिंग एक ऐसा मैथमेटिक्स मेथड है जिसके हेल्प से हम किसी भी एक गिवन प्रॉब्लम बेस्ट आउटकम निकलती हैं मतलब ऐसे तो सुनने में बड़ा आसान सा लगा ऐसे भी आसान ही है बट इसको समझते हैं पहले की व्हाट एक्जेक्टली मैन लो की आपके पास कोई गिवन मैथमेटिक्स मॉडल है मतलब कोई ये गिवन रियल लाइफ प्रॉब्लम है उसे रियल लाइफ प्रॉब्लम में हमारी जितनी भी रियल लाइफ सिचुएशंस होती है उसमें बहुत सारे कंस्ट्रेंट्स होते हैं बहुत सारी कंडीशंस होती है उन कैंडी कंडीशंस या कंस्ट्रेंट्स को सेटिस्फाई करते हुए जब हम किसी एक फंक्शन का ऑप्टिमल वैल्यू निकलती हैं अब देखो यहां पे मैंने एक नया टर्म उसे कर दिया ऑप्टिमल वैल्यू मतलब जब हम किसी फंक्शन का मैक्सिमम या मिनिमम वैल्यू निकलती हैं जैसे मैन लो कोई एक सिचुएशन है किसी दुकानदार की कहानी है की भाई उसके पास इतने ही पैसे हैं वो उतना ही समान खरीद सकता है वगैरा वगैरा या फिर किस सिचुएशन में वह कम से कम मिनिमम पैसे में समान खरीद लेगा तो इस तरह की जो सिचुएशंस है ऐसे सिचुएशंस को सॉल्व करने में मदद करता है लीनियर प्रोग्रामिंग तो इसे फली अगर थोड़ा सा और मैथमेटिक्स के टर्म्स में समझना है तो ऐसे सोच सकते हो की जैसे मैन लो आपके पास सिस्टम ऑफ लीनियर इनिक्वालिटीज है जिन्हें हम सॉल्व करते द क्लास 11th मैथ्स में हमने लीनियर इनिक्वालिटीज पढ़ा था जिसके अंदर हम उनको सॉल्व करते द उनका सॉल्यूशन निकलती द यहां भी समझ लो कुछ उसी टाइप के लीनियर इनिक्वालिटीज होंगे कई सारे बिकॉज कई सारे कंडीशंस होंगे उनको सेटिस्फाई करते हुए हम एक गिवन फंक्शन का अब वो गिवन फंक्शन किसी का प्रॉफिट हो सकता है किसी का लॉस हो सकता है कुछ भी हो सकता है उसे गिवन फंक्शन की मैक्सिमम या मिनिमम वैल्यू को निकलती हैं कुछ ऐसा हम यहां करते हैं ठीक है आई एम सर की अभी तक सबको पूरा क्रिस्टल क्लियर नहीं हुआ होगा और मैं एक्सपेक्ट भी नहीं कर रही थी की पहले ही स्टेटमेंट में सब कुछ क्रिस्टल क्लियर हो जाए तो चलो अब हम लेंगे एक एग्जांपल जो आपके टेक्स्ट बुक में भी दिया हुआ है जिससे आप बड़ी आसानी से रिलेट कर पाओगे बिकॉज इट इस अन रियल लाइफ प्रॉब्लम तो इस एग्जांपल को देखने के बाद आपको आइडिया लग जाएगा व्हाट एक्जेक्टली व्हाट पर्पस एक्जेक्टली लीनियर प्रोग्रामिंग सॉल्व तो चलो अब एक एग्जांपल लेते हैं रदर एक कहानी सुनते हैं एक फर्नीचर डीलर की लेट अस सपोज ये है जगतपाल जो की एक फर्नीचर डीलर है इनकी दुकान है और ये सिर्फ दो तरह के समान बेचते हैं टेबल और चेयर दो ही चीज ये सेल करते हैं ठीक है अब ये जो है अपने बिजनेस में कुछ पैसे लगाना चाहते हैं कुछ समान खरीदना चाहते हैं और फिर उन्हें बेचना चाहते हैं ठीक है अब देखो इनके पास टोटल 50 थाउसेंड है इन्वेस्ट करने के लिए ठीक है मतलब इनके पास ₹50000 से ज्यादा रुपए नहीं है और इनके पास जितनी जगह है उसमें ये 60 पीस ही स्टोर कर सकते हैं मतलब या तो वो 60 टेबल स्टोर कर ले या फिर 60 चेयर स्टोर कर ले या फिर टेबल चेयर मिलाकर टोटल 60 पीस ऑफ फर्नीचर स्टोर कर लें ठीक है मतलब यानी की सिचुएशन में क्या है जगतपाल के पास दो कांस्टेंट है एक कांस्टेंट है उसका फाइनेंशियल कांस्टेंट उसके पास 50000 ही है मैक्सिमम उससे ज्यादा नहीं दूसरा है उसका स्पेस कंसिस्टेंट वो सिर्फ और सिर्फ 60 पीस ही स्टोर कर सकता है उससे ज्यादा स्टोर नहीं कर सकता है चलो यहां तक तो कहानी सही लग रही है अब जगतपाल देखता है की अगर उसे एक टेबल खरीदना है तो उसको उसे कितना पे करना पड़ता है 200500 मतलब जो उसकी कॉस्ट प्राइस है 2500 में वो एक टेबल खरीदना है लेकिन जब वो स्टेबल को बेचता है तो उससे कितना प्रॉफिट होता है 250 का प्रॉफिट होता है दूसरी तरफ जब वो एक चेयर खरीदना है तो उसे वो खरीदना है 500 रुपीस में ₹500 में और जब उसे चेयर को बेचता है तो उसमें उसे प्रॉफिट होता है 75 रुपीस का काफी लॉजिकल है मैं जो महंगी चीज है वो आप खरीद भी रहे हो महंगे में तो उसका प्रॉफिट भी थोड़ा ज्यादा है ठीक है तो ये उसकी सिचुएशन है अच्छा अब देखो मैक्सिमम प्रॉफिट कमाए सभी यही चाहेंगे भी दुकानदार यही आएगा की उसका मुनाफा जो है वो ज्यादा से ज्यादा हो अब जगतपाल का रहा है की यार मैं चाहता हूं की मेरा प्रॉफिट मैक्सिमम हो अब तुम मुझे यह बताओ की मेरा प्रॉफिट मैक्सिमम हो इसके लिए मुझे कितने टेबल और कितने चेयर खरीदने चाहिए आगे यू मिन जितने टेबल चेयर में खरीदूंगा वो सारे के सारे में बेच दूंगा ठीक है ये थी जगतपाल की कहानी अब इस कहानी को हमें रिलेट करना है लीनियर प्रोग्रामिंग के कॉन्सेप्ट के साथ ध्यान से समझो यहां पे क्या सिचुएशन है सिचुएशन देखो कंस्ट्रेंट्स दो है पहले ही बताया था एक तो पैसे का कंस्ट्रेंट है दूसरा स्पेस का कंटेंट है अब उसके बाद काफी सारी कंडीशंस ए गए जैसे की एक चेयर का कॉस्ट इतना है एक टेबल का कॉस्ट इतना है चेयर में प्रॉफिट इतना है टेबल में प्रॉफिट कितना है और हम क्या चाहते हैं हमें एक्स और ए की azuming के नंबर ऑफ टेबल इसे एक्स नंबर ऑफ चेयर इस वही तो हमें एक्स और ए की वैसी वैल्यू चाहिए सच डेट डी प्रॉफिट इस मैक्सिमम समझ में आया सिचुएशन मतलब यहां पर जो भी चीज दी हुई हैं इससे हम बहुत सारे लीनियर inikualities बना सकेंगे आप एग्री करते हो बिल्कुल एग्री करते हो ठीक है लीनियर इनिक्वालिटीज बना सकेंगे बट उनको हमें इस तरीके से सॉल्व करना है सच डेट डी प्रॉफिट फंक्शन इस मैक्सिमम ठीक अब देखो अगला सवाल उठाता है की इसको हम सॉल्व कैसे करेंगे स्टेप बाय स्टेप देखेंगे तो बच्चों अब हम लोग देखेंगे मैथमेटिक्स फॉर्मूलेशन ऑफ डी प्रॉब्लम इस ये क्या है यह क्या वर्ड बोल दिया मैं मैथमेटिकल फॉर्मूलेशन बोले का मतलब है की जो एग्जांपल अभी मैंने एक कहानी के तरीके से बताया अब इसी कहानी को हम मैथमेटिक्स के टर्म्स में लिखेंगे इसी चीज को हम mathematicically इक्वेशंस या इनिक्वालिटीज के फॉर्म में लिखेंगे वेरी सिंपल ठीक है तो लेट अस सपोज की जगतपाल को हमने बोला की भाई तुम एक टेबल खरीद लो ए चेयर्स खरीदो ठीक है तो उसे केस में अब हमारा टारगेट क्या रहेगा एक्स और ए की वैल्यू निकालनी है ठीक है अब धीरे-धीरे कॉन्स्ट फ्रेंड्स देखते हैं सबसे पहला जो नॉन नेगेटिव कांस्टेंट जिसे हम कहते हैं वो ये कहता है की जो एक्स है इट विल बी ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो एक्स क्या है नंबर ऑफ टेबल नंबर ऑफ टेबल नेगेटिव नहीं सकता है या तो जीरो होगा नहीं तो जीरो से ज्यादा होगा सिमिलरली वही विल बी ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो नंबर ऑफ चेयर्स भी या तो जीरो होंगे या जीरो से ज्यादा होंगे तो इस तरह के कांस्टेंट को हम कहते हैं नॉन नेगेटिव कांस्टेंट मतलब जिन कांस्टेंट की वैल्यू नेगेटिव नहीं हो सकती है ओके इसके बाद और किस तरह की कंस्ट्रेंट थी सिचुएशन में एक तो था फाइनेंशियल constunt राइट इसके पास टोटल 50 हजार ही है अब इसने क्या किया है एक स्टेबल खरीदा है तो यानी की टोटल टेबल खरीदने में कितने पैसे लगे 2500 * एक्स क्योंकि एक-एक टेबल को खरीदने के लिए उसे 200500 देने द टोटल वाइस इयर्स खरीदने के लिए कितने पैसे लगे 500 * ए यानी की 200500 एक्स + 500 * ए ग्रेटर इसे लेस दें और इक्वल तू 50000 मतलब ये जो टोटल जैसे लगे यह पैसे या तो 50000 के बराबर होंगे नहीं तो उससे कम होंगे क्योंकि जगतपाल के पास मैक्सिमम ₹50000 भी पैसे हैं तो obbviesli ये जो प्राइस है टेबल और चेयर का जो टोटल कॉस्ट प्राइस है वो उसके पास जो ₹50000 है उसे ज्यादा नहीं हो सकते तो ये हमारा हो गया क्या कांस्टेंट इन्वेस्टमेंट कांस्टीट्यूएंट या फाइनेंशियल constunt जो का लो दूसरे तरीके का कांस्टेंट क्या था यहां जगह का constunt था क्या constunt थी वो की टोटल उसके बाद जो जगह है उसमें वो टोटल 60 पीस ही स्टोर कर सकता है यानी की टोटल नंबर ऑफ टेबल जो उसने खरीदा है डेट इस एक्स + टोटल नंबर ऑफ शेयर्स डेट इसे वही हज तू बी लेस दें और इक्वल तू 60 एक्स + ए 60 से ज्यादा हो ही नहीं सकता है क्योंकि उसके पास उससे ज्यादा नहीं है बात समझ में ए रही है ग्रेट तो अभी तक हमने क्या किया हमने इस प्रॉब्लम को मैथमेटिक के लिए लिख डाला इसी को हम कहते हैं मैथमेटिक्स फॉर्मुलस लिखे हैं ढेर सारे लाइन ने क्वालिटीज अब हमें करना क्या है अब हमें एक्स और ए की वैल्यू निकालनी है सच डेट डी प्रॉफिट इस मैक्सिमम बट प्रॉफिट है क्या प्रॉफिट फंक्शन को लिखना पड़ेगा है की नहीं बिल्कुल लिखना पड़ेगा कैसे लिखेंगे प्रॉफिट फंक्शन देखो इस कहानी में ये भी बताया गया था की एक टेबल को बेचने से कितना प्रॉफिट होता है 250 एक चेयर को बेचने से कितना प्रॉफिट होता है 75 यानी की टोटल प्रॉफिट को अगर हम एक्स और ए के टर्म्स में लिखे तो वो क्या हो जाएगा लेटर से की टोटल प्रॉफिट को हम स से दिनो करते हैं डेट विल बी इक्वल तू 250 * एक्स राइट प्लस 75 * ये हमारा प्रॉफिट फंक्शन है तो यानी की अब अगर सिर्फ मैथमेटिक्स की बात करें तो इससे सिचुएशन में मुझे क्या करना है ये जितने लीनियर इनिक्वालिटीज हैं जो चार लीनियर इनिक्वालिटीज मैंने लिखा है इनको सॉल्व करना है सच डेट ये जो प्रॉफिट फंक्शन है यह प्रॉफिट फंक्शन का वैल्यू मैक्सिमम होना चाहिए मतलब एक्स और ए की ऐसी वैल्यूज निकालनी है जिनके लिए ये चारों इनिक्वालिटीज ट्रू होंगी साथ ही साथ एक्स और ए की उसे वैल्यू के लिए हमारा ये जो प्रॉफिट फंक्शन है स स की वैल्यू मैक्सिमम होगी बात समझ में ए गई बात समझ में ए गई की अच्छे से नहीं सही से बताओ भाई अगर यह बेसिक है ये समझ में ए गई तो इस चैप्टर में कुछ बचा ही नहीं है क्योंकि इस बार के सिलेबस के हिसाब से आपको डिफरेंट टाइप्स ऑफ प्रॉब्लम्स तो करने नहीं है सिर्फ सीखना है की किस तरीके से हम लीनियर प्रोग्रामिंग के हेल्प से इस तरह की इक्वेशंस को सॉल्व करते हैं ठीक है तो यहां तक कहानी समझ में आई सुपर चलो अब हम आगे क्या देखेंगे अब हम अगले स्टेप में पहुंचेंगे जहां पर हम देखेंगे इसको इसका ग्राफ हम कैसे बनाते हैं तो बच्चों चलो अब हम इसके ग्राफ को बनाते हैं सबसे पहले एक डिस्क्लेमर दे देती हूं की ग्राफ बनाना शायद एक बार के लिए मुश्किल लग सकता है बट लेट मी रिमाइंड यू की आपने ग्राफ बनाना सिखा है लीनियर इन क्वालिटी का अगर भूल गए हो तो बात अलग है अगर भूल गए हो तो उसे वीडियो को वापस से देखो ठीक है जहां पर हमने लीनियर इनिक्वालिटीज को सॉल्व करना भी सिखा रहा है उनको ग्राफिकल बनाना भी सिखा था ठीक है देखो आम तौर पे हम करते क्या है जैसे हमारे पास यहां पे चार लीनियर इन इक्वलिटी है इन चारों के लिए हम एक-एक ग्राफ बनाएंगे मतलब इनका प्लॉट बनाएंगे ठीक है जैसे मैन लो एक >= 0 है ठीक है मतलब ऐसा लाइन जहां पे एक्स की वैल्यू हमेशा जीरो है तो ऐसा लाइन कौन है ओबवियसली ये वाला लाइट है अब ये एक्स = 0 का ग्राफ हो गया ये लाइन बट मैं मेरा क्वेश्चन का रहा है एक्स >= 0 ग्रेटर दें मतलब एक्स की वैल्यू जीरो से जिधर ज्यादा है मतलब इस ग्राफ के इधर वाला पोर्शन तो ये हो गया एक्स ग्रेटर दें इक्वल तू जीरो की कहानी अब ए ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो ए = 0 का ग्राफ कौन सा वाला होगा ये वाला लाइन होगा राइट अब मुझे क्या चाहिए ए ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो मतलब ए की वैल्यू जीरो से अधिक यानी की ये ऊपर वाला पोर्शन हो गया ठीक है अब चलते हैं तीसरे inquality पे तीसरा है एक्स + ए लेस दें इक्वल तू 60 ठीक है तो सबसे पहले क्या करोगे एक्स + ए इस इक्वल तू 60 का ग्राफ बनाओगे कैसे बनाते हैं वेरी सिंपल एक्स की तीन-चार वैल्यूज ले लो जैसे एक्स की वैल्यू जीरो वैन तू थ्री उसके और रेस्पॉन्डिंग ए की वैल्यू क्या होंगी वो निकल लो और फिर उन पॉइंट्स को इस क्राफ्ट कर दो वेरी वेरी सिंपल यू बन रही है ये लाइन राइट इस तरीके का एक डायग्नल सलाइन बन रहा है लेकिन मेरे को क्या कहा जा रहा है एक्स + ए लेस दैन इक्वल तू 60 तो अगर लेस दैन है मतलब इस लाइन के इधर वाला पोर्शन बहुत लॉजिकली सोचो ये लाइन है एक्स + ए = 16 बट आई एम इंटरेस्टेड इन एक्स + ए लेस दें इक्वल तू 60 लेस दें मतलब एक्स और ए की वैल्यू इस वाले लाइन के इधर होगी कम होगी राइट तो ये वाला रीजन हो गया क्लियर अब देखेंगे हम चौथा इनिक्वालिटी विच इस 5x + ए = 100 अब 5x + ए = 100 का ग्राफ बनाया जिसमें लाइन इस तरीके से आई ठीक है अगर आप कैसे बनाते हैं वो भी हम देखेंगे अभी मैं खाली कॉन्सेप्ट समझने की कोशिश कर रही हूं जब हम क्वेश्चंस सॉल्व करेंगे तो आप देखोगे स्टेप बाय स्टेप ग्राफ कैसे बना रहे हैं तो 5x + ए का ग्राफ ऐसा बना लेस दें इक्वल तू 100 मतलब हम इस अर्जुन की बात कर रहे हैं ठीक जैसे ही तुमने सारी की सारी लीनियर इनिक्वालिटीज की ग्राफ्ट प्लॉट कर दी तो तुम्हें एक ऐसा रीजन मिलेगा जो कॉमन रीजन है इन चारों के बीच में यहां पे अगर देखो तो ये जो ब्लू कलर से हाईलाइट है ये वाला रीजन देखो इन सबके रीजन का कॉमन रीजन है यह एक cigaretted में भी आता है ए ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो में भी आता है एक्स + ए लेस दें इक्वल तू 60 में भी आता है और 5x + ए <= 100 में भी आता है तो ये जो है ये हमारा कॉमन रीजन है अब आता है असली मजा ठीक यहां तक तो यह ग्राफ प्लॉट करना तो समथिंग डेट यू हैव ऑलरेडी लर्निटी यहां पर तो बस रीकैप हुआ अब इसके बाद आएगा लीनियर प्रोग्रामिंग का कॉन्सेप्ट की इस ग्राफ को इंटरप्रेट कैसे करेंगे अब बच्चों जैसी हम इस ग्राफ को देखते हैं तो हम नोटिस करते हैं सबसे पहले हमारा ध्यान किस पे जाता है कॉमन रीजन में कॉमन रीजन का लॉजिकल मतलब क्या है मतलब ये इन चारों इनिक्वालिटीज का कॉमन रीजन है ये कॉमन रीजन ऐसा रीजन है जहां पे लाइक करने वाला कोई भी पॉइंट इन चारों इनिक्वालिटीज को सेटिस्फाई करेगा एक्जेक्टली तो इस कॉमन रीजन को हम कहते हैं फीजिबल रीजन फिजिकल रीजन मतलब ये वाली रीजन के अंदर फीजिबल सॉल्यूशंस है फीजिबल वर्ड का मतलब क्या होता है समथिंग डेट इस पॉसिबल जो जिसका होना पॉसिबल है इसका मतलब इस फीजिबल रीजन के अंदर जो भी वैल्यूज है वह सारे वैल्यूज इन ecolitis को सॉल्व करेंगे मतलब इनिक्वालिटीज के लिए ट्रू होंगे बेसिकली ठीक है और रीजन के अंदर एक्स ए की जो भी वैल्यूज है उन्हें हम कहते हैं फीजिबल सॉल्यूशन ठीक है मतलब ये जो है इस गिवन सेट ऑफ inhak क्वालिटीज के पॉसिबल सॉल्यूशंस हैं ठीक उसी तरीके से ये कॉमन रीजन के बाहर का जो भी रीजन आपको दिख रहा है वो सारा क्या है infeible रीजन और उनमें लाइक करने वाले सभी पॉइंट्स क्या है इन फीजिबल सॉल्यूशन ठीक यहां तक क्लियर है यहां तक सिंपल था अब व्हाट सी आर इंटरेस्टेड इन ऑप्टिमल सॉल्यूशन हम लोग किस चीज में इंटरेस्ट दे हमारे इंटरेस्ट है ऑप्टिमल सॉल्यूशन में यानी की हम ऐसा सॉल्यूशन ढूंढ रहे हैं जो फीजिबल तो हो ही फीजिबल तो होना ही पड़ेगा तभी तो वो चारों इनिक्वालिटीज को सॉल्व करेगा जो हमारा ऑब्जेक्ट फंक्शन है उसकी वैल्यू मैक्सिमम या मिनिमम हो हमारा ऑब्जेक्टिव फंक्शन कौन है बताओ कौन है हमारा ऑब्जेक्टिव फंक्शन जैसे इससे सिचुएशन में हमारे एग्जांपल के केस में जो हमारा प्रॉफिट फंक्शन है जिसे हमने स = ऑब्जेक्टिव फंक्शन ऑब्जेक्टिव क्यों क्योंकि हमारा ऑब्जेक्ट क्या है की इस फंक्शन की वैल्यू मैक्सिमम हो राइट इसीलिए डेट इस कॉल्ड ऑब्जेक्ट फंक्शन ठीक है तो वैसे वाले फैबल्स सॉल्यूशंस जिनके लिए हमारे ऑब्जेक्टिव फंक्शन का जो वैल्यू है वो मैक्सिमम या मिनिमम होता है उन्हें हम क्या कहते हैं उन्हें हम कहते हैं ऑप्टिमल सॉल्यूशन अब सारी ये जो कंपलेक्सिटी है डेट इस अराउंड डी ऑप्टिकल सॉल्यूशन हालांकि इतना परिसर है नहीं मैं बस बता रही हूं ठीक है स्टेप बाय स्टेप समझेंगे तो सब आसान लगेगा ठीक है तो हमारा फोकस किस पे है ऑप्टिकल सॉल्यूशन पे अब अगली सोचने वाली बात ये है की ये ऑप्टिकल सॉल्यूशन मुझे किधर मिलेगा क्योंकि ये ऑप्टिकल सॉल्यूशन को भी सॉल्यूशन तो होना है तो इसका मतलब ये कहीं तो फीजिबल रीजन में ही मिलेगा बट एक्जेक्टली कहां मिलेगा तो बेसिक के लिए ये ऑप्टिकल सॉल्यूशन हमें मिलते हैं आते डी कॉर्नर पॉइंट्स ऑफ डी फीजिबल रे कॉर्नर पॉइंट हम किसको कहते हैं जैसे देखो यहां पर जो यह फीजिबल रीजन है ब्लू कलर का शेडेड रीजन इस रीजन के अगर आप ध्यान से देखो तो 1 2 3 4 4 कॉर्नर पॉइंट से इसके ठीक है ये कॉर्नर पॉइंट्स क्या साइनिफाई कर रहे हैं अगर आप बड़े ध्यान से देखो ये कॉर्नर पॉइंट्स ये बता रहे हैं की ये वाला पॉइंट विजिबल रीजन का पार्ट तो है ही विच इस ग्रेट बट ये चार पॉइंट्स चारों एक्सट्रीम एंड्स को दिखा रहे हैं मतलब ये जो कॉमन रीजन है ना कॉमन रीजन की शुरुआत जहां से हो रही है वहां भी एक कॉर्नर पॉइंट है इधर की तरफ वो मैक्सिमम जहां तक जा रहा है वहां पे कॉर्नर पॉइंट है ऊपर की तरफ मैक्सिमम जहां तक जा रहा है वहां एक कॉर्नर पॉइंट है इधर की तरफ मैक्सिमम जहां तक जा रहे हैं वहां कॉर्नर पॉइंट है यानी की ये जो चार जो कॉर्नर्स है ये चारों कॉर्नर्स इनके चार एक्सट्रीम एंड्स को दिखा रहा है एक्सट्रीम एंड्स किसी भी रीजन का क्या होता है शुरुआत का एक्सट्रीम एंड दिस मिनिमम वैल्यू एंड की तरफ का एंड पॉइंट जो है डेट इस मैक्सिमम वैल्यू तो यानी की यह जो कॉर्नर पॉइंट्स है ये हमें क्या दे सकते हैं ये हमें वैसे वैल्यूज दे सकते हैं जब हमारा ऑब्जेक्टिव फंक्शन का वैल्यू मैक्सिमम या मिनिमम हो बात समझ में लॉजिकल समझो लॉजिकली समझो मुझे पता है की काफी बच्चों ने इसको स्टेप बाय स्टेप याद रखा होगा की ऐसा हुआ तो आप ईमेल ऐसा हुआ तो fizabel ऐसा हुआ तो इनविजिबल रत्न नहीं है समझना है लॉजिकल ही समझना है जब इसको लॉजिकल समझोगे ना तो क्वेश्चंस करने में एक अलग लेवल का मजा आएगा ठीक है ना तो अब ये ग्राफ से समझ में ए गया की क्यों कॉर्नर पॉइंट्स पे हमको ऑप्टिमल सॉल्यूशन मिलता है अब यहां पर एक्जेक्टली कैसे हम इन वैल्यूज को निकलती हैं उसके लिए हम फटाफट से देख लेंगे दो थ्योरम तो बच्चों अगर हम लोग सबसे पहला थ्योरम देखिए विच इस अवर थ्योरम नंबर वैन तो ये थ्योरम क्या कहता है ज्यादा ना थ्योरम के वॉर्डिंग्स में नहीं जाना है क्योंकि रात के कुछ लिखना तो है नहीं थ्योरम है ना इसके बस ये कहना क्या चाह रहा है उसको समझना इनफेक्ट मंजू का रहा है ना वह मैं ऑलरेडी डिसएबल रीजन आर मतलब फिजिकल रीजन कौन सा है ये ब्लू वाला रीजन जो हमने पहले भी देखा था ब्लू कलर का शेडेड रीजन हमारा फीजिबल रीजन है ओके फॉर ए लीनियर प्रोग्रामिंग प्रॉब्लम एंड लेट रेड इसे इक्वल तू ए एक्स + बी ए बी डी ऑब्जेक्ट फंक्शन ऑब्जेक्टिव फंक्शन हमारे केस में अभी हमारा जो एग्जांपल अभी तक चल रहा था उसे केस में ये ऑब्जेक्टिव फंक्शन कौन सा वाला फंक्शन था जो प्रॉफिट का फंक्शन था है ना जिसको हमने लिखा था स = 250 * एक्स + 75 * ए राइट वो हमारा ऑब्जेक्टिव फंक्शन था ठीक है ऑप्टिमल वैल्यू मस्ट ऑक्युर आते अन कॉर्नर पॉइंट ऑफ डी फिजिकल यह बात मैंने ऑलरेडी बता दी है ये बात मैंने समझा भी दी है राइट की ऐसा क्यों होता है की ऑप्टिमल रीजन पे उसकी वर्टिसेज पे या फिर कॉर्नर पॉइंट्स पे हमारे ऑप्टिमल पॉइंट्स लाइक करते हैं समझा भी दिया मैंने क्योंकि ये क्या होते हैं एक्सट्रीम पॉइंट्स कॉर्नर्स होते तो वहां पे या तो मिनिमम या मैक्सिमम वैल्यूज होंगी है ना तो अब एक बार इसको फिर से देखते हैं तो यहां पे देखो इसके कौन-कौन से कॉर्नर पॉइंट्स हैं ये है तुम्हारा रीजन इसका एक कॉर्नर पॉइंट क्या-क्या है एक तो ए है एक यहां पे बी है एक यहां पे सी है एक बोलने को ये भी कॉर्नर पॉइंट है राइट ये सारे कॉर्नर पॉइंट्स हैं ठीक है ये कॉर्नर पॉइंट्स पे हम क्या देखेंगे हम लोग चेक क्या करते हैं ये कॉर्नर पॉइंट्स की जो भी वैल्यूज है फॉर एग्जांपल जो पॉइंट ए है इसके कोऑर्डिनेट्स क्या है देखो इसका एक से एक्सिस क्या है 20 है और ए एक्सिस जीरो मतलब 20 फिर जो दूसरा कॉर्नर पॉइंट है इसका koardinate क्या है 10 कमा तीसरा कोऑर्डिनेट्स पॉइंट सी मतलब कॉर्नर पॉइंट वह क्या है जीरो कमा 60 अब हम लोग क्या करते हैं हम लोग यह वाले कॉर्नर पॉइंट की वैल्यूज पर चेक करते हैं की स का वैल्यू कितना है इसके कॉरस्पॉडिंग स की वैल्यू कितनी है इसके और स्पॉन्डिंग स की वैल्यू कितनी है इसके कॉरस्पॉडिंग स की वैल्यू कितनी है राइट क्योंकि स में एक्स और ए की वैल्यू हम क्या डालेंगे वो हमें यहां से मिलता रहेगा और उसके बाद ये जो तीन वैल्यूज हमें स की मिलेगी इसमें से हम चेक करेंगे की कहां पे स की वैल्यू मैक्सिमम है कहां पे रेड की वैल्यू मिनिमम है एंड बेस्ड ऑन डेट सी विल फाइंड आउट अभी जैसे इस केस में जो हमारा केस था जिसमें हम क्या चाहते द की हमारा प्रॉफिट मैक्सिमम हो उसे केस में हम देखेंगे की स की जितनी वैल्यूज निकली है उसमें से मैक्सिमम वैल्यू किस केस में निकली ठीक है तो जिस भी केस में मैक्सिमम वैल्यू निकली उसके और रेस्पॉन्डिंग एक्स और ए की वैल्यूज होंगी मतलब लेटेस्ट सपोर्ट और उसे समय एक्स और ए की वैल्यू है तनोट 20 इसका मतलब हमारे जो शॉपकीपर भाई द उनको 10 टेबल और 20 चीयर्स खरीदने चाहिए सिंपल बात समझ में ए रही हूं तो अभी सब लॉजिकल ही समझो उसे क्वेश्चन को भी हम लोग करके देखेंगे सॉल्व बट मैं कहना क्या चाह रही हूं वो सब कुछ समझ में ए गया की ये जो कॉर्नर पॉइंट्स है इन्हीं कॉर्नर पॉइंट्स में से कोई ऐसा पॉइंट होगा जहां पर आपके फंक्शन का वैल्यू मैक्सिमम या मिनिमम जो भी ऑप्टिकल वैल्यू आपको निकल ली है वो आप निकल सकोगे जस्ट फॉर अन बटोर अंडरस्टैंडिंग लेटेस्ट ट्राई तू फाइंड आउट डी एक्स एंड ए का वैल्यू फॉर अवर प्रॉब्लम हमारा जो चल रहा था जगतपाल वाला प्रॉब्लम फर्नीचर डीलर का प्रॉब्लम उसको सॉल्व करके देखते हैं तो हमारे केस में ये जो प्रॉफिट वाला फंक्शन था वो क्या था स = क्या थी इसकी वैल्यू उसकी वैल्यू थी 250 * एक्स + 75 * ए ये था हमारा फंक्शन ठीक है ग्राफ उसी के लिए प्लॉट किया गया है ना तो चलिए इन पॉइंट्स के लिए निकलती हैं तो एक-एक केस में क्या है एक्स की वैल्यू है 20 और ए की वैल्यू है जीरो तो ये वाला तो पूरा टर्म्स जीरो हो गया तो स की वैल्यू क्या हो जाएगी [संगीत] 5000 की वैल्यू हो जाएगी पहले केस में दूसरे वाले कॉर्नर पॉइंट की अगर बात करें तो क्या हो जाएगा यह हो जाएगा 250 * 10 डेट इस 2 5 0 0 + 75 * 50 यानी की 3750 तो ये हो गया जीरो फाइव सिक्स तो ये हो गया 625 0 ठीक है सेकंड केस में थर्ड में देखो एक्स की वैल्यू जीरो और ए की वैल्यू 60 तो ये हो जाएगा 75 * 60 तो ये हो जाएगा फोर फाइव जीरो जीरो है तो इसमें स की वैल्यू जीरो हो जाएगी तो इसीलिए उसको काउंटिंग नहीं किया तो अब यहां पे देखो इन तीनों कॉर्नर पॉइंट्स पे स की वैल्यू मैक्सिमम किस सिचुएशन में है इस वाले सिचुएशन में स की वैल्यू क्या है यह हमारा आंसर हो जाएगा बात समझ में ए रही है की किस तरीके से हम एक प्रॉब्लम को सॉल्व करेंगे राइट मतलब हमारा क्या स्टेप रहेगा लीनियर प्रोग्रामिंग के प्रॉब्लम को सॉल्व करने के लिए सबसे पहले हम उसका मैथमेटिक्स फॉर्मूलेशन करेंगे मतलब उसे mathematicically लिखेंगे लीनियर इनिक्वालिटीज को लिखेंगे जो भी कंस्ट्रेंट्स हैं उनको लिखेंगे और उसके बाद जो ऑब्जेक्टिव फंक्शन है उसको लिखेंगे ठीक है उसके बाद उन सारे लीनियर इनिक्वालिटीज के ग्राफ प्लॉट करेंगे ऐसा करने के बाद रीजन को फाइंड करेंगे ठीक है फीजिबल रीजन फाइंड करने के बाद उसके जो कॉर्नर पॉइंट्स हैं कॉर्नर पॉइंट्स को आईडेंटिफाई करेंगे फिर देखेंगे कौन से कॉर्नर पॉइंट पे हमारे ऑब्जेक्टिव फंक्शन का जो वैल्यू है वो मैक्सिमम या मिनिमम है ठीक है काफी सिंपल सा फ्लो है लेकिन कंपलेक्सिटी तब ए जाती है ना वो ऐसा अगर ना हो मतलब यहां पर रीजन है यह कैसा है बॉन्डेड क्यों बॉन्डेड मतलब जो हर तरफ से घिरा हुआ है तो देखो यह एक पॉलीगों है हर तरफ से घिरा हुआ है तो जब बॉन्डेड fizible रीजन होता है तब तक तो हमारी ये फ्लो सही चलती है ये कहानी सही चलती है बट कुछ-कुछ सिचुएशन में जो हमारा फीजिबल रीजन होता है वो बॉन्डेड ना होके अनबॉउंडेड हो जाता है ठीक है अभी उसके बारे में भी बात करेंगे तो बच्चों इसी के ऊपर बेस करके है हमारा थ्योरम नंबर तू जो की है हमारा अगला थ्योरम थ्योरम क्या कहता है ये कहता है की लेट आर बी डी रीजन ऑफ लीनियर प्रोग्रामिंग प्रॉब्लम इट इस इक्वल तू एक्स + ए बी डी ऑब्जेक्टिव फंक्शन ठीक है इफ आर इस बॉन्डेड जिसके बारे में अभी हमने चर्चा कारी थी थ्योरम वैन में थ्योरम वैन में ही मैंने थोड़ा डिटेल में बता दिया था की जब बॉन्डेड होता है फीजिबल रीजन तो क्या होता है वैसे केस में जो हमारा ऑब्जेक्टिव फंक्शन होता है उसका मैक्सिमम वैल्यू भी होता है उसका मिनिमम वैल्यू भी होता है और ये मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यू कहां पे लाइक करते हैं वो लाइक करते हैं कॉर्नर पॉइंट्स ठीक है यह हमने करके सॉल्व करके भी देख लिया था हमारे फर्नीचर डीलर वाले क्वेश्चन के लिए है ना हमने देखा था स की वैल्यू कहीं-कहीं पे मिनिमम भी ए रही थी कहीं कहीं पे मैक्सिमम ए रही थी तो उनके एक और रेस्पॉन्डिंग हम एक्स और ए की वैल्यूज कैलकुलेट कर रहे द ठीक ये सिचुएशन हमने डिस्कस कर लिया है जो सिचुएशन अब हम डिस्कस करेंगे डेट इसे व्हाट इसे आर इस अनबॉउंडेड अगर आर अनबॉउंडेड है अनबॉउंडेड का मतलब अगर इस तरीके का बॉन्डेड fizible रीजन अगर नहीं है अगर फीजिबल रीजन कुछ ऐसे खुला हुआ है मेरी इस तरीके इस तरफ से boundted है इधर से वो ऐसे इंफिनिटी तक जा रहा है या फिर इधर से बॉन्डेड है इधर इंफिनिटी तक ए रहा है तो उसे तरह के फीजिबल रीजन को हम अनबॉउंडेड कहते हैं अनबॉउंडेड के केस में अन मैक्सिमम और अन मिनिमम वैल्यू ऑफ डी ऑब्जेक्टिव फंक्शन मी नोट axistically भी देखेंगे पहले लॉजिकल समझो उसके केस में क्या ए रहा है इस केस में क्या है जब बॉन्डेड है तो उसे केस में हमें ना यह चार पॉइंट्स दिख रहे हैं टाइट है जिसके अंदर वह बॉन्डेड रीजन है उसके बाहर आप जैसे चले जाओगे तो कोई भी सॉल्यूशन हो जाएगा राइट तो इसका मतलब आपका जो ऑप्टिकल सॉल्यूशन है उसका मिनिमम और मैक्सिमम सब घिरा हुआ है उसके अंदर जहां से शुरू हो रहा है उधर मिनिमम मिलेगा जहां तक जा रहा है वहां मैक्सिमम मिलेगा बट अगर आपका वो रीजन एंड boundted है लेट अस से की वो रीजन यहां से स्टार्ट हुआ और इधर ऐसे चल जाता ही जा रहा है इंफिनिटी तक तो उसके इसमें आप कैसे उसका मैक्सिमम निकल पाओगे ऐसा कोई पॉइंट ही नहीं होगा राइट सिमिलरली अगर ऐसा है की एक मैक्सिमम पॉइंट से स्टार्ट हो रहा और इधर इंफिनिटी तक जा रहा है उसे केस में क्या होगा अगेन आप उसके कोई मिनिमम वैल्यू निकल ही नहीं पाओगे तो इसीलिए जब कभी भी फीजिबल रीजन हमारा अनबॉउंडेड होता है उसे केस में मिनिमम या मैक्सिमम में नॉट एक्जिस्ट में नॉट एक्जिस्ट ध्यान देना है ऐसा नहीं बोला गया है की डोंट एक्जिस्ट बोला जा रहा है दे में नॉट एक्जिस्ट होगा वो एक्जिस्ट करेगा जैसे ही हम क्वेश्चंस सॉल्व करेंगे तो चीज इजी हो जाएंगे तो अब हमारा एजेंडा क्या रहेगा इसके बाद हम लोग तीन डिफरेंट डिफरेंट प्रॉब्लम्स लेंगे एक ऐसा प्रॉब्लम लेंगे जहां पे फीजिबल रीजन बॉन्डेड है एक ऐसा प्रॉब्लम लेंगे जिसमें फीजिबल रीजन मिली नहीं रहा है ठीक है तो ये तीन कैटिगरी के प्रॉब्लम को करने के बाद आपको ये लीनियर प्रोग्रामिंग का जो कॉन्सेप्ट है ना ये बिल्कुल क्लियर हो जाएगा तो चलो देखते हैं हम सबसे पहले हमारा प्रॉब्लम नंबर वैन मैक्सिमम स = 3X + 4y ये हमारा ऑब्जेक्टिव फंक्शन है इसको हमें सिमाइल्स करना है सब्जेक्ट्स लिख लेते हैं क्या क्या है एक्स + ए लेस दैन इक्वल तू फोर एक्स >= 0 ए ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो तो सबसे पहले आप स्टेप हमारा क्या होगा इनको प्लॉट करना ठीक है प्लॉट कैसे करते हैं लेट अस सपोज एक्स ग्रेटर दें इक्वल तू जीरो इसके लिए पहले हम एक्स = 0 वाले लाइन को आईडेंटिफाई करते कौन सा लाइन है जहां पे एक्स की वैल्यू हमेशा जीरो ही है देखो ये वाली लाइन है सो दिस इसे योर एक्स = 0 बट मुझे एक्स = 0 नहीं चाहिए एक्स इसे ग्रेटर दें और इक्वल तू जीरो मतलब हम इस वाले रीजन की बात कर रहे हैं इधर वाले रीजन की ठीक है ए ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो वही इसे इक्वल तू जीरो वाली लाइन तो ये है बट हमें क्या चाहिए ए ग्रेटर दें जीरो यानी की हम इस ऊपर वाले रीजन की बात कर रहे हैं ठीक है और पहला क्या था एक्स प्लस ए इक्वल तू फोर तो हम क्या करेंगे पहले तो एक्स + ए = 4 इसका ग्राफ प्लॉट करेंगे कैसे ग्राफ प्लॉट करते हैं एक्स और ए की कुछ दो-तीन वैल्यूज ले लो जैसे मैन लो एक्स की वैल्यू मैंने जीरो वैन और तू ली तो उसके ए की वैल्यू क्या हो जाएगी ए = 4 - एक्स तो 4 - एक्स यहां पे हो जाएगा फोर फोर माइंस एक्स यहां पे हो जाएगा 3 4 - 6 यहां पे हो जाएगा 2 तो इस तरीके से एक्स और ए की मैंने तीन-तीन वैल्यूज ले ली और इन पॉइंट्स को अब मैं यहां प्लॉट करूंगी ठीक है एक्स की वैल्यू जीरो ए की वैल्यू फोर एक्स की वैल्यू जीरो ए की वैल्यू 4 ये ये वाला पॉइंट हो गया एक्स की वैल्यू वैन ए की वैल्यू थ्री एक्स की वैल्यू वैन ए की वैल्यू थ्री एक्स की वैल्यू तू ए की वैल्यू भी तू एक्स के तू ए की तू इनको अगर हम ज्वाइन करते हैं तो हमें एक इस तरीके का एक लाइन मिलेगा ठीक है तो यह जो लाइन हमें मिला यह किसके लिए है दिस इस फॉर एक्स = एक्स + ए = 4 बट हमें एक्स + ए = 4 तो चाहिए नहीं था हमें क्या चाहिए था एक्स + ए लेस दैन इक्वल तू फोर यानी की ये वाले लाइन के नीचे वाला पोर्शन राइट ये वाला पोर्शन इधर वाला तो अब देखो तीनों केस में पहले केस में एक ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो में ये पोर्शन ए ग्रेटर दैन जीरो में ये पोर्शन एक्स + ए एस एन इक्वल तू फोर में ये पूरा पोर्शन तो तीनों का जो कॉमन पोर्शन है वो कॉमन परेशन कौन सा है ये वाला है [संगीत] तो यानी की ये जो कॉमन पोर्शन है ये क्या है दिस इस योर फीजिबल रीजन बॉन्डेड है बिल्कुल बॉन्डेड है साफ-साफ दिख रहा है एक ट्रायंगल के फॉर्म में है ओके चलो यहां तक भी सही है अब अगर यह फीजिबल रीजन बॉन्डेड है तो यहां पे आप लिख सकते हो की यहां पर जो मेरा फीजिबल रीजन है ये किस तरीके का है ये है क्योंकि यहां पर यह बॉन्डेड है तो हम इसके कॉर्नर पॉइंट्स की बात कर सकते हैं बिल्कुल बात कर सकते हैं तो सबसे पहले आईडेंटिफाई करेंगे इनके कॉर्नर पॉइंट्स कौन-कौन से हैं एक तो यह कॉर्नर पॉइंट है एक यह कॉर्नर पॉइंट है एक ये कॉर्नर पॉइंट है ठीक है इसको तो हटा ही देते हैं जीरो जीरो है तो कोई भी ऑब्जेक्टिव फंक्शन का वैल्यू भी जो है क्या ए जाएगा जीरो ही ए जाएगा ठीक है ये दोनों कॉर्नर पॉइंट्स को ले सकते हैं तो ये वाला कॉर्नर पॉइंट का कोऑर्डिनेट्स क्या है एक्स की वैल्यू जीरो है ए की वैल्यू फोर है इसका क्या है इसका वैल्यू फोर है ए की वैल्यू जीरो है ठीक है तो कॉर्नर पॉइंट्स कौन-कौन सा हो गया एक हो गया जीरो कमा फोर दूसरा हो गया फोर कमा जीरो ठीक है अब इन कॉर्नर पॉइंट्स के लिए इन दोनों को हम स की वैल्यू निकलेंगे ऐसा ही तो हम करते द तो इस कॉर्नर पॉइंट पर स की वैल्यू क्या हो जाएगी देखो स क्या है 3X + 4y इसको भूलने से नहीं चलेगा मिल जाएगा 3 * 0 + 4 * ए ए 16 यहां पर मैक्सिमाइज करना है यानी की स के मैक्सिमम वैल्यू पे फोकस करो अब अगर स के मैक्सिमम वैल्यू को देखो तो डेट मैक्सिमम वैल्यूज 16 16 की वैल्यू कब आई है जब एक्स और ए की वैल्यू क्या थी जीरो कमा फोर यानी की यही मेरा सॉल्यूशन है जब एक्स = 0 और ए = 4 होगा वैसे केस में ये सारी गिवन कंस्ट्रेंट्स भी सेटिस्फाई होंगे और ये जो फंक्शन स है इसकी वैल्यू भी मैक्सिमम होगी यानी की हम इसका कनक्लूडिंग स्टेटमेंट लिख सकते हैं की मैक्सिमम वैल्यू ऑफ फंक्शन 804 ठीक है डिसीजन वैरियेबल्स कहते हैं और जैसे-जैसे इनकी वैल्यूज चेंज होती रहती है वैसे वैसे ओवर और जो डिसीजन है वो चेंज होते रहता है इनको हम डिसीजन वैरियेबल्स कहते हैं ठीक है तो इस तरीके से हमने सॉल्व किया बॉन्डेड फीजिबल रीजन वाले क्वेश्चन ठीक है इसमें कोई डाउट आई डोंट थिंक सो की कोई डाउट होना चाहिए बाय डी वे आई एम हो- आई होप डेट आप मेरे साथ साथ इसको खुद भी सॉल्व कर रहे हो क्योंकि सिर्फ सुनने से ना उतनी अच्छे से आप इसको रिटर्न नहीं कर पाओगे बट अगर साथ साथ करोगे तो रिटेंशन बहुत हाई होगा ठीक है तो चलो बच्चों अब हम लोग देखेंगे हमारा प्रॉब्लम नंबर तू यहां पर दिया गया है मिनिमाइज स = 3X + जो की हमारा ऑब्जेक्टिव फंक्शन है सच डेट एक्स + 3y >= 3 एक्स + ए ग्रेटर दैन इक्वल तू तू एक्स कमा ए ग्रेटर दें इक्वल तू जीरो ठीक है ये हमारे कंस्ट्रेंट्स है ठीक है तो एक-एक सबसे पहला हमारा वही रहेगा की हम इनके प्लॉट्स बनाएंगे पहले ठीक है तो लेट अस सपोज पहला unicality पहले लेते हैं एक्स + 3y ग्रेटर दैन इक्वल तू थ्री तो इसके लिए हम बनाएंगे किसका ग्राफ एक्स + 3y = 3 का तो एक कम करते हैं एक्स और ए की कुछ वैल्यूज ले लेते हैं प्लॉट बनाने के लिए ठीक है तो लेट अस सपोस हमने एक्स की एक वैल्यू जीरो ठीक है दूसरी वैल्यू हमने ली हमने ली सिक्स ऐसे वैल्यू इसलिए ताकि ए की वैल्यू थोड़े से आसान वाले निकले क्योंकि यहां से देखो ना ए की वैल्यू क्या हो जाएगी 3 - एक्स / 3 तो 3 - 0 / 3 हो जाएगा 3 - 3 / 3 हो जाएगा जीरो 3 - 6 / 3 हो जाएगा -1 ठीक है तो अब इसको प्लॉट कर सकते हैं जब एक्स की वैल्यू जीरो है तो ए की वैल्यू वैन है ये पॉइंट हो गया एक स्टेप सिक्स है तो ए की वैल्यू -1 है तो यह वाला पॉइंट को ज्वाइन कर दें तो कुछ इस तरीके का एक लाइन मिलेगा ठीक है लाइन मेरी टेढ़ी है बिकॉज मैं फ्री हैंड बना रही हूं ठीक है चलो एक तो लाइन बन गई अब फोकस करेंगे इस पे एक्स + ए ग्रेटर दैन इक्वल तू तू यहां पर हम प्लॉट किसका करेंगे एक्स + ए = 2 का तो सबसे पहले एक्स और ए की एक दो वैल्यूज ले लेते हैं जैसे मैन लो एक्स की वैल्यू जीरो वैन तू ली तो ए की वैल्यू यहां से क्या हो जाएगी ए = 2 - एक्स तो 2 - 0 2 हो जाएगा 2 - 1 2 - 2 0 ठीक है अब इसको प्लॉट करेंगे जब एक जीरो है तो ए की वैल्यू तू है जब एक वैन है तो ए की वैल्यू भी वैन है जब एक्स तू है तो ए की वैल्यू जीरो है तो यहां पर हमें ऐसा वाला ग्राफ मिल जाएगा प्लॉट मिल जाएगा ठीक है अब इनके रीजन देखना जरूरी है एक्स + ए = 2 के लिए तो ये वाला लाइन हो गया एक्स + ए = 2 बट मुझे क्या चाहिए एक्स + ए इस ग्रेटर थन इक्वल तू तू यानी की ग्रेटर दें के लिए हम इधर वाले रीजन की बात कर रहे हैं है इस लाइन के ऊपर वाले रीजन की बात कर रहे हम ठीक है ग्रीन कलर की लाइन है दिस रिप्रेजेंट्स x+3y=3 बट हमें क्या चाहिए एक्स + 3 / >= 3 यानी की इस लाइन के ऊपर वाले रीजन की हम बात कर रहे हैं ठीक है हम इसके ऊपर वाले रीजन की बात करें ग्रेड इसके अलावा क्या है एक्स ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो एक >= 0 मतलब ये वाला रीजन ए ग्रेटर दैन इक्वल तू जीरो मतलब ये वाला रीजन ठीक है तो अब कुल मिला के इन चारों का जो कॉमन रीजन है वो कॉमन रीजन कौन सा है बहुत ध्यान से देखो कॉमन रीजन कौन सा होगा जहां पे ये पर्पल लाइंस भी है जहां पे ये ग्रीन लाइंस भी है क्योंकि एक्स ग्रेटर दें जीरो ए ग्रेटर दें जीरो तो एनीथिंग डेट इस इन डी क्वाड इट इस कोऑर्डिनेट्स राइट तो बेसिकली ये कौन सा वाला रीजन होगा देखो यहां से शुरू होगा अगर आप देखो ये उसके बाद ये और इस जगह के बाद इधर का जितना रीजन है डेट इसे कॉमन क्योंकि देखो ये वाला पोर्शन सिर्फ ग्रीन का था ये वाला पोर्शन सिर्फ पर्पल का था बट इस वाले रीजन के बाद से मतलब यहां से यहां से और उसके बाद यू के बाद यू मतलब [संगीत] जिसको मैंने रेड डॉट से दिखाया कहां पर जाकर खत्म हो रहा है वह पता नहीं इसके ऊपर का पूरा रीजन राइट तो इसका मतलब यह जो मेरा फीजिबल रीजन है जिसको हमने ये रेड डॉट से शो किया है ये किस तरीके का फीजिबल रीजन है दिस इस अनबॉउंडेड फीजिबल सीरीज नौ दिस इस वेरी वेरी इंपॉर्टेंट बहुत बार लोग अनबॉउंडेड वाले केस में ना फीजिबल रीजन आईडेंटिफाई ही नहीं कर पाते हैं बट एटलिस्ट हम आईडेंटिफाई कर पाए हैं तो हमें क्या दिख रहा है की ऊपर की तरफ उधर की तरफ कहां तक जा रहा है हमें पता ही नहीं क्योंकि कोई उधर से कोई बॉउंडेशन है ही नहीं लेकिन इधर की तरफ ये इंफिनिटी तक नहीं जा रहा है इधर के तरफ अगर आप देखो तो यहां से ये boundted है यहां से जो है ना ये बंधा हुआ है यानी की इस तरफ इसके कॉर्नर पॉइंट्स है एक्जेक्टली तो जैसा की मैंने पहले बताया था की जैसे ही अनबॉउंडेड फीजिबल रीजन होता है थ्योरम नंबर तू के हिसाब से उसे केस में मिनिमम या मैक्सिमम नॉट एक्सिस्ट बट अगर वो एक्जिस्ट करेंगे तो वो कहां पे एक्जिस्ट करेंगे कॉर्नर पॉइंट्स पे तो अब इसी बात पे थोड़ा सा और एक स्टेप आगे बढ़ेंगे हम हमारे अनबॉउंडेड रीजन के थ्योरम पर तो प्यारे बच्चों हमारा थ्योरम नंबर तू ये कहता था की अगर हमारा unbounted फीजिबल रीजन है उसे केस में हान या मैक्सिमा मे नॉट एक्जिस्ट हालांकि अगर ये एक्जिस्ट करते हैं तो देवी लाकर आते डी कॉर्नर पॉइंट ऑफ आर ठीक है अब देखो ऐसे सिचुएशन में हम मिनीमा या मैक्सिमम की वैल्यू निकलती कैसे हैं ठीक है लेट अस अस यू मैं कैपिटल एम से दिनो करते हैं मैक्सिमम वैल्यू ऑफ स एग्जैक्ट मतलब हमारा ऑब्जेक्टिव फंक्शन कोई भी वैल्यू स का मैक्सिमम वैल्यू तब होगा अगर इसको बहुत अच्छे से समझना है दिस इस वेरी वेरी कांसेप्चुअल ठीक है इफ डी ओपन हाफ प्लेन डिटरमाइंड बाय ए एक्स + बी ए ग्रेटर दें एम हज नो पॉइंट इन कॉमन विद डी फिजिकल रीजन इसको रत्न बिल्कुल भी नहीं है बार-बार बता रही हूं बिल्कुल भी रत्न नहीं है इसको समझना है इसके बोलने का मतलब है की ठीक चलो मैन लो की ऐसा सिचुएशन हो गया जैसे यही था हमारा पिछले वाला सिचुएशन जहां पे हमने क्या देखा की इधर से जो है ना कॉर्नर पॉइंट्स है इसके बट ऊपर की तरफ उधर की तरफ कॉर्नर पॉइंट्स नहीं है ठीक है जिससे लॉजिकल हम ये का सकते हैं की शायद इससे सिचुएशन में इसकी मैक्सिमम वैल्यू नहीं होगी बट इसकी मिनिमम वैल्यू होगी और मिनिमम वैल्यू इन्हीं में से किसी कॉर्नर पॉइंट पे लाइक कर रही होगी ठीक है यही कहता है हमारा ये थ्योरम बट इसको देखो हम निकलती कैसे हैं हम क्या करते हैं ये जो कॉर्नर पॉइंट्स है इन कॉर्नर पॉइंट्स पर ओबवियसली रेड की वैल्यू निकलती हैं ठीक है उसके बाद हमें एक ऐसा पॉइंट मिलता है जहां पर रेड की वैल्यू सबसे कम होती है सबसे मिनिमम होती है की हान भाई वही हमारा मिनिमम पॉइंट वाला वैल्यू है क्यों हमें यह चेक करना होता है की क्या उसे वैल्यू पर जो हमारा जो फंक्शन है चाहे वो मिनिमम वैल्यू या मैक्सिमम जैसे फिलहाल हम मिनिमम वैल्यू की बात कर रहे हैं तो लेट हर स्मॉल एम से दिनो किया तो उसे वैल्यू पर अगर हम एक प्लॉट बनाएं ए एक्स + बी ए लेस दें एम मतलब एक्स + बी / बेसिकली क्या है स < एम इसका अगर हम एक प्लॉट बनाएं तो उसे प्लॉट के साथ हमारे फिजिकल रीजन के बीच में कोई कॉमन पॉइंट नहीं होना चाहिए बोलने का मतलब लेटेस्ट सपोज की मैंने एक प्लॉट बनाया क्या बनाया स लेस दें एम स्मॉल एम को मैंने क्या मानना है मिनिमम वैल्यू मुझे लगता है स्मॉल एम इसका मिनिमम वैल्यू होना चाहिए तो उसे केस में अगर तुम्हें सही लगता है तो उसे केस में स लेस दें एम का जो प्लॉट होगा वह तुम्हारी फिजिकल रीजन के साथ कॉमन में नहीं रहेगा राइट अगर कॉमन में नहीं रहा है स की जो मिनिमम वैल्यू है क्योंकि एम से नीचे की जो स की वैल्यू है वो उसे रीजन के बाहर है उसका उसे रीजन के साथ कुछ कॉमन पॉइंट नहीं है बात समझ में ए रही है जैसे यहां पर ये देखो ये जो पूरा पर्पल वाला है रीजन है ना ये पूरा जिसको मैं अभी रेड से मार्क कर रही हूं ये क्या है ये तुम्हारा पॉइंट है जहां पर स की वैल्यू मिनिमम है तो तुम्हारा कहना है की वही मेरा मिनिमम पॉइंट है वही वह पॉइंट है जिसके लिए मिनिमम है बट इसको वेरीफाई करने के लिए तुम क्या करोगे तुम कहोगे की ठीक है स लेस दें एम मतलब स लेस दें वो वाली वैल्यू का जो प्लॉट मेरा बनेगा वो प्लॉट कुछ इस तरीके से बनेगा की वो इस विजिबल रीजन के बाहर है इस विजिबल रीजन की नीचे है इसका मतलब इस faciliable रीजन के अंदर जो सबसे मिनिमम वैल्यू पॉसिबल है वह यही वाला वॉलीबॉल है जो तुमने बताया था इसका मतलब वो तुम्हारा मिनिमम वैल्यू है तो मैं सिर्फ लॉजिक को समझने की कोशिश करो यहां पे इसके बाद हम उसी क्वेश्चन को कंटिन्यू करेंगे जो क्वेश्चन अभी हम लोग सॉल्व कर रहे द उसी को पूरा कंटिन्यू करेंगे ठीक है ठीक उसी तरीके से कई बार हमारे पास जो प्लॉट निकल के आता है वो ऐसा होता है जिसमें मैक्सिमम की तरफ कॉर्नर पॉइंट्स होते हैं मिनिमम की तरफ नहीं होते हैं तो उसे केस में जो मैक्सिमम पॉइंट्स है वहां पर हम देखेंगे स की वैल्यू मैक्सिमम कहां पे है और उसे वैल्यू के लिए हम क्या कहेंगे की स ग्रेटर दें वह मैक्सिमम वैल्यू वाला जो प्लॉट है वो डिफीजिबल एजेंसी बाहर होना चाहिए तभी तो यह प्रूफ होता है की भाई वो जो एम है वो मेरे fizabel रीजन के लिए मैक्सिमम रीजन के बाहर है बात समझ आई जब कैपिटल एम की बात करें तो मैं का रही हूं की वो मैक्सिमम वैल्यू है यानी की मैं ये प्रूफ कर रही हूं की स की वैल्यू अगर उसे एम से ज्यादा है तो वो मेरे फिजिकल रीजन से बाहर होगी उसी तरह जब मिनिमम की वैल्यू की बात कर रही हूं तो मैं का रही हूं की स्मॉल एम मेरा मिनिमम वैल्यू है तो मैं ये प्रूफ कर दे रही हूं की जब स की वैल्यू अगर इस एम से भी कम होती है तो वो मेरे रीजन से बाहर होगी ठीक है आई होप आई हैव तू एक्सप्लेन यू तो कॉन्सेप्ट बिकॉज डी कॉन्सेप्ट इसे वेरी वेरी वेरी वेरी इंपॉर्टेंट ठीक है कई बार वेरी बोल दिया मैंने जस्ट तू फोकस ऑन डी इंपॉर्टेंस ऑफ डी कॉन्सेप्ट ठीक है चलो अब हम वापस चलते हैं उसी क्वेश्चन में और उसको सॉल्व करते हैं तो इस क्वेश्चन पर हम कहां तक द हमने बना लिया था अपना सबसे पहले क्या करना है फीजिबल रीजन के कॉर्नर पॉइंट्स को आईडेंटिफाई करना है ठीक है तो चलो सबसे पहले कॉर्नर पॉइंट्स आईडेंटिफाई करते हैं कौन से हैं कॉर्नर पॉइंट एक तो ये वाला पॉइंट है दूसरा ये वाला पॉइंट है और तीसरा ये वाला पॉइंट है ठीक है इन पॉइंट्स के कोऑर्डिनेटर अगर हम देखे तो यहां पे एक जीरो है और व्हाइट तू है तो देखो एक्स यहां पे वैन एंड हाफ है डेट इसे 3/2 लिख सकते हैं इसको हम इसका हो जाएगा तीसरे कोड की बात करें तो एक्स की वैल्यू 3 है ए की वैल्यू जीरो है ठीक है तो हमारी पॉइंट्स कौन-कौन से हैं जीरो कमा तू एक कॉर्नर पॉइंट है 3/2 एक कॉर्नर पॉइंट है और थ्री जीरो ये एक कॉर्नर पॉइंट है ठीक है हमेशा की तरह हम क्या करेंगे इन सारे कॉर्नर पॉइंट्स के लिए हम स की वैल्यू निकलेंगे ठीक है स कितना दिया हुआ था 3X + 5y तो यहां पे हो जाएगा 3 * 0 + 5 * 2 = 10 यहां पर हो जाएगा 3 / 2 * 3 + 5 * 1 / 2 तो ये हो जाएगा 5 प्लस 9 1 तीसरे केस में हो जाएगा 3 * 3 + 0 इस फंक्शन को मिनिमाइज करना था तो स की वैल्यू मिनिमम कहां पे दिख रही है स = 7 उसका कॉरस्पॉडिंग एक्स और ए का वैल्यू क्या है 3/2 ठीक है तो मैं तो ये का रही हूं अपने एंड से की भाई एक्स और ए की वैल्यू 3 / 2 1 / 2 वही वैल्यू है जिसके लिए स की वैल्यू मिनिमम होंगी बट सिर्फ ऐसा बोलना काफी नहीं है इसको प्रूफ करना पड़ेगा एस बराबर थ्योरम प्रूफ कैसे करेंगे हम कहेंगे की ठीक है ऐसा हम सच तभी मानेंगे जब तुम ये प्रूफ कर दो की स की वैल्यू अगर सेवन से भी कम होती है ठीक है स लेस दें 7 की जो वैल्यू होगी वो तुम्हारी इस faisable रीजन के बाहर होगी मतलब स लेस दें सेवन का जो इक्वेशन होगा विच विल बी 3 एक्स + 5y लेस दें 7 इसका अगर तुम प्लॉट बनाओ तो इसका जो प्लॉट होगा इस प्लॉट के साथ तुम्हारे रीजन में कुछ भी कॉमन नहीं रहेगा अगर ऐसा होता है तो हम मैन लेंगे की हान स ही स का मिनिमम वैल्यू सेवन ही है और उसका क्वार्टर स्पॉन्डिंग एक्स और ए का वैल्यू 3/2 है ठीक तो चलो इसके लिए क्या करना पड़ेगा 3X + 5y < 7 इसका प्लॉट बनाना पड़ेगा तो चलो अब बनाएंगे हम इसका प्लॉट कैसे एक्स और ए की थोड़े से वैल्यूज ले लेते हैं ज्यादा नहीं लेते थोड़ा सा आसान आसान लेते हैं जैसे मैन लो अगर एक्स की वैल्यू जीरो है ठीक है तो ए की वैल्यू कितनी हो जाएगी ए की वैल्यू उसी तरह अगर ए की वैल्यू हम जीरो लेते हैं तो एक्स की वैल्यू ए जाएगी ठीक है तो अगर इसका मैं प्लॉट बनाओ एक्स की वैल्यू जीरो एक्स की वैल्यू 2po एक्स की वैल्यू जीरो ए की वैल्यू जब जीरो है तो एक्स की वैल्यू है इनको अगर मैं ज्वाइन करती हूं तो मैं क्या नोटिस करती हूं मुझे इस तरीके का एक लाइन मिलता है ठीक है मेरे थोड़ा डार्क से दिखाया है सो डेट इट इस विजिबल तू यू ठीक है यह जो लाइन है इस लाइन इस फॉर 3X + 5 = 7 बट मुझे क्या चाहिए 3X + 5y लेस दें 7 यानी की आई एम इंटरेस्ट रेट इन दिस पोर्शन इधर वाला पोर्शन ठीक है अब बड़े ध्यान से देखो क्या यह जो ब्लू लाइन से मैंने दिनो किया इस पोर्शन के साथ ये रेड डॉटेड पोर्शन को के बीच में कुछ कॉमन है नहीं कुछ भी कॉमन नहीं है यानी की जो मैंने बताया था की स की वैल्यू इस इक्वल तू 7 वही मिनिमम वैल्यू है डेट वैसे करेक्ट इसका मतलब जो मेरा fizabel रीजन था उसे fisable रीजन में स की जो सबसे मिनिमम वैल्यू है वो सेवन है क्योंकि स की वैल्यू जैसे ही उसे सेवन से और नीचे होगी तब तो वो इस वाले रीजन में ए जाएगा राइट तो यानी की तब उसका मेरे fizabel रीजन से कोई लेना देना नहीं होगा तो इसका मतलब है फॉर दिस पार्टिकुलर क्वेश्चन हमारा आंसर क्या हो जाएगा की डी मिनिमम वैल्यू ऑफ रिजल्ट चलो बच्चों अब हम देखते हैं तीसरा प्रॉब्लम जो की एक अगेन एक नए कैटिगरी का प्रॉब्लम है अभी तक तो हमने बाउंड्री एंड बॉन्डेड फीजिबल रीजन दोनों देख लिया अब देखो एक और नायर कैटिगरी ये क्वेश्चन कहता है मैक्सिमम स = एक्स + ए इस लेस दें इक्वल तू माइंस वैन माइंस वैन तो इसके लिए हम प्लॉट किसका बनाएंगे लेटेस्ट ओप्पो जीरो वैन तू एक्स की वैल्यू ले ली तो यहां से हमें क्या पता है ए क्या हो जाएगा ए हो जाएगा एक्स + 1 तो ये हो जाएगा 12 ये हो जाएगा 3 एक्स की वैल्यू है जीरो तो ए की वैल्यू है वैन जब एक्स की वैल्यू है वैन तो ए की वैल्यू है तू जब एक्स की वैल्यू है तू तो ए की वैल्यू है थ्री तो अगर हम इसे जोड़ दें तो हमें इस तरीके का एक लाइन मिल जाएगा सो दिस इसे फॉर एक्स - ए = -1 बट हमें कौन सा रीजन चाहिए एक्स - ए लेस दैन इक्वल तू माइंस वैन मतलब हमें क्या चाहिए इसका लेस दें वाला रीजन चाहिए राइट डेट मेंस सी आर इंटरेस्टेड इन ये वाला रीजन ठीक है भाई अब चलते हैं तो अब हमारा फोकस हो जाएगा इस वाले पे विच इसे इक्वल तू जीरो माइंस ले लेते हैं 012 हो जाएगी हमारा जो प्लॉट है वह कुछ इस तरीके से बन जाएगा तो यह क्या हो जाएगा हमें इधर वाला रीजन चाहिए मतलब चाहिए नहीं इधर वाला रीजन जो है वो हमारे इस inikuality का सॉल्यूशन होगा ठीक है अगर हम पहले वाले लाइन की बात करेंगे इस वाले की बात करें एक्स-1 लेस दें इक्वल तू माइंस वैन मतलब माइंस वैन से जो है ये कम है तो बता माइंस वैन से इधर इस तरफ होगा तो इसका जो रीजन जिस रीजन की हम बात कर रहे हैं इसका जो सॉल्यूशन का रीजन होगा वो इस तरफ होगा अनफॉर्चूनेटली देयर इसे नो कॉमन रीजन ऐसा कोई कॉमन रीजन नहीं चारों इनिक्वालिटी सेटिस्फाई करें क्योंकि देखो ना इन दोनों के बीच में और ब्लू रिवीजन के बीच में तो कुछ कॉमन है ही नहीं इसका मतलब इस पार्टिकुलर क्वेश्चन में देयर इसे नो फीजिबल रीजन अगर कोई फीजिबल रीजन ही नहीं है इसका मतलब देयर इस नो फीजिबल सॉल्यूशन ऐसा कोई सॉल्यूशन पॉसिबल ही नहीं है जो इन चारों इन इक्वलिटी को सॉल्व करें जब ऐसा कोई सॉल्यूशन ही पॉसिबल नहीं है तो वो ऑप्टिकल सॉल्यूशन निकलेंगे कैसे क्योंकि ऑप्टिमल सॉल्यूशन भी एक विजिबल सॉल्यूशन होता है जो चारों इक्वलिटी को सेटिस्फाई करता है साथ ही साथ जो ऑब्जेक्टिव फंक्शन क्या ऑप्टिकल वैल्यू देता है राइट तो यानी की इस वाले क्वेश्चन का देखो पिक्चर ही कुछ और हो गया यहां फीजिबल रीजन ही नहीं है सो फीजिबल सॉल्यूशन ही नहीं है देर इस प्रॉब्लम के लिए आपका आंसर होगा देयर इस नो सॉल्यूशन तू दिस प्रॉब्लम मुझे पुरी उम्मीद है की आप लोगों ने मेरे साथ साथ ये वीडियो देखा तो होगा ही यहां तक बल्कि मेरे साथ साथ सारे क्वेश्चंस भी सॉल्व किए होंगे अगर आपने ऐसा किया होगा तो लीनियर प्रोग्रामिंग के प्रिंसिपल्स तो जरूर हुए होंगे क्रिस्टल क्लियर मैं आपको बहुत ही जल्द मिलूंगी एक और मजेदार वीडियो के साथ तब तक