Matematika Optimasi dan Persamaan Linear

Oct 18, 2024

Catatan Kuliah Matematika Optimasi

Pendahuluan

  • Dosen: Ridwan Awalian Firdaus
  • Materi: Matematika Optimasi menggunakan program linear.

Konsep Dasar

Persamaan Linear

  • Definisi: Ekspresi aljabar dengan satu jenis variabel, pangkat satu.

Jenis Persamaan Linear

  1. Persamaan Linear Satu Variabel

    • Bentuk: AX = B
    • Grafis: Garis lurus (tegak atau datar)
    • Contoh: 2X = 7

  2. Persamaan Linear Dua Variabel

    • Bentuk: AX + BY = C
    • Grafis: Garis lurus diagonal
    • Contoh: -6X + 2Y = 5

  3. Persamaan Linear Tiga Variabel

    • Bentuk: AX + BY + CZ = D
    • Grafis: Bidang datar
    • Contoh: 2X + 3Y - 7Z = 7

Identifikasi Jenis Persamaan

  • Contoh Persamaan Linear:
    • 3X - 4Y = 5 (linear)
    • 3X^2 - 4Y = 5 (non-linear)
    • 3XY - 4Y = 5 (non-linear)

Bentuk Grafik Persamaan Linear

  • Grafik: Sekumpulan titik solusi dari fungsi linear.
  • Contoh: Garis dari persamaan AX + BY = C
  • Solusi: Titik yang memenuhi persamaan.

Persamaan Linear Satu Variabel

  • Bentuk: AX = K
  • Solusi: X = K/A
  • Grafik: Garis tegak lurus sumbu X

Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel

  1. Bentuk Standar: AX + BY = C
  2. Slope Intercept: Y = MX + B
  3. Point Slope: Y - Y1 = M(X - X1)

Penyusunan Persamaan Garis Lurus

  1. Dengan dua titik:
    • Rumus: (Y - Y1)/(Y2 - Y1) = (X - X1)/(X2 - X1)
  2. Dengan satu titik dan gradien M:
    • Rumus: Y - Y1 = M(X - X1)

Gradien

  • Definisi: Nilai kemiringan suatu garis.
  • Rumus: M = ΔY/ΔX
  • Tipe Gradien:
    • Naik (positif)
    • Turun (negatif)
    • Datar (0)
    • Tegak (tak terdefinisi)

Hubungan Antar Gradien

  • Garis sejajar: Gradien sama
  • Garis tegak lurus: M1 * M2 = -1

Sistem Persamaan Linear

  • Definisi: Sekumpulan persamaan linear dengan solusi yang berlaku untuk seluruh persamaan.
  • Kondisi:
    1. Berpotongan (satu solusi)
    2. Sejajar (tidak ada solusi)
    3. Berimpit (tak hingga solusi)

Cara Mencari Solusi Sistem Persamaan Linear

  1. Grafis: Gambar grafik dari masing-masing persamaan dan cari titik potong
  2. Eliminasi dan Substitusi: Tentukan mana variabel yang akan dieliminasi
  3. Matriks: Bentuk dalam matriks dan cari solusi menggunakan inverse
  4. Kramer: Menghitung determinan untuk solusi
  5. Gauss-Jordan: Menggunakan matrik augmented dan operasi baris elementer

Penutup

  • Disarankan untuk berlatih soal-soal terkait konsep garis dan gradien, serta sistem persamaan linear.
  • Terima kasih atas perhatian.

Semoga catatan ini bermanfaat bagi pemahaman materi.