Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh Apa kabar Anda semuanya? Alhamdulillah hari ini kita bertemu kembali di mata kuliah Matematika Optimasi bersama saya Ridwan Awalian Firdaus Sebagaimana kita ketahui bahwa matematika optimasi kita menggunakan program linear? Nah, program linear ini mengharuskan kita untuk mempelajari konsep-konsep dasar, yaitu diantaranya adalah persamaan linear dan sistem persamaan linear.
Mari kita mulai dengan persamaan linier terlebih dahulu. Persamaan linier adalah bentuk ekspresi aljabar yang memiliki satu jenis variable dengan variable memiliki pangkat satu pada setiap sukunya. Di bawah ini ada beberapa jenis persamaan linear.
Yang pertama adalah persamaan linear satu variable yang mempunyai bentuk AX sama dengan B. Adapun bentuk grafis dari persamaan linear satu variable ini adalah berupa garis lurus. garis lurus yang tegak maupun datar, artinya yang tegak lurus dengan sumbu X maupun yang tegak lurus dengan sumbu Y. Kemudian variabelnya di sini, dibagian kita lihat di bentuk umum ini variabelnya adalah X, koefisiennya A dan konstantannya adalah B.
Contohnya adalah 2X sama dengan 7. Kemudian pada persamaan linear 2 variable mempunyai bentuk AX plus BE sama dengan C. Nah bisa kita lihat di setiap sukunya ini mempunyai satu jenis variable. Walaupun dia secara keseluruhan mempunyai 2 variable tetapi kita lihat di satu sukunya dia punya satu variable.
Dengan pangkatnya adalah sebesar 1. Ada pun bentuk grafis dari persamaan linear dua variable ini adalah berupa garis lurus yang diagonal. Jadi kemungkinan dia bisa memotong kedua sumbu koordinat ataupun dia bisa memotong di pusat koordinat yaitu titik 0,0. Variable yang bisa kita lihat di bentuk ini, yang di atas ini adalah variablenya X dan Y.
Kemudian koefisiennya adalah A dan B. Sedangkan konstantanya adalah C. Contohnya di sini adalah min 6x plus 2y sama dengan 5. Nah, di sini koefisiennya adalah min 6, koefisiennya juga dari Y adalah 2, dan konsantanya adalah 5. Nah, kemudian ada juga persamaan linear 3. variable kita lihat bentuk umumnya disini ax plus by plus cz sama dengan d disini variablenya tiap sukunya punya satu jenis nah ini secara keluruhan Variable-nya ada 3 yaitu X, Y, dan Z. Ada pun bentuk grafis dari persamaan linear 3 variable ini adalah berupa suatu bidang, bidang datar.
Di sini variable-nya X, Y, Z, koefisiennya adalah A, B, dan C, konstantanya adalah D. Contohnya adalah 2X plus 3Y min 7Z sama dengan 7. Dengan koefisiennya... X adalah 2, koefisien Y adalah 3, dan koefisien Z adalah min 7. Dan konstantanya adalah 7. Nah, jika Anda sudah mengetahui pengertian dari persamaan linear, tentunya kita akan bisa mengetahui apakah jenis-jenis persamaan di bawah ini linear atau non-linear. Nah, yang pertama, 3x-4y sama dengan 5. Nah, kita lihat ini merupakan persamaan dua variable. Nah, kita lihat tiap sukunya dia punya satu jenis variable dan pangkatnya satu.
Jadi ini adalah linear. Kemudian kita lihat yang kedua ini 3x kuadrat min 4y sama dengan 5. Nah ini jelas non-linear. Karena dia pangkatnya 2. Dia tidak sesuai dengan definisi. Berarti ini non-linear.
Kemudian kita lihat yang ketiga. 3xy min 4y sama dengan 5. Nah ini di salah satu suku. Itu terdapat 2. jenis variable harusnya itu satu jenis jadi ini merupakan non-linear nah kemudian kita lihat 3 min 4y sama dengan 5 jika ini konstanta-konstanta digabungkan, dia akan menjadi satu konstanta lagi.
Nah, di sini di salah satu suku, dia punya satu variable dan pangkatnya satu. Nah, ini merupakan persamaan linear. Jenisnya adalah linear satu variable.
Jadi, dapat kita simpulkan ini adalah salah satu contoh yang linear. Kemudian yang di bawahnya, 3x-4y plus 5z sama dengan 21 nah ini adalah persamaan linear karena di tiap sukunya dia punya satu jenis variable dan pangkatnya juga satu nah ini persamaan linear yang jenisnya 3 variable kemudian kita lihat disini 2 per 3x min 4y sama dengan 5 nah ini juga contoh dari persamaan linear Nah disini koefisiennya berbentuk bilangan pecahan 2 per 3 Tetapi disini sukunya mempunyai variable satu jenis Nah disini variable jenisnya X disini adalah Y dan pangkatnya 1 Jadi ini merupakan persamaan linear Kemudian kita lihat contoh di bawahnya 3 akar X min 4 Nah kita lihat ini akar X itu pangkatnya bukan 1, melainkan dia pangkat setengah, jadi dia non-linear. Nah kita lihat pula 2 per 3X min 4J sama dengan 5. Ini kita lihat X berada dalam posisi sebagai penyebut.
Ini sama aja X pangkatnya negatif 1. Jadi ini non-linear. Kemudian kita lihat. lihat di bawahnya lagi, y sama dengan 5x plus 1. Nah, ini kalau y dipindah ruaskan, ini menjadi persamaan linear, yang bentuk standar dengan 2 variable.
Di sini, y-nya pangkatnya 1, x-nya juga pangkatnya 1. Jadi, ini contoh dari linear. Baik, kemudian kita lihat yang di bawahnya ini, di satu suku, dia satu jenis variable, masuk ujung. yang kedua juga sama satu jenis variable tetapi di suku ketiga dia punya tiga jenis variable jadi ini dapat kita simpulkan non-linear nah mungkin Anda setelah melihat contoh-contoh ini bisa mengidentifikasi mana persamaan linear mana yang bukan mari kita lanjutkan Bentuk persamaan linear. Nah, bentuk grafiknya itu seperti apa? Nah, dia merupakan sebuah garis lurus.
Nah, garis lurus ini terdiri dari sekumpulan titik-titik yang merupakan solusi. dari fungsi linear. Jadi di sini, dalam konteks bilangan real, di sini dalam bidang cartesius, kita tidak hanya memfokuskan pada titik-titik bilangan bulat. Jadi di antara titik-titik bilangan bulat terdapat titik-titik lain yang mempunyai koordinatnya berupa bilangan real.
Ini kita kasih contoh beberapa titik yang merupakan solusi. X1Y1, X2Y2, X3Y3, X4Y4, X5Y5. Dan satu titik lain yang bukan solusi yaitu X6 dan Y6.
Nah kenapa kelima titik ini merupakan solusi? Nah, di sini kita akan ambil contoh persamaan umum dari garis ini yaitu AX plus BY sama dengan C. Nah, sewaktu titik ini disubstitusi ke sini, dia akan memenuhi persamaannya. Nah, akhirnya akan bernilai C semua. Nah, sedangkan kalau yang bukan solusi, dia disubstitusi nilainya tidak sama dengan C.
Nah, itu jadi solusi dari suatu garis. suatu persamaan gaya disitu banyaknya tak terhingga baik kita lanjutkan kita coba akan membuat menganalisa dari grafik garis linear ini. Nah grafik di samping ini adalah grafik fungsi dari y sama dengan 3x plus 2. Atau kalau kita bentuk lebih standar menjadi 3x min y sama dengan min 2. nah kita lihat pada gambar di samping ini ada titik yang saya tandain warna biru ini adalah titik-titik yang merupakan beberapa solusi berbagai contoh solusi Nah ini yaitu titik A, B, C, D, dan E Nah kenapa kita nyatakan itu sebagai solusi? Karena dia memenuhi di persamaan garis ini Nah kita lihat, kita hitung untuk titik A koordinatnya 0,2.
Kalau kita hitung, kita substitusi ke persamaan ini, maka dia hasilnya adalah negatif 2. Nah kita coba juga titik A. titik B koordinatnya 1, 5. Nah, kita hitung di sini 3 x 1, min 5, sama dengan 3, min 5, sama dengan min 2. Berarti menghasilkan angka yang sama. Nah, kita hitung juga koordinat C, menghasilkan negatif 2 koordinat D menghasilkan negatif 2 koordinat E menghasilkan negatif 2 nah kita coba yang koordinat F disini sengaja saya pilih yang bukan bilangan bulat jadi F itu 1 per 3 kita ambil contoh yang bilangan pecahannya kita substitusi juga X nya 1 per 3 dan Y nya 3 ke persamaan ini sehingga menjadi negatif 2 juga jadi ini Ini semuanya menghasilkan negatif 2. Nah, ini berarti dia beberapa titik ini adalah merupakan solusi dari garis ini. Nah, sedangkan kalau kita lihat titik G dan H, dia bukan solusi. Kenapa?
Coba kita substitusikan. Titik G itu koordinatnya 26 dan H itu koordinatnya 212. Setelah kita substitusi, untuk G. titik G dia tidak sama dengan negatif 2 begitu pula titik H dia tidak sama dengan negatif 2 jadi kalau titik tersebut tidak memenuhi persamaan yang diberikan maka dia bukan merupakan solusi baik kita lanjutkan Kita akan membahas tentang persamaan linear satu variable. Di sini ada yang berbentuk AX sama dengan K. Nah, solusinya pasti ya X sama dengan K per A.
Nah di sini dalam bentuk grafisnya untuk X sama dengan K per A itu adalah sekumpulan titik-titik di mana koordinat bagian absis atau bagian X-nya menunjukkan nilai yang tetap yaitu K per A. Nah ini berarti berupa garis tegak lurus dengan sumbu X. Kemudian untuk AY sama dengan K juga sama, solusinya Y sama dengan K per A. Jadi ini adalah kalau jika kita lihat di persamaan, di gambarnya, itu adalah sekumpulan titik-titik dengan koordinat Y yang tetap, yaitu Y sama dengan K per A.
Nah, jadi garis Y sama dengan K per A ini garis datar yang tegak lurus dengan sumbu Y. Nah, ada pun bentuk X sama dengan K per A. 0 ini identik dengan X sama dengan K per A cuman K per A nya nilainya 0 artinya dia mepet mepet sampai habis ke sumbu Y oleh karena itu bentuk X sama dengan 0 dapat dapat pula disebut juga dengan sumbu Y. Di mana sumbu Y itu kan tempat di mana titik koordinat X-nya bernilai 0. Nah, demikian pula untuk bentuk Y sama dengan 0, dia identik dengan Y sama dengan K per A. Nah, K per A-nya bernilai 0, sehingga dia dipepetkan atau berimpit dengan sumbu X.
Jadi, sumbu X itu nama lain dari Y sama dengan 0. Baik, mudah-mudahan Anda paham ya konsep dasar ini. Sekarang kita akan... Belajar tentang persamaan linear 2 variable. Nah, persamaan linear 2 variable ini banyak sekali varian penulisannya ya.
Ada yang bentuknya standar, seperti ini. Ini terlihat jelas koefisiennya ya, variablenya dan konstantannya. Kemudian yang kedua adalah slope intercept.
Jadi di sini terdapat bilangan yang menyatakan kemiringan dan juga intercept yaitu titik potong. dengan sumbu Y nya jadi dinyatakan dengan Y sama dengan MX plus B dengan M adalah kemiringan dari suatu garisnya dan B adalah titik potong dengan sumbu Y Kemudian bentuk yang ketiga adalah kemiringan dan titik, point slope. Jadi untuk persamaan ini terdapat M, yaitu kemiringan, dan titik yang dilewatinya, yaitu X1 dan Y1.
Nah sekarang kita akan mencoba bagaimana menyusun atau membuat persamaan linear. Untuk kasus yang pertama jika diketahui dari dua titik yang berbeda. Misalkan di sini titiknya adalah X1, Y1 dan X2, Y2. Ingat, pada dua titik itu akan bisa dibuat satu garis lurus. Ya.
Nah, ada pun... persamaan garis lurusnya adalah kita gunakan rumus Y-Y1 per Y2-Y1 sama dengan X-X1 per X2-X1 Nah supaya lebih jelas, kita coba contoh di samping ini Tentukan persamaan garis yang melalui titik 1,-2 dan 5,3 Ini bisa kita nyatakan sebagai X1, Y1 dan ini X2, Y2. Nah, gunakan rumus ini sehingga terbentuk seperti ini. Y-Y1, Y1-2 per Y2-Y1, Y2 adalah 3. Nah, begitu pula untuk X kita substitusikan. Karena Y1-nya di sini berarti X1-nya juga dari sini.
X1 nya 1 berarti ini adalah X2 nya 5 ya. Nah disini menjadi seperti bentuk persamaan yang di bawahnya. Ini karena 2 pecahan yang sama bisa kita kali silang.
4 kali Y plus 2 sama dengan 5 kali X min 1. Sehingga kalau kita kalikan secara distributif menjadi 4Y plus 8 sama dengan 5X min 5. Nah kalau kita susun. Susun lagi ke bentuk standar sehingga menjadi min 5x plus 4y plus 13 sama dengan 0. Ada pun kondisi kedua jika diketahui dari satu titik dan gradient M. Jadi kalau melalui satu titik itu sebetulnya dapat diberikan. dibuat banyak tak hingga garis akan tetapi jika kita kunci dengan kemiringan tertentu maka akan bisa dibuat satu buah garis jadi disini butuh satu titik dan butuh satu kemiringan Nah, ilustrasinya seperti ini. Ini ada titik X1, Y1, kemudian ada satu garis yang melaluinya dan punya kemiringan tertentu.
Jadi dengan demikian, persamaan garis ini bisa kita rumuskan Y-Y1 sama dengan M x X-X1. Biar lebih jelas, mari kita simak contohnya. Tentukan... persamaan garis yang melalui titik 1,min 2 dan kemiringan 3 kita gunakan rumus seperti ini rumusnya y-min y1 sama dengan m kali x-min x1 dengan y1 nya kita masukkan min 2 dan x1 nya kita masukkan 1 y-min min 2 sama dengan 3 kali x-min 1 jadi y-min 2 sama dengan 3x-1 nah kita pindah-pindah ruaskan sehingga menjadi bentuk standar min 3x plus j plus 5 sama dengan 0. Kemudian bagaimana caranya kita membuat persamaan linear atau persamaan garis lurus jika diketahui dari grafiknya.
Nah, di sini akan... kita pelajari kalau misalkan garis yang diketahui itu memotong di kedua sumbu koordinat. Kondisi yang pertama ini, tentunya kita akan dapatkan titik potong di kedua sumbu. Ini sebetulnya rumus ini berasal dari persamaan garis yang melalui dua titik.
Nah akan tetapi karena titik ini mudah dihitung karena titik potong dengan sumbu koordinat itu salah satu. Satunya adalah 0. Jadi lebih baik kita menggunakan cara praktis. Yaitu di sini ya.
A itu yang titik potong dengan sumbu Y diberikan ke X. Kemudian B yang merupakan titik potong dengan X diberikan ke Y. Jadi disilang, crossing ya. Kemudian disama dengankan dengan hasil perkaliannya. Jadi polanya seperti ini.
AX plus BY sama dengan AB. Biar lebih jelas kita coba contohnya. Nah disini disajikan grafik yang memotong sumbu Y di 0,5 dan sumbu X di 3,0. Nah kita nyatakan ini A-nya adalah 5 dan B-nya adalah 3. Nah kemudian sesuai dengan pola rumus ini bisa kita silang.
Jadi 5 dikali X ditambah 3 dikali Y sama dengan 5 kali 3. Jadi 5X plus 3Y sama dengan 15. Nah itu ya. Kemudian bagaimana kalau grafiknya tidak memotong sumbu koordinat, melainkan dia melalui titik pusat koordinat. Jadi dalam hal ini kita tidak bisa mengetahui. titik-titik potongnya itu berapa ya akan tetapi mustinya garis tersebut akan diberi petunjuk pasti dia minimal ada petunjuk satu titik yang dilakukan dilaluinya.
Misalkan titik yang dilaluinya itu mempunyai koordinat AB, jadi dengan mudah kita bisa membuat persamaan grafiknya yaitu Y sama dengan B per AX. Dengan B adalah bagian ordinat dan A, B-nya adalah ordinat dan A-nya adalah absis. Untuk lebih mudahnya kita lihat contoh berikut. Nah kita akan membuat bagaimana persamaan garis yang seperti gambar ini.
Dia melalui titik pusat koordinat dan melalui titik min 1,2. Jadi dari sini kita akan buat rumusnya. Nah terlebih dulu kita nyatakan A-1 dan B-2.
Nah berarti rumusnya seperti ini. Y sama dengan. B per AX jadi B nya 2 A nya min 1 jadi akhirnya menjadi Y sama dengan min 2 X atau boleh ditulis seperti ini dalam bentuk standar untuk yang garis melalui 0,0 ini biasanya konstantanya tidak punya tidak ada konstantanya baik kita lanjutkan lagi Sekarang kita akan mempelajari tentang apa itu gradient. Gradient itu adalah nilai kemiringan suatu kurva pada suatu titik. Nah, di sini dapat Anda lihat.
ini ada kurva garis lurus dan ini ada kurva polinomial ini kurva polinomial itu tidak lurus bisa kulak-kelok mempunyai beberapa titik balik disini kalau kita ambil sampel pada pada titik tertentu kemiringannya itu selalu tetap ya untuk seluruh titik akan tetapi pada kurva ini karena dia arahnya berbeda-beda ya berarti kemiringan di satu titik juga berbeda-beda ya Jadi di sini untuk garis lurus itu mempunyai kemiringan yang tetap. Nah kemudian bagaimana untuk menentukan nilai gradien ini? Nah nilai gradien ini dapat dari rumus dasarnya yaitu delta Y per delta X. Delta Y itu selisih vertikalnya dibagi delta X selisih yang horisontalnya. Nah, di sini kita akan lihat beberapa jenis gradientnya.
Yang pertama, ada yang namanya kemiringan naik. Kemiringan naik itu nilai gradientnya. Ini adalah positif.
Nah, ini dari kiri ke kanan, dari arah garis bilangan yang paling kecil ke yang paling besar itu, titiknya semakin tinggi, maka itu dinamakan naik. Nah, seperti ini ya. Kemudian ada pula yang dinamakan kemiringan turun.
Kemiringan turun itu kalau gradientnya negatif. kalau gradientnya negatif. Kemudian, ilustrasinya seperti ini. Dia ada garis yang diagonal yang makin ke kanan itu makin rendah. Kemudian untuk yang jenis ketiga adalah yang kemiringannya datar, jadi dia tidak nanjak, tidak turun.
Nah untuk kasus ini berarti dia dalam keadaan stasioner. Atau gradientnya Bernilai 0 Nah ilustrasinya seperti ini Garis datar Nah untuk jenis yang terakhir Yaitu adalah Yang kemiringannya tegak jadi ini tidak miring sebetulnya jadi tegak kalau tegak ini berarti nilai M nya itu tidak terdefinisi sebetulnya ini tak hingga jadi sangat besar sekali jadi saking besarnya kita tidak dapat mendefinisikan ilustrasinya seperti ini nah ini beberapa jenis gradient baik kita lanjutkan Nah kita akan mencoba membandingkan gradien atau membandingkan nilai kemiringan dari suatu garis. Karena ini akan berguna sekali nanti jika suatu ketika kita akan menggunakan nilai optimum dengan menggunakan garis selidik.
Nah, kita akan pelajari dulu kemiringannya. Di sini Anda bisa lihat ada beberapa garis dibuat melingkar. MA itu adalah gradien dari garis A MB gradien dari garis B Begitu ya Seterusnya sesuai abjad Nah disini bisa kita lihat MA itu nilainya 0 Karena dia datar MA nilainya 0 Kemudian MD nilainya undefined Disini disimbolkan tak terhingga Karena dia tegak Kemudian MB, dia positif. Kenapa positif? Karena kemiringannya naik.
Dari kiri ke kanan, dia makin tinggi. Begitu pula dengan MC, juga positif. Namun, kita perlu juga membandingkan sesama positif ini, manakah yang lebih besar. Nah, kita lihat di sini, ini mendekati ke 0. Kalau ini mendekati ke tahinga, tentu saja yang C, dia lebih besar nilai kemiringannya daripada yang B.
Maka dari itu gradien garis C lebih besar dari gradien garis B. Baik, di pihak lain kita juga akan melihat dua garis yang mempunyai gradien negatif. Nah ini contohnya F itu gradientnya negatif karena dia turun. Kemudian E juga negatif karena dia turun.
Nah kita bandingkan antara E dan F itu lebih besar mana. Nah disini kita bisa lihat MF itu lebih dekat menuju 0. Kalau ME masih jauh. Jadi dari sini nilai gradiennya yang F lebih besar daripada E.
Jadi dapat kita simpulkan kalau searah putaran berlangsung. Berlawanan ya maaf ini berlawanan jarum jam ini arahnya ini makin besar gitu ya. Kalau udah melewati tegak berarti dia kembali ke negatif gitu ya.
Jadi urutannya bisa kita simpulkan. ME, kemudian MF, MA, MB, MC, dan MD. Nah, itu ya.
Mudah-mudahan Anda bisa memahaminya. Baik, kita lanjutkan lagi. Kita akan membahas hubungan antar gradient.
Jadi setiap garis lurus itu kan tadi punya gradientnya. Jika ada dua garis mempunyai gradientnya sama, maka dia bisa dikatakan hubungannya adalah sejajar jadi ini kita bayangkan garis ini panjang tak hingga yang merah ini yang biru pun sama tak hingga ya Nah walaupun dia diperpanjang sampai ke apapun dia tidak akan pernah memotong. Karena ini selalu sejajar tidak akan pernah memotong. Nah kemudian kondisi kedua adalah hubungannya yaitu tegak lurus.
Tegak lurus ini dicapai jika gradien yang pertama dikali gradien yang kedua ini menghasilkan bilangan negatif. 1 nah ini ya atau hubungannya M1 sama dengan min 1 per M2 bisa juga dibalik M2 sama dengan min 1 per M1 gitu ya nah ini mempunyai hubungan tegak lurus Contohnya misalkan, M1-nya 3 berarti M2-nya harus min 1 per 3. M1-nya 2 per 5 berarti M2-nya harus min 5 per 2. M1-nya... 3 per 4 berarti M2 nya Min 4 per 3 Nah kemudian untuk Bentuk ketiga ini berpotongan Dan membentuk sudut Nah yang kita ambil Ini adalah sudutnya sudut terkecil Oleh karena itu Pastinya ini Menghasilkan nilai trigonometri Yang positif Karena ini lancip Kalau kita pakai yang ini nanti negatif Ya Kita ambil sudut yang terkecil Oleh karena itu disini rumusnya kita pakai dengan tanda mutlak Ini dimungkinkan kalau dia menghasilkan negatif Itu akan dibuat positif Nah berarti rumusnya ini kita cari dulu lewat tan alfa Di M1 min M2 per 1 plus M1 kali M2 Nah nanti alfanya kita cari lewat anti atau arkus dari tan ini. Baik, ini adalah hubungan antar gradient yang perlu Anda ketahui.
Selanjutnya, kita akan belajar bagaimana cara menentukan gradient. Untuk kasus yang pertama, kita akan belajar menentukan gradient dari dua titik yang berbeda. Nah disini jika kita dibekali dua titik yang berbeda X1 Y1 dan X2 Y2. Nah berarti ini kita buat dulu semacam segitiga siku-siku ya.
Ini perpanjangannya nanti akan bertemu. bertemu di satu titik siku-siku ini. Nah, seperti yang kita ketahui, graden itu adalah selisih vertikal dibagi selisih horisontal.
Jadi di sini selisih vertikalnya adalah selisih koordinat bagian Y-nya, Y2-Y1. Kemudian selisih horizontalnya adalah selisih bagian X-nya, X2-X1. Jadi M-nya dapat kita rumuskan Y2-Y1 per X2-X1, seperti itu ya.
Nah supaya lebih jelas, kita lihat contoh di samping ini. Pada gambar di samping ini, terdapat garis yang melalui dua titik. Kemudian kita akan hitung berapa kemiringannya.
Kita identifikasi dulu X1, Y1-nya. Misal 1,8, kemudian X2, Y2-nya adalah 6,7. Nah, kemudian kita masukkan di rumus, Y2-nya adalah 7, Y1-nya adalah 8. Kemudian X2-nya adalah 6 dan X1-nya adalah 1. Nah, kita hitung saja menghasilkan min 1 per 5. Nah, min ini menandakan bahwa dia dalam kondisi turun. Seperti itu ya.
Baik, kemudian yang kedua kita akan menentukan nilai gradient. yang didapatkan dari bentuk persamaan garis lurusnya. Nah, di sini ada dua bentuk persamaan garis lurusnya. Yang pertama bentuk standar, yaitu AX plus BY sama dengan C.
Nah, berarti... Rumus gradientnya itu M sama dengan min A per B. Jadi A itu adalah koefisien dari X dan B-nya adalah koefisien dari Y. Nah, sangat mudah sekali ya. Ini selalu negatif nih bawaan dari rumusnya.
Kemudian ada juga yang mempunyai bentuk Poin ya, poin slope intercept ini ya, jadi kelihatan gradientnya dan interceptnya. Jadi di sini untuk kasus yang persamaan garis ini sangat mudah sekali menentukan gradient. Jadi kalau Y-nya bernilai tunggal di salah satu ruas dan tidak negatif, maka yang koefisien X-nya itulah adalah nilai gradient-nya.
Jadi di sini M-nya sama dengan P. Nah baik Bisa kita lihat di tabel di samping ini Ini persamaan garis dan ini adalah gradientnya Nah kita coba disini Ini persamaan garisnya mengikuti bentuk yang standar Jadi kita lihat A nya 5 B nya adalah 2 Jadi dengan menggunakan rumus ini M sama dengan min A per B Dapat kita hitung gradientnya adalah min 5 per 2 Kemudian yang persamaan garis kedua Ini juga sama mengikuti bentuk seperti ini Jadi kita lihat koefisien A nya 4 dan B nya negatif 1 Jadi dengan menggunakan rumus ini Kita dapat menghitung Min M sama dengan min 4 per min 1 Jadi hasilnya adalah 4 Nah, kemudian untuk bentuk yang ketiga ini, ini sangat mudah ya, mirip seperti bentuk yang kedua ini. Jadi gradientnya itu adalah nilai yang menempel di X, yaitu M-nya sama dengan min 7. Nah, untuk yang bentuk keempat.
ini mengikuti bentuk pertama jadi A nya 1 B nya min 2 sehingga kalau kita masukkan ke rumus menjadi M sama dengan min 1 per min 2 disini min ketemu min jadi positif Jadi M nya adalah setengah Kemudian untuk bentuk yang ketiga Ini ingat ini harus diubah dulu ke bentuk Y yang positif Tinggal dikali negatif 1 Berarti ruas kanan pun sama Dikali dengan negatif 1 Menjadi Y sama dengan 3 X min 5 Jadi ini bentuknya sama seperti bentuk ini Jadi bisa dinyatakan Gradiennya bernilai 3 Nah itu ya semoga Anda paham ya cara menentukan gradient. Kemudian ada lagi gradient yang bisa kita tentukan dari garis lurus. Dari garis lurusnya.
Nah, yang bentuk pertama ini kalau diketahui titik potong dengan sumbu koordinat. Ini titik potong di Y adalah A, titik potong di X adalah B. Jadi kita langsung bisa hitung.
bersama rumusnya jadi M sama dengan min A per B contohnya bisa dilihat disini, ini ada suatu garis, berapakah gradientnya, dengan mudah kita bisa nyatakan A nya 5 dan B nya negatif 3 jadi gradientnya adalah min 5 per min 3 jadi 5 per 3, ini positif karena posisinya adalah naik Baik, kita coba membahas Bandingkan gradient dari beberapa persamaan linear di bawah ini. Yang pertama adalah 3x-4y sama dengan 7. Jadi ini Anda bisa hitung gradientnya dengan melalui koefisien-koefisiennya. Jadi didapatkan graden dari garis A adalah 3 per 4. Kemudian untuk yang X plus 2Y min 3 sama dengan 0, kita juga bisa nyatakan A-nya 1, B-nya 2, sehingga kita bisa hitung.
Gradient garis yang D ini adalah min setengah. Kemudian untuk yang C, 4Y sama dengan 6X. Bisa kita ubah dulu menjadi Y sama dengan 6 per 4X. Jadi untuk...
Untuk yang bentuk ini, ini kelihatan banget ini gradientnya itu adalah kofisien X. Jadi gradientnya adalah 6 per 4 atau kita sederhanakan menjadi 3 per 2. Ada pun untuk bentuk ini. yang ini, y sama dengan 4x-3, itu dengan mudah juga kita bisa nyatakan gradientnya adalah 4 nah dari sini, dari keempat garis ini manakah gradientnya yang paling kecil, nah ini gradient yang paling kecil, min setengah kemudian 3 per 4, kemudian 3 per 2, dan 4 Nah, jadi urutannya seperti ini. Jika kita lihat berdasarkan grafiknya, nah kita warnain dulu misalkan, yang A itu merah, yang B itu biru, yang C itu hijau, dan yang D itu kuning. Nah, ini seperti ini.
Akan kelihatan yang kuning ini, yang D itu min setengah. Jadi ini dalam kondisi turun. Kalau yang merah ini adalah mewakili yang A.
Mewakili yang A dia besarnya 3 per 4. Kemudian yang hijau, yang hijau melalui titik 0,0. Nah ini yang hijau dia sebesar 3 per 2, positif ya berarti naik. Kemudian yang biru ini juga naik dan paling curam naiknya ya. Paling terjal, jadi dia mendekati tegak, jadi nilainya paling besar.
Nah dari sini bisa Anda bayangkan ini. Kelihatan ya, urutan dari gradientnya. Baik, sekarang kita lanjutkan dengan persamaan linear 2 variable.
Untuk yang pertama kita akan belajar membuat grafik bentuk AX plus BY plus C sama dengan 0. Ada pun sifat-sifat grafik seperti ini, dia pastinya membentuk berupa garis lurus ya. Kemudian memiliki kemiringan yaitu min A per B. Dan sifat ketiga adalah dia memotong kedua sumbu koordinat. Nah ada pun langkah-langkahnya membuat grafik. Dari persamaan bentuk seperti ini.
Yang pertama, bentuklah salah satu ruas menjadi sebuah konstanta. Jadi misalkan masih bentuknya seperti ini, C-nya dipindah ruaskan. Sehingga salah satu konstanta tidak 0. Salah satu ruas itu tidak 0. Kemudian yang kedua, tentukan titik potong dengan sumbu Y yaitu di. Nah ini untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y ini. Ini adalah mengenalkan X-nya.
Sehingga anggap saja bagian ini tidak ada. Jadi BY sama dengan K. Jadi Y-nya adalah K per B. Jadi nanti akan memotong di sumbu Y pada 0, K per B.
Kemudian yang ketiga, tentukan titik potong dengan sumbu X. Nah, titik potong dengan sumbu X itu kondisinya kalau Y-nya sama dengan 0. Nah, kita enalkan bagian Y-nya sehingga menjadi AX sama dengan K. jadi titik potongnya nanti adalah K per A,0 sehingga nanti kita hubungkan Kita hubungkan kedua garis, kedua titik potong di sumbu koordinat tersebut, sehingga membentuk suatu garis.
Untuk lebih jelasnya, kita coba contoh ini ya. Di sini kita akan mencoba contoh membuat grafik dari min 3. 3x plus 2y min 6 sama dengan 0. Yang pertama bentuk dulu menjadi min 3x plus 2y sama dengan 6. Nah kemudian tentukan titik potong dengan sumbu y yaitu di 0,6 per 2 atau 0,3. Kemudian tentukan titik potong dengan sumbu X yaitu di 6 per min 3,0. Jadi di min 2,0. Nah, kita kan sudah mendapatkan dua titik potong ini dengan sumbu koordinat.
Langsung saja kita hubungkan sehingga membentuk suatu garis. Hai nah ini ada ilustrasinya di samping ini kita buat titik 03 kita buat min 20 langsung saja diambil ditarik satu garis lurus ya Nah jadi hai hai Bentuk persamaan dari, bentuk grafik dari persamaan ini, nah seperti yang di samping ini. Nah untuk membuat grafik ini sangat penting sekali, bagi Anda nanti jika melakukan optimasi dengan metode grafis. Oke ya, baik kita lanjutkan lagi.
Nah sekarang kita akan belajar membentuk grafik bentuknya AX plus BY sama dengan 0. Jadi ini berbeda dari yang sebelumnya. Kalau yang sebelumnya. terdapat konstanta nah kalau ini tidak terdapat konstanta nah sifatnya hampir sama cuman kalau yang konstantanya ada dia tidak melalui titik pusat kalau yang ini konstantanya tidak ada jadi dia melalui titik pusat koordinat tidak melewati kedua sumbu koordinat Nah, untuk menggambar grafik bentuk ini, terlebih dulu Anda ubah dulu ke dalam bentuk persamaan seperti ini.
Jadi, Y-nya dibuat tunggal di salah satu ruas. Jadi dibentuk Y sama dengan min A per BX. Kemudian, ambil titik X sembarang. Misalnya X sama dengan P. P itu suatu bilangan yang Anda pilih.
Yang kira-kira. Anda mudah menghitungnya Nah biasanya Biar mudah menghitungnya bisa aja Memilih X nya sama dengan 1 Jangan sampai X sama dengan 0 Karena udah pasti Y nya 0 nanti Nah ambil saja X nya 1 Misalkan ya Nah kemudian yang Anda Beri contoh bilangan ini Disubstitusi ke persamaan ini Nah katakanlah setelah Anda hitung Dapatkan Y B nya sama dengan Ki, sehingga nanti titiknya adalah P, Ki. Nah kemudian karena ini mempunyai sifat melalui 0,0, maka kita punya dua titik yaitu 0,0 dan P, Ki.
Sehingga dari dua titik ini bisa ditarik suatu garis. Nah, seperti itu ya untuk yang bentuk yang tanpa konstanta ini. Baik, kita lanjutkan lagi ke yang bentuk berikutnya. Nah, ini contohnya nih.
Contohnya dulu. Buatlah grafik dari 5x plus 2y sama dengan 0. Jadi kita bentuk dulu 5x plus 2y sama dengan 0 menjadi y sama dengan min 5 per 2x. Ambil titik sembarang. Misa. Misalkan X sama dengan 2. Kenapa saya pilih 2?
Karena ini bentuknya pecahan dengan penyebut 2. Sehingga mudah untuk dibaginya. Substitusi ke Y sama dengan min 5 per 2X. Sehingga didapat titiknya itu 2, min 5. Kita punya titik yaitu 2, min 5 dan titik 0, 0. Selanjutnya bisa kita tarik suatu garis lurus. Seperti ini. ilustrasinya seperti gambar di samping Nah seperti itu ya Nah itu adalah bentuk grafik dari 5x plus 2y sama dengan 0 Nah, kemudian ada juga kita akan menggambar bentuk grafik yang bentuk persamaannya seperti ini.
Ini adalah bentuknya slope intercept. Jadi ada slope-nya, kemiringannya, dan ada intercept. Nah, kita coba. Sifat-sifatnya di sini, dia membentuk garis lurus, kemudian memiliki kemiringan sebesar M, jadi bilangannya tidak harus dihitung lewat A per B, jadi ini langsung tersedia di persamaannya. Nah, ada dua kemungkinan.
Yang pertama, kalau B-nya tidak sama dengan 0. Kalau B-nya tidak sama dengan 0, maka dia dipastikan memotong sumbu Y di 0,B. Kemudian, kemungkinan kedua kalau B-nya sama dengan 0. Jika B-nya sama dengan 0, maka grafik tersebut akan memotong titik pusat di 0,0. Nah kita coba langkah-langkahnya di sini.
Yang pertama ambil titik X sembarang, misalnya X sama dengan P. P itu bilangan terserah Anda pilih berapa ya. Kemudian substitusi ke persamaannya Y sama dengan M. M X plus B.
Nah ini kan X nya diganti dengan P. Nah katakanlah ini menjadi suatu bilangan. Ya katakanlah Y nya sama dengan Ki gitu ya.
Misalkan menjadi suatu bilangan Ki. Sehingga nanti akan didapatkan titiknya yaitu P. koma ki nah kemudian kita lihat nilai B nya kalau B nya tidak sama dengan 0 maka hubungkan 0,B dan P,ki sehingga membentuk garis lurus nah yang kedua kalau B nya sama dengan 0 maka hubungkan 0,0 dan P,ki ya sehingga membentuk suatu garis nah lebih jelasnya kita coba contohnya ini kita akan men-sketsakan grafis grafik dari Y sama dengan 3X. Nah, kita ambil saja nilai sembarang, yaitu X-nya sama dengan 1. Kemudian disubstitusi, didapatkan Y sama dengan 3. Sehingga diperoleh titik 1,3. Nah, ini kan jenisnya yang B-nya 0. Jadi, dapat kita pastikan dia melalui 0,0.
Sehingga kita punya 2 titik nih, 0,0 dan 1,3. Nanti kita tarik. menulis suatu garis lurus.
Nah, seperti itu ya. Kemudian untuk contoh yang lain, misalkan seperti ini, kita akan men-sketsakan grafik dari Y sama dengan 3X-1. Kita ambil nilai x sembarang, misalkan x-nya sama dengan 1, kemudian kita substitusi ke y sama dengan 3x-1, didapatkan y-nya sama dengan 2. Nah sehingga... diperoleh titik 1,2 nah karena B nya sama dengan negatif 1 kita lihat dari sini nilai B nya negatif 1 maka grafik tersebut dipastikan melalui 0, min 1 Maka Kemudian kita tarik Garis yang melalui 0, min 1 dan 1,2 Nah seperti ini ilustrasinya Nah itu ya Ini grafik Di samping kanan ini merupakan Grafik dari Y sama dengan 3X Min 1 Nah itu tadi adalah cara-cara Untuk membuat Grafik Ya dari berbagai persamaan linear. Untuk selanjutnya, kita sekarang akan mempelajari tentang sistem persamaan linear.
Nah, sistem persamaan linear itu tentunya berbeda istilahnya dengan persamaan linear. Jadi, sistem persamaan linear itu adalah sekumpulan persamaan linear yang mempunyai solusi yang berlaku untuk seluruh persamaan. linear penyusunnya jadi solusi yang dikandung oleh suatu sistem ini bisa masuk kepada solusi dari masing-masing penyusun masing-masing persamaan linear penyusunnya nah kita lihat lihat di bawah ini terdapat sistem persamaan linear 2 variable atau SPLADV nah bisa dilihat di kotak merah ini ada 2 persamaan yang pertama AX plus BY sama dengan P kemudian CX plus DY sama dengan Q nah ini untuk 2 variable minimal harus ada 2 persamaan Kalau kita bentuk ke dalam matriks, ini menjadi bentuk matriks yang dipisah. Ini matrik koefisien, ini matrik variable, dan ini matrik konstanta. Nah koefisien ini kita bisa lihat, ini nilainya A, B, C, dan D.
Variablenya ada dua, yaitu X dan Y. Konstantanya yaitu P dan Q. Kemudian di samping kanan ini adalah bentuk Persamaan linear 3 variable atau SPLTV. Ini bisa dilihat di kotak merah ini ada 3 persamaan linear 3 variable.
Nah kalau berhubungan dengan 3 variable, kumpul seperti ini, berarti ini menjadi satu kesatuan, satu sistem kalau mencari solusi, berarti solusi sistem solusi bersama nah disini, kalau dibentuk ke dalam matrik, pun sama seperti cara sebelumnya, ini matrik koefisien yang ini matrik variable, dan ini adalah matrik konstanta, nah disini koefisiennya, ada banyak A, B, C, D, E, F G, H, I, variablenya ada 3 jenis X, Y, Z konstantanya ada 3 P, Q, R nah pada pembahasan kali ini kita akan lebih fokus pada persamaan linear 2 variable Nah, untuk sistem persamaan linear 2 variable ini, kita bisa lihat ada beberapa kondisi. Yang pertama adalah kondisi. berpotongan.
Nah satu persamaan linear itu mewakili satu garis. Jadi bentuk grafisnya ilustrasinya seperti ini. persamaan linear yang pertama yaitu ax plus by sama dengan p dan persamaan linear yang kedua yaitu cx plus dy sama dengan ki nah dia akan berpotongan di suatu titik tentunya ya nah titik ini disebut solusi karena apa titik potong itu kan bisa ngikut kemana-mana dia masuk solusi ax plus by juga masuk solusi cx plus dy itu adalah solusi Solusi sistem, titik potong. Berbeda kalau titiknya di sini misalkan. Dia bisa saja solusi salah satu garis, tapi dia tidak menjadi solusi di garis yang lain.
Nah yang dimaksud solusi, dia adalah solusi di garis satu dan di garis kedua. Nah kita nyatakan solusinya sebagai XS dan YS. Ada pun kalau kita rinci sifat-sifatnya, kalau dia berpotongan, pasti dia akan berpotongan di satu titik. Satu titik tersebut disebut solusi.
Koordinatnya adalah XS, YS. Karena dia berpotongan, dia diakibatkan oleh gradien yang berbeda. Kalau kemiringannya berbeda, maka dia akan berpotongan.
Itu sifatnya ya. Kemudian kalau kita lihat dari nilai... nilai-nilai koefisiennya berlaku perbandingan yang beda. Kalau A dibandingkan C itu tidak sama dengan B dibandingkan D.
Nah mari kita lihat contohnya ya di samping ini ya. Ini ada dua contoh dari dari sistem persamaan linear 2 variable. Ini adalah contoh dari persamaan linear yang punya satu solusi. Jadi, dia berpotongan. Kita lihat di sini, 3 dibandingkan min 1 itu beda dengan 1 dibandingkan min 2. Maka dia punya hubungan seperti ini.
Jadi, dia pastinya akan berpotongan. Kita lihat pula yang contoh kedua ini 7 per 1 itu tidak sama dengan 4 per min 12 Jadi dia akan berpotongan Nah itu ya Baik kita lanjutkan ke kondisi yang kedua yaitu kondisi yang sejajar Di sini ada dua persamaan linear beserta grafiknya Ini dia akan kalau diperpanjang sampai tahingga juga pun dia tidak mungkin berpotongan, tidak akan berpotongan. Karena apa?
Dia mempunyai gradient yang sama, sejajar. Nah, sifat-sifatnya bisa kita lihat di sini. Yang pertama, dia... tidak akan punya solusi, karena dia tidak akan berpotongan. Yang kedua, dia memiliki gradient yang sama.
Dan yang ketiga, ini berlaku perbandingan seperti ini. Jadi A kalau dibandingkan C, itu sama dengan B kalau dibandingkan D. Nah tetapi tidak sama ketika P dibandingkan dengan Ki.
Nah bisa kita lihat contohnya di sini ya. Di sini ada sistem persamaan linear 2 variable 3x plus 6y sama dengan min 9 dan x plus 2y sama dengan 2. Kita lihat. Lihat di sini, 3 banding 1 itu sama dengan 6 banding 2, tetapi berbeda ketika min 9 banding 2. Nah, mirip seperti ini ya. Nah, kemudian di contoh kedua, min 5 banding min 2 itu itu sama dengan 10 banding 4 tetapi berbeda dengan 7 banding 11 nah ini kalau Anda lihat ada perbandingan yang sama antar koefisiennya ya berarti itu ciri khas dari kondisi sejajar baik Anda saya harapkan paham ya kita lanjutkan Sekarang bentuk yang ketiga adalah kondisinya jika berimpit. Kalau berimpit, berarti kita lihat ilustrasinya seperti ini.
Ada dua garis yang merah dan yang biru, dia menempati titik-titik yang sama. Berimpit. Jadi kita lihat di sini sifatnya. Berarti sepanjang titik ini, berarti titik potongnya terus.
Berarti solusinya sepanjang garis ini. Jadi dia mempunyai tak hingga solusi. Kemudian, sifat yang kedua, karena dia berimpit, berarti dia juga sejajar. Berarti akibatnya dia memiliki gradient yang sama. Kemudian, perbandingan dari koefisien dan konstantanya pun sama.
Jadi di sini, A per C sama dengan B per D sama dengan P per Ki. Nah, bisa kita lihat di sini. Ini adalah contoh dari dua garis yang berimpit. Yang pertama 3x plus 6y sama dengan min 9 Kemudian x plus 2y sama dengan min 3 Bisa dilihat contohnya di bawahnya juga 4x plus 8y sama dengan 24 Dan 3x plus 6y sama dengan 18 Nah, baik, itu tadi ya, tiga jenis dari sistem persamaan linear dua variable. Nah, sekarang kita akan belajar cara mencari solusi sistem persamaan linear.
Ini penting sekali untuk Anda yang nanti di pertemuan-pertemuan selanjutnya. waktu menentukan titik-titik optimum nah ini sangat penting untuk menentukan titik tadi, tapi jangan khawatir, ini ada beberapa cara silahkan pilih saja yang Paling mudah menurut Anda. Nah, yang pertama adalah cara grafis.
Nah, di sini otomatis Anda akan membutuhkan bidang gambar yang presisi, yang skalanya sama sesuai. Misalkan kertas berpetak ataupun kertas milimeter blok. Supaya nanti akan dihasilkan titik potong yang presisi.
Langkah-langkahnya ya, gunakan kertas milimeter, kemudian buatlah grafik dari masing-masing persamaan linear. Nah, lihat caranya pada slide sebelumnya. Kemudian tinggal tentukan titik potong yang didapatkan dari kedua garis yang berpotongan. Nah bisa kita lihat ini kita akan mencoba mencari solusi dengan cara grafis ya dengan contoh sistem persamaan linear di bawah ini yaitu x plus 3y sama dengan 9 2X plus Y sama dengan 8 nah kita coba dalam sebuah bidang gambar disini yang pertama X plus 3Y sama dengan 9 kita buat dulu garisnya terlebih dulu kita buat titik-titik potongnya di kedua sumbu koordinat nah disini Di sini garis X plus 3Y memotong sumbu X di 9,0 dan memotong sumbu Y di 0,3. Sehingga kita bisa buat garisnya yang melalui 9,0 dan 0,3.
Kita tarik garisnya seperti ini. Kemudian garis yang kedua pun demikian. 2X plus Y sama dengan 8, kita tentukan titik potong di sumbu X yaitu di 4,0 dan titik potong di sumbu Y yaitu di 0,8. Kemudian tarik garis yang melalui 4,0. 0 dan 0,8 Nah seperti ini Nah nanti jika Anda Presisi menggambarkannya Tentu nanti titik potongnya juga akan presisi Nah kita lihat disini Titik potongnya Ada di koordinat X nya 3 dan Y nya adalah 2 jadi ini titik 3,2 ini merupakan solusi dari sistem persamaan linear 2 variable ini gitu ya mungkin Anda bisa mencoba ya dengan soal-soal yang lain insya Allah mudah ya Kemudian cara yang kedua adalah cara yang sering Anda pakai tentunya ya, sewaktu di SMP dulu dan di SMA, yaitu cara eliminasi dan substitusi variable.
Langkah-langkahnya saya akan sebutkan lagi ya, walaupun Anda sudah lancar nantinya ya. Tentukan mana variable yang akan dieliminasi. Kemudian buatlah...
koefisien variable tersebut supaya sama jadi pada intinya jika Anda mau mengeliminasi salah satu variable maka koefisien variable tersebut ya harus sama dulu Nah, di sini ada dua kemungkinan. Kalau sama angkanya dan tandanya sama, maka cara eliminasinya dikurangi. Kalau misalkan angkanya sama dan tandanya berlawanan, maka di jumlah.
Baik, untuk lebih mudahnya kita lihat contohnya seperti ini. Nah, ini soalnya sama dengan cara sebelumnya, cara grafis. Di sini kita akan mencoba.
coba mengeliminasi ya karena disini saya akan mengeliminasi x-nya maka saya kali silang ya ini koefisiennya 12 ini menjadi 21 sehingga menjadi ini dikali silang 2x tambah 6y sama dengan 18 ini karena kalinya satu batik tulis lagi ya karena ini koefisiennya angkanya sama dan tandanya sama maka lakukan pengurangan Kita lakukan pengurangan, akhirnya menjadi 6Y dikurangi Y itu 5Y. Kalau ini kan sudah pasti habis ya. Kemudian yang ini konstantanya 18 kurangi 8 yaitu 10. 5Y sama dengan 10, maka kita dapatkan Y-nya adalah 2. Kemudian, kita tidak perlu mengeliminasi giliran. Kalau sudah didapat salah satu variabelnya, kita langsung substitusi saja ke salah satu persamaannya.
Pilihlah yang paling mudah menurut Anda. Andaikan tadi Y sama dengan 2 kita substitusi ke 2 X plus Y sama dengan 8 Didapatkan bentuk seperti ini ya Jadi akhirnya didapatkanlah X sama dengan 3 Jadi solusinya adalah XS sama dengan 3 dan YS sama dengan 2. Jadi kalau dibentuk dalam satu pasang titik koordinat ini 3,2. Sama seperti solusi yang metode grafis sebelumnya.
Nah, kemudian pada contoh di samping ini, kita juga akan mencoba mengeliminasi juga ya. Nah, Anda bisa lihat ini skema eliminasinya. Di sini saya akan mengeliminasi variable Y. Ini saya akan mengeliminasi variable Y. saya kalikan dengan nilai koefisiennya tanpa menghiraukan tandanya.
Jadi saya ambil ini 35, berarti di sini 53. Suatu ketika nanti ini akan berbeda tanda, ini min 15, ini plus 15. Nah, dalam eliminasi kan yang penting dia habis. Berarti cara eliminasinya ini yaitu... dengan di jumlah nah kita jumlahkan kalau ini sudah pasti habis 25X tambah 6X menjadi 31X 90 tambah 3 menjadi 93 jadi X nya kita dapatkan 93 dibagi 3 1 yaitu 3 kemudian setelah kita dapatkan X nya 3 kita substitusi ke salah satu ini pilihlah menurut Anda yang paling gampang nah setelah disubstitusi ya misalkan saya ambil 5X min 3Y sama dengan 18. Nah, didapatkan Y-nya adalah negatif 1. Jadi, solusi untuk X adalah 3 dan solusi untuk Y adalah min 1. Nah, itu ya.
Itu cara eliminasi dan substitusi. Nah, untuk cara yang ketiga, Anda juga bisa menggunakan cara matrik. Jadi di sini lebih fokus ke cara inverse matrik. Nah, di sini persamaan linear dua variabelnya kita bisa ubah.
dulu ke bentuk matrik jadi koefisien berkumpul dalam satu matrik variable dalam satu matrik dan konstanta dalam satu matrik nah kita misalkan disini koefisiennya sebagai matrik A Ini matriknya ukurannya 2x2, menyatakan 2 variable dan 2 persamaan. Kemudian kita bentuk matrik ini menjadi seperti ini. Nah, di sini ingat di dalam matrik itu tidak ada pembagian, melainkan ada operasi inverse.
Kalau kita mau mencari X, Y-nya, berarti kita harus dibalik ke bentuk ini. Jadi A inverse dikali P key. Untuk inverse tentu saja Anda semua sudah tahu ya.
Sewaktu di sekolah menengah. Jadi inverse matrik A disini ada 1 per determinan A. Determinan itu kita hitung melalui AD-BC. Kemudian dikalikan matriks A joinnya.
Jadi A joinnya untuk yang diagonal utama ditukar. Kemudian untuk diagonal sampingnya itu digantikan. Anda seperti itu ya Hai nah baik kita coba contohnya karena disini saya ambil soalnya sama seperti yang dari awal dari metode grafis cuman kita akan mencoba selesaikan dalam bentuk Matrix Hai nah disini pada soal ini kita akan mengubahnya dulu ke dalam bentuk hai hai matrik ya kita ambil koefisiennya dari ini matriks A A1 321 nah bentuknya seperti ini ya Nah kemudian kita cari X Y nya dengan cara meng-inverse kan matrik A ini nah kita hitung dulu disini ya ini rumusnya ada kita hitung dulu inverse matrik A langsung ini kesini ya 1 per 1 kali 1 min 2 kali 3 dikali ajoinnya.
Nah, kita hitung di sini. Yang di bawah ini menjadi 1 dikurangi 6. Nah, di sini kita kalikan. 1 kali 9 tambah min 3 kali 8. Yang di bawahnya min 2 kali 9 ditambah 1 kali 8. Ini seperti perkalian matrik yang sudah Anda kenal. Sewaktu di SMA dulu ya. Nah kemudian kita lanjutkan perhitungannya ini menjadi min 1 per 5 kali min 15 ini min 10. Nah kemudian ini dikalikan ke matrik-matriknya min 1 per 5 kali min 15 jadi min 15 per min 5. Nah yang ini min 1 per 5 kali min 10 menjadi min 10 per min 5. Sehingga ini menjadi 3 dan yang ini nilainya adalah 2. Jadi solusi X, Y-nya adalah ini X-nya 3 dan Y-nya adalah 2. Nah seperti itu ya.
Ini sama seperti solusi pada metode-metode grafis maupun metode eliminasi substitusi. Baik, nah ada cara lain lagi, yaitu cara kramer. Cara kramer ini mirip dengan matrik, nah cuman di sini kita... memainkan determinannya saja kalau yang sebelumnya memainkan inverse yang sekarang memainkan determinan, jadi disini caranya adalah ini kita bentuk dulu ke matriks sehingga kita peroleh matriks utama yang berasal bilangannya dari koefisien-koefisien dari SPLDV ini Nah, kemudian kita hitung dulu determinan utama.
Jadi, ABCD. Nah, determinan Anda sudah tahu kan sewaktu di sekolah menengah dulu. Jadi, ini diagonal ini dikalikan di... Dikurangi diagonalnya. Jadi AD min BC.
Gitu ya. Kemudian kita akan menghitung determinan X. Yang dimaksud determinan X ini adalah dengan men-replace.
Men-replace. Mengganti koefisien X dengan konstanta. Jadi yang AC ini kita ganti dengan PQ. Nah sedangkan BD-nya tetap. Nah sesuai dengan rumus determinan tadi.
berarti P dikali D dikurangi B kali Ki. Seperti ini ya. Kemudian, cara yang sama pun dilakukan untuk determinan Y. Jadi yang bagian koefisien Y, yaitu B dan D, ini diganti dengan konstanta, yaitu P Ki.
Sehingga bentuk matriknya seperti ini. Nah, kita hitung determinannya. Ini A dikali Ki dikurangi P kali D.
di C. Nah setelah Anda mendapatkan nilai-nilai determinan utama determinan X, determinan Y maka kita bisa hitung solusinya. Nah solusinya untuk X yaitu determinan X dibagi determinan utama nah untuk yang Y berarti determinan Y dibagi determinan utama. Nah cukup mudah kan?
Baik, biar lebih mudah kita lihat contohnya ya. Ini soalnya masih sama, cuman ini Ini caranya kali ini kita pakai cara kramer. Nah, kita lihat di sini.
Kita bentuk determinan. utama determinan X dan determinan Y. Nah, untuk determinan utama kita ambil ini 1, 3, 2, 1. Nah, ini kita hitung determinannya 1 x 1 dikurangi 2 x 3, sehingga ini menghasilkan negatif 5. Kemudian kita hitung determinan X-nya, jadi yang bagian 1, 2 ini diganti dengan 9, 8. Nah, bentuknya seperti ini.
Dengan perhitungan yang sama, bisa kita dapatkan Determinan X-nya adalah negatif 15. Nah, demikian pula kita hitung yang determinan Y. Nah, ini dengan mengganti koefisien bagian Y dengan konstanta. Sehingga kita dapatkan 1 kali 8 min 9 kali 2 adalah 8 min 18 yaitu min 10 Nah untuk selanjutnya kita tinggal hitung solusi X dan solusi Y nya Jadi disini XS nya adalah DX per D jadi min 15 per min 5 yaitu 3 Kemudian solusi Y nya adalah DY per D yaitu Minus 10 per min 5 Sama dengan 2 Nah ini solusinya 3 dan 2 itu sama Seperti solusi-solusi dari Cara sebelumnya Itu dengan cara kramer Baik ada satu lagi cara Yaitu yang terakhir adalah Cara Gauss-Jordan Nah ini Menggunakan matrix juga Dengan proses eliminasi baris elementer operasi baris elementer ya nah disini pada intinya ini kita bentuk ke dalam matrix augmented ya jadi matrix ini dicampuran antara matrix koefisien dan mantap Matrix dari Konstanta.
Nah ini kita buat ini menjadi Matrix Ecelon ya. Nah disini Matrix Ecelon itu jadi yang sebelah sini dia berupa Matrix Identitas. Nah disini adalah Matrix Solusi. Jadi nanti kalau sudah terbentuk identitas berarti itulah.
Solusinya yang bagian X-nya adalah M dan bagian Y-nya ini adalah N. Seperti itu ya. Nah ini matrik identitas dengan diagonal utamanya 1 dan diagonal yang lain adalah 0. Nah, jika sudah terbentuk matrik identitas, maka kita bisa menyimpulkan yang kolom ini adalah solusinya.
Nanti ini bagaimana caranya diubah-ubah, nanti si Peki ini mengikuti proses. operasi baris elementer sehingga terakhir dia menjadi M dan N jadi kita bisa nyatakan nanti solusinya untuk bagian X adalah M dan untuk bagian Y adalah N Nah baik, biar lebih jelas kita coba contoh soalnya. Nah ini adalah contoh soal. Kita akan menentukan solusi dari sistem persamaan linear ini. 5x min 3y sama dengan 18. Dan 2x plus 5y sama dengan 1. Nah kita bentuk dulu ke dalam bentuk matriks ya.
Nah ini diambil dari koki. Ini diambil dari konstanta. Nah, di sini kita lihat ini diagonal utamanya belum satu. Nah, kita buat ini yang baris pertama ini. Untuk kolom yang pertama ini kita buat satu.
Bagaimana caranya? Sedangkan ini masih nilainya lima. Nah, caranya mudah. Kita tinggal kalikan semua baris ini dengan satu per lima.
Tujuannya supaya ini menjadi satu. Nah, kita kalikan baris satu dengan satu. dengan 1 per 5, sehingga menjadi bentuk seperti ini. Ini sudah menjadi 1, dan di sini menjadi min 3 per 5, di sini 18 per 5. Kemudian langkah selanjutnya adalah membentuk baris yang lain, yang di bawah 1 ini menjadi 0. Ya, ini kita ubah menjadi 0. Bagaimana caranya?
Nah, ini supaya menjadi 0 adalah dikurangi 2 kalinya dari baris ke 1 ini. Nah, ini nanti kolom kedua dan kolom ketiga. tinggal mengikuti saja formulanya ya.
Jadi kita pakai formula ini. R2 yang selanjutnya dikurangi, R2 yang selanjutnya ini adalah nanti R2 dikurangi 2 kalinya R1. Ini R1 itu row 1, baris ke 1 ya. Jadi ini 2 dikurangi 2 kalinya 1 menjadi 0. Begitu pula 5 dikurangi 2 kalinya min 3 per 5, dan 1 dikurangi 2 kalinya.
Kalinya 18 per 5. Nah setelah kita hitung. Akhirnya menjadi seperti ini. Ini menjadi 0. Ini jadi 31 per 5. Ini min 31 per 5. Nah kemudian. Tujuan kita sekarang adalah. Ini udah 1 0 nih.
Kita abaikan. Nah kita sekarang pusatkan ke bagian ini. Ini caranya bagaimana. Supaya bentuknya adalah. Trig identitas.
Nah kita hanya memerlukan ini 1. Ini supaya menjadi 1. Dan ini supaya menjadi 0. Nah kita ubah dulu ini menjadi 1. Dengan cara apa? Dikalikan dengan 5 per 31. Jadi ini. Seluruh baris yang kedua ini dikalikan dengan 5 per 31. Sehingga menjadi bentuk seperti ini. Ini 5 per 31 dikali 31 per 5 menjadi 1. 5 per 31 dikali min 31 per 5 menjadi min 1. Nah, untuk selanjutnya ini masih kurang, yaitu ini belum 0. Bagaimana caranya supaya menjadi 0?
Nah, kita lihat di sini. Oh, berarti... Baris yang pertama ini berarti ditambahkan dengan 3 perlimanya dari baris kedua. Sehingga kita dapatkan, nah ini menjadi seperti ini.
Ini menjadi 0 ya jelas. Nah ini 18 per 5 ditambah 3 per 5 nya dari min 1. Sehingga menjadi 3. Nah dari sini kita lihat ini sudah terbentuk matrik identitas. Nah berarti yang merah ini.
sudah finish iterasinya dan yang biru ini adalah solusinya ya jadi solusinya adalah 3 dan negatif 1 nah ini Anda penting sekali untuk memakai cara seperti ini karena ini ke depannya bisa digunakan metodenya hampir sama dengan metode simplek nanti pada pertemuan-pertemuan berikutnya Nah, berarti itu tadi ya beberapa cara. yaitu cara grafis, cara eliminasi substitusi, cara inverse matrix, cara kramer, dan cara eliminasi Gauss-Jordan. Itu adalah cara-cara yang bisa digunakan untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linear 2 variable.
Baik, mungkin untuk sementara, Saya cukupkan sekian dulu ya, semoga bermanfaat apa yang saya sampaikan ini. Nah, untuk lebih memahami konsepnya, berikut ini mari kita berlatih beberapa soal. Nah, ini ada empat soal yang boleh Anda coba ya, supaya dapat. Anda pahami tentang konsep garis dan gradient.
Kemudian soal yang kelima, ini adalah menentukan solusi dari sistem persamaan linear dengan menggunakan Cara grafik, kemudian eliminasi dan substitusi, kemudian cara matriks, cara kramer, dan eliminasi Gauss-Jordan. Nah, kemudian bandingkan solusi dari kelima cara tersebut. Itu saja, terima kasih.
Semoga Anda bisa mengerjakannya dengan baik dan benar ya. Oke, itu dulu dari saya. Terima kasih.
Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.