Vorlesung: Lineare Differentialgleichungen (DGL)

Einführung und Teilnehmerzahl

• Online und im Hörsaal jeweils ca. 30 Teilnehmer
• Insgesamt auf der Liste 120, aber reale Anwesenheit geringer

Thema: Lineare Differentialgleichungssysteme (DGL-Systeme)

• Ziel: Abschluss des Themas
• Fokus auf lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Beispiel und Methodik

• Beispiel DGL:
  • Ordnung 3: (y'''+2y''-7y+y)
  • Störfunktion: (e^{-5x})
  • Koeffizienten konstant, keine x-Abhängigkeit
• Methode:
  • Umformung in ein DGL-System
  • Einführung von Zustandsvariablen (Z1, Z2, Z3)
  • Verwendung der Begleitmatrix

Charakteristische Gleichung und Matrixdarstellung

• Charakteristische Gleichung wichtig zur Bestimmung der Eigenwerte
• Matrixform: DGL-Systeme in Matrixform schreiben
• Determinante der Begleitmatrix muss mit der charakteristischen Gleichung übereinstimmen

Partikuläre Lösung bei DGL-Systemen

• Methode: Partikuläre Lösung durch Störansatz
• Kein Resonanzfall in Beispielen, da nicht behandelt

Stabilität von DGL-Systemen

• Begriffe:
  • Asymptotisch stabil: Lösungen gehen gegen null
  • Stabil: Lösungen bleiben beschränkt
  • Instabil: Lösungen sind unbeschränkt
• Stabilitätskriterium:
  • System ist stabil, wenn alle Eigenwerte negative Realteile haben
  • Instabil bei positiven Realteilen eines Eigenwerts

Anwendung und Beispiele

• Beispiele für Störungen:
  • Keine Resonanz in behandelten Beispielen
  • Lösungsmethoden: Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen

Weitere Besprechung

• Literatur: "Mathematik für das Ingenieurstudium"
  • Angebot: Restexemplare der 4. Auflage
• Zusammenfassung von DGL-Typen und Lösungsverfahren:
  • Wichtige Erkenntnis: Typ der DGL richtig bestimmen für das passende Lösungsverfahren
• Anwendungsbeispiel Elektrotechnik:
  • Kettenleiter (Schaltung mit Spulen und Widerständen)
  • Maschenregel: Summe der Spannungen in einer Masche ergibt null

Ausblick

• Wichtig: Den Typ der DGL richtig bestimmen
• Nächste Schritte: Weitere Anwendungen und Beispiele