Okay, Aufzeichnung läuft online funktioniert auch alles und dann können wir hier starten. Ich zieh mal so Bilanz. Ah ja, okay. Sieht irgendwie nach 50 aus. Teilnehmerzahl im im Höheral sind auch etwa 30. Online war es glaube ich auch 30. Haben wir noch ein gutes Verhältnis. Insgesamt ist natürlich immer noch ein schwaches Verhältnis. Ich glaube, was habe ich auf meiner Teilnehmerliste? 120. Wo sind die anderen 60? Es ist 9:45 Uhr. Ja, man kann mittlerweile mittlerweile kann man auch äh unter Straphatzen wach sein. Okay. So, um was geht es heute? Es geht darum, dass wir das Thema lineare Differentialgleichungssysteme abschließen. Und ich habe da dazu noch ein Thema vorbereitet. Da muss ich gerade mal gucken, ob ich da dazu auch eine äh Überschrift habe. Jawohl. 14 5.4 14 5. hier lineare Differentialgleichungen als DGL Systeme. was ich hier mache, das ist noch mal quasi ein Zusatz zu den Zustandsvariablen. Also ein typisches Beispiel, wenn man so ein typisches Beispiel auf eine lineare Differentialgleichung. Machen wir mal. Jetzt können wir auch mal ein bisschen was mit höher Ordnung machen. Ich mache mal was mit y3 + 2x² y2 -7 y plus sinus xy gleich und jetzt noch irgendwie eine Störfunktion. Ja, was können wir da nehmen? E hoch -5x. Ja, wir sehen, das ist eine typische lineare Differentialgleichung. Wir haben die Ableitungen so alle. Ich habe sie schon sortiert. Hier steht quasi vor der dritten Ableitung steht das A3 von X. Vor der zweiten Ableitung steht es A2 von X. Hier steht es A1 von X. Das ist jetzt eine Konstante. Hier steht das A0 von X und Oh, ich muss gerade noch mal überlegen. Oh, ich wollte das ich wollte das mit konstanten Koeffizienten nur haben. Ja, okay. Äh, Entschuldigung. Also die die Koeffizienten sollten konstant sein. Das heißt, das korrigiere ich jetzt. Ich mache da kein Sinus X. Ich streich den durch und ich streich hier überall das X durch. Ein durchgestrichenes X ist wieder ein X. Oh, das ist ja auch interessant. Durchgestrichenes X ist auch wieder ein X. Also die Koeffizienten sollen alle konstant sein hier. Das heißt, also hier das x² streche ich auch durch. So, das heißt, vor dem y muss ich noch was hinschreiben. Also vor dem y schreibe ich dann einfach eine 1 hin. Einmal y und vor dem y3 müssen wir uns auch eine einken. Okay. Ja, also vielleicht schreibe ich trotzdem noch mal drunter. Jetzt ist ein bisschen unschön geworden, was ich eigentlich möchte. Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten y3 + 2y2 -7y + y und die Störfunktion, da passt alles. Ja, die rechte Seite von X, die Störfunktion darf irgendwie von x abhängen, irgendeine beliebige Funktion. So, und was jetzt mein Ziel ist, ich möchte das als DGL System umschreiben, also äquivalente Darstellung äquivalente Darstellung als DGL System und die Methode, die ich verwende für eine äquivalente Darstellung sind die Zustandsvariablen. Methode Zustandsvariablen. Die erste Frage ist natürlich, wie viel Zustandsvariablen brauchen wir? Und da kennen wir schon die Regel. Also Ordnung 3. Ja, diese Ordnung 3. Ordnung 3, das kommt von der dritten Ableitung hier. Ordnung 3 und daraus folgt dann drei Zustände. Die nenne ich jetzt Z1. Z1 ist unser Y. Z2 ist das Y und der letzte Zustand ist y2. Ja, und das sehen wir sofort, dass ich einfache DGS jetzt ergeben, weil wenn ich Z1 ableite, dann habe ich y1, dann habe ich y str y z. Das ist quasi meine erste DGL. Das ist eine DGL von unserem System. Und wenn ich den zweiten Zustand ableite Z2, das ist Y und noch mal ableiten Y2 und Y2 ist Z3. Das ist bereits unsere zweite Gleichung von unserem DL System. So und jetzt die dritte Gleichung. Die dritte Gleichung kriege ich aus der Originaldifferentialgleichung. Die dritte Gleichung lautet Y3. So, jetzt weiß ich y3. Was schreibe ich für y3? Hat jemand noch im Blick? Ja. Welcher Zustand ist y3 St? Ja, Z3. Das ist Z3. Genau. Also hier haben wir Z3. So, das ist Y3 Strich. Ah, da kommt kein kein gleich, sondern da kann man oben erst noch in der DGL kommt dann ein Plus 2 y2 Strich. Ja, das können wir jetzt alles einfach ablesen. Das ist Z3. -7 und dann y Z2 und dann + 1 x y und y ist unser erster Zustand z1 und dann e hoch -5x. Da steckt kein Y drin. Das brauchen wir nicht umschreiten. So und jetzt können wir diese DGL auch nach Z3 auflösen. Wir können also dann schreiben Z3 ist. So, jetzt fange ich mal an mit dem Z1. Also das kommt mit - Z1 auf die andere Seite, dann + 7 Z2 - 2 Z3 und dann kommt noch plus die Störfunktion e hoch -5x. Und das ist jetzt meine dritte Gleichung. Und jetzt kann ich das mit einer Matrix schreiben. Ja, wir haben ja gesagt, Systeme schreiben wir in Matrixform. Systeme in Matrixform. Das heißt also hier Z1, Z2, Z3. Ich bilde da draus einen Vektor, leite den Vektor ab und der ist gleich eine Matrix. In der Matrix steht drin 0 Z1 einmal Z2 0 Z3. In der zweiten Zeile Z2 = Z3, also 0 Z1 0 Z2 einmal Z3. So, und die letzte Zeile ist die eigentlich interessante. Da steht drin -1 7 - 2 multipliziert jetzt mit den Zuständen Z1, Z2 und Z3 plus die Störfunktion. Und die Störfunktion hat nur in der letzten Komponent den Eintrag des e hoch -5x. e hoch -5x, das ist alles okay. Das heißt also zu einer linearen zu einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten gibt's immer eine entsprechende Matrix. Ja, also wenn wir uns das mal anschauen, hier haben wir hier haben wir die Zahlen gehabt. Ich äh ich schreib die gerade noch mal hin da oben. Äh die Zahlen gehabt. Markier die mal die 2. Aus der 2 ist eine -2 geworden da hinten. Dann haben wir die -7 gehabt. Also der -7 ist eine +7 geworden. Und dann haben wir da vorne die 1, die markiere ich jetzt noch mal rot. Aus dieser +1 ist hier das -1 geworden und diese Matrix bezeichnet man als die Begleitmatrix. Das ist die Begleitmatrix und weil das immer nach dem gleichen Prinzip läuft, habe ich das mal aufgeschrieben, wie das immer nach dem gleichen Prinzip läuft. Oh, jetzt sehe ich, ich hab nur eins übersehen. Das wollte ich ja auch noch machen. Hala, hier mal gucken. Das kriege ich glaube ich dann immer hin. Ja, das muss auf die neue Seite rüber. So, wie Leute, wie läuft es allgemein? Vielleicht sollte ich allgemein noch mal die Farben jetzt verwenden. Allgemein mit den Farben. Wir hatten den ersten Koeffizient. Der erste Koeffizient, das war das gelbe, das war das an. Äh ah nee, nee, das war nicht das gelbe. Der erste Koeffizient stand vor nicht vor y3, sondern vor y2. Also der gelbe, der gelbe war der hier und der gelbe, der ist dann ganz nach hinten gekommen und hat ein Minus bekommen. So, wie ging es dann weiter? Der zweitletzte, das war dann der grüne. Der grüne. Ja, das war die -7, der ist zu +7 geworden. Und dann der allererste. Das war eine 1, das ist zu -1 geworden. Und hier hätten wir immer noch durch an teilen müssen, aber bei uns war der Vorfaktor vor y3 strich war eine 1. Also haben wir durch nur durch 1 geteilt hier quasi noch mal markieren. Also hier durch dieses an geteilt. Bei uns war dieses an hier der Vorfaktor für yn. Das war bei uns eine eins. Deshalb haben wir das Teilen gar nicht gesehen, ja, dass hier noch geteilt wird, wenn man auflöst nach Z3 Strich. Und was jetzt eigentlich äh sehr verblüffend ist, wir haben ja quasi an der Differentialgleichung nichts geändert. werden sie nur neu aufgeschrieben. Das verblüffende ist, dass ich die gleiche charakteristische Gleichung hat. Das heißt, oben kann ich die charakteristische Gleichung total einfach ablesen. A1 Lambda hoch n, an - 1 Lambda hoch n -1 und so weiter. A2 Lambda² A1 Lambda + A0. Und diese komplizierte Matrix muss genau die gleiche Determinante haben. Also die das, was hier steht, das was hier steht muss gleichzeitig die Determinante von der Begleitmatrix sein. Also, wenn das die Matrix A ist, dann steht hier die Determinante von A. Ja, das ist eine große Matrix, von der eine Determinante auszurechnen. Ist nicht so einfach, aber die Matrix hat eine spezielle Struktur, da stehen sehr viele Nulle drin. Die kann man also sehr einfach entwickeln und man kann dann zeigen, dass es tatsächlich richtig ist. Man muss es aber nicht beweisen. Es muss richtig sein, weil wir haben ja nichts an der DGL geändert. Ja, also müssen die Eigenwerte müssen die gleichen bleiben. Die Eigenwerte müssen gleich bleiben. Okay. So, jetzt habe ich aber gesehen, ich habe äh noch kein Beispiel gemacht. Weiß jetzt muss ich so ein kleinen Nachtrag hier starten. Wie finden wir denn partikuläre Lösung bei einem DGL System? Also noch ein kurzer Nachtrag. Wie findet man eine partikuläre Lösung? bei einem linearen DGL System mit und dann Koeffizienten. Ja, also wir haben schon ein Beispiel gemacht. Also unser Beispiel, glaube das war, da muss ich noch mal gucken. Unser Beispiel vom letzten Mal war es das 2134. Muss gerade noch mal zurückgucken, was war unser letztes Beispiel? Ah, nee, das hier war das Beispiel, das komplexe haben wir gemacht. Haben wir die Matrix hier oben. Welche haben wir denn hier gerechnet? Ah, nee, die haben wir noch gar nicht gemacht. Das war homogen. Dann ist es ganz gut. Dann starten wir mit einem neuen Beispiel. komplett neu. Also, ich möchte gern die Lösung berechnen mit Ihnen von x Punkt gleich, also hier Vektor X Matrix 2 1 3 4 2 1 3 4 mal x und jetzt mit Störfunktion + e hoch -2t. t mal 01. Okay. Und sie wissen, wir verwenden immer bei linearen Problemen immer die gleiche Strategie. Erstens löse also alle Lösungen, alle Lösungen Lösungen der homogenen DGL. Was heißt es? Wir lösen x = 2 1 3 4 mal x, also ohne Störfunktion. Ohne Störfunktion. Und da wissen wir genau, wie wir vorgehen müssen. Also a die Eigenwerte. Eigenwerte heißt Determinante von 2 - Lambda 1 3 4 - Lambda = 0. Ja, das lasse ich sie das lasse ich sie mal rechnen und dann B Eigenvektoren. Eigenvektoren EV. Okay, also ich mache mal Punkt Punkt Punkt gebe Zeit würd sagen 5 Minuten Eigenwerte Eigenvektoren, bis wir eigent in 5 Minuten hinkriegen können. Rechnet es mal selber aus. Ich zeige Ihnen dann wie es geht. Ja, wenn Sie gerade nicht wissen, wie es geht, frag sie ihren Nachbar noch mal, wie ging das noch mal? Das machen wir jetzt. 30. So, ich starte mal mit den Eigenwerten, aber ich rechnet sie ruhig weiter. Так. So, ich kriege die Eigenwerte 5 und 1 raus. Passt es? Hat jemand da dazu Fragen? 5 und 1. Die Eigenwerte äh die Eigenwerte. Genau so. Jetzt die Eigenvektoren, also Eigenvektoren, also B1, wir haben zwei reelle, wir müssen also zwei Eigenvektoren rechnen. Also Lambda 1 ist 5. Da müssen wir ein LGS lösen. Das LGS lautet 2- 3 2- 5 GB -3 1 3 4 - 5 gibt -1. Und da muss immer null rauskommen bei den eigenen Vektoren. Und wir sehen a die zwei Zeilen, das ist zweimal die gleiche Zeile. Da können wir eine durchstreichen. Ich streich mal die durch. Und was haben wir dann für ein Vektor V1? Was ist der erste Eigenvektor? V1. Ja, 1 und 3 ist wunderbar. Den -3* 1 gibt -3 + 3 gibt 0. Jawohl. Und dann haben wir den B2 Teil mit Lambda 2 = 1. So, LGS 2 - 1 gibt 1 das bleibt 00 3 4 - 1 gibt 3. Ja, zweimal die gleiche Zeile. Das heißt, da können wir eine durchstreichen und können sofort V2 ablesen. So, sind noch ein paar dazuekommen. Guten Morgen. Bau 2. Was ist der zweite? Das fragen wir jetzt mal die Leute online. Ja, wir haben gerade so 50 30 online. Was ist V 2? Was ist der zweite Was ist der Eigenvektor zum Eigenwert 1? -1 und 1. Jawohl. Ja, ich kann nicht sagen, was ist der Eigenvektor? Gibt's verschiedene Möglichkeiten, ja, immer unendlich viele. Ich könnte genauso 1 und -1 nehmen, wird auch passen. Ich könnte -5 nehmen, wird alles passen. Aber ich brauche nur einen. So, damit haben wir zwei reelle Fundamentallösungen, zwei reelle Fundamentallösungen. Also die erste [Musik] Fundamentallösung x 1 nenne ich die mal, die ist e hoch 5t e hoch 5t mal dem Eigenvektor 13. Und die zweite Fundamentallösung x2 ist e hoch 1 x t mal den Vektor -11. Und damit haben wir alle homogenen Lösungen gefunden. Also alle Lösungen der homogenen EGL. So, alle Lösungen der homogenen DGL sind X H von T besteht aus Konstante 1* e hoch 5t 1 3 + Konstante 2* E hoch T mal -11 und C1 und C2 sind aus R. C1 und C2 sind aus R. So, das war jetzt unser erster Schritt. Geh noch mal zurück. Das w ich alles erst nur unser erster Schritt. eins. Jetzt kommt eine partikuläre Lösung. Also zweiter Schritt, eine schreib's extra noch dazu einzige partikuläre Lösung reicht. Ja, und wie machen wir das immer? Wir haben hier die Störfunktion. Die Störfunktion ist e hoch -2t01 e hoch -2t01. Das ist unsere Störfunktion auch von t. Und dann machen wir ein Störansatz. So ein Störansatz, das heißt immer der gleiche Gedanke. Lineare DGLs, lineare DGL Systeme können so quasi die Störfunktion nicht wirklich verändern. Die Störfunktion sieht genau gleich aus. Der Störansatz sieht genau gleich aus. Die partikuläre Lösung sieht genau gleich aus. e hoch -2t. Aber dann gibt's irgendwelche Koeffizienten a und b und die müssen wir noch berechnen. Das ist also unser Ansatz für eine partikuläre Lösung XP von t. Oh, aber Vorsicht, was muss man denn immer noch nachdenke? Da gab's doch noch was spezielles, bevor man Störansatz macht. Was war noch wichtig? Was kann noch passieren? Ja, Resonanz. Ja, also auf Resonanz prüfen. Ja, wie geht es? Wir haben Lambda 1 2 ausgerechnet. Das ist 5 und 1. Aber zu unserem zu unserer Störfunktion Störfunktion [Musik] gehört zu Lambda = -2. Ja, also das hier, das hier steckt in unsere Störfunktion drin. Also haben wir keine Übereinstimmung und deshalb haben wir keine Resonanz, also keine und ich kann Ihnen eigentlich auch schon versprechen, Resonanz bei Systemen, das wäre furchtbar kompliziert. Das vergessen wir den Fall. Ja, aber nur, dass wir es im Hinterkopf haben, könnte genauso passieren. Aber ich erwarte nicht, dass sie auch noch eine DGL mit ein DGSD mit Resonanz noch lösen können. Das wird ziemlich kompliziert. Ja, wenn ich das in der Prüfung machen würde, dann würde sie alleine eine Stunde da damit rechnen oder sowas. Das das kann man nicht machen. Okay, also aber jetzt müssen wir A und B ausrechnen. Also bestimme A und B. Bestimme A und B durch einsetzen in das SG System. Okay, was brauchen wir dazu? Dazu brauchen wir die Ableitung. Wir müssen XP Punkt ausrechnen, die Ableitung. Und die Ableitung ist e hoch -2t. Ableitung -2 e hoch -2t. Und die Faktoren, die Vorfaktoren bleiben erhalten. Ja, das ist die Ableitung. So, und jetzt einsetzen mal eine neue Seite. So, wie sieht unsere DGL aus? Unsere DGL sieht so aus, dass wir hier haben X Punkt. Ja, also links steht x Punkt, das ist -2 e hoch -2. T Vektor AB ist= Matrix A. Matrix A. Was war noch mal unsere Matrix? Matrix war 2 1 3 4. Multipliziert mit X, also bei uns jetzt mit der partikulären Lösung mit XP. XP ist e hoch -2t mal ab und dann noch bloß die Störfunktion. Ja, also noch die Störfunktion R von t und die war e hoch -2t äh e hoch -2t01 01. Ah, und was ist wieder der Clue in der Geschichte? Was ist wieder der Clue? Wie können wir diese Gleichung total einfach machen? Die sieht viel zu kompliziert aus. Kann man viel einfacher machen. Immer der gleiche Klo. Ja. Gilt e geteilt durch e hoch -2t. Genau. Gezeilt durch e hoch -2t. Wenn man durch irgendwas teilt, ist immer gut, wenn es nicht 0 wird, aber e hoch -2t wird nicht 0. Ja, e Funktion wird nicht 0. Das heißt, wir können das rausstreichen. Okay. So, das heißt, wir müssen jetzt nur noch ein LGS lösen. Das LGS sieht folgendermaßen aus. Ich schreib ich schreib es noch mal ausführlich auf das LGS. Auf der linken Seite steht -2a = 2 a + b + 0 und hier steht -2b = 3a + 4b + ein. So, jetzt sortieren wir sortieren wir das alles schön um. Das ist also äivalentes LGS. Sieht folgendermaßen aus. 4a + b = 0 und dann alles auch nach rechts gebracht. 3a + 6b = -1 und d muss die -1 müsst dann rüber. So, das kriege ich sie selber hin. Das lasse ich sie mal gerade geschwind lösen. A und B ausrechnen. Also vielleicht lieber als Schema aufschreiben, dann muss man nicht zu viel dann muss man nicht zu viel schreiben. M. Ja, ich habe in den lieber zwei 2 Minuten Zeit. So, -4 21 St für B kriege ich raus und für A kriege ich + 21 St raus. Okay, dann haben wir die partikuläre Lösung. Also unsere partikuläre Lösung lautet X, P und T besteht aus 21 können wir vor den Vektor schreiben. Lauter 21. Die obere Koordinate ist a, da steht 1 und die untere ist b, da steht -4. Oh. Und natürlich multipliziert multipliziert mit was war's? Mit e hoch e hoch -2t. Also mache ich lieber das die 1 hier weg und schreib hier hin e hoch -2t. Okay. Ergebnis. Also dritter Schritt. Jetzt haben wir das Ergebnis. Der dritte Schritt, die allgemeine [Musik] Lösung, die allgemeine Lösung des DGL Systems lautet x von t = alle homogenen xh von t plus eine partikuläre lösung xp von t. So, und das kopiere ich mir jetzt zusammen. Das kopiere ich mir jetzt zusammen. Wo haben wir die homogene Lösung da oben? Also das hier, also das hier, das Komma muss jetzt hier weg und das Hier muss mit Plus addiert werden und dann haben wir alles. Okay, das ist unser Ergebnis. Homogene Lösung. Und jetzt noch hinschreiben C1 und C2 sind beliebige reelle Zahlen. Durchläuft alle reellen Zahlen die Konstanten. Ah, eine Frage. Ja, Gott sei Dank. Für schweratz gibt dann eingen für Systeme oder immer der gleich weg. Okay, ich wiederhole noch mal die Frage. Die Frage lautet für den Störansatz. Gibt's da dann auch spezielle Tabellen jetzt für Systeme? Ja, und meine Antwort lautet: Nein, es ist so, wie Sie vermutet haben. Im Prinzip was reingeht, kommt auch wieder raus und kompliziertere Fälle machen wir nicht. Okay, das habe ich hier auch noch mal zusammengefasst. Okay, also hier so partikuläre Lösung. Eine partikuläre Lösung XP eines linearen Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten lässt sich in der Regel durch einen entsprechenden Störansatz berechnen. Dabei ist unter Umständen Resonanz ein Resonanzansatz zu ber zu berücksichtigen. Ja, machen wir zwar nicht, aber da steht's drin. Es könnte passieren. Nach dem Superpositionsprinzip kann man partikuläre Lösungen für zusammengesetzte Störfunktionen getrennt ermittelt. Also alles gilt wie wie gehabt. Hätte ich jetzt eine Störfunktion gehabt mit e hoch -2t e hoch 7t, dann hätte ich einfach zwei getrennte gemacht. Superposition heißt, man darf für jeden Anteil was getrenntes rausrechnen und wir machen nur die Fälle, dass wir wirklich ähnliche Funktionen haben. Also, wir kennen sowieso nur die E-Funktion, wir kennen Sinus und Cosinus und die Polynome. Mehr haben wir gar nicht gemacht. Gut, dann wä Einschob beendet. Ja, das war quasi Ende des Nachtrags. Mach noch mal hier eine Linie, also Ende Nachtrag. Das hat noch zum letzten Kapitel dazu gehört. Also hier der Trennstrich Nachtrag beendet. So, jetzt habe ich noch ein letztes Thema auf meiner Agenda und da geht's um was sehr Interessantes. 145.5, da geht's um Stabilität. Ich mache das Thema Stabilität erstmal anschaulich. Also erstmal anschaulich. Anschaulich folgende Situation. Wir haben eine Schüssel, die ist bei mir jetzt da hat keinen flachen Boden, sondern so ein bisschen runden Boden. Diese Schüssel wie eine Parabel. Und in diese Schüssel lege ich eine Kugel rein. Und jetzt schubs ich die Kugel an oder ich schüttel an der Schüssel oder was auch immer. Ja, jemand schubst gegen die Schüssel. Was passiert? Meine Kugel, meine Kugel geht nach rechts. So, dann stelle ich die Schüssel wieder auf den Boden. Was wird passieren? Geht wieder zur Ausgang die Kugel geht wieder zur Ausgangsposition zurück und das bezeichnet man als eine stabile Lage. Also, das ist stabil. Ja. Stabil bedeutet diese Position hier unten, da kann ich dran rütteln an der Schüssel und es kehrt immer wieder in diese Ausgangslage zurück. Jetzt wollen sie sagen, na ja, das ist doch immer so. Ja, ist doch alles bei uns im Leben irgendwie nur schüttelt und dann kommt's wieder dahin, wo es war. Aber das ist nicht richtig. Ich zeige Ihnen mal das Gegenbeispiel. Ich nehme dieselbe Schüssel und ich nehme dieselbe Kugel. Ja, jetzt habe ich meine Schüssel umgedreht. Meine Kugel liegt genau oben drauf. Ja, jetzt äh stößt jemand an diese an diese Einstellung in diese Schüssel. Was passiert? Ja, meine meine Kugel läuft weg und meine Kugel, die wird nie wieder zurückkehren. Ja, meine Kugel, die wird von sich aus wird die nie wieder irgendwie zurücklaufen und wieder da oben ankommen. Und das nennt man dann instabil, also die wird nie wieder zurückkehren. Bei uns ist es sehr wichtig, dass wenn wir irgendwelche Produkte herstellen, dass wir dran denken, dass wir die möglichst stabil herstellen. Ja. Äh was äh was wäre z.B. ein ein instabiles, was wäre ein instabiles Produkt? Ein instabiles Produkt wäre z.B. ein Fahrzeug. Ein Fahrzeug und äh da fahren sie, was weiß ich mit ihrem äh mit ihrem Fahrzeug fahren sie hier mit 30 durch die 30er Zone in in Eslingen. Ja. Und jetzt jetzt waren sie so ein kleinen so ein kleinen Schubs. Ja. So ein kleinen Schubs aufs Gaspedal und zack, das Ding wird immer schneller und immer schneller und rast mit 200 davon. Okay, das heißt, wir machen eine kleine wir machen so eine kleine Störung. Ja, wir machen so ein kleinen Schubs aufs Gaspedal und alles Gerät außer Kontrolle. Ja, mit so einem Fahrzeug würden Sie jetzt sagen, ja, würde ich auch gerne mal fahren. Ja, aber so richtig Spaß machen mit dem hier in der 30er Zone wird's vermutlich nicht. Ja, bei den vielen Geschwindigkeitskontrollen und den vielen Fahrradfahren und Fußgängern wä es eine Katastrophe sowas instabiles. Sie haben eine Frage dazu. Ja, wie ist das für den Chaos? Diese von chaotisch. Ja, jetzt kommt ihre Frage. Ja, und wie hängt es denn mit dem Chaos zusammen? Das hat einen großen Zusammenhang mit dem Chaos. Das heißt, ich habe ihn von dem Loren System erzählt, es war vor zwei Wochen, glaube ich, wo wir das gemacht hatten, oder? Nee, letzte Woche war das erst, letzte Woche das Lorensystem über Klima. Ja, wie wie verändert sich unser Klima? Und tatsächlich, das ist das Kuriose, man kann beweisen, dass unser Klima ein instabiles System ist, das ein und ein chaotisches System. Das heißt, sehr, sehr kleine Schwankungen führen dazu, dass es nicht mehr zurückkehrt. Ja, also z.B. die die Klimaerwarmung. Ja, also so okay, okay, jetzt wird halt mal ein paar Grad wärmer hier, dann warten wir wieder ein paar Jahre, dann wird es schon wieder zurückgehen. So war es ja in der Vergangenheit auch immer, aber diese Annahme ist höchst zweifelhaft. Vermutlich wird es nimmer passieren. Ja, also es wird nicht so sein, dass es vielleicht 5 oder 10° warmer wird hier und wir dann quasi endlich hier in Eslinge wie in der Toscana leben können oder sowas. Nein, es wird äh es wird dann es wird dann vielleicht eben immer warm und immer warmer und und der Planet wird sehr sehr schwer zu bewohnen sein dann in 100 oder 200 Jahren. Und das kann man da gibt's Modelle dafür, die das mathematisch beweisen und so hängt es mit dem Chaos zusammen. Das heißt, kleine Änderung, ja, wir haben jetzt einfach mal ein bisschen viel CO2 produziert. ein bisschen über sozusagen ja so ein bisschen übers Limit geschlagen. Das wird schon wieder gut werden. Ja, das ist so unsere als Mensch hat wir immer diese Mentalität, das wird schon wieder gut werden, das wird sich schon wieder einrenken. Aber wenn man was instabiles hat, passiert es eben nicht. Das Gegenteil passiert. Es läuft aus der Kontrolle. Und das ist eine wichtige Geschichte. Es gibt stabile Systeme, es gibt instabiles Systemen. Hat es ihre Frage so einigermaßen beantwortet. Ich muss dazu sagen, alles was ich jetzt erzähle ist fast keine Wissenschaft, so wie ich es erzähle. Aber die Mathematiker beschäftigen sich seit Jahrzehnten dait. Ja, das Chaostheorie ist ein ganz wichtiger Forschungszweck in der Mathematik. Ja, also das ist nicht äh irgendwie Glaskugel, ja, sondern das ist richtig harte Mathematik. Die Dinge sind bewiesen, genauso wie die quadratische Gleichung auch. Ja, also das ist nicht eine Frage, glaube ich dran oder glaube ich nicht dran. Ist richtige Mathematik. So, was bedeutet es jetzt für uns? Wann ist ein Wann ist ein DGL System stabil? So, folgende Definition. Wir betrachten nur ein homogenes System, ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten mit konstanten Koeffizienten. Also x punkt = A* X. Man nennt dieses System asymptotisch stabil, wenn alle Lösungsfunktionen für t gegen unendlich abklingen. Abklingen heißt, wenn sie im Grenzwert gegen null gehen, dann ist es stabil asymptotisch stabil. Also was ist sozusagen der Fixpunkt bei dem DGL System? x = a* x ist x = 0 ein gleichgewichtspunkt. Ja, das ist diese spezielle Lösung x = 0. Warum ist das so? Weil X Punkt die Ableitung von der 0 ist die 0, der Nullvektor und irgendeine Matrix A multipliziert mit dem Nullvektor gibt wieder null. Also das stimmt ja. Das ist unser Gleichgewichtspunkt. Das ist quasi das ist quasi der Punkt in der Schüssel. Das ist der der Nullvektor. Ja, da will das System immer wieder hin. Und wenn das jetzt stabil ist, also asymptotisch stabil, dann machen wir mal von irgendeiner Lösung, ne, ein Schaubild. Also lange T-Achse und in der yrichtung geht's um Betrag von t Betrag von x von t. Ja, man misst also quasi die Länge von diesem Vektor und das kann jetzt irgendeinen Wert haben. Ja, also das fängt an, hat irgendeinen Wert, wird vielleicht kürzer, wird wieder länger, aber wichtig ist, dass es irgendwann quasi gegen null geht. Das heißt, im Grenzwert für sehr große T-Werte geht es gegen 0. Also hier geht gegen null. Und dann nennt man das asymptotisch stabil. Der zweite Fall, das ist so fast stabil, also asymptot stabil ist der beste Fall. Der zweitbeste Fall ist, wenn es immerhin noch stabil ist. stabil heißt, es ist zwar nicht, es kommt zwar nicht alles wieder zurück zum Anfang, aber es läuft nicht komplett aus dem Ruder. Was heißt es? Also stabil, wenn ich noch mal so eine Skizze aufstelle hier Betrag X von T. Also eine typische Situation ist sowas periodisches. Das heißt, es läuft irgendwie so ja, sowas periodisches und das bedeutet, es geht zwar nicht gegen null, aber es hat hier so eine so eine obere Grenze und diese obere Grenze, die wird nie überschritten. Ja, also hier so eine obere Grenze, das nennt man dann beschränkt. Ja, das ist die zweite stabil, wenn alle Lösungsfunktionen für t gegen unendlich beschränkt bleiben. Da war gleich kommt gleich eine Frage. Ja, bei Ah, okay. Sehr gute Frage. Ja, was ist Betrag von X von T? Also Frage, was ist Betrag von x von t? Und die Antwort ist X von T ist ein Vektor, also ist keine Matrix, aber ja, gut, ein Vektor ist eigentlich auch Matrix. Ja, X und T ist ein Vektor und Betrag x von t ist die Länge von diesem Vektor. vor. Also machen wir mal ein Beispiel. Also z.B. sowas könnte eine Lösung sein. X von T haben wir vorhin gesehen, so typische Efunktionen oder Sinus und Cosinus oder also das könnte z.B. sein e hoch -2t und dann 2 cosinus t und dann noch t². Ja, so könnte so ein Vektor aussehen, vielleicht mit drei Koordinaten. So eine Lösungsfunktion, spezielle Lösungsfunktion. Was wäre dann der Betrag von diesem Vektor? Das wäre Wurzel aus Ja. x² e hoch -2t zum² ist e hoch -4t, dann 2 cosinus zum Quadrat, das gibt 4 cosinus quadrat t und t² zum Quadrat gibt t hoch 4. Und jetzt müsste mal angucken, was ist der Grenzwert? Was ist limes t gegen unendlich Betrag von x von t? Das ist der Limis für t gegen unendlich. So, jetzt schreiben wir es noch mal hin. E hoch -4t cosinus quadrat t + t hoch 4. So, und jetzt untersuchen wir, was passiert denn da damit? Was passiert mit e hoch -4t, wenn t immer größer wird? Was ist der Grenzwert von e hoch -4t? Was passiert mit der Zahl? Ja, läuft gegen null. Das läuft gegen null. Jawohl. Perfekt. Das hier läuft gegen null. Ja. Was was ist mit dem mit dem Cosinus? Ja, der Cosinus bleibt zwischen -1 und 1. Wenn ich ihn quadriere, bleibt es zwischen 0 und 1. Also viermal. Das bleibt im Bereich zwischen 0 und 4. Ja, das Schlimme, das Schlimme ist jetzt das t hoch 4. Das t hoch 4 wird immer größer. Das geht gegen unendlich. Das geht gegen unendlich. Das heißt, hier haben wir den Fall C instabil. Ja, das wäre also jetzt instabil. Also das ganze ist jetzt instabil, weil hier sieht es dann so aus, wenn ich jetzt eine Skizze, weil ich hier auch noch eine Skizze, also zum Fall instabil eine Skizze instabil sieht dann so aus, wenn das t immer größer wird, dann wird der Betrag von x von t auch immer größer. Also hier so wie t hoch 4 wurzlaus t hoch 4 ist t qu, also wie so eine Art Parabel. Das heißt, das ist unbeschränkt. Oben hatten wir noch eine Schranke und jetzt ist unbeschränkt. Wenn wir gerade dabei stehen, jetzt haben wir ein Beispiel für instabil für unbeschränkt. Wer kann mir denn ein typisches Beispiel nennen? Hier ein typisches Beispiel für ein Vektor x von t vielleicht mal nur mit zwei Koordinaten, damit es einfacher wird zwei Koordinaten, wo es beschränkt wäre. hat eine Idee. So, wie würde das aussehen? Beispiel von ein Vektor, der beschränkt bleibt. Was darf da drin stehen? Was darf da nicht drin stehen? Welche Funktionen sind so die Welche Funktionen haben hier so schön? Ich habe hier so unsere Kategorien von Funktionen alle mit aufgenommen. Die E-Funktion mit minus, super, die geht gegen 0. Cosinus, ja, zwischen 0 und 4. T hoch 4, Katastrophe geht gegen unendlich. Also, wenn ich hier ein Beispiel möchte, was kann ich da eintragen? Werd ein Vorschlag. 1 dur t. Jawohl, da kommt einer online, den nehmen wir gleich. 1 dur t für x. Ja. Das geht für t gegen unendlich und e hoch -2t. Nee, das möchte ich nicht, weil bei wenn ich jetzt 1 dur t und e hoch -2t nehme, dann gehen beide gegen 0. Aber ich möchte, dass es nicht gegen 0 geht. Das ist nämlich, was Sie gesagt haben. Das wäre ein super Beispiel für hier für Asymptotisch stabil. Also für asymptotisch stabil wäre das ein superbeispiel. 1 dur t und e hoch -2t. Das geht gegen 0. Aber wenn ich will, dass es beschränkt bleibt, was baue ich dann noch ein? Was macht's beschränkt? Ja, Sinus von t ein Sinus von t z.B. W ein Sinus von tmer hin und her schwingen, so wie in dem Bild. Ja, es wäre ein stabile Lösung wäre 1 dur t d sin t eine asymptotisch stabile Lösung 1 dur de e hoch -2t und eine Lösung unbeschränkt. Also sowas wie hier. Hat es ihre Frage beantwortet mit dem Betrag? Okay, prima, dass Sie dann noch mal gefragt haben. So, das war zu den Begriffen asymptotisch, stabil, stabil und instabil. Aber jetzt, wie erkenne ich das? Ja, die Mathematiker wollen immer Kriterien. Stabilitätskriterium. Stabilitätskriterium. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten x = a* x bei dem die Realteile negativ sind, Realteile negativ ist asymptotisch stabil, Wenn mindestens ein Eigenwert einen positiven Realteil hat, dann ist es instabil. Also machen wir mal ein Beispiel. Beispiel A lambda 12. Was hatten wir denn vorher für Eigenwerte? Vorhin hatten wir glaube ich die Eigenwerte 1 und 5. Ja, also ich schreib gerade noch mal das System auf und vorhin ich kopiere das mal runter. Wo war das? Das war diese Matrix hier. Unser Beispiel war das hier. Jawohl. Eigenwerte 1 und 5. Das war unser Beispiel. Oh, da habe ich noch zu viel kopiert. Das muss weg. Dann haben wir ausgerechnet, die Eigenwerte sind 1 und 5. Realteile, ein Realteil ist positiv und damit instabil. Das ist instabil. Die Lösungsfunktionen sind e hoch t und e hoch 5t. Ja, lie t gegen unendlich von e hoch t und li es t gegen unendlich von e hoch 5t ist immer unendlich. So, wenn ich ein System habe, ich schreibe jetzt das System nicht auf, sondern ich schreibe nur die Eigenwerte auf. Wenn die Eigenwerte wären lambda 1 2 = -1 und -5, dann sind alle Eigenwerte kleiner 0 und damit ist es stabil. Nächster Fall. C. Wenn ich ein DGL System hätte mit Lambda 1 2 Komplex ein komplexes System. Das stabilist. Wie sieht den komplexes System aus? Das stabil kann mir jemand ein Beispiel nennen? Ja, die Eigenwerte sollen jetzt komplex sein, aber das System soll asymptotisch asymptotisch stabil. Muss ich richtig hinschreiben. Asymptotisch stabil. Wie wie könnten die Eigenwerte aussehen? Wer hat eine Idee? Wie sieht's online aus? Wer hat eine Idee? Asymptot stabil. Für welche für welches konjugiert komplexe Paar von Eigenwerten funktioniert? Was steht da oben? Realteile negativ. Das heißt, die Imaginärteile sind völlig belanglos. Ich kann als Imaginärteil hinschreiben, was ich will. Z.B. 17 spielt überhaupt keine Rolle, aber es kommt auf den Realteil an. Also was wäre ein typisches Beispiel, damit es trotzdem stabil ist? Die Realteile aller Eigenwerte der Matrix A negativ. A -3. Jawohl. Vielen Dank. Und online kommt -3. Jawohl. -3 ist negativ ist kleiner 0 und damit funktioniert's. Der imaginärteil ist also völlig belanglos. Da können wir hinschreiben, was wir wollen. Jetzt machen wir mal noch den letzten Fall, also d irgendeine Matrix. Ich habe ausgerechnet, die Eigenwerte sind lambda 1 2. So. Und jetzt + 3 plus oder - J17 und dann ist es instabil wegen der + 3 größer 0 und dann ist instabil. Okay. So, an der Stelle machen wir erstmal einen Stopp. Gleich geht's weiter. Das meiste haben wir für heute erledigt. Ich pausiere mal die Aufzeichnung und dann geht's gleich wieder weiter. Also, kurze Pause wieder aufnehmen. Aufzeichnung läuft wieder. Kurzer Test. online. Hören Sie mich wieder? Ist alles soweit klar? Sehen Sie mich? Hören Sie mich? Kurzes Feedback. Jawohl. Vielen Dank. Vielen Dank für die Rückmeldung. Okay, dann ein paar wichtige Dinge, ja, dass ich es nicht vergess. Ähm, es gibt Restbücher jetzt, ja, ich habe Ihenen, glaube ich, schon erzählt äh bezüglich der Literatur. Ich habe ja mit Kollegen zusammen ein Buch geschrieben ihr Mathematik für das Ingenieurstudium und wir haben jetzt erst vor ein paar Wochen die fünfte Auflage neu veröffentlicht. Die vierte Auflage ist ausverkauft, aber es gibt noch ein paar Rechtexemplare jetzt drüber beim äh beim Lehrmittelreferat, also quasi bei dem Ausgang hier, wo da die Treppe runtergeht. Und jetzt, wenn wenn mal so eine ähm wenn es dann soweit ist, dass die Auflage abverkauft ist, dann darf man die Bücher auch verramschen. Also, die dürfen jetzt die Bücher günstiger abgeben und die würden jetzt die Bücher auf der vierten von der vierten Auflage für 25 € das ist den ihr Einkaufspreis äh an Sie weitergeben. Oh, ich ich habe ich weiß gar nicht genau, was was der fünfte Band jetzt neu kostet. noch gar nicht geguckt. Ich glaube, äh müsste ich vielleicht mal gucken, was der jetzt kostet. Ähm, also auf jeden Fall inhaltlich absolut gleich. Nur ein paar Aufgaben haben wir abgeändert, aber ansonsten fünfte, vierte Auflage Inhalt absolut gleich. Also es ist wirklich ein Schnäppchen, wenn sie bei den Studierenden im Lehrmittelreferat das Buch günstig kaufen können. Äh, wo finde ich denn, wo finde ich denn jetzt äh Mathematik? Mathematik für das Ingenieurstudium? Fünfte Auflage. Oh, tatsächlich. Das kostet jetzt 44,99. Also, sie können 20 € sparen. Also, es lohnt sich lohnt sich tatsächlich. Ähm, okay. Gut. Gibt's da dazu noch Fragen zu den Büchern? Also, die werden einfach sind nur noch ein paar da. Wer zuerst kommt, äh der der kriegt sie zu der kriegt sie zu dem äh günstigen Preis. Wenn sie ausverkauft sind, gibt's keine mehr. So, jetzt kam eine Frage in der Pause. Ja, aber was ist denn los? Was ist denn los bei Lambda 1 2 3? Ich mache mal drei Eigenwerte. Was ist denn los bei -2 8 und -15? Welche Konstellation haben wir jetzt? Jetzt haben wir ja, jetzt haben wir ja drei unterschiedliche äh Eigenwerte. einmal Realteil negativ, einmal positiv. Welche Konstellation ist es? Ist das jetzt eine stabile Konstellation? Ist es stabil, weil wir jetzt zweimal negativ haben oder ist es instabil, weil wir einmal positiv haben? Was was ist jetzt welches Kriterium schlägt jetzt durch? Wer überblickt die Situation? Was kommt, was kommt was kommt von online? Gibt's da Stellungnamen? Was ist der Clue? Ist der Clue jetzt, dass wir einmal + 8 haben oder ist der Clue, dass wir zweimal negativ haben, mehr dass wir mehr negative positive haben? Was würdet Sie sagen? sagungs positive nicht, weil das negative ja die null und eine Bau ganz genau richtig. Also das positive, das schlägt durch sozusagen die -2, die -15, das geht halt gegen 0, aber e hoch 8dt, e hoch 8dt, das geht gegen unendlich und wenn ich dann null addiere, dann geht es immer noch gegen unendlich und damit haben wir instabil, also eine instabile Konstellation. Das ist also instabil. Okay, gut. Im Buch gibt's noch ein bisschen mehr über das Grenzstabil, ja, grenzstabile Systeme und Grenzstabilität und Stabilität. Muss noch mal dazu sagen, so grenzstabile Systeme in der Praxis treten die quasi gar nicht auf. Was sind grenzstabile Systeme? Z.B. in der Elektrotechnik ein grenzstabiles System ist, wenn man was zusammenlötet und es es hat keinen obchen Widerstand, aber in der Praxis gibt's das nicht. Ja, egal, was sie zusammenlöten, auch wenn es irgendwo ein Kabel hat, ein bisschen Widerstand ist immer da. Das ist also nur theoretisch so ein grenzstabiles System und vor allen Dingen, was auch sehr wichtig ist, auch wenn das Grenz stabil ist, kann man nicht automatisch sagen, ob stabil ist oder dann instabil ist das System. Ja, da muss man genauer hinschauen. Das sind aber Dinge. Vielleicht mache ich die beiden Blöcke wieder kleiner. Ja, so als Hinweis, das müssen wir nicht so genau wissen. Im Buch steht es drin, aber genauer möchte man das brauchen wir das eigentlich nicht wissen. Also auch kein Thema für die Prüfung dann. Ja, kein Thema. So. Was ich jetzt gerne mit Ihnen so als kleiner Rückblick und Überblick, ähm würde ich jetzt gern mit Ihnen noch so eine Klassifizierung machen. Ja, also jetzt so eine kurze Zusammenfassung. Zusammenfassung zum Thema DGL. Thema DGs. Was ich da habe, das sind sehr schöne Diagramme von dem Kollegen, der hat es angefertigt. Die habe ich hier unter Literatur abgespeichert. Äh, wo bin ich denn hier? Nein, nicht unter Literatur. Zum Thema DGs habe ich die abgespeichert. DGs. Äh, ein Kollege, der war früher hier in Eslingen, der ist jetzt in Karsruhe. Nicht, weil es ihm in Eslinge nicht gefallen hat, sondern weil er eben in Karsruhe familiäre Bindungen hat und sich deshalb entschieden hat, dorthinzugehen. Also der Herr Helfrich Chapanenko nennt es Messmap. Ja, Messmap, das sind äh visuelle Erklärungseinheiten, sind PDF Dokumente und ich nehme mal die erste Mathmap hier, öffne die. Genau. Vielleicht kann ich die auch hier in mein äh runter kopieren, obwohl das brauchen wir gar nicht. Okay. Und die erste Mathmap, die ich hier geöffnet habe, die ist zum Thema inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. So, und wie funktioniert es? Ist wie so ein Art Algorithmus aufgebaut. Wie löse ich so ein Problem? Also erstmal, es muss in dieser Form darstellbar sein. Ja, das kennen wir schon. Anny Ableitung und so weiter. A1y A0Y = rechte Seite. Und was passiert dann? Wir bestimmen die homogene Lösung. Ja, da steht noch mal Exponentialansatz Gleichung durch e hoch lambda x teilen, dann die Fundamentallösungen, einfacher, reeller Eigenwert, doppelter, dreifacher und so weiter. Okay, dann haben wir die homogene Lösung. C1, erste Fundamentallösung, C2, zweite Fundamentallösung. Ja, hier unten, also die homogene Lösung, dann wie läuft es hier mit der Resonanz und mit der partikulären Lösung? Wir müssen also erst herausfinden, was ist meine Störfunktion? Hier haben wir diesen Anteil, ja? Störfunktion Polynom vom Grad Nsatz Polynom vom Grad M Exponentialfunktion Ansatz Exponentialfunktion harmonische Schwingung harmonische Schwingung und so weiter, aber dann vorher noch den Resonanztest machen für jeden Eigenwert. Ja, hier Resonanztest und dann die Methode, man setzt die Ansatzfunktion in die inhomogene DGL ein und bestimmt daraus die Koeffizienten und dann hat man eine partikuläre Lösung yp. Die gesamte Lösung yh + yp ist dann das komplette Ergebnis. Wenn man noch ein Anfangswert hat, ja, dann hat man Anfangswertproblem. Und wie geht es dann weiter? Ja, da steht, glaube ich, übers Anfangswertproblem, da steht jetzt nichts mehr drin. Ich finde diese Massmaps ganz schön. Ja, das kann man sich ausdrucken. Ist ein sehr gutes Hilfsmittel. Sich das auszudrucken hat alles auf einer Seite. Also, das ist das Thema lineare DGS mit Konstantenkoeffizienten. Haben Sie da dazu noch eine Frage? Alles was man braucht auf einen Blick. Okay, gehen wir zur nächsten. Ähm, wo bin ich gerade? Wie komme ich zurück? Hier komme ich zurück. Okay, also DGL ist mit konstanten Koeffizienten, was wir ganz am Anfang besprochen haben. DGS erster Ordnung. Was haben wir denn bei den DGLs erster Ordnung gemacht? Schauen wir uns das mal an. Aus irgendeinem Grund muss ich da glaube ich immer irgendwie zweimal klicken. Ah, nee, nicht auf das auf den Namen muss ich klicken. Jetzt habe ich verstanden. Okay. Was haben wir was haben wir da gemacht? Okay, was wir gemacht haben, sind die separierbare DGS. Ja, das steht also ganz im im Mittelpunkt. Das letztendlich ist letztendlich die einzige Rechentechnik, die wir miteinander besprochen haben, Separation der Variablen bei einer separierbaren DGL. Wir haben ganz kurz drüber gesprochen, wo ist der Recht? recht ist auch da, dass man eventuell vorher substituiert, bevor man separiert. Aber das sind auch sehr, sehr spezielle Dinge, das haben wir gar nicht so ausführlich besprochen. Steht hier aber sehr schön drauf noch mal auf dieser Übersicht. Dann was haben wir gemacht? Lineare DGS. Ja, erst die homogene dann immer und dann die inhomogene. Also, wenn es lineare DGLs sind, dann haben wir auch ähm dann haben wir auch die Formel noch hergeleitet und wir haben auch den Störansatz oder Variation der Konstanten haben wir auch besprochen für die partikuläre Lösung. Das ist hier auch noch mal alles aufgeführt. So, das ist die Übersicht. zur Differentialgleichung in erster Ordnung und die letzte die letzte Mhmmap zu DGL Systemen hier. Wie fängt alles an? Alles fängt mit der Matrixform an. DGL System schreibe ich in Matrixform. Dann hier wieder linke Seite, die klassische Rechentechnik, also bestimme Exponentialansatz, bestimme über die Determinante, die Eigenwerte, charakteristisches Polynom bestimmen die eigenen Vektoren. Wenn die Eigenwerte komplex sind, dann nimm den Realteil und den Imaginärteil und hast dann zwei reelle Lösungen. Sonst, wenn sie, wenn es einfache reelle Nullstellen sind, dann ist sowieso ganz einfach. Dann machen wir e hoch lambda t mal Vektor, Eigenvektor. Was haben wir sonst noch besprochen? Ja, hier auch bei Systemen ist es im Prinzip genau gleich, also mit der Störfunktion wieder genau gleich. Polynom wird zum Polynom, Exponential zu Exponentialfunktion, Schwingung zu Schwingung, egal ob harmonisch oder gedämpft. Resonanzüberprüfung haben wir vorhin besprochen und eine partikuläre Lösung. Welche Methode? Da muss jetzt wieder die Methode stehen. Das hatte hier gar nicht aufgeführt, die Methode. Die partikuläre Lösung wird dann einfach eingesetzt und äh ausgerechnet. So, was haben wir denn hier noch? Oh, hier ist noch Nee, das war's schon. Okay. Oder habe ich was jetzt doch übersehen? Nee, das ist die das ist die komplette Seite. Also drei Massmaps zu den drei wichtigen Themen. DGL erster Ordnung, lineare DGL mit konstanten Koeffizienten Systeme, ja, drei Übersichtsblätter, da ist alles drauf. Haben Sie noch Fragen zu diesen Übersichtsblättern? Soweit okay, also sehr schönes Hilfsmittel für die Prüfung. Viele Studierende nehmen das gern mit, ja, um alles in auf einen Blick zu haben. So, was ist also für uns jetzt wichtig? Die wichtigste Erkenntnis, also wichtigste Erkenntnis über DGS. Wichtigste Erkenntnis, man muss den Typ richtig bestimmen. Dann muss den Typ der DGL richtig bestimmen, um das passende Lösung zufahren. passende Lösungsverfahren an anwenden zu können. Ja, das ist die wichtigste Erkenntnis. Erstmal ganz wichtig, wenn ich den Typ nicht richtig bestimmt habe, dann geht alles schief. Und da würde ich jetzt gerade noch mal so ein paar Beispiele mit Ihnen so durchgehen. Also, erstes Beispiel 7y = 2y + cosinus X. Was haben wir für ein Typ? Was haben wir für ein Typ? Alle sind gefragt online gefragt. Hier ist gefragt, was ist der Typ von dieser DGL? Um welches, um was für eine Kategorie von Problem handelt es sich? Linia. Jawohl, Linia ist schon mal richtig. Lineal ist gut. Weiter. Bei Linear unterscheidet man noch zwei Typen. Ja. Konstante Koeffizienten. Jetzt unterscheiden wir immer noch weiter Linear Konstante Koeffizienten. Jetzt kann es gibt's noch zwei unterschiedliche, die alle linear mit Konstantenkoeffizient sind. homogen. Es ist inhomogen. Genau. Inhomen. H inhomogen. Das heißt, wenn wir es jetzt richtig aufschreiben, so. Also die richtige Schreibweise wäre 7y - 2y = cosinus x. So, und die Lösungsmethode wäre Seite einfügen. Die Lösungsmethode wäre, also erstens die homogene Lösung. Zweitens eine partikuläre Lösung und drittens, die Lösung setzt sich zusammen aus homogener plus partikuläre Lösung. Ja, das wäre die Lösungsmethode. So, wie würde ich wie würde ich die homogene Lösung bestimmen? Ah, genau. Erste Ordnung haben wir noch ganz vergessen. Linear konstante Koeffizient inhomogen. Vielen Dank. Also, erste Ordnung gehört auch noch zur Typisung dazu. Ist auch wichtig. Genau. Jetzt wie würde ich die homogene Lösung bestimmen? Wie würden wir das machen? Lineare Konstante Koeffizienten ist immer das gleiche. Vielleicht äh Störfunktion gleich 0. Genau. Und wie findet man dann die homogene Lösung? vermutlich war. Ja, könnte man direkt integrieren. Äh, nain, man kann nicht direkt integrieren, weil man hat y strich und Y. Beides hat, könnte man nicht, also man kann nicht direkt integrieren, weil man hat zwei Dinge, die man nicht kennt, dann kann man nichts eine davon jetzt schon integrieren. Aber wie lösen wir generell? Also ganz arg ganz arg wichtig sind sie sehr sehr vorsichtig mit kreativen Lösungen bei DGLS haben wir eigentlich so gut wie nie gehabt. Man kann es eigentlich gleich integrieren. Das ist der spezielle Spezialfall vom Spezialfall. Das tritt so gut wie nie auf. Ja, aber wie löse ich wie löse ich lineare lineare Differential? Was wäre jetzt der nächste Schritt? Also, wie löse ich jetzt, wie löse ich 7y - 2y = 0 und das geht's. Was mache ich da? ist vermutlich viel zu einfach damit ist. Ja, charakter Gott sei Dank charakteristische Gleichung. Also 7 Lambda - 2 = 0 charakteristische Gleichung. Ja. Und dann haben wir Lambda lambda = 27. Und dann haben wir die Fundamentallösung y1 von x = e hoch 27 x. Und dann haben wir die homogene Lösung yh von x = Konstante mal e hoch 27x. Die konstante ist beliebige reelle Zahl. Okay, jetzt haben wir eins gelöst. Wie geht's mit zwei? Also jetzt müssen wir lösen 7 7y - 2y = cosinus x und wir suchen eine partikuläre Lösung. Ja, jetzt haben wir was passiert jetzt? Was ist jetzt die Methode? Ja. Äh, jetzt hab ich kann sie von der Lautstärke hier vorne nicht hören. Wir müssen irgendeine Lösung finden. Das ist richtig. Und was würden Sie was machen wir für ein Ansatz? A cosinus von X? Ist das richtig? Cosinus x ist die Störfunktion. Und wie sieht dann der Ansatz richtig aus? Heißt unsere Regel Cosinus geht rein, Cosinus kommt raus oder wie heißt unsere Regel? Ah, ich gehe gleich noch mal auf das, was da online kam. Wie heißt die Regel? A fällt noch + B Sinus. Jawohl. Unsere Regel heißt Schwingung geht rein und Schwingung bedeutet Sinus und Cosinus und Schwingung kommt raus, bedeutet Sinus und Cosinus. Ähm, wäre Separation auch richtig? Also, die Frage äh bei der homogenen Lösung zu eins, ich schreibe dazu Alternative Separation funktioniert auch jede lineare Differentialgleichung. Erste Ordnung. Ja. Separation da. DGL erster Ordnung. Das war die Frage im Chat. Habe ich die Frage beantwortet? Ist es okay? Sie können auch durch Separation lösen. Okay, prima. So, und wie geht es dann? Dann machen mal YP strich. Ich mache jetzt mal Punkt Punkt Punkt. Ja, das Wichtigste ist jetzt geklärt. Je ab hier ist meine Erfahrung, ab hier geht's immer gut. Problematisch ist bei vielen, dass sie nicht den richtigen Einstieg finden. Ja, also den Rest besprechen wir gar nicht mal. Es geht hier immer um den richtigen Einstieg. Ich mache mal den zweiten Einstieg. Die zweite Beispiel. y strich. Was hatten wir hier? Hier hatten wir 7y gleich 2x y + cosinus x. Also, ich habe jetzt nur eine Kleinigkeit geändert. Ich habe jetzt wirklich nur das hier geändert. So, was haben wir jetzt für einen Typ? Wer kann mir den Typ angeben? Online, wie sieht's aus? Was haben wir alles? Was haben wir alles bei der Typfischlegung? Typ. Was muss alles in die Typliste und was nicht? Irgendwas hat sich verändert. Also ich Ja, was hat sich durch das X tatsächlich verändert? Ja, das ist immer noch erste. Ja, ist Ordnung. Prima. Das bleibt mit den inhomogen. Ganz wichtig, immer noch linear. Das ist eigentlich die wichtigste Eigenschaft. linear, aber nicht konstante Koeffizienten. Das heißt also 1 2 3 Methode 1 2 3 bleibt weiterhin richtig. Bei Methode 1 2 3 gilt bei allen Linearen. Das ist weiterhin okay. Es funktioniert also immer noch. Was ändert sich jetzt bei ein? Also bei 1 sieht es jetzt so aus. 7y - 2xy = 0. Kann ich jetzt die charakteristische Gleichung verwenden? Nein, das geht jetzt nicht mehr. Also das charakteristische Gleichung geht nmer. Man kann jetzt kein Lambda ausrechnen. Ja, was ist jetzt das einzige, was dann funktioniert? Ja, dann müssen wir Separation machen. Jawohl. Jetzt bleibt nichts anderes übrig. Separation. Ja, also 7 dy nach dx = 2 xy. Jetzt bringe ich das lieber wieder darüber. Okay. Und dann müssen die ys nach links und die x nach rechts. Also 7 1 dur y dy = 2x dx und dann ein Integral drüber schreiben. Die 7 kann vors Integral, die 2 kann es vorsgral und so weiter. und so weiter. So, welche wie finde ich eine partikuläre Lösung? Ja, hier haben wir, was war die Methode? Habe ich habe es gar nicht aufgeschrieben, oder? Hier die Methode, das war die Methode Störansatztabelle. Störansatztabelle war die Methode, die dann zum zum Erfolg führen wird. Was ist jetzt die richtige Methode? Ja, jetzt haben wir keine Konstanten Koeffizienten, also gilt die Störansatztabelle nicht. Das ist vielleicht mal das Wichtigste. Störansatztabelle. Oh, ich hätte muss das weiter runterschieben. Störansatztabelle kann man nicht verwenden. Aber was ist die richtige Methode? Gibt noch eine Methode, mit der man eine partikuläre Lösung berechnen kann. Gerade hatte man sie auf der Übersichtsfolie vom Heifrich, weil welche Methode steckt jetzt da noch drin? Was kann man noch machen? Online ein Tipp, was fehlt noch in unserer in unserer Lösungsübersicht. Wer hat es wer hat das PDF noch im Kopf? Oder hier gibt's eine Idee. Was ist die Methode, die wir noch haben? Variation. Jawohl, das ist die richtige Methode. Also Variation der Konstanten. Okay. So, nächstes Beispiel. Ich mache mal wieder eine kleine Abwandlung. Eine kleine Abwandlung. 7 y2 mal 7y2 strich = 2y + cosinus x. Was hat sich denn jetzt im Typ geändert? Was hat sich geändert? Was ist gleich geblieben? Was ist das so ein Typ von Differentialgleichungen? Ja. Oh. Äh, jetzt habe ich ein Fehler gemacht. Sie haben völlig richtig. Jetzt war tatsächlich, jetzt könnt man tatsächlich integrieren. Ja, das wäre so ein Fall, aber ich wollte ja 7y= 2y. Jawohl. Sorry, jetzt habe ich noch verkehrte 2y. Ja, das andere, wenn man nur Y2 Strich gesucht hat, dann kann man zweimal integrieren und hätte es ja, also vielleicht vielleicht können wir das ich mach's gerade noch mal rückgängig, ja, dass wir das den Typ auch noch mal haben. Also das ist der Typ, also durch alles durch alles durch Integration lösen tatsächlich. Ja, weil da können wir hinschreiben, wir können nach y2 Strich auflösen. Das ist 27x + 17 cosinus x und dann können wir integrieren. y strich ist dann also einmal integriert 27x + 17 cosinus x dx ja einmal integrieren 27x integriert gibt dann ähm gibt dann x²7 gibt dann 17x² cosinus integriert gibt Sinus und dann haben wir eine Konstante C1, das ist unser y Strich. Und jetzt integrieren wir noch mal noch mal integrieren, dann ist y letztendlich das Integral von 17x² + 17 Sin1 dx. Und jetzt eben noch mal integriert x hoch 3 X hoch 3 21 sous integriert gibt -17 cosinus + c1x x + c2 und c1 und c2 sind beliebige konstanten. Okay, also hier haben wir tatsächlich haben sofort erkannt h haben wir nicht wirklich das ist ein Fall, wo man nicht wirklich eine DGL lösen müssen. Das war das ja jetzt können wir richtig integrieren. Jetzt können wir integrieren, weil nur y2 Strich war gesucht. Es gibt kein y str kein y, also zack integrieren. Was ich aber eigentlich machen wollte, das war folgendes Beispiel. Also was ich eigentlich machen wollte, war d 7y2 = 2y + cosinus x. So typ jetzt online war schon zweite Ordnung. Es hat sich verändert. Jetzt haben wir eine zweite Ordnung DGL. Was ist was ist noch vorhanden? Was ist nicht vorhanden? Ist noch linear? Ist nicht linear, ist homogen, ist nicht homogen. Was was haben wir noch? Wer kann weiterhelfen? Ja. äh nicht linear, dann schreibe ich mal folgendes hin. Sie sagen nicht linear und ich schreib folgendes hin. Kann ich sie dann vom Gegenteil überzeugen? Okay, also linear und wenn ich schon so hingeschrieben habe, wie sieht's aus mit homogen, in homogen? Ja, inhom inhomogen und konstante Koeffizienten, weil es zweiter Ordnung ist. Ja, also die Methode erst wieder, weil es linear ist, äh ist die Methode wieder die richtige. Also dieses Mal wieder meine Methode kopieren, die passt wieder. Bei diesem Typ passt diese Methode immer. Ja, immer wenn es linear inhomogen ist, verwenden wir diese Methode. Viicht kann ich das auch mal so markieren. Also immer wegen linear und inhomogen können wir immer diese Methode verwenden. Wie finde ich die homogene Lösung? Ich mache mal was. Ich schreib mal hin Separation und streich das aber gleich wieder durch. Warum kann ich die DGL nicht jetzt mit Separation lösen? Bisher hat es da so immer wunderbar geklappt. Warum kann ich diese DGL nicht mit Separation lösen? Welche anders schon gefragt, welche DGS kann man nur durch Separation lösen? Wer hat eine Idee? Ja, erste Ordnung. Also Separation nicht möglich, da Ordnung größer 1. Ja, Separation funktioniert nur für Ordnung 1. Hier haben wir Ordnung größer 1, keine Separation. Also was ist die richtige? Wie lösen wir das? 7y2 - 2y = 0. Ja, die homogene, was machen wir? Ja, ganz genau. Charakteristische Gleichung, also 7 Lambda² - 2 = 0 lambda 12 = plus oder minus Wurzel aus 27. Ja, die zwei rüber durch sieben geteilt. Okay. Und so weiter und so fort. Und zu zwei, die partikuläre Lösung ist einfach. Das machen wir wie oben. Also y von X ist a mal cosinus X + B mal Sinus X und keine Resonanz. Ja, weil die Eigenwerte sind plus oder -2. Wann hätten wir noch mal bei welchem Eigenwert hätten wir Resonanz? Bei Cosinus x, man. Zu welchem Eigenwert steht Cosinus x oder Sinus X in Resonanz? Nächste Frage. Ja. Wenn partikuläre Lösung in der homogenen Lösung sp genau wenn die partikuläre Lösung in der homogenenlösung enthalten ist und welcher Eigenwert gehört sozusagen zu Cosinus x und Sinus x? Ja. 1 und 0. Nein, 1 und 0 nicht. Also jetzt machen wir nächstes Beispiel. Also nächstes Beispiel. halt. Das wäre dann Beispiel CDE gesucht. Also gesucht ist eine Störfunktion. Nee, gesucht ist eine DGL. mit Resonanz für die Störfunktion R von x = cosinus Also ich möchte eine DGL zweiter Ordnung bei der Cosinus X resonanz I. Jawohl, jetzt habe ich es gar nicht gesehen. Das I im Chat war so klein, dass ich es nicht gesehen habe. Vielen Dank. Ja, wir brauchen den ersten Eigenwert I. Ja, warum? Weil dann haben wir eine Lösung. Die Lösung sieht dann so aus, dass wir haben e hoch 0 t mal äh e hoch 0x. x ist die Variable mal cosinus von 1* x. Ja. Einmal i 1* I gibt die Lösung hier 1* x und e hoch 0x e hoch 0x gibt 1. Und was ist dann der zweite Eigenwert, wenn der erste Eigenwert wieder so schlecht geschrieben muss bisschen langsamer machen. Was ist der zweite Eigenwert, wenn der erste Eigenwert Ist? Dann ist der zweite ja - Genau, die sind immer konjugiert komplex, also minus ich. So, aber jetzt wie finde ich die DGL? Jetzt habe ich die Eigenwerte und jetzt muss ich aus den Eigenwerten die DGL entwickeln. Wie machen wir denn das? Jetzt haben wir auch schon gemacht. Die charakteristische Gleichung. Die charakteristische Gleichung muss jetzt so aussehen. Lambda - er eigenwert mal lambda - zweiter Eigenwert. Das muss die charakteristische Gleichung sein. Ja, diese zwei Lösungen hat die charakteristische Gleichung. einmal den Eigenwert + i und einmal den Eigenwert - i. Dann kann man das ausmultiplizieren. Das ist ja lambda - e mal lambda + i. Dritte binomische Formel lambda quadrat - i². Was ist i²? Ja. Äh ja. Okay. Also ist das Lambda quadrat insgesamt + 1. Das heißt, die charakteristische Gleichung ist lambda² + 1 = 0. Und jetzt wissen wir die DGL sieht also so aus. y² + 0 ach nicht y² y2 + 0 x y ja da gibt's kein lambda + 1 x y und das ist gleich cosinus x und da haben wir Resonanz. Also da haben wir jetzt Resonanz. Und wie lauter der Resonanzansatz? Also die partikuläre Lösung würden wir finden durch vorhin hatten wir schon mal a* cosinus x + b* sinus x. Das wäre ohne Resonanz. Und was müssen wir machen, wenn Resonanz da ist? Wie finden wir dann den richtigen Ansatz? Online jemand noch dabei? Sie wissen bitte. Genau. Wir müssen jetzt alles einfach mit einem Xplizieren. Also ich mache ein bisschen eine Klammertraum und machen ein X davor. Genau. ax cosinus x + bx sin x. Jawohl. Sag mal aber ganz schön die Typen da durcheinander gejagt. Ein habe ich noch. CD. Was haben wir denn jetzt? EF. Ich verändere, ich verwende veränder die ursprüngliche DGL wieder ein bisschen. Ich kopiere mal, was war meine ursprüngliche DGL? Äh nee, wo hatte ich die zweite Ordnung? Ja, ich verändere die mal ein bisschen. Das war meine ursprüngliche und jetzt verändere ich die noch ein kleines bisschen und mache hier i und mache hier und mache ich hier ein y quadrat dazu. So, sieht fast gleich aus, aber was kann ich mit so einer DGL machen? Wie kann ich so eine DGL lösen? Was ist jetzt passiert? Was habe ich verändert vom Typ her? Ja, die ist nicht linear. Genau, das ist ganz wichtig. Die ist nicht linear. Und wenn die DGL nicht linear ist, dann gibt's kein Homogen, kein inhomogen. Und unsere berühmte Lösungsmethode, die ich so oft kopiert habe, wo ist sie hier? Die funktioniert nmer. Also das alles funktioniert nichtmer. Oh, da habe ich noch zwei FS mit kopiert. Das heißt, diese Lösungsmethode, das ist jetzt ganz wichtig. Bei nichtlinearen DGS funktioniert diese Lösungsmethode nimmer. Okay, was können wir dann machen? Wie wie können wir wie können wir eine Lösung für so eine DGL berechnen? Ja, was ist jetzt welche Methode funktioniert? Auch vielen Dank. Auch online nicht linear gekommen. Jawohl. Was können wir jetzt noch machen? Was bleibt übrig? Was haben wir denn noch Verlösungsmethoden? Wer möchten Versuch starten? Fällt dir nichts ein, was man machen könntet? Neh mal an, sie hätten jetzt in ihrer in ihrem praktischen Problem nachher werden wir gerade noch so paar so ein Beispiel aus der Elektrotechnik noch besprechen. Neh mal an, sie hätten wir hätten so ein Problem. Was würde wir machen? Ja, Chat GPT Fragen. Okay, also gut, das machen wir mal. Also Chat GPT 7Y2 Okay. JPD stelle irgendeine Frage. Bitte immer freundlich sein. Löse folgende DG. So, EGL Doppelpunkt. Was hatten wir? 7Y 2 Strich und dann ich glaube gleich oder? Und was war es dann? 2x 2 xy quadrat + cosinus x. Okay. Oh, zunächst schreiben wir die in eine das in eine normale Form. In eine normaleren Form. Okay. 27xy² + 1 cosinus x, das ist noch richtig. Das ist eine nichtlineare inhomogene gewöhnliche Differentialgle zweiter Ordnung wegen des Terms y². Okay, er hat sofort erkannt. Leider lässt sich diese Gleichung nicht allgemein in geschlossener Form analytisch lösen, aber ich kann dir je nach Wunsch verschiedene Wege zeigen. Erster numerische Lösung. Ja, numerische Lösung. z.B. hier steht Runge Kutta Verfahren. Welches Verfahren haben wir besprochen? Nicht Runge Kutta. Was ist unser Verfahren für numerische Lösung? Ja, Euler Polygonzugverfahren. Also, okay, das habe ich eigentlich erwartet. Euler Polygonzugverfahren. Wir müssen aber aus einer DGL aus einer DGL zweiter Ordnung zwei DGLS erster Ordnung erzeugen. Ja, Zustände. Y ist unser erster Zustand. Y ist unser zweiter Zustand. Das heißt, wenn ich den ersten Zustand ableite, kommt der zweite Zustand raus. Das ist unsere erste Gleichung und unsere zweite Gleichung sieht so aus. 7y2 y2 ist z2 = 2xy² y² ist z1² + cosinus x. Und jetzt müssen wir die Gleichung so wie er vorhin schon gesagt hat auflösen nach Z2 = 27x Z1² + 17 cosinus X, das ist unsere zweite DGL. So und jetzt können wir Eulerverfahren machen. Jetzt haben wir Ordnung 1. Jetzt funktioniert es mit Euler. Ja. mit dem System von zwei Differentialgleichungen des Eulen Verfahren, also Eulerverfahren, Euler für System mit zwei DGS. Okay, gut. Man könnte Endloss weitermachen. Das ist eigentlich zum Schluss das wichtigste, wirklich das wichtigste Thema. Dait müsstet sie sich als allererstes sehr sehr sattelfisch auseinandersetzen. Wenn Sie den Typ nicht richtig erkennen, ist danach alles äh null von 100 Punkten. Ja, das passiert leider. Das ist eins von den Dingen, die leider in der in der Prüfung mehr oft quasi zum äh zum Problem werden, dass man die Aufgabe zum über die Differentialgleichungen falsch angeht. Und wenn man falsch stappelt, da hilft nichts. Ja, also 0 von 100 Punkten, weil mit der falschen Methode können Sie noch so lang richtig rechnen. Es wird nicht zum richtigen Ergebnis kommen. Okay. Ja. Also, das war mein letzter Appell. Erst ganz wichtig, man muss den Typ richtig bestimmen und erst dann geht's los. So, jetzt machen wir noch ein bisschen eine Anwendung zum Schluss. Ja, unser letztes unser letztes Thema noch mal Anwendungen. Anwendungen. Ich habe zwei Anwendungsbeispiele. Ja, ich habe zwei Beispiele. Jetzt hier mal das eine. Das eine ist meine äh das eine ist meine mein kleines Schiffchen. Ja, meine Schiffschaukel, also die Schiffschaukel, die da so hoch dann wieder runterkt, die machen wir aber im Labor ausführlich Und wenn das mal Beispiel A, das machen wir im Laboren, das Beispiel B, was ich jetzt noch mit Ihnen besprechen möchte, ist ein sogenannter Kettenleiter. Ein Kettenleiter sieht folgendermaßen aus. Man hat zwei zwei Spulen jetzt. Wie wird so eine Spule richtig gezeichnet? Ich glaube, so eine Spule wird so richtig gezeichnet. Das ist meine erste Spule. Schon mal so ein Knoten hin und dann kommt noch mal so eine Spule. Also zweimal eine Spule mit einer Induktion L1 und L2. Und bei dem Kettenleiter werden dann noch zwei Widerstände dazu geschalten. Also hier ein Widerstand und hier ein zweiter Widerstand und den einen nenne ich A1. den nicht R2. So, hier wird wieder zusammengeführt. Da unten ist nichts mehr verschalten. Also, man kann sich diese Kette ja deshalb Kettenleiter, man könnte sich das noch beliebig weiter vorstellen. Also hier noch mal eine Spule, noch mal ein Widerstand und so weiter. Kettenleiter. Und was da noch passiert, man braucht auch noch irgendeine Spannungsquelle. Spannungsquelle wird meistens so ein Kreis gekennzeichnet und die Spannung von außen nenne ich U von T. Und dann muss man meistens noch einzeichnen, äh wie die gepolt ist, die Spannung. Ah, jetzt habe ich gar nicht gefragt. Ich weiß gar nicht genau, wie ist es denn bei Ihnen in den Studiengängen? Also die Tibeler, die müssen jetzt fit sein. Die Tibeler, die haben Physik, aber er ist im dritten Semester und ft schon beim ersten äh bitte. Nächstes Semester fängt anscheinend schon malim ersten. Nächsten Semester fängt sie wieder im ersten an, aber sie haben Elektrotechnik. Ja, sie haben Elektronik und Elektrotechnik, das heißt, die sind fit. Wie ist es denn bei die Software? Haben die noch Elektrotechnik? Softwaretechniker haben keine Elektrotechnik mehr. Genau. Okay. Äh auch keine Physik mehr oder auch keine Physik mehr. Äh und bei den bei dem ISB ist es dann äh IT Security ist dann genau gleich. Keine Elektrotechnik, äh keine Physik mehr. Also packen sie alle zusammen. Die Tibler bleiben hier. Die Tibler bleiben hier. Für den Recht, für den Recht macht es keinen Sinn, wenn ich ih eine Mathe erkläre, für Dinge, die Sie sowieso nicht in ihrem Studium haben würden. Also die Ber hier bleiben, der Rest kann machen, was er will. Wenn Sie Interesse haben, sie dürfen natürlich auch hier bleiben. Ja. Äh, alle die hier bleiben, kriegen nachher noch mal ein Schokoladeei. Okay, also ich gebe ihn kurz kurz noch 5 Minuten zum äh zum umorganisieren und den wünsche ich schon mal viel Spaß dann, schöne Ostern und bis nächste Woche. Ja. Ah, da kam gerade noch die Frage, wo ist denn mein Labor? Für die, die das Testat wiederholen wollen. Ich bin drüben im Bau 2 und zwar da gibt's einen Eingang schräg gegenüber vom Eingang der Mensa und da geht's direkt zu meinem Büro. Das erste Büro nach der das erste Zimmer nach diesem Eingang ist mein Büro. Ich kleine Frage und zwar gerade waren sie haben sie jetzt alles aufgezeichnet. Das können wir jetzt gerade nicht machen. Okay. Okay. Stimmt. Oh, gibt's überhaupt noch T? GLB ich ganz wenige nur. Ganz wenige. Ist den Ist denn online noch jemand da? Gibt gibt's online Tiber? Ah, das sieht gut aus. Die TBer scheinen online zu sein. Ja. Ja. Okay, prima. Ja, okay. Jetzt machen wir weiter. Unser Beispiel aus der Elektrotechnik. Ähm, man ein typisches Verfahren aus der Elektrotechnik, man führt jetzt Maschen ein. Maschen, die Maschenregel. Genau. Also, und zwar wird man das hier als erste Masche bezeichnen und das hier als zweite Masche. Das nenne ich jetzt mal 1 und 2. Und jeder Masche man auch einen Durchlaufsinn. Also genau wie die Spannung und also von plus nach minus und so macht man das mit der Masche auch. Man muss in der Masche immer den Durchlaufsinn markieren. Und was wollen wir denn jetzt tatsächlich ausrechnen? Also gegeben ist, was haben wir gegeben? typischerweise gegeben. Wir haben, wir wissen, was wir für eine Spannung haben. U von T. Wir wissen, was unsere Widerstände sind. R1 und R2. Und wir kennen auch die Werte der Spulen, die zwei Induktivitäten L1 und L2, irgendwelche Werte. Und was wir tatsächlich suchen, ist dann die Ströme in den beiden Maschen, Ströme in den beiden Maschen. Und diese Ströme nenne ich i1 von T. Da müsste ich jetzt auch so eine so ein römisch ein machen, die erste Masche und 2 von Tweite Masche. Und aus der Elektrotechnik kennt man ein Gesetz. Und dieses Gesetz lautet ähm Summe aller Spannungen in einer Masche ist 0. Summe aller Spannungen pro Masche ergibt null. So, jetzt nehmen wir mal die erste Masche. Zeig ich lieber Masche 1. Summe aller Spannungen pro Masche ergibt null. So, jetzt was haben wir? Was haben wir in der ersten Masche? Verspannungen. Da haben wir U und T. Das ist die erste Spannung plus Spannung an R1. So, jetzt müssen wir überlegen bei R1 da U = R* T äh U = R mal I, das ist die, also hier die Regel lautet U = R mal für die Spannung Uri und an R1, was fließt da in R1 fläst Oh, da müssen wir schon mal aufpassen. Äh da fließt nämlich der Strom I1 entgegengesetzt, also - I1 von T. I1 fließt entgegengesetzt wegen dem der Pfeil in der ersten Masse geht entgegengesetzt oder Spannung und dann verläuft äh im im Sinn von U von Titiv die Spannung in der zweiten Masche. Ja, also hier müssen wir sozusagen gucken, hier läuft einmal quasi minus -1 läuft quasi in diese Richtung. Und hier läuft quasi unser Durchlaufsinn. Haben wir + I2. Ah, nee, da muss ich den Pfeil anders rum machen. Also hier läuft plus E2. und das wird multipliziert mit R1. So, und was haben wir sonst noch in der ersten Masche? Spannung an L1. So, jetzt wie kriegt man die Spannung an der Spule raus? Warte, ich habe das gerade mal so zusammengefasst hier alles. Vielleicht ist das besser, wenn wir hier die Zusammenfassung uns erst anschauen und das dann lieber weg radieren. Also Uri ist so quasi die erste Regel im Wechselstromkreis. Und wie ist die Spannung an der Spule? Die Spannung an der Spule ist, dass man die Ableitung von I von T braucht. Ja, jetzt gucken wir mal, welche welche Spannung läuft hier durch die Spule durch. Also minus - I1 Punkt, also hier - I 1 Punkt von t mal Induktivität und die Maschenregel sagt, dass dann null rauskommen muss. Und das ist unsere erste Gleichung. Okay, dann schiebe ich das doch lieber mal noch auf die zweite Seite und mach die zweite Gleichung noch dazu. So, die zweite Gleichung Masche 2. Masche 2 läuft so ähnlich. Wie viel Spannungen haben wir in der zweiten Masche? Da haben wir äh Spannung an R1. Ja, das haben wir vorhin schon mal ausgerechnet. Das gibt wieder - I1 von T + I 2 von T multipliziert mit R1. Das ist Spannung an R1. So, jetzt brauchen wir noch die Spannung an L2 plus Spannung an L2. Jetzt gucken wir mal, wieum ist das da gepolt an L2? Da haben wir I2. Da haben wir I2 Punkt. Wie rum läuft es? Das läuft richtig rum. Ja, nicht minus, sondern plus. I2 Punkt E2 Punkt von T2. Und dann haben wir noch eine dritte Spannung und das ist die Spannung an R2, also plus Spannung an R2 und bei R2, was fließt da? Da fließt nur I2 und zwar positiv, also I2 und T mal R2 und dann kommt 0 raus. Und das ist unsere zweite Gleichung. Puh, sieht jetzt alles total kompliziert aus. Jetzt müssen wir es nur noch mal richtig alles richtig sortieren. Okay, ich schreib das mal um. Schreibt das mal alles um. Also die erste Gleichung umgeschrieben ist dann I1 pun mal L I 1 mal L. Das L schreibe ich mal nicht hin, sondern das bringe ich alles auf die andere Seite. Da steht er gleich 0 und teil die komplette andere Seite durch das L. I1 Punkt. So und dann bleibt übrig. Was bleibt übrig? U von T bleibt übrig. Dann bleibt auf der auf der Seite übrig - I1* R1. + I2* R1 und das ist es schon. Ja, das sind die zwei Dinge, die übrig bleiben. Und die zweite DGL, die löse ich nach I2 Punkt auf. Römisch 2 Punkt von T. Äh und da muss ich, Entschuldigung, da oben das war L1. Da muss ich also hier durch L1 teilen und hier muss ich durch L2 teilen. L2. So. Und was bleibt übrig, wenn ich auflöse nach I2 Punkt? Dann muss alles auf die andere Seite rüber. kriegt also ein anderes Vorzeichen. Dann bleibt da I1 von T R1 I1 von T R1 - I2 von T R2 und äh nee nee nee auch R1 nicht R2 R1 ist das noch kommt von der Gleichung. I2 haben wir aufgelöst und dann mit anderen Vorzeichen minus I2 von T* R2. Okay. Und jetzt können wir das noch in Matrixform schreiben. Okay, unsere Matrix sieht so aus. I1 I2. Ich lass mal das von T weg. Das so für Schreibarbeit. Punkt ist gleich. Jetzt was steht in der Matrix drin? Die Matrix hat wird multipliziert mit I1 und I2 mit I1 und mit I2. Und dann gibt's zum Schluss noch eine Störfunktion. Und zwar in der ersten Gleichung ist die Störfunktion U von T l1. Der zweiten Gleichung ist die 0. So. Und was steht in der Matrix drin? - R1 dur L1. Dann + R1 dur L1. Was steht in der zweiten Gleichung drin? Das steht drin R1 - R2. Ja, das steht nee, bei I1 steht nur R1. Bei I1 steht wieder nur R1 durch L2. So. Und bei E2, da haben wir zwei Einträge. Beide sind negativ, also können wir ein Minus vor dem Bruch schreiben. Und auf dem Bruch wird nachher durch L2 geteilt und auf dem Bruchstrich steht R1 + R2. Okay, also wir haben wieder hier die Form, hier haben wir die Form Vektor Vektor I Punkt ist gleich Matrix A mal Vektor I. plus eine Störfunktion + R von t. Ah, halt, der Strich muss nicht unter das Plus, sondern unter das [Musik] R. Und jetzt sehen wir auch, was typischerweise die Störfunktion ist. Ja, die Störfunktion ist typischerweise die Spannung, die man anlegt. Ja, das ist die Störfunktion. Also diese Spannung, das ist vielleicht noch mal eine wichtige Erkenntnis hier. Diese Spannung U von T, die taucht nachher nur in der Störfunktion auf, sonst nirgends. Und diese Matrix hier hat konstante Werte. Gehen wir mal davon aus, dass ich der wieder die Widerstände und die Induktivität in Abhängigkeit der Zeit nicht großartig verändern. Das stimmt zwar nicht, ja, wenn man da Strom durchjagt, werden die wird der der obische Widerstand wird warm, die Spule wird warm und entsprechend verändern sich dann die Werte ein kleines bisschen. Aber nehmen wir mal an, die Veränderung ist nicht sehr groß, dann können wir das durch ein lineare durch ein DGL System in Matrixform beschreiben. Puh, jetzt habe ich es also gerade noch geschafft, das letzte Beispiel zu machen. Ich weiß nicht, in der Elektrotechnik haben Sie haben Sie das schon gemacht in der Elektrotechnik den Schwingpreis? Sie wissen es nicht oder andersst? Also der nicht ganz gem also wir haben ih Labor kurz behandelt, aber wir haben ihn noch nicht in der Vorlesung behandelt. Okay, prima. Ist es für Sie okay, wenn wenn ihr ihre Sprachaufzeichnung drin bleibt in meinem Video? Ja, alles gut, gar kein Problem. Ja, passt gut. Alles gut. Vielen Dank. Okay, also aber dann sehen wir jetzt, ja, wir sind so an der gemeinsamen Baustelle jetzt angelangt, also die ganze Herleitung, die ganze Herleitung, das ist eigentlich Thema in der Elektrotechnik, aber jetzt wissen Sie auch, wie man sowas löst, ja? Matrix, Eigenwerte berechnen, Eigenvektoren und dann können wir die Ströme ausrechnen. Ja, Störfunktion vielleicht ein Sinus. Ja, wir haben so eine wir haben so eine Wechselspannung, sinusörmige Wechselspannung angeschlossen. Dann machen wir Ansatz auch mit einer äh mit einer Überlagerung von Sinus und Cosinus und können alles schön ausrechnen. Okay, an der Stelle hören wir auf für heute. Wünsche eine schöne Ostern. Ja, sehen uns nächste Woche wieder. Bis dann. Ciao