Cours sur la Dérivation des Fonctions

Introduction

• La vidéo propose une révision complète sur la dérivation des fonctions et ses concepts importants.
• Objectifs :
  • Rappeler et expliquer les dérivées et la tangente à une courbe.
  • Expliquer les variations des fonctions.
  • Préparation pour un contrôle ou un examen (nécessite des exercices supplémentaires).

Concepts de Base

Idée de la Dérivation

• La dérivation permet d’établir facilement les variations d’une fonction.
• Introduction du nombre dérivé pour établir la pente de la tangente à un point donné.
• Relation entre la pente de la tangente et les variations de la fonction.

Observations Tangentielles

• Si la tangente a une pente négative, la fonction est décroissante.
• Si la tangente a une pente positive, la fonction est croissante.
• Généralisation : la pente de la tangente donne les variations de la fonction.

Calcul de la Pente de la Tangente

Utilisation d'une Sécante

• La pente d'une droite AB est donnée par (f(b) - f(a)) / (b - a).
• Représentation sur des courbes et fonctionnement avec des points tangents et séquants (distance h).

Limite pour Trouver la Tangente

• La pente d'une tangente est la limite de la pente d'une sécante lorsque h tend vers 0.
• Notation : lim(h→0) (f(a+h) - f(a)) / h.
• Définit la fonction dérivée : f' (a) = lim(h→0) (f(a+h) - f(a)) / h.

Exemples et Application

Fonction Carrée (f(x) = x²)

• Calcul : (f(a+h) - f(a)) / h pour f(x) = x².
• Développement montre que f'(x) = 2x pour la fonction carrée.
• Vérification des variations de croissances et décroissances avec 2x.

Fonction Dérivée

• La dérivée générale d’une fonction puissance : f(x) = xⁿ donne f'(x) = nxⁿ⁻¹.
• Construction et observation des formules de dérivée pour des polynômes et d'autres fonctions.

Opérations sur les Fonctions Dérivées

Sommes et Produits

• Dérivée de la somme : (u+v)' = u' + v'.
• Dérivée d’un produit : (uv)' = u'v + uv'.

Exemple : Produit de Fonctions

• Illustré avec f(x) = x³ * √x, dérivée de chaque fonction, puis application de la formule.

Formules et Tables de Dérivées

• Formulaire des dérivées pour diverses fonctions (puissance, racine, etc.).
• Importance de mémoriser les formules pour des calculs rapides.

Variations et Théorème des Fonctions

Théorème de Variation

• Si f'(x) < 0, la fonction est décroissante ; si f'(x) > 0, la fonction est croissante.
• Application pour démontrer les variations d'exemples simples (ex : fonction affine).

Établir les Extrêmes

• Si f'(x) change de signe en un point, ce point est un extrême.
• Vérification par exemple pratique avec résolution d’équations et changement de signe.

Conclusion

• Compréhension des dérivées pour l’étude des variations.
• Importance des exercices pour maîtriser les concepts.