Sinussatsen

Introduktion till sinussatsen

• Sinussatsen används för att bestämma en triangels area och andra egenskaper.
• Triangel har vinklarna A, B, C och sidorna a, b, c.

Beräkning av triangelns area

• Använd ariasatsen:
  • Från vinkel A: ( \frac{b \times c \times \sin(A)}{2} )
  • Från vinkel B: ( \frac{a \times c \times \sin(B)}{2} )
  • Från vinkel C: ( \frac{a \times b \times \sin(C)}{2} )
• Sätt dessa uttryck lika med varandra för att eliminera nämnaren 2.
• Dividera varje led med ( a \times b \times c ).
• Resultatet: ( \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c} )

Tillämpning av sinussatsen

• Två sätt att skriva sinussatsen:
  1. ( \frac{\sin(vinkel)}{sida} )
  2. ( \frac{sida}{\sin(vinkel)} )
• Använd det första förhållandet för att bestämma vinkel och det andra för att bestämma sida.

Exempel på att bestämma sidlängd

• Triangel ABC med vinklar och en sida givet:
  • AC = 25 cm, vinklar A och B är kända.
  • Bestäm längden av sidan BC med sinussatsen:
    • ( \frac{BC}{\sin(48^\circ)} = \frac{25}{\sin(35^\circ)} )
    • Lös ut BC: ( BC = \frac{25 \times \sin(48^\circ)}{\sin(35^\circ)} \approx 32 \text{ cm} )

Exempel på att bestämma vinklar

• Triangel med sidor AC = 15 m, AB = 19 m och vinkel C = 35 grader.
• Använd sinussatsen för att bestämma övriga vinklar:
  • Beräkna vinkel B:
    • ( \frac{\sin(B)}{15} = \frac{\sin(35^\circ)}{19} )
    • Lös ut ( \sin(B) ), använd sinusinvers för att få två möjliga vinklar.
    • Vinkel B kan vara 27° eller 153°.
  • Kontrollera båda lösningarna med triangelns vinkelsumma:
    • Om B = 27°, då är vinkel A = 118°.
    • Om B = 153°, ger felaktigt negativt värde för vinkel A.
• Slutsats: B är 27° och A är 118°, samt C är 35°.

Viktiga insikter

• Sinusfunktioner kan ge två lösningar, båda måste kontrolleras.
• Trianglar kan inte ha negativa vinklar.