Nu ska vi prata om sinusatsen. Då måste vi först komma fram till vad den säger. Vi utgår ifrån att vi ska bestämma triangelns aria.
Då har vi följande triangeln. Den har vinklarna A, B, C. Och sen har den sidornas längd A, B, C. Och alla de här värdena säger vi är givna. Så om vi ska bestämma arian, då använder vi ariasatsen. Och utgår vi exempelvis från vinkeln A. Då tar vi två sidor, mellanliggande vinkel.
B gånger C gånger sinus för vinkel A delat på två. Men vi kan utgå från vinkel B om vi vill bestämma arian. Då tar vi de två sidorna, mellanliggande vinkel.
A gånger C gånger sinus för vinkel B. Eller så kan vi utgå från vinkel C. Då har vi de två sidorna, A gånger B gånger...
Sinus på vinkeln C som är mellanliggande vinkel. Så vi har alltså tre olika sätt att beräkna arian på. Och det är samma triangel så vi ska ha samma aria. Så vi sätter de här tre uttrycken lika med varandra.
Och vi ser att alla innehåller nämnaren 2. Det innebär då att vi helt enkelt kan skriva utan nämnaren 2. Och det vi gör sen är att vi dividerar varje led. Med a gånger b gånger c. Och eftersom det är då ekvation.
Ja då kan vi göra precis samma sak i höger som vänsterled. Och sen så kan vi börja förkorta. Här ser vi att b delat med b blir 1. c delat med c blir 1. a delat med a blir 1. c delat med c blir 1. a delat med a blir 1. Och b delat med b blir 1. Och kvar får vi följande.
Att sin svinken a. Dela på A är lika med sinus för vinkeln B. Dela på B är lika med sinus för vinkeln C.
Dela på C. Tar vi sinus för vinkeln A och delar på motstående sidans längd. Så blir det samma förhållande som tar sinus för vinkeln B och delar på motstående sidans längd. Och det i sin tur ger samma förhållande som sinus för vinkeln C. Dela på motstående sidans längd.
Och det är sinussatsen. Sinussatsen kan vi skriva på två sätt. Antingen tar vi sinus av vinkeln och delar på sidans längd. Eller tvärtom, vi tar sidans längd och delar på sinus för vinkeln.
Då är det fortfarande samma förhållande. Det kan vara användbart att veta vilken man ska använda när. Ska man bestämma vinkeln är det lämpligt att använda det här förhållandet där man har uttrycket för vinkeln i täljaren.
Ska man bestämma sida, då är det lämpligt att använda det här förhållandet när man har uttrycket för sidans längd i täljaren. Vi tar ett par exempel. Bestäm längden av sidan BC.
Då har vi en triangel. Triangel ABC. Två stycken vinklar är givna och längden AC är given till 25 cm. Vi ska bestämma längden av BC. Och då använder vi sinussatsen.
Då tar vi då längden BC. Delar på sinus för vinkeln som är mittemot den här sidan. Det är sinus 48 grader. Så det är förhållandet samma sak som om vi tar längden AC som är 25. Delar på sinus 35 grader för den vinkeln som är mittemot.
Så det ska ge samma förhållande. Och då ser vi att av de här fyra så är tre saker redan givna. Alltså löser vi ut. Längden BC genom att multiplicera med sinus 48 grader på båda sidorna. Då får vi 25 gånger sinus 48 grader delat på sinus 35 grader.
Det kan vi räkna ut. Det blir då ungefär 32. Eftersom längden ska anges i centimeter, då blir sidan BC 32 centimeter lång. Det kunde användas av sinusatsen när vi tog förhållandet mellan vinkel och motstående sida.
Då har vi sett ett exempel på hur man kan använda sinussatsen för att bestämma längden på en sida i en triangel. Vi ska ta ett exempel där vi ska bestämma triangelns vinklar. Då har vi följande triangel.
Två sidor är givna. Längden AC är 15 meter. Längden AB är 19 meter.
Och så vinklen C är 35 grader. Då ska vi bestämma övriga vinklar. Och det använder vi av sinussatsen. Om vi till exempel vill bestämma vinkeln B.
Då har vi ju sinus för vinkeln B. Delar på motstående sidas längd som är då 15. Det förhållandet ska vara samma som om vi utgår från vinkeln C. Och delar det sinus av vinkeln C med motstående sidas längd.
Och då ser vi att nu har vi tre saker givna. En obekant. Den kan vi lösa ut. Sinus för vinkeln B. Det får vi ut genom att multiplicera med 15 på båda sidorna.
Och sen så beräknar vi vinkeln B genom att ta sinusinvers av högerledet. Och räknar vi ut det här så kommer vi få två stycken lösningar. Den första ger min räknare.
Det blir ungefär 27 grader. Men sen vet vi att sinus har då två stycken lösningar. Tar vi 180 grader, minus var den första lösningen, då får vi en andra lösning.
Så i det här fallet kan vinkeln B ha två stycken. Värden antingen är 27 grader eller 153 grader. Och då måste vi kontrollera båda de här. Och eftersom vi bara har en vinkel kvar att bestämma så kan vi använda oss av triangelns vinkelsumma.
Och det gör att om vi först tar vinkeln B som 27 grader. Ja då blir ju vinkeln A 180 grader. Det vill säga triangelns vinkelsumma minus 35 grader minus 27 grader. Och räknar vi ut det. Så blir det 118 grader.
Och det är helt okej. Och då kollar vi på nästa. Vi kan ju ha att B kan vara 153 grader. Vad blir då vinkel A? Då tar vi 180 grader.
Triangels vinkelsumma. Minus vinkel C som är 35 grader. Minus vinkel B som är 153 grader. Och räknar vi ut det här så blir det negativt av grader. Och en triangel kan ju inte ha en negativ vinkel.
Det innebär att B kan inte vara 150 grader i den här triangeln. Vårt svar är då att A är 118, B är 27 och C är 35 grader. Så har vi bestämt triangels vinklar. Men vi måste se upp för att sinus ger oss två stycken lösningar.
Vi måste kontrollera båda. För det kan vara så att båda de här två lösningarna är en lösning till själva uppgiften. Men det kan vi inte veta på förhand utan det måste vi kontrollera.
Jag har sett ett exempel på hur man kan använda sinussatsen för att bestämma triangelns vinklar.