Bonjour, dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre des intervalles. L'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre. Plus précisément on parlera de la notion d'intervalle, de cette notation nouvelle qui l'accompagne, on parlera d'intervalle fermé, d'intervalle ouvert et on finira par la réunion et l'intersection de deux intervalles.
Pour préparer un contrôle ou même un examen, ceci ne suffira pas évidemment. Il te faudra encore faire de nombreux exercices. Pour le cours, c'est parti !
Avant de parler de notation, parlons déjà de la définition. Qu'est-ce que c'est qu'un intervalle ? On connaît l'ensemble des réels, qu'on pourrait d'ailleurs représenter sur une droite, un axe, l'axe des abscisses.
Mais parfois, on n'a pas besoin de travailler avec l'ensemble de tous les réels. Par exemple, si je considère... tous les nombres que je vais appeler x qui sont compris entre 2 et 4. Cela comprend donc 3, mais également 3,5, 3,8, 2,185, 3,999.
Enfin, tu as compris, il y a là-dedans une infinité de nombres qui sont compris entre 2 et 4. Eh bien, qu'est-ce que c'est que tous ces nombres ? C'est un intervalle. C'est un intervalle de r.
C'est l'ensemble des nombres qui sont compris entre 2 et 4. Et cet intervalle-là, je peux le représenter sur ma droite graduée, celle qui représente l'ensemble des réels. Préparons une droite. Voilà, on a représenté sur cet axe, axe infini, l'ensemble de tous les nombres réels. J'ai marqué ici une graduation régulière toutes les unités, mais c'est bien tous les réels qui sont représentés ici. Et on a dit qu'on ne s'intéresse finalement qu'aux réels.
qui sont compris entre 2 et 4. Alors, comme je l'ai dit, on peut le visualiser. Ces réels se trouvent ici, dans cette zone-là. Et cette zone-là, ça s'appelle un ensemble. Pourquoi ? Parce que c'est tout simplement un ensemble de nombres.
On l'a vu tout à l'heure, on a trouvé plein de nombres qui sont dans cet ensemble. Et pour des nombres, cet ensemble s'appelle un intervalle. Et on peut même le noter, cet intervalle.
Eh bien, on va le noter à l'aide de ces extrémités qui sont 2. et 4. J'écris donc 2, point virgule 4, mais c'est pas fini. Car il faudrait maintenant parler, justement, de ces extrémités, qu'on appelle également ces bornes. Ici, on a dit que x est supérieur ou égal à 2. Ce qui veut dire que x peut être égal à 2. Ce qui veut dire que le nombre 2 fait partie de l'intervalle.
Donc, il faut l'inclure avec l'ensemble qui est marqué en rouge. Pour cela, on va mettre... un crochet dont les extrémités du crochet vont vers l'ensemble.
Voilà, donc sur l'axe, on met le crochet de façon à bien faire comprendre que le 2 va avec l'ensemble, il est donc dans l'intervalle, on l'accepte, et on fait de même lorsqu'on quitte notre axe et qu'on veut simplement noter l'ensemble à part. Du coup, pour le 4, qu'en est-il ? Eh bien, c'est pareil, x est inférieur ou égal à 4, ce qui veut dire que 4 fait partie de notre intervalle, donc je vais mettre Un crochet qui emmène le 4 avec dans l'ensemble.
Et on fait de même pour la notation. Et bien là, on vient de noter notre premier intervalle. Cet intervalle se lit 2, 4, et il comprend l'ensemble des nombres qui sont compris entre 2 et 4. Et il faut savoir passer d'une écriture à l'autre, ou d'une représentation à l'autre, il faut savoir passer de cette écriture, ici sous forme algébrique, à la représentation sur un axe.
à la notation en termes d'intervalle, et également comprendre ce que cela signifie. Alors, on peut rappeler quelques exemples, et voir également comment on les note. On avait dit tout à l'heure que 3, il est dans l'ensemble considéré. Il est donc dans notre intervalle. On dit et on écrit, 3 appartient à l'intervalle de 4. On a vu que 2 et 4 font partie de cet intervalle, donc on peut par exemple écrire que 4 appartient également à l'intervalle de 4. Mais si on en prend un qui est extérieur à cet intervalle, par exemple 5, dans ce cas-là, on écrit que 5 n'appartient pas, donc on barre, à l'intervalle de 4. Alors, cette notation convient lorsque les bornes, les extrémités, font partie de l'ensemble considéré.
Mais qu'arrive-t-il si on exclut une des deux bornes ? Eh bien, c'est la suite du cours. On considère maintenant L'ensemble des nombres, x, compris entre 0 et 1, mais attention ! On exclut 0. C'est-à-dire que là-dedans, on peut accepter 0,1, on peut accepter 0,01, on peut accepter n'importe quel nombre aussi près de 0 que l'on souhaite, mais on exclut 0. Comment l'indiquer ? Alors déjà, on peut préparer la zone qui va entre 0 et 1 sur la représentation graphique, parce que ça, c'est comme avant, elle se trouve ici.
Et on peut déjà représenter la borne supérieure, parce que ça, ça ne change pas par rapport à avant, puisque 1, ici, est accepté. 1 fait partie de l'ensemble, donc je peux l'emmener avec moi dans l'ensemble. Et pour la suite, j'imagine que tu as compris. Cette fois-ci, on ne veut pas 0 dans notre ensemble puisqu'il est exclu. Donc il faudrait l'indiquer avec un crochet qui exclut 0. On va tout simplement écrire le crochet dans l'autre sens pour indiquer que le 0 se trouve à l'extérieur de cet ensemble.
Et ça donne ceci. Avec le crochet, tournez dans l'autre sens. Du coup, si on veut noter cet intervalle, on va tout simplement recopier ce qui est écrit ici, en commençant par les nombres, 0,1, et les crochets, on va également les recopier, 0 exclu, 1 inclus. Et là, on comprend très bien ce que cela signifie. Là-dedans, dans cet intervalle, on a tous les nombres compris entre 0 et 1. 1, oui, je le prends, mais 0, je n'en veux pas. Poursuivons maintenant encore avec un autre type d'intervalle.
Alors il est un peu bizarre cet ensemble, parce qu'il n'a qu'une seule borne, qui est 3. On voudrait l'ensemble des x supérieur à 3. Alors attention, strictement supérieur, ce qui veut dire qu'on va exclure 3, comme tout à l'heure on a exclu 0. Mais il n'y a pas de borne supérieure, parce que là-dedans, qu'est-ce que j'ai ? On a dit qu'on a tous les nombres qui sont un peu plus grands que 3, donc 3,1, 3,01. Alors on a 4 également, on a 5. 6, 10, 100, 1000, 1 million, 1 milliard, des centaines, etc. On sent bien ici qu'on peut poursuivre avec des valeurs de plus en plus grandes sans jamais s'arrêter.
Qu'est-ce que cela veut dire au niveau de la représentation graphique ? Ça veut dire qu'on va ici commencer par 3 et qu'on va poursuivre ici sans jamais s'arrêter. Alors évidemment, on s'arrête au niveau de la flèche, mais on comprend bien ici, vu que la zone rouge, elle va jusqu'à la flèche, que...
Ça se poursuit après 6 jusqu'à l'infini. Au départ ici, qu'est-ce qu'on a dit ? On a dit que 3 est exclu. Donc là également, je vais mettre un crochet tourné vers l'extérieur de 3. Voilà donc la représentation graphique de l'ensemble des réels X qui sont strictement plus grands que 3. Mais qu'est-ce que j'en fais ?
Comment je note ça en termes d'intervalle ? Alors, si on reprend ce qu'on a dit jusque-là, on écrit les deux nombres. Les deux nombres, c'est-à-dire les deux bornes.
Donc la première, c'est 3. Mais la deuxième, je ne la connais pas. Je ne la connais pas parce que je n'arrive pas à l'atteindre, c'est l'infini. Alors, comme c'est l'infini, eh bien, on écrit l'infini.
Et l'infini se note comme un 8 couché. Et comme c'est l'infini des positifs, parce qu'il existe également l'infini des négatifs, je le précise en mettant un petit plus devant. Donc, ceci signifie que je commence à 3 et que je ne m'arrête pas puisque je vais vers plus l'infini.
Ensuite, au niveau des crochets. Alors, le 3, pas de problème, je le recopie. Et de l'autre côté, je mets quoi ?
Alors, la question est simplement, est-ce que l'infini fait partie de l'ensemble ou pas ? Alors, comme ça, on aurait envie de dire, oui, l'infini fait partie de l'ensemble. Mais l'infini vaut combien ?
C'est l'infini. On ne peut pas atteindre l'infini. D'ailleurs, ce n'est même pas un nombre, c'est plus un concept.
Donc, par là, ne soyons pas prétentieux, ne disons pas qu'on va atteindre l'infini ni le toucher, on n'y arrivera jamais, et c'est pour cette raison qu'on met un crochet qui exclut. l'infini de l'ensemble, même si on a bien compris l'idée est de poursuivre vers l'infini. Alors, du coup, si on le faisait dans l'autre sens et que je te donnais cet ensemble-là, moins l'infini, moins 1, comment ceci se représenterait ? On comprend que la bande supérieure c'est moins 1, elle n'est pas atteinte.
Et on veut quoi ? On veut tous les nombres qui sont... avant moins 1. Donc si je devais le représenter, je partirais ici de moins 1 et j'écrirais mon trait vers la gauche cette fois-ci, faisons-le. Voilà, et on indique qu'on ne veut pas moins 1. Voilà, du coup j'ai rajouté la valeur qui vient avant moins 1, c'est-à-dire moins 2, pour bien faire comprendre que cet ensemble, cet intervalle, c'est l'intervalle qui part de moins l'infini, qui s'arrête en moins 1, en excluant moins 1. Et si on voulait noter cet intervalle Sous forme d'une inégalité comme ici, on écrirait que c'est l'ensemble des x strictement plus petit que moins 1. Alors parlons maintenant d'intervalles fermés et d'intervalles ouverts. On dit qu'un intervalle est fermé lorsque ses extrémités, ses bornes, appartiennent à l'intervalle.
Alors on en a vu quelques-uns des intervalles fermés. On a vu par exemple 2,4. Ceci est un intervalle fermé.
Et puis on peut en avoir un autre. Par exemple, moins 3, 5. est également un intervalle fermé, on le reconnaît, les crochets sont tournés vers l'intervalle. Ceci, c'est l'ensemble des nombres compris entre moins 3 et 5, moins 3 et 5 compris. Donc, dès qu'on a les crochets tournés dans ce sens vers l'intervalle, un peu comme lorsqu'on note un segment, il s'agit d'un intervalle fermé.
Intervalle ouvert. On dit qu'un intervalle est ouvert dans le cas contraire. c'est-à-dire lorsque ces extrémités n'appartiennent pas à l'intervalle.
Eh bien, prenons un intervalle ouvert. On avait tout à l'heure l'intervalle 0, 1. Alors, je crois que 1 était inclus, donc là, on va l'exclure. Ceci est un intervalle ouvert puisque les bornes n'appartiennent pas à l'intervalle. Ceci, c'est l'ensemble des nombres qui sont compris entre 0 et 1, mais on ne veut ni de 0 ni de 1. Alors, du coup, est-ce que cet intervalle-là, 3 plus l'infini est considéré comme un intervalle ouvert. Oui, absolument.
Déjà parce que 3 est exclu, et ensuite parce que, comme je l'ai dit tout à l'heure, on ne peut pas atteindre l'infini. C'est l'infini. Du coup, on considère que l'infini, quelque part, est exclu de l'intervalle.
Et ceci est bien considéré comme un intervalle ouvert. Celui-ci également. Ceci est l'ensemble des nombres strictement... inférieur à 6. Et pour qu'il soit ouvert, il faut qu'il soit ouvert des deux côtés. Si ici, j'inclus 6 et que je mets le crochet dans l'autre sens, ce ne sera pas considéré comme un intervalle ouvert.
Et il y a un dernier intervalle ouvert, un intervalle un peu particulier, qui est également un intervalle ouvert, c'est l'ensemble des nombres réels, R. C'est-à-dire tous les nombres. Parce qu'il peut se noter de la façon suivante. Alors, en général, on ne le note pas comme ça.
Mais c'est pas faux d'écrire R Comme l'intervalle ouvert qui va de moins l'infini à plus l'infini. On est d'accord qu'en allant de moins l'infini à plus l'infini, on a bien là-dedans l'ensemble des nombres réels. Parlons maintenant d'intersection et de réunion ou d'union. Avant de commencer de parler d'intersection et de réunion d'intervalle, on va déjà essayer de comprendre la notion d'intersection et de réunion sur des ensembles, sur des ensembles quelconques. J'ai donc là représenté deux ensembles A et B.
Alors... Ce sont des ensembles, pas forcément de noms, ils contiennent des éléments. Donc A contient plein d'éléments, on peut en représenter quelques-uns.
Et B contient également plein d'éléments, j'en représente encore quelques-uns. Voilà, et un ici. Alors, on remarque qu'il y a des éléments qui n'appartiennent que à A. Ce sont ces quatre-là.
Ils n'appartiennent pas à B puisqu'ils sont à l'extérieur, ici. Alors ça, ça s'appelle une patate de cet ensemble. Il y a des éléments qui n'appartiennent que à B.
Ce sont ces quatre-là. Ils n'appartiennent pas à A puisqu'ils sont à l'extérieur de notre ensemble. Par contre, j'ai des éléments qui appartiennent aux deux. C'est trois. Celui-ci, par exemple, il appartient à A parce qu'il est dans la patate bleue.
Et il appartient à B parce qu'il est dans la patate verte. Et il y en a trois comme ça, qui appartiennent à la fois à l'un et à la fois à l'autre. Eh bien là, on est où ? On est en fait à l'intersection de ces deux ensembles.
Je crois que tout est dit. L'intersection... de deux ensembles A et B, c'est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B.
Et cet ensemble, on peut le noter, il est donc ici, on va l'assurer, on écrit A inter B. Avec comme ça un petit pont, c'est un U retourné, et ça se lit A inter B ou l'intersection de A et de B. Donc on retient bien, le E est écrit en gras ici parce que c'est très important, ce sont l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B, aux deux à la fois. Mais alors du coup, qu'est-ce que c'est que la réunion ?
La réunion, c'est quand on réunit. C'est quand on met tout ensemble. Eh bien, la définition nous dit que la réunion de deux ensembles A et B, c'est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. C'est-à-dire celui-ci.
Il appartient à A ou à B puisqu'il appartient même à A et à B. Mais celui-ci, il appartient à A ou à B. Pourquoi ?
Parce qu'il appartient à A. Donc, comme c'est l'un ou l'autre, du coup, celui-ci en fait partie. Ce qui fait que celui-ci aussi, puisqu'il appartient à B, il appartient à A ou à B.
Celui-ci aussi, celui-ci aussi. Mais finalement, c'est quoi la réunion ? Eh bien, c'est l'ensemble de ces deux ensembles-là qu'on peut donc totalement assurer. Voilà, c'est le tout A union B.
Et ça se note comment ? Eh bien, ça se note A, on se doute bien, un U comme union B. Ceci se lit A union B. ou la réunion de A et de B.
Voilà, donc deux intervalles A et B. L'intervalle A qui est égal à moins 3, 4, qui est donc un intervalle fermé. Et l'intervalle B qui est donc égal à 2, 5, également fermé. On va donc rechercher pour ces deux intervalles, leur intersection et leur réunion.
L'exercice va être assez facile, tu vas voir. Tout simplement parce que je n'ai pas ici mis de borne infinie. et je n'ai pas non plus joué sur la nature des bornes, elles sont toutes fermées.
Donc par là, l'exercice ne sera pas compliqué. Si tu veux quelque chose de plus compliqué, il faut te rendre dans la playlist, j'ai mis un exemple. Alors la première des choses à faire lorsqu'on a ce travail, c'est-à-dire la recherche de A inter B et de A union B, c'est de représenter ces intervalles A et B sur la droite graduée.
Ça permet de visualiser les choses et du coup ça devient très facile. Voilà, on va commencer par représenter l'intervalle A, on va utiliser la couleur rouge. Voilà, donc intervalle, les bornes sont fermées. On poursuit avec l'intervalle B, on va utiliser la couleur verte. Voilà, alors j'ai un tout petit peu décalé sur le dessus pour qu'on arrive bien à distinguer l'intervalle rouge de l'intervalle vert.
En tous les cas, nous, ce qui nous intéresse, c'est d'abord de déterminer l'intersection de ces deux intervalles. C'est-à-dire, on va chercher tous les éléments qui appartiennent à A, et AB, c'est-à-dire tous les nombres qui sont dans l'intervalle A et dans l'intervalle B. Eh bien, il suffit juste de regarder là où on a tracé deux fois, une fois en rouge, une fois en vert.
Ça se trouve dans cette zone-là, dans la zone qui va de 2 à 4. Maintenant, la question est de savoir est-ce que je prends les bornes ou pas. Pour cela, il faut juste s'assurer qu'à la fois 2 appartient à A et à B. Et en même temps, 4 appartient également à A et à B. Alors, vérifions.
Est-ce que 2 appartient à A ? Oui, dans moins 3, 4. Est-ce que 2 appartient à B ? Oui, puisque la borne est fermée.
Donc, je peux écrire ici 2 et je l'emmène avec moi. Qu'en est-il de 4 ? Eh bien, de même, 4 appartient à A, 4 appartient à B. Donc, je prends 4 également. A inter B, c'est l'intervalle fermé de 4. Et A union B ?
Eh bien, ce sont tous les nombres qui appartiennent à A ou à B. Il suffit juste de regarder partout où j'ai tracé quelque chose. C'est-à-dire là où j'ai représenté A et là où j'ai représenté B.
Eh bien, on voit que ça démarre en moins 3. On poursuit, on poursuit. Là, c'est rouge. Là, c'est rouge et vert, donc ça fait partie.
Là, c'est vert aussi, puisque c'est où B. Et ça s'arrête à 5. Est-ce que je prends les bornes ou pas ? Là, c'est clair.
Fermé, fermé, je prends donc moins 3 et 5. A union B et l'intervalle, moins 3, 5, fermé. Voilà, mais je le répète encore, il est important de faire des exercices sur cette notion-là. En tout cas, cette séquence est terminée.