Bonjour ! Dans cette vidéo, je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre des vecteurs. L'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre. Plus précisément, on commencera par parler rapidement de la notion de translation, puis on définira le vecteur, on verra ses propriétés, la somme de vecteurs, et on finira par la collinéarité de deux vecteurs. Pour préparer un contrôle ou un examen, bien évidemment, ceci ne suffira pas.
Il te faudra encore t'entraîner avec de nombreux exercices. Pour le cours, c'est parti ! Alors, on va commencer par parler de translation.
On verra qu'on en aura besoin pour parler de vecteurs, justement. La translation, c'est une transformation, au même titre que les symétries ou que la rotation. Encore, on connaît déjà un certain nombre de transformations.
La translation est une transformation particulière. qui peut être assimilé à un glissement. C'est pour ça qu'ici, l'image du téléphérique qui se déplace de A vers B correspond à l'idée d'une translation. C'est un glissement sans retournement. On pousse simplement.
On pousse dans une direction donnée, celle du câble, qui est marquée en rouge. Dans un sens donné, alors, on va dire que le téléphérique monte, donc de A vers B. Donc, le téléphérique part en T et arrive en T'. Ah ! Et enfin, sur une longueur donnée, ici c'est la longueur AB, donc cette longueur fait 80 mètres.
Et dans ce cas-là, on dit que le téléphérique T'est l'image du téléphérique T par la translation qui envoie A en B. Voilà l'idée, le principe d'une translation, et on va tout de suite comprendre que c'est totalement lié à notre vecteur. Alors on l'a bien compris, une translation c'est un glissement dans une...
direction donnée, un sens également, et sur une longueur donnée. On va donc définir une translation. On va l'appeler T.
C'est une translation qui envoie un point A, ici, sur un point A'ici. Mais cette translation, elle envoie également un point B, ici, sur un point B'ici, et un point C sur un point C'. Alors, on va schématiser à chaque fois ces déplacements de A sur A', B sur B', C sur C', je devrais dire de ces glissements, à l'aide de flèches. Voilà, là c'est beaucoup plus clair et on visualise mieux la translation. On remarque qu'à chaque fois, le déplacement, le glissement, se fait toujours dans la même direction.
On voit que chacune de ces flèches rouges sont parallèles. On remarque également que c'est toujours dans le même sens. Ici, donc là, vers la droite de l'écran, en descendant un petit peu. Et on remarque encore qu'à chaque fois, c'est la même longueur.
A'est égal à B'est égal à C''. Eh bien là, on vient de définir un vecteur. Un vecteur qui est caractérisé par une direction, donc celle-ci, la direction un petit peu descendante, par un sens, dans le sens de A vers A', ou de B vers B', ça n'a pas d'importance, et enfin une longueur, la longueur AA'. Eh bien là, on a ce qui s'appelle un vecteur.
Alors un vecteur, c'est un peu particulier en géométrie, parce que c'est le premier objet géométrique qui a... plusieurs représentants, qui a plusieurs représentations. On ne dit pas un vecteur, il est là.
Alors, c'est vrai qu'on pourrait dire il est là, puisque la flèche rouge est représentée ici. Mais on remarque également qu'il est là, ce vecteur, et qu'il est là. Car oui, un vecteur, ça se représente à l'aide d'une flèche. Et là, j'ai ici un vecteur qui s'appelle le vecteur A A'.
Que l'on note de cette façon-là, on écrit A A', donc les deux points concernés, et on met une flèche au-dessus de ces deux points. Du coup, là, j'ai également un vecteur, le vecteur BB', et là, j'ai le vecteur CC'. Mais j'ai dit tout à l'heure que mon vecteur, je le retrouve à plusieurs endroits.
Pourquoi ? Parce que, que je regarde ici, ici ou ici, c'est toujours la même direction, le même sens et la même longueur. Ce qui veut dire que là, j'ai AA', mais je pourrais également écrire que ce vecteur, c'est AA', même s'il est construit à l'aide des points BB'. Et celui-ci, c'est aussi AA'.
Et voilà, ce n'est pas faux d'écrire ça. Ce n'est pas faux d'écrire ça parce que, je le répète, un vecteur n'a pas une position prédéfinie sur le papier, sur le tableau. Un vecteur, c'est un concept, c'est une idée qui est définie par une direction. un sens et une longueur. Eh bien, on retrouve ici A A', A A', A A'.
Et je pourrais également écrire, si je voulais, ici, B B', B B', B B'. On voit finalement que tout ça n'est pas simple. Et du coup, à partir de là, si finalement un vecteur ne dépend pas des points qu'il en construit, eh bien, je pourrais lui donner encore un autre nom.
Eh bien, on pourrait par exemple l'appeler U et dire que le vecteur U, avec une flèche, Eh bien, c'est notre vecteur AA', ou notre vecteur BB', comme on veut, ou même CC'. Ce qui signifie que là, on a une notation plus générique qui peut de temps en temps être assez pratique parce que ça permet justement de se détacher du contexte de la figure. En tout cas, on dira que AA'est un représentant du vecteur U.
On dira de même que le vecteur BB'est également un autre représentant du vecteur U. Le vecteur U peut avoir tout plein de représentants. Dernière chose, enfin dernière chose, pas pour cette vidéo, mais pour la définition d'un vecteur. J'ai parlé de la longueur d'un vecteur. Alors, oui, on peut parler de la longueur d'un vecteur, mais quand on est plus rigoureux, on parlera plutôt de la norme d'un vecteur.
C'est la même chose. La norme d'un vecteur, c'est sa longueur, mais c'est plus juste de parler de normes. Et enfin, tu l'as compris, en écrivant cette égalité, j'ai introduit la notion de vecteur égaux.
Finalement, on peut dire que le vecteur U est égal au vecteur AA', qui est lui-même égal au vecteur BB'. C'est l'égalité de vecteurs. Et on dira que deux vecteurs AB et CD sont égaux, tout simplement, s'ils ont même direction, même sens et même longueur. Et on l'écrira sous cette formule-là. Quand on parle d'égalité de vecteurs, eh bien, vient tout de suite derrière la fameuse propriété du parallélogramme, qui est très utile en géométrie.
Et cette propriété nous dit que finalement, pour avoir un parallélogramme, il suffit d'avoir deux vecteurs égaux. Eh bien, regarde, si je prends mes deux feutres, que je les place de façon parallèle, direction. que je les mets dans le même sens, les capuchons en haut, sens, et qu'ils ont la même longueur, longueur, les trois éléments pour notre translation et notre vecteur, direction, sens et longueur, eh bien là, je ne sais pas si tu le vois, mais j'ai un parallélogramme.
Alors, pour mieux le voir, représentons ces deux vecteurs. Voilà, mes deux vecteurs noirs sont égaux, même direction, même sens, même longueur. Est-ce que là, maintenant, tu le vois, le parallélogramme ?
Pas encore ? Alors, on va rajouter quelques pointillés. Là maintenant, c'est plus clair.
Et donc finalement, pour fabriquer un parallélogramme, il suffit de prendre deux vecteurs égaux. Alors on va leur donner un nom à ces vecteurs. Donc le premier, je vais l'appeler AB. Donc ici, j'ai le vecteur AB.
Celui-ci, je vais l'appeler CD. Donc je vais mettre pareil deux points. Et donc, je l'appelle CD. On est donc bien d'accord qu'on a là, vecteur AB égale vecteur CD.
C'est ce que nous dit la propriété. Mais la propriété, elle nous dit quelque chose en plus. Elle nous dit que si AB et CD, donc les vecteurs AB et CD sont égaux, eh bien, cela revient à dire que ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati, on va voir après. ABDC, regardons.
ABDC, eh oui, ABDC est un parallélogramme. Voilà la propriété du parallélogramme. Alors, il faut juste être prudent. Quand on écrit... ABCD dans le sens alphabétique, ça nous fabrique un parallélogramme qui s'appelle ABDC, puisque on va revenir dans l'autre sens lorsqu'on va lire le nom du parallélogramme.
Alors, il est marqué éventuellement aplatit, eh bien oui, parce que finalement, ces deux vecteurs, j'ai choisi de les mettre comme ça. Mais que se passe-t-il si je les mets l'un dans le prolongement de l'autre ? Eh bien, regardons.
Eh bien, voilà ce que ça donne. Vecteur AB égale vecteur CD. Eh bien, A, B, D, C est également un parallélogramme.
Seulement, on a pris ces côtés et on les a aplatis l'un sur l'autre. Alors, ça donne une configuration un peu bizarre avec laquelle on n'a pas l'habitude de travailler. Mais ceci est un parallélogramme aplati, mais c'est un parallélogramme. Alors, bien évidemment, dans les exercices, ce n'est pas très utile de nommer cette figure un parallélogramme aplati.
On parlera plutôt de l'alignement des points A, B, C. et d'y aller Alors justement, parlons d'alignement avec la propriété du milieu, qui nous dit qu'au départ, on a B milieu de AC. Et si on regarde les vecteurs AB, donc ici devant, et BC derrière, eh bien, il se trouve que le vecteur AB est égal au vecteur BC. Alors pourquoi ?
Eh bien, tout simplement parce que comme B est le milieu de AC, Le vecteur AB et le vecteur BC sont dans le prolongement l'un de l'autre, donc il y a ici un alignement, donc ils sont dans la même direction. On s'est arrangé en plus pour les nommer AB, BC dans le même sens, on voit que les flèches ici vont dans le même sens, 2. Et enfin, comme B, c'est le milieu de AC, la longueur AB est égale à la longueur BC, donc les vecteurs ont même longueur, on dira plutôt que les vecteurs ont même norme, norme de AB égale norme de BC. Ce qui signifie là...
que nos deux vecteurs sont égaux. Et en plus, cette propriété marche dans l'autre sens. Elle a une réciproque. Si on te dit, tiens, j'ai un vecteur AB qui est égal à un vecteur BC, conclusion, eh bien B sera le milieu du segment AC.
Alors, parlons d'un drôle de vecteur. On pourrait dire qu'il ne sert pas, ce vecteur, et en fait, il sert tout le temps. Surtout lorsqu'on est amené à faire des calculs vectoriels, c'est-à-dire des calculs avec des vecteurs.
C'est le vecteur nul. Le vecteur nul, c'est un vecteur qui est construit de façon à ce que ces deux extrémités soient confondues. Et on dit que AB est nul, le vecteur AB est nul, lorsque A et B sont confondus. On le note, AB égale vecteur nul, c'est-à-dire un zéro avec une flèche sur le dessus. Et si on veut fabriquer sans réfléchir un vecteur nul, c'est très simple.
Il suffit de prendre deux fois la même lettre, par exemple, pp. Eh bien, pp est un vecteur nul. Pourquoi ?
Parce que je pars du point P et je vais jusqu'au point P. Ce qui veut dire qu'on se retrouve avec les deux extrémités qui sont confondues. Donc, à coup sûr, le vecteur pp est un vecteur nul. On dira que sa norme est égale à zéro. Il y a un autre type.
Deux vecteurs, enfin c'est plutôt un couple de vecteurs cette fois-ci, particuliers, alors c'est aussi du vocabulaire, ce sont les vecteurs opposés. Alors ça aussi il faut connaître. J'ai un vecteur AB au départ et je voudrais comprendre qu'est-ce que c'est que le vecteur opposé au vecteur AB.
Alors on nous dit que deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur ou la même norme. et qu'ils sont de sens contraire. Donc, si je veux construire un vecteur opposé au vecteur AB, il me suffit de construire un vecteur qui va dans la même direction, qui a la même longueur, mais qui est dans le sens opposé.
Eh bien, du coup, il suffit de faire quoi ? Il suffit de prendre la flèche et de la tourner dans l'autre sens. Voilà l'opposé du vecteur AB. C'est la même direction, c'est la même longueur, mais c'est le sens opposé. Et du coup, ce vecteur, qu'est-ce qu'il fait ? Il va de B vers A.
Donc ce vecteur, on peut le nommer, on peut l'écrire de cette façon-là. C'est le vecteur BA, de B vers A. On dira bien que AB et BA sont des vecteurs opposés. Et on écrira que le vecteur BA est égal à...
Alors, il n'est pas égal au vecteur AB, puisque... Ils ont une direction, ils ont un sens qui est différent. Pour que deux vecteurs soient égaux, il faut qu'ils aient le même sens. Or, justement, ils ont un sens opposé. Et bien, comme ils ont un sens opposé, on dira que le vecteur BA est égal à moins le vecteur AB.
Et on a là, en quelque sorte, la première opération sur les vecteurs. C'est un peu comme si je multipliais ici le vecteur AB par moins 1 pour obtenir son opposé. Et ça permet d'enchaîner justement avec la somme de vecteurs. Alors qu'est-ce que c'est que la somme de deux vecteurs ? On va l'expliquer de façon géométrique en faisant une figure.
On va le comprendre tout de suite. Et on va s'appuyer sur les translations. On va dire qu'on a une première translation T1 qui est une translation de vecteur U. C'est-à-dire que cette translation, elle pousse tout figure, point, machin, etc. dans cette direction, ce sens, donc en montant vers la droite.
et sur cette longueur. On a une autre translation, une translation T2 de vecteur V. Alors celle-ci, elle fait tout glisser dans ce sens-là. Et on va composer l'une après l'autre ces deux translations.
On va partir d'un point M au départ. Et on va commencer par construire l'image de M par la translation T1, donc celle de vecteur U. Voilà, je fais glisser M avec la translation T1 et j'obtiens un point M1.
Et ensuite, on va partir de M1 maintenant et on va déterminer l'image de M1, mais cette fois-ci par la translation de vecteur V. Et on obtient ainsi un nouveau point, un troisième point, un point M2. Ceci, c'est donc en appliquant la translation de vecteur U suivie de la translation de vecteur V. Mais ça, c'est très bien. Mais finalement, est-ce qu'on ne pourrait pas appliquer une unique translation pour aller directement de M sur M2 ?
Eh bien oui, on peut. Il suffit d'appliquer une translation qui aurait cette direction, ce sens, donc vers la droite. Et cette longueur, la longueur MM2, représentons le vecteur correspondant.
Et on va lui donner un petit nom, on va l'appeler W. Et bien, appliquer la translation T1 de vecteur U, suivi de la translation T2 de vecteur V, revient en fait à appliquer directement la translation de vecteur W. Et bien, on vient ici de définir la somme de deux vecteurs. On dira en effet...
que le vecteur u plus le vecteur v est égal au vecteur w. On appelle somme des vecteurs u et v, qu'on va noter u plus v, le vecteur w qui est associé à la translation composée des deux translations, la première, celle de vecteur u, et celle de vecteur v. Et on écrit w égale u plus v. Voilà une somme de... deux vecteurs. Mais dans la pratique, comment on fait quand on a affaire à la somme de deux vecteurs ? Eh bien, tu l'as sans doute compris, il suffit juste de mettre bout à bout les vecteurs pour obtenir leur somme.
Un exemple rapide. Alors, j'ai représenté rapidement à main levée un rectangle ABCD et je voudrais obtenir le vecteur AB plus AC. Je voudrais le voir, je voudrais avoir un représentant du vecteur AB plus AC.
Alors, comment on va faire ? Eh bien, on va prendre le vecteur AB puis le vecteur AC, et on va les mettre bout à bout, à la queue leu-leu, l'un à la suite de l'autre. Et ensuite, on n'aura plus qu'à relier les extrémités, le point de départ, l'origine de notre chemin, jusqu'à la dernière extrémité, et on aura le vecteur AB plus AC, on pourra même lui donner un nom.
Alors commençons déjà par partir de AB. Alors on pourrait partir d'ici, ou alors ailleurs, on se rappelle qu'un vecteur n'a pas de position prédéfinie sur le plan. Donc je vais prendre mon vecteur AB et je vais le reproduire un peu plus bas.
Voilà donc mon vecteur AB. A la suite de ce vecteur AB, on va construire le vecteur AC, un peu comme on l'avait fait juste avant avec les translations. Donc je vais prendre le vecteur AC et je vais le ramener de façon à le faire reposer juste au bout de la flèche, à l'extrémité du premier vecteur. Voilà donc mon vecteur AC et je le ramène.
On le retrouve donc ici. placé juste à l'extrémité du vecteur AB. Eh bien, le vecteur AB plus AC, il est là devant nos yeux. Il suffit juste de tracer un vecteur d'origine, le point de départ de ce chemin, et d'extrémité, eh bien, l'extrémité de ce chemin. Représentons-le.
Voilà, en orange, on a le vecteur AB plus... A C. Alors on peut même lui donner un nom, comme on veut, on peut l'appeler U, V, W, X, Y, Z, mais toujours avec une petite flèche sur le dessus. On a bien compris que finalement, pour construire une somme de vecteurs, il suffit de mettre bout à bout tous les vecteurs, parce que là, on l'a fait avec deux vecteurs, mais on peut le faire avec trois, quatre, cinq vecteurs. Il suffit juste à chaque fois, on prend le premier, à la suite on met le deuxième, à la suite on met le troisième, etc.
Et quand on a fini, on relie le point de départ du chemin, jusqu'au point d'arrivée, jusqu'à l'extrémité du chemin, on obtient notre somme. Alors, ce qu'il faut voir également, c'est que là, on a fait une somme de vecteurs, mais du coup, on peut également faire une différence de vecteurs. Pour cela, il suffit juste d'utiliser le vecteur opposé. Alors, admettons qu'on ait à effectuer la différence U moins V. Et bien, comment on va faire ? On va utiliser les règles classiques de calcul, d'opération, avec les signes.
On va dire que U... moins v, c'est égal à u plus moins v. Plus par moins donne moins. Mais ça, c'est intéressant parce que là, maintenant, on est parti d'une différence et on arrive à une somme. Et là, on sait faire.
On vient de le faire. Il suffit de mettre les vecteurs bout à bout. Mais attention ! Quels sont les vecteurs qu'on va mettre bout à bout ? Le vecteur U et derrière, le vecteur moins V, c'est-à-dire l'opposé du vecteur V. Mais sinon, la technique restera strictement la même.
Pourquoi ? Parce que c'est une somme. Il suffit juste de prendre le vecteur retourné. Alors, conséquence de tout ça, une relation.
Une relation fondamentale qui s'appelle la relation de Schall. et qui nous dit que dès qu'on a trois points ABC, et bien vecteur AC est égal à vecteur AB plus vecteur BC. Si on regarde sur ce schéma, on le comprend bien. Vecteur AC est égal à vecteur AB plus vecteur BC. On met bout à bout les vecteurs AB et BC pour faire le raccourci qui va directement de A vers C.
Mais ce qui est intéressant dans cette relation de Schall, c'est que finalement... on peut la comprendre et l'appliquer sans géométrie, sans voire de représentation. Parce que quand on regarde juste techniquement comment elle est construite cette relation, eh bien on retrouve au départ AC, et de l'autre côté, sur le côté droit de l'égalité, dans le membre de droit de l'égalité, on retrouve notre AC, mais avec un point B qui se rajoute à la fête, qui fait qu'on a AC qui est égal à AB plus BC. Donc du coup, des relations de charge, je peux en inventer tout plein.
Sans même réfléchir, je peux dire que je pars de DE, et là, je peux fabriquer une relation de châle. Comment je fais ? Je mets D plus, là, je mets E, et entre les deux, je mets un nom de point, par exemple, DF et FE. Voilà, là, ça, c'est une relation de châle.
DE égale DF plus FE. Je ne sais pas où est le point F, d'ailleurs, je ne sais pas non plus où sont les points D et E, mais en tout cas, ça, c'est sûr que c'est juste. Ça marche à tous les coups.
C'est le principe de la relation de Schall. Et, conséquence de la relation de Schall, une nouvelle propriété caractéristique du parallélogramme. Qui nous dit quoi ?
Qui nous dit que là, on a un parallélogramme. On a un parallélogramme qui s'appelle ABCD. Alors, en le fermant, on le voit un petit peu mieux.
Et ceci vient de quoi ? Vient d'une égalité qui est la suivante. AC égale AB plus...
AD. Alors quand on la lit comme ça, cette égalité, on ne reconnaît pas notre relation de Schall de tout à l'heure parce que notre relation de Schall, on se souvient que on avait ici, près du plus, le même nombre de points. Ce n'est pas le cas ici puisque là j'ai B et j'ai A.
Mais pour le comprendre, il suffit juste de prendre ce vecteur AD et de le placer en haut ici. Parce que ce qui est clair, c'est que AC est égal à AB plus BC. Et ça, C'est bien la relation de Schall.
A, C, A, C, B, B. Mais, comme on l'a dit juste avant, AB, on n'y touche pas, mais BC, vu que c'est un parallélogramme, c'est égal à AD. On a dit que dans un parallélogramme, on peut obtenir des vecteurs égaux. On prend deux côtés opposés et on fabrique ici deux vecteurs égaux. C'est le cas là. J'ai un parallélogramme ABCD, donc j'ai AD qui est égal à BC.
Donc là, à la place de BC, Eh bien, je vais écrire AD. C'est exactement ce qui est écrit ici à droite sur la propriété. AC est égal à AB plus AD.
Voilà une propriété caractéristique du parallélogramme. Elle est un peu plus compliquée à retenir que la précédente, mais elle sert également très souvent. Alors, on a parlé de somme de vecteurs, on a parlé de différence de vecteurs, mais on n'a pas parlé de produit.
Alors, on ne va pas parler de produit de deux vecteurs, parce que ça, ce n'est pas une notion. qui est au programme. C'est une notion plus vaste.
Et d'ailleurs, quand on fait le produit de deux vecteurs, ça ne nous donne pas un vecteur. Tu l'apprendras un peu plus tard. On va faire le produit d'un vecteur par un réel, par un nombre.
Alors, pour le comprendre, on va déjà partir d'un vecteur, d'un vecteur U. Le voilà. Et je vais en construire cinq, des vecteurs U. Je vais faire un peu comme si on appliquait cinq fois de suite la translation de vecteur U. Une fois, deux fois, trois fois, quatre fois, cinq fois.
Alors, regardons ce que ça donne. Voilà qui est fait. Je les ai donc mis dans le prolongement l'un de l'autre. Et j'obtiens ainsi un nouveau vecteur.
Puisqu'on sait faire la somme de vecteurs. J'obtiens un nouveau vecteur qu'on va appeler W, qui sera égal à U plus U plus U plus U plus U. Voilà, j'ai un petit peu décalé pour qu'on arrive à le distinguer. Mais c'est le même vecteur. Le vecteur W, c'est le vecteur U plus U plus U plus U plus U.
Mais U plus U plus U plus U plus U, ça peut s'écrire plus simplement 5 fois. U ou tout simplement 5U. Et là, qu'est-ce qu'on a en réalité ? Eh bien, on a le produit d'un vecteur par un réel ou d'un réel par un vecteur. On vient là de fabriquer notre premier produit d'un nombre par un vecteur.
Et on remarque quoi ? Que les vecteurs 5U et U ont la même direction. Et ils ont également le même sens. Les flèches vont dans le même sens. Et on remarque enfin que la norme du vecteur 5u, la longueur, est égale à 5 fois la norme de u. Et bien à partir de là, on peut définir le produit d'un réel par un vecteur.
Et bien, si on prend un vecteur quelconque, u, différent du vecteur nul quand même, et un nombre réel k, non nul également, on appelle produit du vecteur u par le réel k, Le vecteur qu'on va noter K fois U, ou KU tout court, qui aura la même direction que U, ça c'est clair, le même sens que U si K est positif, c'était le cas ici, puisque 5 est un nombre positif, et qui aura le sens contraire si K est négatif. Si j'avais pris un vecteur moins U, je partirais dans l'autre sens, j'aurais moins U, moins U, moins U, moins U, j'aurais donc... Donc, moins 5 fois U et ma flèche seraient orientées dans l'autre sens. Ce qui fait que si K est négatif, les deux vecteurs sont de sens contraire.
Et donc, la norme est égale à K fois la norme de U. C'est ce qu'on a dit juste avant. La norme de W est égale à 5 fois la norme de U. Alors là aussi, il faut faire attention.
Si K est positif ou si K est négatif, en valeur absolue, enfin, sans le signe, on comprend que la longueur de l'un est égale à K fois la longueur de l'autre. Et pour terminer ce cours, parlons de la notion de collinéarité. Alors, pas très bien dit, on parlerait de la notion de parallélisme. Seulement, on ne parle pas de parallélisme pour des vecteurs, mais l'idée reste la même, c'est l'idée de la direction.
Et on dit que deux vecteurs, toujours non nuls, U et V, sont qui collinéaires à la condition qu'ils aient la même direction, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel K tel que U égale kv. Eh bien oui, on a vu juste à l'instant qu'en multipliant un vecteur par un réel, on gardait la même direction. Eh bien du coup, ça, ça induit une notion nouvelle, la notion de collinéarité, qui va nous permettre de définir des vecteurs qui sont collinéaires, c'est-à-dire des vecteurs qui ont la même direction. Il suffit juste que l'un soit égal à k fois, qu'à un nombre réel, un autre. Alors, pour comprendre rapidement, un petit exemple, voyons deux vecteurs collinéaires.
Alors voilà, je suis parti au départ d'un vecteur u, et ensuite, j'ai pris son opposé, donc le vecteur moins u, et j'ai mis bout à bout, deux fois. Donc, une fois, je pars dans l'autre sens, puisque c'est moins u, une fois, et puis une deuxième fois. Du coup, j'obtiens ce grand vecteur-là, qui est donc égal à moins 2 fois le vecteur u.
On a donc ici multiplié un vecteur par un réel. Eh bien, on remarque que ces deux vecteurs u et V, ah j'ai oublié la flèche ici, sur le V, que ces deux vecteurs U et V sont dans la même direction. On aurait envie de dire qu'ils sont parallèles, mais je le répète, ça ne se dit pas.
Mais l'idée reste la même. On dira que nos deux vecteurs U et V sont collinéaires. Et pourquoi ça ? Tout simplement parce que V est égal à K fois le vecteur U. Alors ici, avec K égal à moins 2, c'est bien un réel.
et dès que je prends un vecteur que je multiplie par un réel, j'obtiens un autre vecteur collinaire. Alors là, j'ai montré un exemple avec des entiers, mais ça marche avec n'importe quel nombre réel. Par exemple, si je prends 2,32 fois le vecteur U, j'obtiens de nouveau un vecteur collinaire. Et à partir de là, on a deux petites propriétés et on va finir par ça avec déjà une première propriété très simple à comprendre et qui illustre parfaitement ce que je viens d'expliquer à l'instant.
concernant la différence entre parallélisme et collinéarité, eh bien là, on comprend bien qu'on parle au départ de deux droites AB et CD qui sont parallèles. Pour des droites, on parle bien de parallélisme. Et ceci revient à dire que les vecteurs AB et CD sont collinaires. C'est-à-dire, sur la droite AB, on va extraire un vecteur AB. Sur la droite CD, on va extraire un vecteur CD.
Pour prouver, par exemple, que les deux droites sont parallèles, Eh bien, on va prouver que les deux vecteurs sont collinaires, c'est-à-dire que l'un peut s'écrire comme K fois l'autre. Cela revient au même, mais pour des droites, on parle de parallélisme, alors que pour des vecteurs, on parle de collinéarité. Et enfin, dire que trois points A, B et C sont alignés, ça revient à dire que les vecteurs AB et AC sont collinaires.
Alors, on peut trouver cette propriété sous différentes formes en jouant avec le placement des lettres, mais ce qui est important, c'est que... Dans les vecteurs, on est un point en commun. Alors on va juste faire un petit dessin pour mieux le comprendre. Qu'est-ce que ça signifie que AB et AC sont collinéaires ? J'ai donc mes trois points A, B et C.
Et à partir de là, j'ai deux vecteurs. Le vecteur AB, représenté par une flèche rouge. Et le vecteur AC, représenté par une flèche verte.
Voilà. Le vecteur AC, c'est... l'ensemble.
Alors, je les ai un petit peu décalés pour qu'on arrive à les distinguer, mais normalement, ils devraient se superposer. Enfin, en tout cas, le vecteur AB devrait se superposer sur le vecteur AC. En tous les cas, on comprend bien que vu que AB et AC sont collinéaires, cela signifie qu'ils sont donc tous les deux dans la même direction. Mais les représentants AB et AC ici ne peuvent pas être séparés tout simplement parce que AB, AC, ils ont donc A en commun, ce qui veut dire que forcément, ils sont collés l'un à l'autre.
Et à partir de là, on comprend qu'on a l'alignement sur les points A, B et C. Cette propriété est également vraie dans les deux sens. On a la réciproque. A, B, C sont alignés, est équivalent à dire que A, B et A, C sont collinières. Cette séquence est terminée.