Лекция: Логарифмы

Введение

• Логарифмы помогают решать уравнения, которые невозможно решить простым возведением в степень.
• Определение: Логарифм числа 𝑏 по основанию 𝑎 есть степень, в которую надо возвести число 𝑎, чтобы получить 𝑏.
• Обозначение: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏)
  • 𝑎 — основание логарифма
  • 𝑏 — подлогарифмическое выражение

Основные свойства логарифмов

1. Основное логарифмическое тождество: 𝑎^{𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏)} = 𝑏
2. Логарифм числа по его основанию: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑎) = 1
3. Логарифм единицы: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(1) = 0
4. Логарифм степени: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏^{𝑘}) = 𝑘 imes 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏)
5. Логарифм числа с основанием, возведенным в степень: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎^{𝑝}}(𝑏) = \frac{1}{𝑝} imes 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏)
6. Сумма логарифмов: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏) + 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑐) = 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏 imes 𝑐)
7. Разность логарифмов: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏) - 𝑙𝑜𝑔_{а}(𝑐) = 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏 / 𝑐)
8. Формула перехода к новому основанию: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏) = \frac{𝑙𝑜𝑔_{𝑐}(𝑏)}{𝑙𝑜𝑔_{𝑐}(𝑎)}
9. Формула переворачивания логарифма: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏) = \frac{1}{𝑙𝑜𝑔_{𝑏}(𝑎)}
10. Умножение логарифмов: 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑏) imes 𝑙𝑜𝑔_{𝑐}(𝑑) = 𝑙𝑜𝑔_{𝑎}(𝑑) imes 𝑙𝑜𝑔_{𝑐}(𝑏)
11. Перемена местами: 𝑎^{𝑙𝑜𝑔_{𝑐}(𝑏)} = 𝑏^{𝑙𝑜𝑔_{𝑐}(𝑎)}

Специальные обозначения

• 𝑙𝑔(𝑥) — десятичный логарифм (основание 10)
• 𝑙𝑛(𝑥) — натуральный логарифм (основание е)

Примеры решения задач

1. Решение основного логарифмического уравнения:

   • Пример: 𝑙𝑜𝑔_{5}(4+𝑥) = 2
   • Решение: 5^{2} = 25, следовательно 4 + 𝑥 = 25, 𝑥 = 21

2. Применение формулы перехода основания:

   • Пример: \frac{𝑙𝑜𝑔_{3}(5)}{𝑙𝑜𝑔_{3}(7)} + 𝑙𝑜𝑔_{7}(0.2)
   • Решение: \frac{𝑙𝑜𝑔_{7}(5)}{𝑙𝑜𝑔_{7}(5)} + 0 = 0

3. Преобразование степеней:

   • Пример: 6 × 𝑙𝑜𝑔_{7}(\sqrt{7}^3)
   • Решение: 6 × 3/2 × 𝑙𝑜𝑔_{7}(7) = 6 × 3/2 = 9

4. Решение с использованием нескольких свойств:

   • Пример: 5^{𝑙𝑜𝑔_{8}(5−𝑥)} = 4
   • Преобразование: 5^{𝑙𝑜𝑔_{8}(5−𝑥)}, представить как (2^2)^{𝑙𝑜𝑔_{8}(5−𝑥)}, приравниваем: 2^{2 × 𝑙𝑜𝑔_{8}(5−𝑥)} = 8^{𝑙𝑜𝑔_{8}(5−𝑥)}
   • Получаем: 64 = 5−𝑥, 5−𝑥=64, 𝑥 = −59
   • Проверяем: Подходит ли к области допустимых значений (ОДЗ).

Заключение

• Для успешного решения задач по логарифмам знания свойств и формул необходимо.
• Для лучшего понимания можно использовать таблицы логарифмических формул.
• Важно практиковаться на реальных задачах ЕГЭ по профильной математике.

Полезные ресурсы

• Скачивание таблиц и формул с телеграм-канала "турикмота": Telegram канал
• Видео-уроки и разборы задач на YouTube-канале автора.

Надеюсь, эти заметки помогут вам лучше понять и применять логарифмы!