Géométrie vectorielle, l'addition et soustraction des vecteurs. Voici trois vecteurs qui sont représentés par des flèches, comme vous avez pu le voir dans la première vidéo sur la géométrie vectorielle. Chaque vecteur étant déterminé par ses composantes, par exemple le vecteur A, il a un x et un y, le x de A et le y de A, et dans notre cas, ce vecteur a comme composante 4, 3. Son x vaut 4, son y vaut 3. Le vecteur B, il est horizontal, il a comme déplacement horizontal comme x, 3, mais pas de déplacement vertical.
Le déplacement vertical vaut 0. Et le vecteur C, il a comme composant 2 et moins 4. Le déplacement horizontal est de 2, et le déplacement horizontal est négatif, il est vers le bas, il sera de moins 4. Voilà les composants de ces trois vecteurs. On va voir qu'il est possible d'additionner et de soustraire des vecteurs, et il y a deux méthodes. Soit on peut le faire graphiquement, avec les flèches si vous voulez, soit on peut le faire algébriquement avec les valeurs des composants. Commençons par la méthode graphique qui est extrêmement simple, bien qu'il faut être bien attentif quand on le fait. Les erreurs sont vite arrivées, mais la règle de base est très simple.
Alors, gardons ces trois flèches. Comment on pourrait additionner ces trois vecteurs ensemble ? Imaginez que ces trois vecteurs représentent des forces.
On veut savoir quelle est la force résultante, par exemple. Alors, graphiquement, c'est très simple. Vous devez mettre ces vecteurs bout à bout.
L'extrémité de l'un va être rejointe par le début de l'autre. Si on a deux, c'est comme ça. Si on a trois, voilà.
Puis si vous avez quatre, cinq, dix, vous faites la même chose. L'ordre, peu importe. On aurait pu commencer A, C, B, ou A, B, C, ou C, A, B, peu importe. Pourvu que chaque...
pointe de vecteurs soient reliés à l'origine d'un autre. Voilà, ça c'est la première étape. Maintenant, le vecteur qui représente la somme vectorielle, la résultante de ces trois vecteurs, c'est la flèche, c'est le vecteur qui part de l'origine du premier pour arriver à l'extrémité du dernier. Quelle que soit la manière dont vous allez arranger ces vecteurs, si vous les mettez bout à bout, le résultat final sera quelque chose qui ressemble à cette flèche rose qui est sous votre écran, qu'on va appeler le vecteur D.
Donc on peut écrire que l'addition de vecteurs A, B et C est égale au vecteur D. Si les vecteurs A, B et C représentent des forces, cela signifie que le vecteur D aurait le même effet mécanique, si vous voulez, que l'addition de vecteurs A, B et C. On pourrait remplacer ces trois forces par le vecteur D.
Maintenant, sur le schéma, on peut voir les composantes de notre vecteur D. On voit que son déplacement horizontal, son x, vaut 9 et son y vaut moins 1. Bien. Maintenant, regardons comment on pourrait arriver au même résultat, mais par le calcul. C'est comme la géométrie analytique. On peut faire des choses graphiquement, mais il faut aussi savoir faire la même chose par des méthodes de calcul, par l'algèbre, etc.
Vous allez voir, c'est extrêmement simple. Le vecteur A, on l'avait vu, il a comme composante 4 et 3. Le vecteur B, 3, 0. Et le vecteur C, 2, moins 4. additionner deux ou plusieurs vecteurs revient à additionner ces composants. Donc le vecteur a plus b plus c correspond à un vecteur dont le composant de première, son x c'est 4 plus 3 plus 2 et son y c'est 3 plus 0 moins 4. Ce qui nous donne le vecteur 9 moins 1, Ce qui est ce qu'on voit sur l'écran.
Le x de notre vecteur D, c'est 9, et son y, moins 1. Vous voyez que les deux méthodes amènent évidemment au même résultat. On a vu l'addition. Maintenant, si on doit soustraire un vecteur, comment on fait ?
Voilà nos trois premiers vecteurs, et on voudrait par exemple faire l'addition de vecteurs A et B, et soustraire le vecteur C. Puis on va appeler le résultant le vecteur E. Alors une chose qu'il faut savoir, c'est que si on change le signe devant un vecteur, par exemple on va prendre le vecteur c, on veut faire le vecteur moins c.
C'est un vecteur qui a la même direction, il est sur la même route si vous voulez, il est parallèle, mais de sens opposé. Si vous regardez sur l'écran, vous voyez exactement ce que ça veut dire. Donc le vecteur moins c, il a la même longueur que le vecteur c, il est parallèle au vecteur c, mais il a la direction opposée. Ce qui veut dire que si on veut faire graphiquement a plus b plus c, on va les mettre bout à bout, a et b, et puis au lieu de mettre le vecteur c, vu qu'on veut soustraire c, on va mettre le vecteur moins c. Vous voyez le schéma, ça représente le vecteur a.
plus le vecteur B, moins le vecteur C. À partir de là, c'est comme tout à l'heure. La résultante de ça, c'est le vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive à l'extrémité du dernier. Voilà le vecteur E. Donc graphiquement, il faut juste savoir que les vecteurs qui sont soustraits, ils changent de sens. Maintenant, algébriquement, ça va être aussi simple que tout à l'heure.
Le vecteur A, B et C, on détermine leurs composantes qui sont là données. Et puis A plus B, ça fera l'addition des composantes de A et B. Et puis si on fait moins C, on soustrait les composantes de C. Ce qui fait A plus 3 moins 2. Et puis 3 plus 0 moins moins 4, ce qui fait plus 4. ce qui nous donne le vecteur 5, 7. Et si on regarde sur notre graphique, on voit bien que le vecteur E a comme composante horizontale son x, c'est de 5, et le composante verticale c'est de 7, ce qui correspond à ce cône.
Un petit exemple pour ceux qui vont utiliser ça dans d'autres domaines. Imaginons qu'on a un point matériel, un mobile, représenté par le point rose, et puis qui subit quatre forces. Vous voyez, ces forces ont des normes, des directions et des sens différents chacun. Si on veut trouver la résultante de ces forces, on peut faire ça graphiquement en mettant ces forces bout à bout, l'extrémité de l'un rejoignant le début de l'autre. Et la résultante des forces, il part du début du premier pour atteindre l'extrémité du dernier.
Voilà la résultante des forces. Les trois forces qu'on a vues peuvent être remplacées par cette force en rose qui est leur résultant. Vous voyez, l'addition des vecteurs, ce n'est pas une simple arithmétique où on dit qu'on n'additionne pas juste les grandeurs des forces.
Il faut tenir de leur x et de leur y. Si vous avez compris ça, c'est relativement simple. Donc quant à vous... additionner deux vecteurs, on additionne leur composant et si on veut soustraire deux vecteurs, on soustrait le composant du deuxième au premier.
Et puis si on a plusieurs, on mélange ces deux éléments, on peut vraiment additionner, soustraire autant de vecteurs qu'on veut.