बहुपद (Polynomial) और दीर्घ विभाजन (Long Division)

मुख्य बिंदु

• पॉलिनॉमियल की परिभाषा: पॉलिनॉमियल एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें अज्ञात (x) और उसके गुणांक होते हैं।
• फैक्टर थेओरम: किसी पॉलिनॉमियल P(x) के लिए, यदि (x-a) उसका फैक्टर है तो P(a) = 0 होगा।
• रिमेंडर थेओरम: यदि P(x) को (x-a) से विभाजित किया जाता है, तो शेष P(a) होता है।

उदाहरण

• पॉलिनॉमियल: ( x^3 + bx^2 + 5x - 2 ) दिया गया है।
• फैक्टर: ( 2x - 1 ) एक फैक्टर है, तो ( x = \frac{1}{2} ) होगा।
• रिमेंडर: जब डिवाइजर ( x-2 ) है, तो रिमेंडर 12 बताया गया है।

प्रश्न समाधान

1. तरीका:

   • ( x-2 ) को शून्य के बराबर रखें, ( x = 2 ) होगा।
   • ( P(2) = 12 ) होना चाहिए।
   • ( 8a + 4b + 10 - 2 = 12 ) से ( a ) और ( b ) की गणना करें।
   • सामिल्टेनियस इक्वेशंस को हल करें।

2. फैक्टर निकालना:

   • एक ज्ञात फैक्टर ( x-2 ) और दूसरा होगा ( ax^2 + bx + c )।
   • समांतर समीकरणों का उपयोग कर ( a, b, c ) की गणना करें।

ग्राफिकल व्याख्या

• क्यूबिक ग्राफ्स:
  • तीन रूट्स के साथ, ग्राफ तीन बार x-अक्ष को काटेगा।
  • यदि एक रूट है और दो कॉम्प्लेक्स रूट्स हैं, तो ग्राफ केवल एक बार x-अक्ष को काटेगा।

निष्कर्ष

• लॉग डिवीज़न और रिमेंडर फैक्टर थेओरम के वैकल्पिक उपयोग।
• पॉलिनॉमियल के शेष फैक्टर निकालने के कई तरीके।
• कंप्लेक्स नंबर के लिए अगला कदम।

यह पूरा अध्याय आपको एडवांस स्तर पर पॉलिनॉमियल्स के विषय में ज्ञान देता है। आगे के लिए कम्प्लेक्स नंबर पर ध्यान देने की आवश्यकता है।