Présentation sur les fonctionnelles de Mumford-Shah et leurs applications en segmentation d'image et propagation de fissures

Introduction

• Contexte : Utilisation de la fonctionnelle de Mumford-Shah
  • Initialement pour la segmentation d'image
  • Applications dans la propagation des fissures dans les matériaux élastiques

Segmentation d'image

• Objectif : Déterminer les contours d'une image
  • Une image mathématique est une fonction sur un domaine oméga, avec valeurs entre 0 et 1 (niveaux de gris)
• Problème : Détection des singularités de la fonction représentant l'image

Fonctionnelle de Mumford-Shah (1989)

• Définition : Minimiser une fonctionnelle sur les couples (u,K) où u est une fonction régulière en dehors d'un ensemble K
• Termes principaux :
  • Différence entre u et l'image initiale g
  • Terme de régularisation (énergie de Dirichlet)
  • Longueur du contour K (mesure de Hausdorff)
• Propriétés :
  • Énergie de compétition entre la régularité de u et la longueur du contour K
  • Cas 1D pour démontrer la minimisation et compréhension de la fonctionnelle

Exemples et applications

• Application numérique des fonctionnelles pour minimiser et détecter les contours
• Problèmes à discontinuité libre : Autres applications mathématiques complexes et variées

Questions mathématiques principales

• Existence d'un minimiseur
• Régularité des minimiseurs
• Conjecture de Mumford-Shah : Structure des minimisers, toujours ouverte mais partiellement résolue

Méthode directe du calcul des variations

• Principe : Montrer l'existence d'un minimiseur pour une fonctionnelle
  • Nécessite des ensembles de niveaux relatifs compacts et une semi-continuité inférieure de la fonctionnelle

Exemple 1: Problème de Dirichlet

• Définition : Minimiser l'intégrale de Dirichlet parmi des fonctions respectant une condition au bord
• Méthode : Passer à un espace fonctionnel plus large pour garantir compacité et semi-continuité
• Résultats : Existence et régularité des minimiseurs

Exemple 2: Problème de Steiner

• Définition : Minimiser la longueur d'un graphe connectant un ensemble de points donnés
• Propriétés : Les minimiseurs sont des graphes se rejoignant par des angles spécifiques

Retour à la fonctionnelle de Mumford-Shah

• Mesure de Hausdorff : Semi-continuité inférieure sur les ensembles connexes
• Théorèmes de compacité : Utilisation de théorèmes comme la proposition Blaschke pour garantir des propriétés de compacité
• Résultat : Existence d'un minimiseur dans un espace plus vaste comme SBV (Special functions of Bounded Variation)

Fonctionnelles de Mumford-Shah pour les fissures

• Énergie élastique : Utilisation de la déformation symétrique pour calculer l'énergie
• Modèle de Griffith : Propagation de fissures proportionnelle à la longueur de la fissure
• Discrétisation temporelle : Méthode pour modéliser l'évolution des fissures dans le temps
• Simulations numériques : Validation et observation des modèles en pratique

Conclusions

• Applications pratiques : Validées par des simulations et modèles numériques
• Problèmes non résolus : Nombreuses questions théoriques encore ouvertes
• Perspectives : Importance des théories géométriques et des calculs variationnels pour traiter des problèmes concrets