[Musique] donc bon c'est un plaisir de parler ici devant vous tout d'abord voilà la solution du problème de kaka ya la vraie pour ceux qui n'avaient pas compris comme moi voilà donc on m'a demandé de parler de l'application à la théorie géométrie de la mesure et donc j'ai pensé à la fonctionnelle de même porte chat qui sert en segmentation d'image donc c'est un problème très concret qui a été introduite pour ça à la base qui sert aussi en évolution de sa dans des modèles de propagation de fissures dans les matériaux élastique et et c'est une fonctionnel qui est très connue parce que bon au départ a été introduite pour résoudre un problème bien concret mais finalement elle a suscité des problèmes très difficiles mathématiques derrière et c'est pour ça qu'aujourd'hui je vais faire un exposé plutôt théorique sur cette fonctionnel et voir un peu comment la théorie géométrie de la mesure permis de d'avancé sur sur l'étude de cette fonctionnel donc donc déjà qu'est ce que c'est que le problème de segmentation d'image donc segmentation c'est tout simplement on a une image donc vous voyez dans les notes le premier dessin la page 2 c on a une image et on cherche on cherche à déterminer les contours de l'image donc qu'est ce que c'est qu'une image en maths donc ce sera une application d'aucune image c'est une fonction j'ai disons qui a valeur de 0,1 qui représente les niveaux de gris de l'image on va faire des images noir et blanc pour l'instant donc oméga c'est un carré par exemple et puis dans ce carré j'ai une image alors admettons que j'ai indiquées donc cette image là j'ai la fonction qui vaut 1 sur le nickel équivaut à 0 ici et je cherche le contour c'est à dire je cherche à détecter le contour de l'image et donc ça ça revient à détecter les singularités de la fonction j'ai donc c'est là où la fonction j'ai saute et un seau et donc pour résoudre ce problème donc même soir des chats ont introduit une fonctionnel 1989 donc ils ont résolu vent ils ont proposé une façon de résoudre ce problème en minimisant et fonctionnel donc là fonctionner c'est la suivante en fait on va minimiser sur les couples admissibles qui sont d expliquer je cherche un ensemble je cherche un ensemble qui est le candidat à être le bord ici le contour donc ça va être un ancien moralement deux dimensions 1 donc c'est là qu'on va utiliser la mesure de hausse d'offres et la dimension 12 nov 1 donc on va chercher des ensembles ferme et donc qu'a donc ça c'est l'ensemble des inconnus sur lequel on va minimiser alors fonctionnel donc on va minimiser sur des couples casser les ensembles fermé qui font penser à un ensemble de dimensions un pue ça va être une fonction qui est régulière en dehors de cas et ça va être une version régulariser l'image et on va minimiser la fonctionnelle suivante surtout les couples lucquin qui sont en en a donc il ya trois termes alors le premier terme ça va être la différence entre une haie j'ai en or mail de ces intégrales contre la mesure de looberghe je suis en disant on va se prenant soin d'eux donc ce terme là ça veut dire que je cherche un hub qui est le plus proche possible de mon image de départ pour minimiser ça on va prendre une égale j'ai parlé sauf qu'on peut pas prendre eu égard j'ai pas ce que je vais rajouter un terme de régularisation qui est le gradient donc l'intégrale du gradient de car et c'est ce qu'on appelle l'énergie de d'iri clé donc on va chercher une fonction régulière donc toute façon qu'est c1 en dehors d'un certain ensemble de sault et on va rajouter la mesure h12 cas bon alors ça peut paraître un peu compliqué mais on va rester un peu de temps sur cette définition là pour essayer de comprendre cette fonctionnel voilà donc je cherche à minimiser je cherche à minimiser cette fonctionnel qu'il faut ça t3 terme alors rustique manquer ce qui se passe donc comme je lé 10e en me disant ça fonctionne elle lui a très envie d'être la fonction j'ai sauf qu'on peut pas prendre donc si on prenait une égale j'ai ça voudrait dire on a envie de prendre qu'a également sans le vide pour avoir zéro ici mais ça j'ai pas le droit parce que enfin j'aurai le droit mais à ce moment là je devrais avoir je vais avoir là où il ya du saut je vais avoir un gradient u qui va être assez fort ce qui va essayer de coller à sa fonction j'ai qui est pas régulière mais en étant c'est un don qui va ça va créer un gradient et ça va créer ici une énergie non négligeable dans ma fonctionnel tandis que si je rajoute de l'ensemble cas donc je paye en mesure de longues heures pour qu'un et bien ça me permet de prendre par exemple la fonction eu d'égal constante par morceau 1 0 elle est bien c'est en dehors de cas qui est le contour j'ai payé la longueur du contour mais j'ai gagné en énergie c'est à dire comme j énergie c'est l'intégrale du gradient donc cette compétition entre la longueur de la singularité et l'énergie de l'ue c'est ce qui va pour c'est un peu vague ce que je dis mais ce que je propose de faire c'est de regarder ce qui se passe en dimensions 1 pour voir un peu comment ça marche donc en dimensions 1 donc ça je l'avais appelé j&j lucas donc cas de la dimension alors bon pour faire un peu de pub pour demain en fait on verra en 7 fonctionnel en application demain on verra même plein d'autres belles images sur l'ordinateur et notamment vous voyez que cette fonctionnel va être difficile à implémenter numériquement parce que pour minimiser le fonctionnel comme ça avec une mesure d onces d'or c'est pas évident donc demain on verra une méthode numérique pour pour traiter c'est fonctionnel mais aujourd'hui on regarde cette fonctionnel en elle-même et on essaie de comprendre comment elle fonctionne donc déjà à dimension 1 j1 des de luca donc j'aurais eu moins j'ai carré vous pensez que omegas un intervalle ici je vais mettre du prime carré et puis la mesure 2 d'or valait 1 0 cette fois ci en dimensions a donc le cardinal de cas où la mesure de comptage sur cas alors l'idée c'est que si j'ai un profil si j'ai l'image est alors j'avais mis un exemple donc ici oméga ses 0 1 et puis je vais faire une transition douce entre 1 et 0 voilà donc j'avais pas j'avais proposé un exemple à eux deux - x - mozin sur le no 1 c'est une fonction très régulière qui passe de 0 2 0 à 1 de façon assez régulière et bien on peut voir que si j'ai une image entre guillemets une fonction j'ai comme ça alors j'ai aucun saut dans le minimiseurs donc fait si utah à minimise avec ceux avec ce gel à l'appeler disons j'ai zéro alors qu'à égale ensemble vide pourquoi tout simplement parce que si je mets dès que j'ai un cas qui est non vide je vais payer 1 or si je prends le compétiteur qui ait eu également une fonction c1 je calcule son énergie j'ai ça qui est zéro ça je peux le calcul est alors ça fait un nombre qui est plus petit que 1 strictement donc je le mets bourse et dans une note vous épargner calcul on peut le calcul explicitement ça c'est strictement petit que 1 donc ça vaut le coup de prendre une identiquement égal à gg quelque chose de plus petit or dès que je rajoute un morceau qu'à quelques pas je vais payer un qui est laid trop gros c'est pour comprendre un peu comme ça maintenant si je prends j'ai une fonction qui fait une transition beaucoup plus beaucoup plus franche donc la gemmi l'exemple alors notez que c'est quand même une fonction continue donc c'est là où c'est délicat c'est à dire que bon je reviendrai après mais je prends cette fonction-là qui vaut donc j'aime ça je mets un coefficient 6 ans donc je mets sang partout cette fonction là il fait une transition de 1 à 0 mais beaucoup plus franche et pour sa sanction là je vois que l'énergie si je prends la fonction j'ai que je calcule son énergie c'est à dire l'intégrale de sa dérive et au carré ça me fait quelque chose comme 50 da intégral geprim quart d'heure dx égale 50 donc si je teste avec u égal g elle même je vais avoir beaucoup de gradient deux parties grano est donc là ça vaut le coup de placer un point ici qu'à et de prendre donc je teste avec u qui vaut 1 1 comme ça kaki et non 8 qui est le point et demi les héros comme ça alors on peut tester avec ce compétiteur là j'ai rajouté cas donc l'énergie donc le j1 des civils est ce que j'ai dis là c'est que j 1 des de la fonction j'ai zéro avec l'ensemble vide c'est plus grand qu à égal à 50 or j 1 des de cette fonction là donc ils ont eu zéro avec à égal le singleton 1/2 et bien qu'est-ce que j'ai j'ai le gradient il est nul parce que c'est une fonction qui est constante par morceaux et elle est bien c'est en dehors de cas son énergie directe et ça va faire 0 par contre je paye un pur cas et puis je paye un petit peu dans ce terme là parce que tu n'es pas identiquement égale âgées mais elle est quand même très proche en or mais le deux voiliers cas c'est très proche donc ça s'arrête petit donc ça disons c'est de l'ordre de beaucoup plus petit que 50 voilà donc ce n'est pas une démonstration que ça c'est les minimiseurs en fait mais ça permet de voir comment fonctionne la fonctionnaire et donc tout est là c'est à dire que ce qui est un peu délicat c'est que ça va pas simplement chercher les singularités de la fonction g c'est-à-dire là où elle est discontinue mais ça va aussi se positionner dans des points où la fonction et continue mais qui fait une transition trop trop net et donc stratégiquement en minimisant 7 fonctionnel l'ensemble cas va essayer de se positionner sur l'ensemble plus singuliers possible de la fonction j'ai de l'image elle peut pas on peut pas le mettre partout on peut pas le mettre partout parce qu'on paye à chaque fois la longueur de l'ensemble donc il faut aller choisir les points les plus singuliers les plus significatifs tout en essayant d'avoir une fonction u qui est le plus proche de l'image d'origine voilà donc ça fonctionne elle marche très bien en pratique et on verra ça demain et elle est à la base de tout un champ de les matchs dont on calcule des variations donc qui s'appelle des problèmes à discontinuité libre donc ça c'est un exemple de problèmes à discontinuité libres c'est le plus connu mais j'ai plein d'autres problèmes de ce type là qui arrivent dans les applications et les questions qu'on se pose au niveau mathématique l'existence notamment alors avant l'existence il ya cette femme donc cette fonctionnalité connue à cause d'une conjectures en fait conjecture de même fort tchad est toujours ouverte donc cot cot cot quand ils ont quand ils ont introduit la fonctionnels ils ont aussi posé cette conjecture qui est toujours ouverte c'est que si le cas est un minimum donc si lucas minimise alors qu'à irréguliers dont elle est une union une union fini de courbes concert et en plus il ya une structure particulière c'est l'union de course et un qui se rejoint que par nombre de trois ans les angles de 120 degrés il ya une raison à ça c'est qu'en fait les minimiseurs de longues heures ils ont cette propriété là on verra plus tard avec le clown de steiner que je reprendrai un peu et donc c'est naturel de conjecturer ça mais c'est toujours pas connue bon c'est presque démontré en fait il ya des avancées sur ce cette conjecture là mais je vais pas trop parler de la régularité c'est un problème difficile avant ça il ya un autre problème donc tout ça c'est dans le domaine des calculs des variations qu'on appelle quatre fûts des variations calcul des variations c'est quand on minimise une fonctionnel et il ya les deux questions principales c est ce qu il existe un minimiseurs et est-ce que s'il existait ce que ce ministère est régulier donc c'est vraiment les deux questions centrales en tels que les variations est donc là j'avais envie de parler un peu d'existence donc problème deux existent il existe à minimiser bon voila je viens de parler de ça un petit peu aujourd'hui ce qui permettra de voir un petit peu de théorie géométrie de la mesure notamment pour voir comment est-ce qu'on peut minimiser une fonctionnelle de type longueur comment est ce qu'on cherche un minimum de la longueur alors pour l'existence donc qu'est ce qu'on fait en calcul des variations pour montrer un résultat d'existence on on applique lui ce qu'on appelle le principe le la méthode directe du calcul de variation donc méthode directe donc c'est un principe général c'est si j'ai une fonctionnel donc est-ce donc j'ai dit non je n'aime pas ce métriques et puis on aime bien la situation suivante gêne fonctionnelle f qui est défini sur cet espace métriques et qui a valeur réelle en calcul des variations les espaces métriques considérés sont souvent des espaces fonctionnels et on voudrait qu'il existe un minimiseurs pour ma fonctionnel f donc si si il ya les deux propriétés suivantes donc un les ensembles de niveau bac f petits qu'eux mêmes sont relativement compact et 2 la fonctionnelle et semi continu inférieure est si ces semi continu inférieur c'est à dire de type value mcev de xn quand xnv rixe dans l'espace métriques eux donc si on a ces deux propriétés là il existe un minimiseurs existe un minimiser alors la preuve elle est très simple on prend une suite minimisant tu donc une suite mimizan c'est un hic scène qui réalise lymphe cette suite minimisant elle reste dans un ensemble de niveau qui est relativement compact donc on peut extraire tout de suite qui convergent et comme je suis semi continu inférieur eh ben le x qui est la limite de mes ex n est forcément à minimiseurs tout s'est vraiment entre ligne créés dans les notes voilà alors le problème c'est que la fonctionnelle que j'ai défini là alors il faudrait déjà donné une topologie sur à il faudrait montrer qu'elle est semi continu inférieur pour cet os paulo j et forêts en plus des résultats compacité ça c'est pas clair et donc c'est ça que j'ai envie de jouer envie de regarder maintenant alors je vais vous montrer deux exemples deux exemples classiques on peut appliquer le principe de ce principe là le méthode directe du calcul des variations pour les deux termes principaux de ma fonctionnel alors le premier terme donc l'exemple un exemple je prends j'ai envie de prendre eux c'est l'ensemble des fonctions qui vont de la boule unités disons f appartient c'est un jeu pas prendre ça je prends soin elle sa barque l'ancien de vie en bas et je prend l'espace ce qui est l'ensemble des élus qui sont c'est un bébé et une galette sur bordeaux et j'ai envie de minimiser f2 une intégrale sur bme radio carré donc ça c'est ce qu'on appelle l'intégrale de d'iri clés et j'ai envie de voir s'il existe un minimiseurs de cette intégrale parmi toutes les fonctions chez un qui valent une donnée initiale sur le bord ça c'est ce qu'on appelle le problème de dire il est très classique qu'on peut résoudre par méthode variations elle donc la méthode variations lc 2 fois par le méthodique du calcul des variations mais déjà c'est un petit peu compliqué il faut utiliser un peu d'analysé fonctionnelle parce que si j'essaye d'appliquer ce principe là alors est ce ça va bien et semi continu inférieur ça c'est pas de problème parce que c'est une fonctionnel quadratique convaincre c'est gentil donc elle va sûrement continuer ferrière le problème c'est que les enfants de niveau seront pas complète donc ça c'est connu que si je prends la topologie naturel sur l'espace eux c'est la convergence uniforme pour huer la convergence uniforme pour la dérive et mais ça ça sera pas ce sera pas compact donc ce qu'il faut faire c'est se placer dans un espace plus gros donc je vais expliquer à un peu rapidement donc ce que je vais faire déjà assez et me placer sur un espace vectoriel donc ça c'est pas un espace vectoriel ça se passe à fines donc je vais appeler le 0 ce sera l'ensemble des u à partir c'est un tel que jean de b&q égale tels que les gaz et rond sur le bord de baie donc ça c'est un espace c'est un espace vectoriel maintenant et j'ai eu les galas f + 0 donc de zéro c'est un espace vectoriel et sur cet espace vectoriel j'ai envie de le munir d'une norme qui n'est pas la norme uniforme qui est la norme j'appelle dans machin qui est la norme de b la norme du carré sur b plus la norme l2 du gradient alors puissance admis ce serait énorme par exemple on sait pas c'est exactement ça va qu'il faut prendre plutôt la somme des bords que je fais comme ça ouais donc cette norme là elle et ça c'est énorme sur mon espace 2 0 qui est qui et pas mal parce que c'est énorme il verse yens donc en fait le zéro minute cette norme c'est un espace de l'île verte qui contient donc je résume je me place sur 0 mais au lieu de prendre la convergence il me semble je prends une autre norme donc le problème de cette norme là c'est que cet espace là ne va pas être complet pour cette noble donc ce n'est pas un vrai espace de liberté donc on prend le compléter je prends le compléter donc que j'appelle h10 compléter alors h10 c'est un espace de sobolev qui va être introduit je crois de mercy par emmanuel russe et cet espace de ce volet fils à la bonne propriété qu'en fait les ensembles de ce niveau sont compacts pour une topologie qu'on appelle la topologie faible bourges c'est l'analyse fonctionnelle mais il ya un terrain de théorème de bannac à la houle ou mais c'est pour vous dire qu'on est obligé de faire vraiment live fonctionnels comme ça pour pour minimiser cette fonctionnel au départ d'anciens et vous allez voir c'est un principe en fait qui arrive tout le temps c'est quelque chose qui arrive tout le temps donc je prends le compléter sur ce qu'on peut tg peut parler de topologie faible et il se trouve donc c'est un théorème c'est difficile mais c'est que les ensembles de niveau est plus petit que m sans compact relativement compact pour la topologie la topologie faible donc je peux écrire des soucis qui convergent pour cette topologie faible et il se trouve que la fait bien semi continu pour cette topologie faible donc je peux appliquer le principe de la méthode directe dans cet espace sauf que le minimiseurs que je trouve donc il existe un mini misère sur zéro faim sur h1h1 0 et là il ya encore du travail à faire pour montrer qu'en fait le minimiseurs que j'ai obtenus dans l'achat 0 il est bien dans l'espace eu de départ et ça c'est un théorème de régularité alors chemin zéro + f et donc j'ai un beau terme d'existence dans cet espace là et puis après j'ai un terme de régularité qui me dit qu'en fait le minimisent heures dans cet espace là il en fait c'est un c'est un terme de régularité qui vient du fait que cette fonctionnel aller régularisant tu donc c'est une fonctionnel alors j'ai envie de le faire parce que bon c'est un peu moi j'essaie de vous donner un peu d des choses moi je travaille en quelques des variations et puis c'est le genre de truc qu'on fait en général et donc ce qu'on peut faire c'est regarder donc je vais arriver au problème des fonctions harmonique alors pour ça je regarde je fais f je prends je fais du calcul des variations c'est à dire que ce soit 6dans il faut que sont abondants h10 celui là je sais que quel que soit est dans l'air la fonction qui a été un souci f2i plus défi donc ça c'est une fonction qui va de rvr herbe elle est minimale en tega 0 donc quelle que soit la fonction fille que je prends dans l'achat 0 ou même en fait je peux même la prendre dans je peux même la prendre dans l'ansé 1 0 chez eux 0 je prends une fausse anciens qui est zéro bord et je fais upu steffi eu plus tes fils est encore une fonction qui est dans mon espace h à zéro + f donc il vaut toujours fo bord et je sais que cette application la haine mais un minimum 1 0 donc je sais que la dérive est hantée de cette fonction-là nuls je sais que des sur d'été de f2 une puce wifi en tega 0 ça c'est zéro maintenant si je calcule la dérive et cet fonctionnel vu plus tes filles il faut faire un petit calcul ça ça me dit ça ça veut dire qu'un tegra sur b2 gradient hugues radio fille eva zéro pour tout fille c'est un 11-0 et ça c'est là si j'attaque ma partie supposée vous pouvez intégrer pas partie donc ça veut dire que moi la passion du fis dégâts 0 pour tous fille dans les erreurs et donc sas ont dit que ul et harmonique elle est faible voire monique donc ça vous pouvez montrer que ça implique en fait la place tien que lui appartient à ses 1 est le même c'est 2 et la facile vu égal zéro au sens fort bon je vais un peu vite là je suis conscient mais c'est parce que j'ai envie de dire plein de choses mais c'est pour vous montrer un peu le principe le principe c'est le schéma de preuves pour en calcul des variations c'est très souvent la même chose qu'est ce qu'on a fait on est parti d'un problème sur un espace qui était pas qu avait pas des bonnes probabilités compacité je prends un espace plus gros qu'il ya des bonnes propriétés de compacité c'est ce qu'on appelle la relaxation donc on a fait la relaxation la relaxation sais que je prends ma mon problème de minimisation et je le relax dans un espace plus gros cas des meilleures propriétés sauf que une fois que j'ai trouvé mon minimiseurs sur cet espace plus gros il faut que je montre qu'il est en fait dans l'espace d'origine sas à terme de régularité et cette régularité on l'obtient en faisant ça c'est à dire qu'on montre que le minimiseurs vérifie en fait ce problème des équations aux dérivées partielles au sens faible c'est à dire contre des fonctions test et puis à des théorèmes de régularité elliptique qui disent que quand on vérifie ça ou sensibles en fait on essaie deux et on vérifie ça au sens fort et donc en fait on essaie un et on a résolu notre problème voilà c'était pour vous montrer un peu ce une façon d'appliquer ce principe alors et surtout c'est un des termes c'est l'un des termes qui n'intervient dans la fonctionnelle de ma force alors ça c'était pour le le gradient uqar et maintenant donc exemple 2 comment est-ce qu'on gère la minimisation 2h ont donc je parais je vais essayer d'appliquer le principe la méthode directe du calcul des variations alors je propose de petits problèmes suivants ces problèmes connus sous le nom de steiner au m2 steiner je me donne donc j'ai ici un nombre de points un nombre fini point x1 x2 x3 x4 par exemple il finit on peut placer sa dent et rennes donc c'est un sous-ensemble ici je veux faire plus tôt dans l'air 260 du plan et je cherche je cherche à résoudre un ensemble qui minimise qui minimisent la longueur et qui connecte mais pointent donc problème de steiner si je cherche alors je pose mon espace ça va être cassée l'ensemble des ensembles décadents perd 2 allez on va faire dormir de tout entier compact connexes je cherche mines un chemin de cas parmi tous les ensembles qu'à fermer compact connexes tels que cas contient les x donc je cherche un je cherche un compact connexes qui relie mes points donc voila et deux longueurs h un total minimal alors je prends connexes évidemment sinon il y aurait pas de la solution assez triviale et donc déjà on peut dire pas mal de choses sur les propriétés misère s'il existe c'est que déjà dès que j'ai deux points ça va être la ligne droite entre ses poumons qui va utiliser la longueur donc en fait ça va être un graphe donc les minimiseurs de la solution de steiner c'est toujours un graff c'est à dire une union de segments et on peut montrer que ces segments se joignent uniquement par trois maximum en faisant des angles ego 20 degrés donc le minisère ressemble à quelque chose comme ça donc on retrouve cette route et d'angles dans la nature on verra ça demain aussi et c'est un problème qui était assez connus en combinatoire et c'est parce qu'en fait ça revient à problèmes de théorie des graphes de chercher un graphe de longueur minimum et ce qui est difficile dans le poème de steiner c'est qu'il ya ces points là en plus qui sont des points de jonction qui sont une inconnue du problème qui sont à déterminer donc en termes combinatoire c'est très difficile de calculer un minimum exact c'est un problème np complet en fait c'est un problème assez difficile et voilà donc est ce qu'il existe un minimum et ben j'essaie d'appliquer le j'essaie d'appliquer la méthode directe alors pour appliquer la méthode directe du calcul des variations il faut une topologie sur l'ensemble des compactes connexes et donc on va prendre la distance de hossegor ce donc distance deux d'or donc c'est une distance sur les compacts qui est oui je suis plutôt envie de s'impliquer la vie je voulais prendre inclut tous dans un même compact disons que je vais prendre l'enveloppent convexe de disons c'est c'est un complexe qui contient le compact qui contient les xxi donc je travaille dans un travail dans un compact c'est plus ça voilà c'est de toute façon on peut montrer facilement qu'un minimum de steiner reste dans l'enveloppé convexe des points qu'on alors je traduis la distance de 11 d'or ce qui est le support des données issues d'un bep des indices ase [Applaudissements] il ya d'autres variantes où on prend le max des deux supports et donc c'est une saine distance sur les sur 7 sur cet ensemble car ondes et il ya un théorème donc une proposition c'est pas très difficile à manger on appelle le principe de blast et des accents aussi qui dit que cet espace métriques donc je prends l'ensemble des compactes là je les ai pris connexes en plus mais en fait y'a même pas besoin de conex l'ensemble des compactes de ces mini sa distance c'est un espace métriques compact c'est à dire que de tout de suite de compacts de ces jeux peut extraire une souce 8 qui convergent pour la distance de huf en particulier c'est une conséquente bon ça se démontre avec ascoli c'est pas c'est pas difficile et ça permet de ça permet de résoudre un problème de steiner alors j'ai la compacité maintenant est ce que la mesure de hausse d'or et semi continu inférieur pour cette convergence alors réponse non alors en généralité non alors attention qu'à associe un chien le cas en général pas assez pour la distance derrière alors pourquoi vous prenez le contre exemple typique si vous prenez vous prenez une union de parentis à ces segments unités ou pour une union de petits segments qui sont de plus en plus petit de plus en plus de plus en plus éparpillé ils sont de plus en plus éparpillé donc qui convergent bien à distance des hausses dorce vers le segment unités donc ça ça converge en distance de aux offres vers en fait le segment complet converger pour la distance des hausses d'or ça veut dire que pour tout et si lon 6,6 ikken convergent vers cas pour la distance 2 dorff ça veut dire que pour tout et si lon j'ai profité suivant ce que pour tous points de cas je peux trouver un point de l'externe suffisamment grand pour lequel il existe un point de cayenne et puis l'autre proche et inversement pour tout point de cayenne il existe un point 2 caps event roche pour un assez grand et c'est le cas avec cette conversation est là par contre la longueur on peut s'arranger pour que la somme l'union de ces petits segments soit strictement petit qu'un jusqu'à l'infini au fait qu'on s'arrange on construit pour que la somme ici ça fasse quelque chose qui soit strictement petit coin de sorte que la longueur de la suite ne tend pas la longueur du segment du bit on peut faire cette construction c'est pas compliqué bon donc c'est embêtant si je veux minimiser c'est embêtant si je veux minimiser h1 le cas mais mais bon il ya quand même un théorème donc ségo lab qui dit que si [Musique] [Applaudissements] six cas n appartient car on l'a donc je mets en évidence qu'en fait ce sont des connexes ce sont des connexes qui convergent aux doors vers un compact alors j'ai bien la ceni continue était inférieur de 2 h en h1 de cas est utile que la dimension de carême voilà donc vous voyez si je rajoute là de conditions connexité l'hypothèse de connexité ben je tue cet exemple ça c'est évidemment ce n'est pas des connexes et en fait c'est un théorème c'est à dire si j'ai une suite de compath connexes qui convergent pour la distance et aux orres alors jelassi nicotine t inférieure et là j'ai tout ce qu'il faut pour pour résoudre mon problème de steiner donc conséquence il existe un minimum ah ah steiner voilà j'applique la méthode directe du calcul des variations ça va jusque là alors maintenant je reviens à même forza alors je reviens même forte chat donc un j donc retour à monflanquin donc en fait en utilisant ces deux ces deux choses a donc on a vu comment minimiser le gradient carré et on a vu comment minimiser achat sur les compacts connexes alors vraiment peuhmond alors c'est un petit peu c'est pas aussi simple en vrai mais on a un théorème qui proposition opposition il existe un couple du cas d'un minimum dans de mêmes sortes chardon goji de j dans à atild qui sont les couples du karting cas connexes voilà donc là c'est assez simple avec des outils un peu élémentaires comme ça de montrer l'existence d'un minimum avec les ensembles a connu qu il se trouve que la conjecture est vrai pour ce minimum là donc ce qui est dur dans l'acte fonctionnelle de même pour chat c'est à dire que en fait c'est un résultat dû abonnés en fait il n'a pas il n'a pas énoncés comme ça mais en fait une conséquence une conséquence du théorème de bonnet donc ça c'est 1996 une conséquence c'est que c'est que si je minimise parmi les connexes en fait je suis une union fini de course et un qui se rejoignent exemple et ce qui est dur dans la fonctionne même vorsah dans la conjecture c'est de l'enlever cette hypothèse de connexité si je alors déjà donc en réalité [Applaudissements] alizée il existe un minimum dans a donc sans hypothèse de connexité est par contre que la conjecture est ouverte pour le minimum dans la donner une idée un peu où on en est je parle pas je n'en dis pas plus mais voilà alors j'ai envie de parler pour finir un petit peu sur sur cette assertion là en fait il existe un minimum dans la sambre connexité bien que la mesure achats ne soit pas semi continu est inférieure il existe quand même un minimum et donc pourquoi j'ai envie de vous parler de ça c'est que ça utilise vraiment la théorie géométrie de la mesure c'est à dire qu'on va utiliser une méthode de relaxation encore une fois on va se placer dans un espace plus gros qu'eux a donc en utilisant un espace fonctionnel qui s'appelle l'espace sbb et dans cet espace on peut trouver un minimum voilà j'avais envie de raconter un petit peu cette station sonel connaissent pas ce spv alors tout ça étant cohérent avec les exposés de mes collègues puisque demain vous allez voir l'espace bébé qui devrait être un préliminaire à sb mais malheureusement ce sera demain si tu en fis donc je vous fais je vous fais rapidement donc bbc pour les fonctions à variation borne est donc une fonction fff on prend une fonction dans l ain je sais pas si ça vous parler l'un l'autre donc c'est une fonction mesurable tels que qui sont intégrables on sent des eft que l'intégrale fini et sur cet espace on regarde celle tels que la des fonctions dont la dérive et au sens faible est une mesure alors alors malheureusement je pensais que ce serait introduit avant donc je vais je vais je vais essayer de vous dire comment peut donc on dit que s appartient à bv6 quelle que soit la fonction fi donc bébé des oméga-6 quel que soit fille appartient [Musique] c'est infini assurent leurs compacts de oméga 6 il existe c'est tel que pour toute fonction test fille si je fais l'intégrale de f contre gradient de filles donc ça c'est plus petit que ses fois dans 28 10 alors ça je suis en train de dire que la dérive et au sens des distributions de f est une mesure et il ya un théorème de ris donc dit dans ce cas il existe mille mesures telles qu'en fait intégrale de f contre gradient fille c'est ici qu'on peut cette mesure mue donc j'ai intégré par partie sauf que les dérivés au lieu de faire porter sur eve qui n'existe pas en fait il existe une mesure qui représente la dérive et 2f tels que je peux intégrer par partie et donc ça cette mesure là c'est la dérive et au sens des distributions de ma fonction m6 a fait c'est un la mesure mieux ce sera a dérivé de f fonds dans la mesure de leurs voix là et donc ses fonctions à variation bornes et elles ont toutes une structure c'est un espace fonctionnel assez utilisé assez intéressant et l'espace sbvc un espace un petit peu plus précis qui a sous espace de bébé on peut mettre une topologie sur cet espace mais je vais pas je peux en parler donc s bbc1 sous-espèces de bébé et on va le définir alors en fait donc je considère que maintenant vous connaissez bd ok donc maintenant je prends f w fonction avaria sont bornées vous connaissez peut-être d'ailleurs les fonctions variées sans borne et de une dimension c'est la générisation généralisation aux dimensions supérieures donc si elle fait une fonction à variation bornes et je vais définir son ensemble singulier donc ssf donc c'est l'ensemble des points x2 oméga quelques f n'est pas n'admet pas de limites l'approximatif ou en face si vous voulez c'est le complémentaire des points de lebbeke de f donc les limites approximatif donc z et limite approximative de s si en x6 quand je fais la moyenne sur une boule de tonnes de rayon aires centre-est en x de f - f ii x2 y - cette valeur z qui est la limite approximatif de fo point x quand je fais la limite quand air temps vers 027 moyenne sur une boule ça fait zéro donc en moyenne s convergent vers la limite des dents au point x si elle fait continue ben z cf 2 x en tout dans toutes xe mais quand même ce n'est pas continue mais cette limite là n'existe pas forcément partout donc l'intérim de lebbeke et couple est connu qui dit que en fait cette limite approximative existants presque tous points quand même fait une fonction intégrable par exemple bon alors il ya une structure des fonctions à variation borné qui est assez assez joli c'est que donc ça c'est intéressant hervé vous a cité la bible la bible de la théorie de la mesure qui est écrit par federer donc ça c'est un théorème de federer alors pas tout seul federer est vol perte alors si appartient un bébé alors sf l'ensemble de singulières des pointes singularité de f c'est un ensemble rectifiable donc il est un voisin rectifiable là je suis partie de suite on voit les rênes en fait la demoiselle recchi femme voilà bon combien de temps il me reste en fait petit quart d'heure bon c'est bon je vous ai fini avec ce cv mais donc cet ensemble là il est elle moins rectifiable et là je peux prendre la mesure but qui en fait la dérive et 2f c'est une mesure mieux je peux la décomposer en utilisant le terme de radio ni codeem mais il ya une partie absolument continuer dans la mesure mu à une partie absolument continuer par rapport à looberghe donc mua contre le bugue plus us qui est la partie singulière contre la mesure de bergues l'ua c'est une fonction donc c'est une densité cette fonction donc ça n'importe quelles mesures vont qu'à des bonnes propriétés sigma fini et cetera je peux la décomposer une partie contre la mesure de le bec à une partie singulière cette term de radeaux nique aux dîmes et bien le théorème de federer est dit que non seulement s est filée rectifiable mais qu'en plus la partie singulière par rapport à lebègue restreinte à cet ensemble est absolument continue par rapport à la mesure des noces d'or de plus l'ue ins bon c'est un peu ambitieux peut-être d'exposer ça mais ça vous permet de voir comment est ce que la théorie jeunesse de la mesure permet de résoudre un problème de segmentation d'image c'est concret enfin en tout cas montré un résultat d'existence abstrait sur cette fonctionnel mais donc le terrain me dis donc on commence à sentir la structure des fonctions à variation borné sais que j'ai une partie régulière par rapport à lebbeke dans la série v au sens des distributions qui j'ai une partie singulière la partie singulière en fait si je la restreint à l'ensemble de saut en fait elle va être absolument continue par rapport à la mesure de le buzz d'or à chaîne voisins voilà et donc il ya une partie encore singulière de la partie singulière qui est glauque serait pas si singulière il ya une partie qui est sur le saut et puis un autre parti qu'on appelle la partie quand auriel donc le muet ce ça va être une certaine partie régulière donc je ne suis pas agi je vais l'appeler jx contre la chinoise un plus une autre partie singulière de la partie singulière qu'on appelait la partie quand auriel voilà bon tout ça pour dire que l'espace sbvc les fonctions bv pour l'instant j'ai pris une fonction des quelconques tels que cette partie là également donc si cette partie là égal zéro je suis sbb et donc j'ai uniquement dans ma dérive et une partie régulière par rapport à lebègue plus une partie qui charge le saut au sens au sens que je définis là alors non seulement ça mais en plus on sait que ma fonction aller approximativement différenciables en dehors du sceau donc la même définition et avec le gradient alors supérieur ça c'est vrai presque partout en dehors du saut et on sait que la partie continue par rapport à lebbeke c'est en fait ce gradient là qui est là la partie à proximité limite c'est la différentiel approximatif de f voilà est bon c'est pour dire que voilà donc on a cet espace et ce baiser et là j'en arrive à même vorsah je veux terminer la tchèque s bbc que cette fonctionnelle du cou qui est défini sur des couples on peut la relaxe et donc c'est le principe de relaxation encore donc je peux définir relaxation au lieu de prendre une forte charge classique je vais faire j eus je vais appeler son gîte il de vue pour eu dans sbb et ben ça va être la même chose donc ici cas je vais le remplacer par le centre de sow ici c'est là le différentiel approximative de vue qui est définie presque pas qu'ils existent presque partout en dehors du saut par des théorèmes lequel aux géométries la mesure et puis ici plus maître chez le voisin du dessous donc cette nouvelle fonctionnelle elle est définit uniquement sur des souris fonction sbv au lieu d'être sur des couples hué quoi est il ya des théorèmes assez profond sur sbv qui manque c'est déjà on a de la compacité et qu'elle est bien sony continue et donc on peut appliquer donc par le par la méthode directe par la méthode directe il existe un minimum d'un an et ce but et puis le même schéma de preuve par un autre théorème donc ça c'est dû à un théorème séduit un résultat d'ambrosio en fait sont terribles et puis terrain de 2 janvier pepsico hauteur car il roulait hachey en fait le minimum dans sbv six usines mises dans sbv alors la mesure 2 d'or ce de l'adhérence du sceau du vdev dessus et gazier et ça c'est un résultat de régularité analog donc c'est le même schéma c'est à dire on a existence dans l'espace plus gros ont rejoint ce résultat d' existence à un résultat de régularité qui permet de dire qu'en fait une haie si bart qui lui est un ferme et minimise la sanction et le départ j lucas sur les sur les couples avec voilà c'est pour vous montrer un peu comment ça marche des petits commentaires de giorgi c'était quelqu'un personnage vraiment calcul des variations qui était en italie en bronze aux states et étudiants en thèse qui a démontré sur la compacité de ces thèses et les années c'est les années 90 la voilà et jeu pour finir j'avais envie de parler de l'autre problème des fractures très rapidement donc demain on verra ce sera complètement différent ce sera vraiment basé sur les applications purée y aura des résultats numériques etc voir comment la fonctionnelle marche en pratique et je vérifie j'ai rien oublié mais voilà donc pour vous dire que ça fonctionne le mode forza elle sert aussi en en propagation de fissures alors rapidement parce que c'est une autre application qu'on va voir de cette fonctionnelle de même fort cha donc c'est un principe physique qui dit que si je déforme ainsi le déforme j'ai un matériau élastique si je déforme j'ai une énergie élastique lait produite qui est donc si donc là on est en mécanique des milieux continue donc j'ai une application qui va de l'oméga derrière deux donc c'est une déformation alors en fait sur deux mais ça peut faire trois je suis dans l'espace donc j'ai une déformation et quelle est l'énergie élastique alors c'est comme latéral de 10 riscle et ça va être ce qu'ils ont fait un peu de mécanique donc c'est le gradient si maîtrisée c'est à dire que c'est la partie symétrique du gradient on ne met le gradient ici donc c'est lorsqu'on appelle gradient ici en fait c'est une matrice donc on l'a notre action eu alors en réalité il ya un bon je me remette ça mais c'est donc eu de eu c'est la partie symétrique du gradient donc si on calcule le résultat c'est l'énergie produite par cette déformation c'est le gradient si maîtrisée qui rentrent en jeu et donc il ya un principe physique due à griffiths qui dit que pour produire six jeux pour produire une fissure dans un matériau plastique se serait proportionnelle à la longueur de la fissure produite et donc pour voir où va apparaître les fissures dans mon matériau ben ça sera la compétition entre cette énergie là stick et la longueur de la fissure et là on arrive vraiment dans même fort tu as donc parce que donc qu'est ce qu'on va faire donc je voulais ses modèles de telles variations elle de propagation de fissures donc j'ai une j'ai pas dit cette fois j'ai pas une fonction j'ai qui est une image défini sur le oméga g va être définitivement sur le board et oméga donc j'ai donc j'ai c'est une contrainte extérieure donc c'est une force qui agit sur le board et oméga et qui dépend du temps donc en fait ce sera g22 r + 3 bordeaux et oméga donc si vous voulez je fais un schéma alors j'ai au méga giga j'ai une contrainte g qui agit sur le bord de oméga et en tout temps je vais calculer l'énergie qui est je vais réaliser le minimum surtout les couples ont eu c'est un petit peu je fasse calmement donkey imaginons que j'ai un gène précis sur gamma de thé imaginons que j'ai une pré fissures ou tenter autant t0 comme une fiche je vais décrire l'évolution des fissures qui dépend du temps donc c'est un ensemble fermé qui dépend du temps j'ai envie de décrire son évolution à l'aide du modèle de relationnel de propagation de fissures en utilisant même fonctionne donc que vérifie que vérifie ces fissures donc en tout temps dezeraud fixée je vais minimiser le premier variation est le suivant donc une partie élastique donc du quart et surtout les u qui sont égales à g de thé sur bordeaux méga plus h12 cas sur tous les cas qui contiennent gamma de thé donc ça veut dire que je suis autant t0 je regarde quelle est l'évolution de ma fille sur autant en suivant eh ben je vais minimiser la somme de l'énergie élastique plus la longueur d'un ensemble cas qui contient mafieuse coton aux tentes et parmi toutes les fissures les candidats potentiels qui contiennent mafieux précédente je vais chercher celle qui minimise cette énergie demain forcions alors comment on fait en pratique en fait on discret tease le temps donc on a tu es un t2 t3 à chaque temps on va chercher à minimiser ce problème là autant suivant et puis on va avancer comme ça sur les temps discret et on va avoir une évolution de fissures discrète dans mon roman de matériaux plastiques qui dépendent quoi qui dépend de ma donné j'ai qui est donné sur le bord voilà j'essaie d'être rapide j'espère c'était quand même assez clair et messer voilà donc demain on verra aussi des simulations numériques sur ce modèle là et voir comment ça marche en pratique cette progression cette évolution de fissures bon ben voilà c'est tout ce que je veux le dire aujourd'hui [Applaudissements] il ya des questions que tu as écrit en bas à gauche le enfin wayne qui me lisent attentivement est ce que est lui-même vérifie une dp un peu analogue à celle d'août à leur détention oui oui tout à fait en fait on peut faire du cas que les variations sur sur son ennemi there et donc ça va minimiser en fait si si je regarde la fonctionnelle donc je peux faire des variations du jeu la fissure et est fixé et un étang je fasse des variations en dehors de la fissure je ne vais voir que les deux parties énergétique donc intégral depuis - g car est plus gras dans un carré et je ne sais pas varié la fissure à ce moment là je vais avoir une équation elliptique ce sera pas la place saint-louis égal 0 ce sera la place tien est égal ou manger alors moi la bastille ne gagez moi donc ça ça vient de ces deux termes là donc ça ce sera l'équation qui sera vérifiée paru dans oméga privé de la fissure ça c'est une première équation en faisant varier uniquement et en dehors la fissure sans bouger la fissure et puis à d'autres équation qui viennent de la variation de la fille sur elle même et là quand on minimise la longueur ce qui sort comme équation en fait sur l'ensemble qui minimisent c'est la courbure moyenne donc en dimension à ce sera juste la courbure donc si je minimise la longueur en fait en dimensions 1 [Musique] l'équation c'est courbure et la 0 ben oui parce que ce qui minimise le segment mais comme là il ya une interaction entre huées cas et bien l'équation ce sera courbure moyenne donc comburant dimension une courbure alors le problème c'est que pour le reste les équations il faudrait que cas soit suffisamment régulier donc au moins c'est 2 pour x est ce que c'est que la courbure qu'est la dérivée seconde etc après on peut écrire ça au sens faible mais donc ce sera courbure égal en fait le saut du gradient de u donc il ya une relation entre le gradient de vue donc ici en fait gradins de vue à une trace à droite et à gauche sur la fissure si mes souvenirs sont bons c'est quelque chose comme lui plus - lui manque quelque chose comme ça c'est à dire des bêtises mais c'est quelque chose comme ça demandez à jean christophe que spécialiste des marchés s'est déclaré l'énergique à cause des énergies intervient le saut d'énergie interjet ouais mais donc il me semblait que sur la courbure moyens y avait uniquement le sceau du gradient qu'ils intervenaient on a une relation en tout cas entre les la fonction hué la courbure de cas c'est ça les équations qui a derrière mais le problème des équations c'est qu'on peut s'en servir qu'à partir du moment où on sait que la fissure elle est régulière et c'est ça qui est dur en fait dans ma force c'est de montrer le premier degré de régularité de la fissure qui laissait un par exemple et une fois qu'il est c'est un on peut utiliser les on peut utiliser quoi si on présente au sens faible et montrer qu'en fait ils essaient de est allé un peu plus loin mais ce qui est dur c'est de montrer la première régularité et par exemple même la rectrice habilité est pas clair mis sur des fermes et alors un truc que hervé n'a pas dit mais si je suis ferme et connexes de mesures h infinie je suis rectifiable donc ça c'est pas mal mais là je ne sais pas que je suis connexes donc je suis une mesure h infinie mais je suis donc je sais pas si alors le théorème de que j'ai cités là en fait de manière détournée il montre que la fission et rectifiable parce qu'on a vus par le théorème de federer que l'ensemble de saut d'une fonction sdv était toujours rectifiable et comme le minimiseurs dans sbv coïncide avec le minimiseurs classique ça montre en fait que la fissure éveil rectifiable manière un peu tout à fait alors pour faire la pub un peu pour demain on verra un exemple de du panthéon à paris où il ya des fissures qui apparaissent dans les briques du panthéon et avec des modèles se baser sur montfort chars on retrouve exactement la forme des fissures et on comprend comment ça donc oui ça marche très bien bon je dis ça marche très bien mais il ya quand même beaucoup de questions théoriques en fait derrière qui sont pas résolus et puis c'est un modèle très simplifiées donc ça marche très bien dans des cas assez simple mais dès que façon la physique c'est ça c'est à dire que l'on en maths on sait résoudre le modèle simplifié par exemple c'est donc ça par exemple c'est ce qu'on appelle des c'est une probable c'est une commande une évolution quasi statique c'est à dire qu'on églises les effets de d'inertie de la fissure donc ça marche pour des fissures qui propage de façon très très lente notamment dans le cas du panthéon où les fissures apparaissent d'année en année de façon très nantes ça mange bien en sismologie oui non là ça marche non donc là on néglige des tas de trucs on néglige l'inertie on néglige par l interprète un truc d'interpénétration aussi qu'on néglige enfin il ya plein de choses qui sont simplifiées là et pour arriver à même vorsah en plus on se passe en 2d en 2d ans et si des choses en 3d on sait presque rien dire sur ce modèle là en 3d il ya rien qui ait connu alors qu'en 2d on sait dire des choses mais bon la vie c'est 3d donc oui et ceux ci classique oui alors ça c'est un truc j'avais fait un exposé au collège et j'avais pu démontrer que les méthodes géométriques très simple que c'est qu'il ya que des points triple mais bon c'est quand même un peu une fois plus que cinq minutes pour pour l'expliquer il ya une méthode assez simple mais la meilleure méthode c'est de plonger du savon voir ce qui se passe et on est on verra ça demain on verra ça demain dans les images du biographique est ce que vous êtes parés de la bible nous a déconseillé de venir il yad'autres le livre de morgane qui expliquent le federer avec des dessins en plus ils vous donnent la référence exacte vous allez trouver un federer alors il ya cette référence qui est pas mal effectivement franck morgan met donc c'est l'interruption à ce que la mesure avec des beaucoup de dessins mais c'est très axé sur le problème de plateau donc minimiser chercher surface minimale et vu les films de savon etc tandis que sur eux-mêmes forte ça on va pas voir du même vorsah dans le livre de france morgan donc là faut plus tôt il n'y a pas vraiment de il ya le livre de guy mais pareil c'est comme le fait d'erreur d'un oiseau morel solide je ne connais pas mais pourrait être morgan c'est voilà par contre c'est en anglais devrait rester bien on sait qu'on peut savoir combien ont-ils appris venir d'un majoré nantes contre x non après je suis pas je suis pas super renseigner sur la cette partie là mais je pense qu'il ya des majorations mais c'est quand même très dur à trouver ça change la topologie du minimiseurs donc c'est ça qui rend truc dans le nombre peut-être qu'on s'est estimée et demain enverra une méthode numérique pour faire preuve de steiner aussi [Applaudissements]