Canlarım benim Selamlar AYT matematik konu anlatımında geldik 7 güne fonksiyonlar 3 ders fonksiyon uygulamaları 3 ders fonksiyonlar 2'de parçalı Fonksiyon ve grafiğinden bahsetmiştik fonksiyonlar 3te de mutlak değer fonksiyonu ve grafiğinden bahsedeceğiz şöyle bir K programımıza bir yakınlaş alım arkadaşlar fonksiyonlar 3 derste ne konuşacağız fonksiyonlar 3 derste e konu anlatım kitabımızdan sayfa 3536 temel tanımlar kısmını yapıyoruz ve soru bankamızdan yani ödev kitabımızdan da fonksiyonlar temel tanım testi 3'ü ödev olarak bitiriyoruz ve fonksiyonlar 3ün derse noktayı koymuş oluyoruz arkadaşlar hemen şöyle Uzaktan bir bakış atalım parçalı ve parçalı fonksiyondan sonra mutlak değer fonksiyonunun grafiği ile ilgili size önce bir tanımlama yapacağım yani Birkaç Kural vereceğim ama Bu kuralların nereden geldiğini anlatacağım sonra bir pratiğin var bu pratiğin uygulandığı sorularımız var Bir pratiğin Daha var onun uygulandığı Sorular daha var İki tane de mor soruyla beraber mutlak değer fonksiyonunun grafiğine noktayı koymuş olacağız Canlarım ciğerlerim tamam mı Hadi bakalım şöyle bir yakınlaş alım ve fonksiyon uygulamaları 7 gün 1 ders fonksiyon uygulamalarının 3 dersiyle devam ediyoruz şimdi mutlak değer fonksiyonunun grafiği Baba mutlak değer fonksiyonun grafiği mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizerken çizim yapılır ve grafiğin x ekseninin altında kalan kısım x ekseninin üstüne katlanır Yani aslında mutlak değerin grafiğini çizerken sanki mutlak değer yokmuşçasına Yarınlar yokmuşçasına grafik çizilir tamam mı yani grafik şu diyelim ki çizdiniz grafiği E yani çizdiniz tamam mı Hadi şöyle olsun Tamam şöyle şöyle e Şöyle mesela işte Efendim Böyle olsun tamam ş bunu çizdik bu grafiğimiz bu diyelim grafiği çizdik bir parçalı fonksiyon grafiği çizdik şimdi bunun mutlak değerini soruyor Bu F diyelim ki bu FX Tamam bu FX bana mlak değer FX grafiğini söyle diyor o zaman arkadaşlar yaptığınız tek hareket x ekseninin üstündeki kısmı şu kısmı bırakıyorsunuz şu kısmı hiç elliyorsun arkadaşlar x ekseninin altında kalan bu kısmı siliyorsunuz üste katlıydı mlak değer 2'dir mutlak değer 2 de mutlak değer 2'dir Dolayısıyla pozitif sayıların mutlak değerini almanın bir anlamı yok zaten direkt kendisine eşit ama negatiflerin mutlak değeri pozitif oluyor Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonu neden x ekseninin altını üste katlıyor Çünkü negatif değerleri pozitif yapıyor Şuradaki bir -3 değerini yukarı doğru katlıyor ve + 3'e denk getiriyor Çünkü -3'ün mutlak değeri + 3 bir fonksiyonun mutlak değerini aldığınız zaman Onun bütün görüntülerinin de mutlak değerini almış olursunuz Dolayısıyla -3 + 3 olur -5 + 5 olur -7 + 7 olur yani x ekseninin altındaki bütün değerler hop simetrik olarak yukarıya çıkar ama pozitiflere dokunulmaz Şuradaki arkadaşa ne dokunacağım baba burada 3 yazınca 4 çıkıyor Eee yani F3 4 yani mutlak değerini alınca da 4 çıkar yani bir şey değişmez ki o yüzden x ekseninin altında kalanları yukarı katlıyoruz simetriğini alıyoruz Aslında yukarı katlamadan X eksenine göre simetri alıyoruz Aslında yataya göre simetri alıyoruz yukarı doğru katlıyoruz tamam mı Ama x ekseninin üstündekilere hiç dokunmuyoruz mutlak değerin grafiğinin çizim tekniği ve mantığı buradan geliyor arkadaşlar tamam mı Gel gel gel Panayır var Gel birim kareli kağıt üzerinde verilmiş aşağıdaki koordinat sisteminde Y = 4 - x k fonksiyonunun grafiği çizilmiştir Buna göre şimdi a şıkkına bakalım a şıkkı ne diyor a şıkkı FX = 4 - x k şimdi zaten bize verilen 4 - x k fik bu Baba 4 - x kenin grafiği çıldırtmayın beni grafik 4 - x k bunun mutlak değerini al diyor şimdi x ekseninin üstündeki şu parçanın orada bir problem yok sadece x ekseninin altında kalan şu parçayı buradan sileceğiz ve yukarı katlayacak aynı şeyi x ekseninin altında kalan parçayı sileceğiz yukarı katlayacak aşağıdaki kısımları da sileceğiz Ben şimdi Eee silemiyorum Hadi sileyim şöyle sileyim yani Elimden bu kadar gelir Şu anda şu şekilde siliyorum arkadaşlar x ekseninin altındaki kısımları silim ve yukarı katladım şu an neyin grafiğini çizdim mutlak değer FX yani mutlak değer 4 - x karenin grafiğini çizmiş oldum tamam mı Canlarım şu anda bunu çizdim şimdi a şıkkı buydu b şıkkı da diyor ki FX 3 denkleminin çözüm kümesinin eleman sayısını grafik yardımıyla bulun hadi bulalım grafik yardımıyla Bu arada bu böyle yukarı doğru çıkıyor Şöyle çıkıyor bu da böyle yukarı doğru çıkıyor böyle çıkıyor şimdi FX = 3 1 2 3 FX = 3 yani Y = 3 şurası FX = 3 şu demek x yerine herhangi bir değer yazdığım zaman 3'e eşit olan x değerlerini söyle bana diyor bak Bir Burası buradaki değer bir Şuradaki değer bir Şuradaki değer Bir de Şuradaki değer grafik yardımıyla bunun eleman sayısını kaç buluyoruz 4 buluyoruz Burası 4 taneyi Şimdi bir de cebirsel olarak bulalım ne demek cebirsel olarak işlem yaparak bulalım yani bulalım hocam onu nasıl bulacağız O zaman da 4 - x kareyi yani fxi FX = 3 dediğine göre 3'e eşit diyorum bir artılı çıkartıyorum 4 - x k = 3 Bir de eksili çıkartıyorum 4 - x k = -3 bunu buraya bunu buraya alıyorum x k = 1 x k 1 ise x = 1 ya da -1 bunu buraya bunu buraya alıyorum x k = 7 x k = 7 ise x = √7 ve x = - K7 bak Kaç tane geldi 4 tane yine 4 taneyi bulduk grafik yardımıyla yaptığımızda neler olduğunu Yani hangi değerleri yazınca 3 çıktığını bulmadan sadece adedini buluyoruz ama cebirsel olarak bulduğumuz zaman hangi değeri yerine yazarsak 3 çıktığını da buluyoruz Burası - k7m miş Burası -1 miş Burası birmiş Burası da √7 ymiş anlaştık mı mevzu çözüldü mü tamam 14'ü de Böylece halletmiş olduk gel şimdi pratik doğrusal fonksiyon içeren mutlak değer fonksiyonlarının grafiği mutlak değerin içini 0 yapan yani kritik nokta diyoruz biz ona kritik nokta değerlerini bulup x ekseninin üstüne doğru v harfi yaparak kolayca çizilebilir ne demek istiyor biliyor musunuz Acayip güzel bir yöntem y = mlak değer bakın Bunlar ezber değil Arkadaşlar bunlar pratik ezber nasıl olur biliyor musunuz sadece bunu Anlatırsam ezber olur ama mantığını anlatıp pratiğini verirsem o Ezber olmaz tamam mı Yani lütfen yani ha hocam Bunu niye ezberletilecek size ama pratiğini de vereyim mantığını bil yani sınav esnasında atıyorum sen Eee yani şimdi biraz Bilenler İçin söylüyorum Cosinüs 2 x'in mesela açılımını biliyorsun değil mi Mesela 2 tane e cos karex ek 1 lan sen bunu biliyorsun da her seferinde kosinüs x + x diye toplam fark formülünden açıyor musun Onu E ama ezber yapıyorsun ezber yapılır arkadaşlar matematikte ezber olacak tabii ki ama mantığını bilerek ezber yani E böyle moto Mot ezber değil yani Ben bunların hepsini ezberleyeyim değil mantığını bileceksin zaten mantığını öğrendiğin zaman kısa yolunu pratiğini kafan kendin oluşturuyor tamam mı Canlarım tamam mı yavrularım her şeyi ispatlayarak hani böyle bir ispat şeyi var ya böyle ispatları yla falan filan Tamam ispat çok önemli bir şey ama lan her şey mi ispatlanır her şeyi en baştan mı ispatlayacağım için yaratılmış şeyler ya Hani insan için bitkisi meyvesi osu busu falan filan Bunlar da bizim kullanmamız için yapılan şeyler yani ben y = mlak değer x - 3'ün grafiğinin içini 0 yapan değer 3 olduğu için grafiğinin Ahan da böyle olduğunu bileceğim Burası 3 x yerine 0 yazınca -3'ün mlak değeri de 3 bunun grafiği böyledir Bak şimdi mlak değer x - 3'ü çizerken y = x - 3'ü Çizeceksin x yerine 0 yazdığın zaman y'yi - 3'te kesiyor y yerine 0 yazdığında da x'i + 3'te kesiyor Yani aslında grafiğimiz mutlak değersiz olarak böyle mutlak değersiz mutlak değersiz şöyle ama biz ne yapıyoruz arkadaşlar x ekseninin altında kalan kısmını mutlak değer alırken yukarı katlıyoruz yani ne oluyor şunu şöyle yukarı katladığını zaman bu Ahan da böyle oluyor A O işte onun Aynısı çıktı mantığı bu pratiği de Bu arkadaşlar tamam mı Yani doğrusal fonksiyonu 0 yapan değer o mutlak değerin kritik noktası oluyor x ekseninde bulunuyor Ve V çiziliyor Hocam bu v'yi nereye doğru çizeceğiz yukarı doğru mu aşağı doğru mu Zaten mutlak değer olduğu için aşağı doğru çizemezsin x ekseninin üstünde kalması lazım Az önce konuştuk ya x ekseninin üstünde kalanlar kalır altında kalanlar üste katlanır y sen bunu böyle aşağı doğru çizdiğin zaman ya çizemezsin bunu tekrar yukarı katladığını şeyi elde Ed çizemezsin çizemezsin bugün çok Bugün çok sinirliyim farkında çizemezsin Oh çok şükür Evet devam ediyoruz 15 soruyla agresif bir Mert Hoca yana Hazır mısınız geçtik 15 soruya kapatın defterleri kitapları benim canımı sıkmayın Evet FX = ml değer x GX = M değer x - 1 hx = M değer x + 2 fonksiyonların grafiğini çiziniz FX = hx denklemini sağlayan x değerinin grafik yardımıyla bulunuz diyor şimdi Canlarım mutlak değer x bunun kritik noktası 0 bunun kritik noktası 1 bunun kritik noktası -2 Bak şimdi 0 Burası 1 Burası -2 de burası değil mi 0 1 Burası da -2 grafikleri çiziyorum bir tanesinin grafiği böyle x - 1 2 böyle 0 yazınca 1'den geçiyor şöyle şurası 1 olsun şöyle bir tanesinin grafiği şu şekilde Arkadaşlar burası mlak değer x - 1'in grafiği e FX = mlak değer x'in grafiği de şöyle Eee 0 yazınca zaten 0dan geçiyor şöyle şöyle yapalım onu da şöyle yapalım Evet buna da mutlak değer x diyelim güzel mutlak değer x - 2'nin grafiği de arkadaşlar e şuradan şöyle sivri ucu Burası olacak 0 yazınca 2'den geçecek şöyle 0 yazınca 2 şurası şöyle 2'den geçecek şöyle bunu da şöyle uzatmış olalım şunu da şöyle uzatalım Bu da arkadaşlar mutlak değer x - 2'nin grafiği Tamam grafiklerin hepsini çizdik Bakın şu sanki böyle çok uzun oldu böyle çirkin oldu gibi isterseniz birazcık şöyle kısaltım Bu da böyle sanki biraz çirkin oldu bunu da şöyle bir kısaltım Hani diğerleriyle aynı boyutlara gelsin tamamı Canlarım grafikleri çizdik şimdi ne diyor FX = hx değerleri denklemini sağlayan x de FX hx hangisi F ki F olan şu Ondan sonra g olan şu H olan şu hla onların renklerini hın rengini kırmızı yapıyorum bakın hın rengini kırmızı yaptım F de şu ortadaki bunların kesiştiği yeri arkadaşlar bunların kesiştiği yeri grafik yardımıyla şöyle gösterebilirim bakın bunların kesiştiği yer şurası değ mi görüyorsunuz şu grafik e pardon şey e fle h değil mi f l h şu şu şu şu şu dalga mı geçiyor şu şu Tamam burasını soruyor -2 0 arkadaşlar orta nokta ne şurada -1 değil mi İşte x = -1 imiş bunların kesiştiği noktanın apsisi bir noktada kesişiyor zaten o da -1 bakın bulduk Şimdi bunu şeyle de bulabilirdik bu arada mlak değer x'i neye eşitler Fi h' mlak değer x + 2'ye eşitler Öyle de bulabilirdik bir ikisini de ı çıkartın x = x + 2 zaten ikisini eksi çıkarmakla ikisini Art Çıkarmak aynı bir de birini eksi birini artı çıkartın şöyle E buradan Zaten bunlar birbirini götürüyor 0 eş 2 geliyor buradan bir şey gelmez bunu buraya bunu buraya alırsam 2x = -2 geliyor x de buradan -1 geliyor gördüğünüz gibi -1 noktasında kesiştikleri bulmuş olduk kesişimi unutmayın bakın ik tane fonksiyonun kurallı eşitleyip o denklemi çözerseniz o çözdüğünüz denklem ortak denklem olduğu için Aslında o grafik o fonksiyonların belirttiği grafiğin kesişim noktasını bulmuş olursunuz Tamam Canlarım 15'i de Böylece halletmiş oldum geldim 16 soruya şimdi aşağıda grafiği verilen FX fonksiyonu için -5 kapalı 5 kapalı aralığında mutlak değer mutlak değer F gidiyor mlak değer FX - 2nin mlak değeri eş 2 eşitliğini sağlayan kaç tane x değeri vardır diye soruyor şimdi fxe bir ulaşmamız gerekiyor o yüzden şu yani FX orada bir mahsur kalmış gibi geldi bana mlak değer FX - 2 orada bir haps olmuş eş 2 o zaman mlak değer FX - 2 = 2ye en dıştaki mutlak değeri kaldırdım ya da mlak değer f x - 2 = -2 bir artılı bir eksili yani şu en dıştaki mutlak değeri şu arkadaşı pardon şu arkadaşı ve şu arkadaşı e dedim ki şu içerisini a gibi düşüneyim mutlak değer A2 ise şu A bu arada a = 2 ya da a = -2 olarak düşündüm ve bunları yazdım şimdi -2 yi karşı tarafa attığım zaman mutlak değer FX = 4 yapar ya da mlak değer FX = -2 gider 0 yapar Şimdi burası güzel artık Şimdi öncelikle F mutlak değer f' grafiğine bakmamız lazım arkadaşlar bu bize verilen finin grafiği bunu mutlak değere çevirebilmek için zaten x ekseninin altında kalan parça şu bunu yukarı katlamış yeterli O zaman ne yapıyorum şu arkadaşı buradan siliyorum şunu siliyorum şöyle ve bunu yukarı doğru katlıyorum şöyle yapıyorum Tamam mı Şöyle yapayım işte şu anda Neyi çizdim mutlak değer fonksiyonunun yani F mutlak değerin grafiğini mutlak değer f' grafiğini çizmiş oldum şu anda şimdi mutlak değer f' 4E eşit olduğu yerleri arıyoruz 4 neresi arkadaşlar 4 şurası Bu arada fonksiyon Hani sınırlaması yok buradan böyle yukarı doğru ve Buradan böyle devam ediyor tamam mı Dolayısıyla Hani bu fonksiyon Şurada şöyle kalmaz bu fonksiyon böyle kalmaz Şöyle devam eder E bu da tabii ki böyle devam eder şu anda mutlak değer Fi çizdik şimdi 4 ş şurası şurası 4 E o zaman hemen 4'ten bir tane yatay çizgi çekiyorum şöyle çektim yatay çizgimi kestiği noktalara bakıyorum arkadaşlar zaten kaç tane diyor hangileri demiyor mesela şurası var burada bir tane değerimiz var Bir tane de burada değerimiz var şurada bir değerimiz var mutlak değer FX = 4'ü sağlayan 2 tane değerimiz var buradan 2 tane geldi Tamam çok güzel Şimdi buraya bakıyorum mutlak değer F = 0 0'ı sağlayan nereler var bakın 0dan bu sefer yatay çizgi çekeceğim 0'dan yatay çizgiyi çekersem zaten Eksen üstünde kesen yer bir Burası bir de burası arkadaşlar yani 2 tane değer de buradan var ha Tabii şurada çift katlık var teğet olduğu için Ama bize e x değerlerini soruyor ya -5 ile 5 aralığında Yani iki defa saymayacağız Dolayısıyla 2 tane Burada 2 tane burada Toplamda 4 tane değerin olduğunu söyleyebiliriz tamam mı Ama ama ama benim de gözümden kaçmasın arkadaşlar bakın FX = 4'teki bu iki tane çözüm var ya bunlardan bir tanesi şu şu değer yani Şuradaki değer bir tanesi de şu yani Şuradaki değer bu değer 5'ten büyük bu değer de -5 küçük arkadaşlar Dolayısıyla bu değer ve bu değer -5 5 aralığında olmadığı için bu denklemi sağlamaz sağlamayacağı için bu 4 tanesinden 2 tanesini çıkartırsınız ve 2 tane sağlayan değer bulursun böyle bir Aralık vermeseydi Cevap 4'tü verdiği için bu iki Aralık -5 küçük ve 5'ten büyük olduğundan dolayı İşte buradaki çözümü sağlamaz Dolayısıyla 4 değil 2 tane çözüm olması gerek şimdi Canlarım önemli bir özelliğe geldik bu özellikle ilgili Size söyleyeceğim bazı şeyler de var dikkatli bir şekilde beni dinliyorsunuz özellik Daha doğrusu pratik bize diyor ki iki doğrusal fonksiyonun mutlak değerinin toplamı olarak yazılmış mlak f + m g fonksiyon grafiği kova biçimindedir Şimdi bunu bir inceleyeceğiz Normalde Normalde piyasadaki 100 tane kitabın 99 tanesinde bu notu şöyle görürsünüz böyle yazmazlar mlak değer x - a + mlak değer x - B'nin grafiği kovadan eksik arkadaşlar burada ben şöyle bir not gireceğim burada f ile g birer doğrusal fonksiyon ya böyle Nizami bir kova belirtmesi için Nizami dediğim Nasıl yani böyle aşağısı tam olarak düz yani X eksenine paralel yanlarının da doğrusal bir kova olabilmesi için eğer fxi Ax + B alıyorsak gxi de CX + D alıyorsak A'nın mutlak değeri ile C'nin mutlak değeri eşit olmalı yani mutlak değerlerin içine yazdığımız doğrusal fonksiyonların baş katsayılarının eşit olması lazım mutlak değerce İşte o zaman Nizami bir kova grafiği belirtir ama Biz burada niye genellik Çünkü arkadaşlar Böyle olmadığı durumlarda da kova belirtir yani şimdi bir tane Nizami kova yazıyorum bakın 2x - 5 + mlak değer 2x + 3 bunun grafiği Nizami yani böyle aşağısı doğrusal olan şöyle bir kova belirtir ya da mlak değer 3x + 2 + mlak değer - 3x + 5 bakın biri artılı biri eksili ama yine mutlak değerce eşit oldukları için yine böyle Nizami bir kova belirtir aşağısı yani kovanın taban kısmı X eksenine paralel olan yanları da doğrusal alan doğrusal olan ama birbirlerinin eğimlerinin tersi olan yani böyle giden iki tane doğrudan 3 tane daha doğrusu doğrudan oluşurlar ve bir kova belirtirler Nizami bir kova belirtirler Ama bunlar böyle a mesela c ile mutlak değer C hiçbir alakası olmasa Mesela atıyorum 2x - 4 + mlak değer 3x - 5 gibi bir şeyse yine kova belirtir Ama bu kova bu sefer Nizami bir kova olmaz yani şöyle bir kova olur aşağısı tam düz değil de şöyle olur ve böyle devam eder tamam mı Yani aşağının böyle X eksenine paralel olabilmesi için içine yazdığımız doğrusal fonksiyonların baş katsayılarının mutlak değerce eşit olması gerekiyor tamam mı Canlarım bu önemli gelelim bir aşağıdakine iki tane doğrusal fonksiyonun mutlak değerlerinin farkı şeklinde verildiği zaman şimdi bunu da genelde yine 100 kitabın 99'a sadece şu Z'yi görürsünüz mlak değer x - a - mlak değer x - B'nin grafiği Z şeklindedir bu doğru bu doğru ama Bunu da daha genelleştirmek lazım Ben burada da şunu söyleyeceğim size mlak F - mlak G'nin grafiğinde böyle düz Z ya da ters Z'nin olduğu durumlar şöyledir Eğer buradaki Ax + B ise buradaki de CX + D ise ve AC C'ye eşitse bakın mutlak değerce eşit demiyorum direkt eşit olmalı mutlak değerce eşit demiyorum direkt bu şekilde AC C'ye eşitse grafik Z şeklindedir tamam mı 1 olmasına gerek yok a ile C'nin eşit olmaları yeterli yani Mesela mutlak değer 5x - 2 ile - mlak değer 5x + 3'ün grafiği Z şeklindedir ama AC C'nin eksilisi eşitse o zaman grafik a b ters Z şeklinde olur yani örnek 3x + 4 - - 3x + 1 şeklinde isse o zaman da grafiğimiz bu şekilde ters Z olur burada mutlak değerce eşitlik yoksa Yani eşit değilse ya da eksilisi eşit değilse atıyorum bir tanesi 2x + 5 bir tanesi de 3x - 4 O zaman ne Z belirtir ne de arkadaşlar ters Z belirtir ikisini de belirtmez yani Farklı bir fonksiyon olur tamam mı buradaki söylediğim yerlere E çok dikkat ediyorsunuz ve bunları buraya pratik kısmına bu şekilde not alıyorsunuz Canlarım tamam mı burası çok önemliydi ama biz bundan sonra genel anlamda hiç şu ikileri ü'leri falan kullanmayacağız genel anlamda hep mutlak değer x - 3 - mlak değer x - 5 gibi bir şey söyleyeceğiz mesela o tarz bir şey söyleyeceğiz tamam mı Bir de şunu söylemem lazım son olarak Aslında bunu söylememe çok gerek yok da Z grafiğinde arkadaşlar Ax + b x + d de AC C'ye eşit ya Yani Ax + B - Ax + D buradaki b ile D'nin aynı anda 0 olmaması lazım zaten b ile D aynı anda 0 olursa bur da Ax + B yapar bur da Ax + B Daha doğrusu b ile D 0'sa Burası Ax yapar Burası da mutlak değer Ax yapar bunları birbirinden çıkarttığınız da Z'yi m'yi değil y = 0'ı yani x ekseninin kendisini bulursunuz burada e f - g de bunların sabit terimlerini 0dan farklı olması yani ikisinin de aynı anda 0 olmaması gerekiyor En az bir tanesinin 0dan farklı olması gerekiyor Tamam Canlar bu pratikleri yaptık dediğim gibi şimdi devam edelim Bak şimdi F fonksiyonu mlak değer x - 2 + mlak değer x - 4 şimdi bunun grafiğini nasıl çizeceğiz mlak değer x - 2 + mlak değer x -4 Şimdi şöyle yapacağız kritik noktamız ne x = 2 ve x = 4 değil mi Evet şimdi 2'den küçükler için bu fonksiyon bir davranacak 2 ile 4 arasındakiler için bir davranacak Bir de 4'ten büyükler için bir davranacak 2'den küçükler için mutlak değerden Bu ikisi de negatif çıkacak Yani şurası - x + 2 diye şurası da - x + 4 diye çıkacak Öyle değil mi E o zaman - 2x + 6 diye çıkacak x 2'den küçükken bu grafiği çizeceğiz 2 ile 4 arasında 2'den büyük olduğu için 1 mutlak değer e x - 2 diye çıkacak kendi gibi çıkacak çünkü 2'den büyük Ama 4'ten küçük olduğu için X - 4 önüne eki alacak - x + 4 diye çıkacak Bunlar birbirini götürecek 4 - 2'den 2 yani burada y = 2'yi çizeceğiz 4'ten büyükken 2'si de pozitif çıkacak Yani x - 2 + x - 4 diye yani 2x - 6 diye çıkacak o zaman şimdi 2'yi bulacağız şurası 2 şurası da 4 ya şimdi bu 2 şurası da 4 2'den küçükken ayrı hareket edecek 2 ile 4 arasında ayrı 4'ten büyükken ayrı şimdi 2'den küçükken - 2x + 6 x yerine 0 yazarsanız y'yi 6'da Keser 6 Burası olsun y yerine 0 yazarsanız Yani bunu 0'a eşitlenen küçükler için bunu sağlayacağı için Normalde böyle çizmemiz lazım yani şuradan şöyle geçirmemiz lazım ama 2'nin hizasından sonra bu 3ü kullanmayacağımız için böyle çizmemiz gerekiyor tamam mı Yani 2nin solunda böyle Peki 2 ile 3 Arasında 2 değerini alıyor 2 değeri de bakın dikkat edin bu 2'yi yerine Yazmak isteseniz şurada şurada x yerine 2 yazmak isteseniz 6 - 4'ten zaten 2 gelir bak 2 yazmak isteseniz şurada 2 gelir 2 ile 4 arasındaki değerlerde zaten sadece 2 oluyor onu siyahla çizeyim 2 ile 4 arasındaki değerlerde sadece 2 oluyor 4'ten büyük değerler de x yerine 0 yazalım y'yi - 6'da kesiyor y yerine 0 yazalım x'i 3'te kesiyor Yani şöyle geçecek bak şimdi şöyle olacak Bunu böyle aşağı çekeceğim Tabii tam ölçülü çizemedim böyle geçecek E şimdi ama biz 4en büyük değerlerde bunu seçeceğiz Yani buradan devam ettireceğiz aşağıyı devam etmeyecek Peki hocam Şu köşeden geçtiğini nereden biliyorsunuz yani Mesela şöyle devam ediyor olamaz mı e bakın x yerine 4 yazın Siz şurada nerede şu şurada 4 yazın 8 - 6'dan x yerine 4 yazdığınızda da bu 2 geliyor Dolayısıyla Ahan da böyle devam edecek gördünüz mü kova grafiğini Tamam kova grafiği olacak işte bunu kısa yoldan şöyle çiziyorum Ben Bak şimdi veriyor bana diyor ki mlak değer x - 2 + mlak değer x - 4 Ben bunu şöyle çiziyorum diyorum ki kritik noktalar arasında bir değer alayım 2 ile 4 arasındaki değer 3 3'ü yerine Yazdım 1 3'ü yerine Yazdım 1 1 + 1'den 2 mi geliyor demek ki bu aradaki değeri 2 yani 2 ile 4 arasındaki alabileceği değer 2 şöyle Diğer tarafta da a kova grafiği böyle olacak tabii ki o kovanın 6 olduğuna göre bu da kova grafiği Peki sol tarafta x yerine 0 yazarsanız arkadaşlar mutlak değer 2 mutlak değer 4 6 olur yani Burası 6'dan geçer Olay bitti bakın çizdik grafiğini 30 saniyemiz aldı grafiğini çizmek Eğer oradaki pratiği bilirsek tamam mı Canlarım peki çok güzel bu grafiği çizdik şimdi öbür tarafa odaklanalım bu grafiği Bir de altında da pratiğini çizdim şimdi öbür tarafa odaklanalım öbür tarafta da diyor ki mlak değer x - 4 - mlak değer x + 1 Şimdi burada da ne yapacağız kritik noktamız x = 4 ve kritik noktamız x = -1 Öyle değil mi şimdi mlak değer x - 4 - ml değer x + 1 Şimdi x -1 den küçükse Önce küçük olanı aldık x -1 küçükse Burası negatif - x + 4 Burası da negatif çıkar ama önünde bir eksi var + yapar + x + 1 Bunlar birbirlerini götürür 5 x - 1'den küçükse 5 gelir Tamam çok güzel Peki x -1 ile 4 arasındaysa yani -1 x 4 ise ne olur o zaman -1 4'ten küçük olduğu için burası yine - x + 4 diye çıkar ama burra kendi gibi çıkar - x -1 diye yani Burası - 2x + 3 diye çıkar çok güzel Şimdi bunu biraz şöyle aşağı tarafa alacağım şöyle Aldım aşağı tarafa Şimdi son olarak xiz 4'ten büyükse İkisi de pozitif çıkar birincisi pozitif çıkarsa x -4 İncisi pozitif çıkarsa - x - 1 Bunlar birbirini götürür Buradan da -5 gelir çok güzel bak şimdi -1 küçükken hemen -1 ile 4'ü bulayım şuraya -1 diyeyim arkadaşlar şuraya -1 diyeyim Şuraya da 4 diyeyim şimdi -1 küçük değerler için 5 oluyor peki -1 oluyor -1 yerine yazalım -5 mutlak değeri 5 -1 yerine yazalım 0 5 geliyor yani -1 de 5 geliyor şuraya 5 olarak alalım - 1'den küçük olan bütün değerler içinde 5 geliyor bak şöle burası 5 ise şöyle niye [Müzik] çizemediğim 4'ten büyük değerler için de 5 geliyor Hatta 4 yazınca da 5 geliyor bak 4 yaz 0 4 yaz 5 -5 geliyor ama bak 4 yazınca -5 geliyor 4 yazınca -5 geliyor ve 4'ten büyük değerler için de -5 geliyor o zaman 4'ten büyük değerler için de şöyle olacak 4'ten küçük -1 küçük değerler için bu y = 5 4'ten küçük olan değerler için şey özür dilerim -1 küçük olan değerler için y = 5 4'ten büyük olan değerler için y = -5 Bir de aradaki değerler aradaki değerler için de -2 + 3 -2 + 3te Arkadaşlar şu arada bir tane değer yazın Mesela diyelim ki Eee Hatta şöyle uç değerler -1 yazınca 5 4 yazınca -5 geliyor ya aradaki Mesela bir tane değer mesela 0 yazın 0 Yazdığınız zaman 3 geliyor bak O da bu arada e x eksenini kestiği yere bakalım bunun - 2x + 3 0a eşit diyelim 2x = 3 x = 3/2 yani şu arada bir yerde bir değer Dolayısıyla uç değerlerden de geçtiği için aradaki değeri de sağladığı için Aa şöyle bir grafik olacak Tamam mı İşte az önce dedik ya şu pratikte ya Böyle olur ya Böyle olur diye İşte o alacağı değerlere göre bu tarafta ve bu tarafta olup şöyle de olabilir bu şekilde de olabilir tamam mı ya böyle Z ya ters Z ya da kova şeklinde olacak İçerisi mutlak değerin İçerisi doğrusal fonksiyon olduğu zaman anlaştık mı Canlarım bir şey yok aslında burada doğrusal fonksiyonları ve mutlak kullandığımız Hani mutlak değer grafiği çizme mantığı var ya Bunları birleştirerek olayı bitirdik çözdük yani tamam Canlarım güzel gel şimdi buraya bak bu sefer diyor ki mlak değer x - 2 - x + 3'ün mutlak değerinin grafiğini çiziniz diyor ve sağlayan değer aralarını bulunuz diyor Şimdi arkadaşlar öncelikle şunu çizelim gel mlak değer x - 2 - mlak değer x + 3 bunu bir çizelim önce Şimdi kritik noktalarımız - 3'e 2 yani x' imiz -3'ten küçük olursa -3'ten küçük -3 ile 2 arasında olursa xiz bir de 2'den büyük olursa şimdi -3'ten küçük olursa Burası - x + 2 bur da önüne eksi alır Ama önünde eksi var Art olur bunlar birbirini götürür Burası 5 yapar arada olursa yani -3'ten büyük 2'den küçük olursa 2'den küçük olduğu için önüne eksi alır e -3'ten büyük olduğu için kendi gibi çıkar ama önünde eksi var şöyle olur yani Burası da - 2x - 1 2'den büyükse kendi gibi çıkar x - 2 kendi gibi çıkar ama önünde eki var - x -3 Bunlar birbirini götürür Buradan da -5 gelir Şimdi öncelikle mutlak değerinin değil kendisinin grafiğini çiziyorum arkadaşlar önce mutlak değer değil kendisinin grafiğini çiziyorum şimdi -3 nerede -3 şurada olsun -3 2 de şurada olsun Tamam mı Şimdi -3 Yazdığınız zaman fonksiyonda ya fonksiyon dediğim şu mutlak şu en dıştaki mutlak değeri daha hesaba katmıyorum o beklesin - 3'ü yerine yazdığımızda -5 mutlak değeri 5 Burası 0 5 geliyor yani - 3'ü Yerine yazdığım atıyorum şurası 5e 5 geliyor -3'ten küçük değerlerde de 5 değerini alacak Yani şöyle çizelim -3'ten küçükken Peki 2'den büyükken ne oluyor 2'den büyükken de -5 değerini alıyor 2'yi yerine yazdığınızda da bu arada -5 değerini alır 2'yi götürüp yerine yazdığımızda -5 değerini alıyor 2'den büyükken de -5 değerini alıyor Sonra bu arada da arkadaşlar - 2x - oluyor yani arada da şöyle bir grafik Hatta x kestiği noktayı yazalım - 2x = 1 0'a eşit diyorum bunu x eksenin kestiği noktayı bulmak için x = -12 negatif tarafta ya - 1/2 Ya şöyle bir şey olacak şöyle grafiğimiz bu tamam mı grafiğimiz Bu yani bu mutlak değer x - 2 - mlak değer x + 3'ün grafiği Şimdi bir de bunun komple mutlak değerini alacağız bunun komple mutlak değerini alırken x ekseninin altındaki şu arkadaşımız a simetrik olarak yukarı katlanacak bu -5 de simetrik olarak yukarı katlanacak a anda böyle olacak A anda böyle şurası kalacak şurası kalacak Şu x ekseninin altındaki iki parça silinecek işte grafiğini çizmiş olduk arkadaşlar tamam mı Tam şu noktada - 1/2 noktası şu değer yani - 2x -1'in 0a eşit olduğu değer bakın yazdık grafiğini çizdik e f' grafiği bu FX fonksiyonunun grafiği bu grafiği yani fxi = 5 denklemini sağlayan x değerlerinin aralığını bulunuz diyor FX = 5'i sağlayan bir kere eksi sonsuzdan itibaren bütün değerler -5 şey 5 5 5 5 diye geliyor ta ki nereye kadar -3'ün 2 5 olmaya başlıyor bakın 2 5 oluyor Hocam nereden biliyorsunuz 2 -5 de yukarı katlandığında 5 olduğunu nereden biliyorsunuz Çünkü buradaki şunu yukarı katladık ya simetrik katlıyoruz arkadaşlar kafamıza göre değil yani böyle üstü atmıyoruz -5 5 birim var ya simetrik olarak yukarı katlıyoruz 2'deki -5 değeri 2'deki 5 değerine denk geliyor hani -5 mutlak değeri 5 ya o yüzden E o zaman 2'den ı sonsuza kadar ne oluyor arkadaşlar 5 değerlerini alıyor FX = 5 denklemini sağlayan x değerlerinin aralığı da bu olmuş oluyor arkadaşlar tamam mı 18'i de Böylece halletmiş oluyoruz Bence güzel bir soru Peki şimdi iki tane mor sorumuz var çözüyoruz ve noktayı koyuyoruz mutlak değer fonksiyonunun grafiğine şimdi diyor ki F ve G fonksiyonlarını kullanarak bir H Pardon bu ara bir şey böyle çok fazla video çekiyorum Ya böyle boğaz ona adapte Geçen sene de öyle olmuştu ondan önce önceki senede AYT kamplarının başlangıcında benim boğaz bir şey diyor baba hani yapmasak mı bu kadar zorlaması falan diyor Ben diyorum ki oğlum yani yapmamız lazım falan ben onu böyle e 8 9 güne doğru falan ikna ediyorum arkadaşlar o o şeyini buluyor yani boğazımda böyle bir itişme yaşıyoruz böyle bir çekişme yaşıyoruz ama o böyle e ikinci dereceden denklemlere doğru falan şeyini buluyor yani E artık boğaz ağrısı bir öğretmen boğaz ağrısıyla işte şeyle falan boğazlı yanmasıyla Bilmem neyle falan yaşamayı öğrenir yani o onun için bir yaşam biçimi olur hele ben yüz Yüzel Erde falan çok hastalanırım ya çünkü hani öğrenci gelirdi E yani böyle domuz gribi olmuş geliyor böyle hocam nasılsınız falan oğlum domuz gribin lan Biraz uzak dur ne demek nasılsınız İyiyim sen nasılsın da yani bütün şeyleri virüsleri bulaştırdın Yani bir ara pandemide Abi çok tribe düşüyordun ya böyle maske var Adam gi üh falan yapınca lan Ne oluyor oğlum falan diye böyle maskeyle evde oturuyorduk ya dışarıdan böyle bakıyorduk camdan böyle sokakta yürüyenleri Vay vatan haini senin ya Evet bir ara Hani ekmek almaya gitmek vatan hainliği gibi bir şey yani ekmek alırsan sıkıntı yok ama bir öte markete Hani şeye falan gidersen hani yanına da bir de süt alayım falan vatan haini oluyordun yani o aradaki 200 metre seni vatan haini yapıyordu yani çok acayip dönemlerdi ya Vallahi yani Allah bir daha yaşatmasın arada böyle çıkıyor Bir de onun komplocuları var Ben orada da kime inanacağımı şaşırıyorum ya işte biri çıkıyor ki covid diye bir şey yoktu insanları öldürdüler insanlara aşı yaptılar insanları bilmem ne yaptılar çip taktılar kaza oturttular bilmem ne falan filan yani onlar birkaç böyle mantıklı argüman sundukları zaman mantıklı geliyor diyorum ki lan doğru lan hakikaten Bana da öyle oldu falan filan Sonra öbür tarafta ya şim saçmalamayın burada bilimsel çalışmalar var aşı şöyle oldu işte aşıya kadar şöyle bir ölüm oranı vardı sonra ölüm oranı şuraya düştü bakıyorum ona da hani sen de haklısın falan yapıyorum yani ben komplolara çok çabuk inanıyorum ya mesela Dünya düz diyenler Beni ikna ediyorlar sonra Lan ne Düzü Deli misiniz diyenler de İkna ediyorlar E ben E çok pragmatist ve realist bir insan olarak Eee önüme birisi delil getirdiğinde direkt inanıyorum yani eee o sebeple Nereden geldik bunu bilmiyorum ama 5 mor sorumuz devam edelim F ve G fonksiyonları kullanılarak hx FX M FX - M GX fonksiyonu oluşturulmuştur FX x - a mış GX de x - 4'mü hx değer kümesi -1 1 olduğuna göre A'nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır diye soruyor Arkadaşlar şimdi diğer tarafa baktığımız zaman bak F doğrusal g de doğrusal doğrusal değerinden doğrusal mutlak değerini çıkarttığımız zaman bakın Mesela şurada bakalım şöyle bunun değer aralığı yani alacağı değerlerin kümesi gördüğünüz gibi -5 ile 5 aralığında görüyor musunuz -5 daha küçük de olamıyor 5'ten daha büyük de olamıyor bunu ne sağlıyor aslında Neyi yerine yazarak bunu yapıyoruz Bak şimdi mlak değer x - 4 - mlak değer x + 1 bu kritik nokta 4 bunu götürüp yerine yazıyoruz bura 0 geliyor bura -5 bura 5 geliyor önünde eki var -5 x yerine diğer kritik noktayı yazdığımız zaman bunu yerine yazıyoruz o ne geliyor Eee -1 yerine yazdığım zaman -5 mutlak değeri 5 Burası 0 5 geliyor Yani bunu yerine yazdığımız zaman minimumunu buluyoruz Bunun yerine yazdığımız zaman maksimumun buluyoruz ve - 5'e 5 değer aralığını hesaplamış oluyoruz -5 daha küçük 5'ten de daha büyük bir değer alamaz aynısını buraya uygulayacağız aynısını aynısını Bak şimdi şunu Yani aslında fonksiyon şu mlak değer x - a - m değer x - 4 x = a'yı yerine yazıyorum Burası 0 oluyor - mlak değer a - 4 İşte bu bizim minimum umuz oluyor sonra x = 4'ü yani diğer kritik noktayı yerine yazıyorum O da mutlak değer 4 - A yapıyor bura gidiyor Bu da bizim maksimum Dolayısıyla - M değer a - 4'e mlak değer 4 - A bizim değer aralığımı oluyor işte değer aralığım Burası değer kümesi buymuş İşte o zaman şu arkadaşımız - 1'e eşitmiş şu arkadaşımız da + 1'e zaten aynı değerler gelecek arkadaşlar bir tanesini hesaplayabilirsiniz yani 4 ek A'nın mutlak değeri 1 geliyor bak 4 - A'nın mlak değeri 1 geliyor buradan 4 - a 1 yapar 4 - A -1 yapar buradan a' 3 yapar buradan a'' 5 yapar A'nın alabileceği 15 diğerine baksanız - M değer a - 4 = -1 gelir - eksiyi + yapar a - 4'ün mlak değerinin 1 olması ile 4 - A'nın 1 olması aynı şey çünkü mutlak değerde şu Kural vardı mlak değer - x mlak değer x'e eşit bunu da yapayım had içine sinmiyorsa Mutlak değer a -4 1 ise a -4 1 ya da A -4 -1 buradan a' 5 yapar Buradan da a' 3 yapar çarpımları yine 15 olur tamam mı canlarım Eğer şunun mantığını anlarsanız bu arkadaş zaten bebek oyuncağı gibi çıkıyor Peki gelelim buraya gerçel sayılarda tanımlı bu fonksiyon veriliyor eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır Prof olalım mı Ne diyorsunuz O da sanki Prof Prof olalım mı şimdi çiziyorum bak grafiği kritik noktalarını belirliyorum x = -2 ve x = 4 -2 götürüp yerine yazdığım zaman 6 geliyor 4'ü götürüp yerine yazdığım zaman yine 6 geliyor o zaman -2 burası Bak -2 burası 4 de burası -2 yazdığım zaman 6 geliyor e 4 yazdığım zaman da 6 geliyor -2 ile 4 arasındaki bütün değerlerde de zaten 6 çıkıyor kova grafiği olması gerekiyor Aa böyle bak çizdik grafiği şimdi şurası 6 ya FX < eş 6'yı sağlayan kaç tane tam sayı vardır diyor bakın tam şu köşe noktaları zaten FX = 6'yı sağlıyor şimdi FX 6'yı sağlayan değerler zaten FX = 6'yı sağlayan lardır Çünkü 6'dan küçük değerler alamaz grafiğe bakıyorsunuz Bu bir kova grafiği 6'nın aşağısına düşmez Ancak şu eşitliği sağlayabiliriz O da -2'den başlar -1 0 1 2 3 4 yani 7 tane değer vardır Doğru cevabımız b şıkkı yavrular Eğer FX < 6'yı sağlayan kaç tane tam sayı vardır deseydi cevap 0'dı çünkü çünü burada bu fonksiyon umuz minimum 6 oluyor ve sonsuza doğru ilerliyor yani 6 kapalı sonsuz açık aralığında değerler alıyor değer kümesi bu Dolayısıyla 6'dan küçük zaten herhangi bir değere ulaşamaz Tamam Canlarım Bence mutlak değerle ilgili verimli bir ders olduğunu düşünüyorum soru yıldızlı Bu arada Eee 6 soruyu yıldızlı güzel önemli bir soruydu Bence etkili bir soruydu 5 de bence etkili güzel bir soruydu bir de şunu yıldızdayım Hani bu mutlak değerin kova ve z grafiklerini anlamanız la alakalı gerisini yıldızlamak değerin özelliklerini ne olduğunu güzel bir şekilde anladığınızı düşünüyorum Sizleri çok seviyorum Eee ödevinizi yapmay ihmal etmeyin diyorum Eee AYT matematik soru bankası dan fonksiyonlar temel tanım testi 3'ü ödev olarak yapıyorsunuz ve bu işe fonksiyonlar mutlak değer grafiklerine noktayı koyuyoruz 4 dersimizde yani 7 günün 2 dersinde bundan sonraki dersimizde fonksiyonlarda ötelemeler geçeceğiz yavrum Tamam mı kurban olsun hocam sana Kendinize iyi bakın görüşmek üzere hoşça kalın