Hello dear students, आज हम लोग statistics स्टार्ट करने वाले हैं ये topic J-Man के एक question को cover करेगा और ये last year advance में भी include हो चुका है और last year भी advance में एक question इस topic से आया था आगे हम लोग बढ़ते हैं सबसे पहले इस topic के बारे में हम समझ लेते हैं कि इस topic के अंदर हम लोग किस-किस part को cover करने वाले हैं इस topic के अंदर हम contains ये लेंगे, एक तो हम लेंगे measures of central tendencies, आप लोग class 10 के अंदर भी पढ़ते हैं, mean, mod और median, इसके लावा 11th class के जो topics हैं, उसमें आपके है measures of dispersion, जिसमें आता है mean deviation, variance और standard deviation. measures of central tendencies जो होते हैं वो आपने 10th में पढ़ें लेकिन अभी भी आपके JEEK के अंदर last year भी जो question था वो median पे based था advance के अंदर और ये topic जो measures of central tendencies है इसको अभी भी हमें पढ़ना है ठीक है measures of central tendencies data के central part से associated terms को कहते हैं वो अलग लग तरह से define करते हैं तो उसकी value अलग लग आती है measures of central tendencies में आपके एक तो आता है arithmetic mean फिर इसके बाद आता है median, then उसके बाद हम पढ़ते हैं mod, फिर इसके बाद measures of dispersion आता है, आप देखें कि data का जो scattering होता है, वो measures of dispersion में मालूम चलता है कि data की scattering कैसी है, कैसे data scattered है, sorry, तो आप लोग देखें, इसके measures, इसके parameters हैं, एक तो है, standard deviation, एक है variance, और एक हम पढ़ेंगे यहाँ पे mean deviation. सबसे पहले हम लोग start करते हैं measures of central tendency से, arithmetic mean से. Arithmetic mean is actually simply average होता है, x bar से इसको represent करेंगे. अगर आपकी पास simple data है x1, x2, x3, xn, तो इनका arithmetic mean x bar को हम इस तरीके से represent करेंगे summation xi divided by n.
Right? अगर आपके पास simple data न होकर के frequency distribution दियावा है, तो arithmetic mean को इस तरीके से निकालेंगे. xi आपके पास है, x1, x2, x3, xn, और उनकी corresponding frequencies है, f1, f2, f3, fn. तो ऐसे case में mean के लिए formula आपको लगाना है, ये वाला, summation of x.
FIXI divided by summation of FI अगर आपके पास ये simple अगर frequency distribution इस type का दिया वाए तो ये formula लग जाएगा but कभी-कभी classified data भी होते हैं अगर आपके पास ये say for example class interval 0 से 10, 10 से 20, 20 से 30, 30 से 40 इस तरह के class interval दे रखे हैं और कुछ frequency भी दे रखी होगी आपको, तो xi की जगह आप लेंगे mid value, 0 से 10 का mid value क्या होगा, 0 plus 10 by 2, 5, 10 से 20 का mid value है, 10 plus 20 by 2, यानि की 15, फिर 20 से 30 का mid value हो गया, 20 plus 30 divided by 2, यानि की 25, और इस तरह से 35, अब जो भी frequency आपके पास दे रखी होगी आप वो use करेंगे बस xi की जगह आपको mid value काम में लेनी पड़ेगी और same formula से आप arithmetic mean को find कर पाएंगे अब हम लोग यहाँ पे सबसे पहले इस चीज को समझे कि जो statistics का question होगा वो sequence and series खासतोर पे series के उपर based होगा या फिर उसमें binomial theorem भी काम में ली जा सकती है या कुछ और भी काम में आ सकता है यहाँ पे सबसे पहले आपके सामने एक question है, जैही में 2021 का, यह equation students आप लोग देखना कि एक series आपके पास बनेगी, क्योंकि जब आप summation of xi निकालेंगे, तो यह आपके पास है 7 into 8 plus 10 into 10 plus 13 into 12 plus 16 multiplied by 14 plus and so on, आपको यहाँ पे जोड़ना है ताकि आपके पास सारे simple data है ये इनका sum आपको मिल जाए तो आप सबसे पहले इस series का sum निकालने का तरीका आपको सीखना पड़ेगा अगर इस तरह की series है तो पहले series को आप क्या करने वाले है summation की form में लिखें 7, 10, 13 इसका general term निकालेंगे तो आपके पास कितना आएगा 7, 10, तो 3 का difference चल रहा है तो इसकी आरत्स term बन जाएगे 3R plus 4 इसमें 4 आप R को 1 डालेंगे तो 7 हो जाएगा R को 2 डालेंगे तो 10 आए रहा है R को 3 डालेंगे तो 13 and so on बाकी भी आ जाएगा 8, 10, 12, 2 का difference चल रहा है तो आप लिखेंगे 2R plus 6 करेंगे तो आपको first term मिल जाएगी R को 1 डालने पर और R को 2 डालने पर next term आपको मिल जाएगी और इस तरह से R को 10 तक हम place करेंगे तो इस series आपके पास देखें कि एकदम सही है इसकी general term आगे क्या R को 2 रखे देखें तो 10 आ रहा है 3 रखे देखेंगे तो 12 आ जाएगा तो आप लोग देख सकते हैं कि ये पूरा expression जो है ये general term है series का इसका sum हम find out करेंगे तो आप देखें कि ये क्या बनेगा 6R square, तो आप इसे लिखें summation of 6 times summation of R square, R एक से लेकर 10 तक, और R की term बन गए एक तो 18, और एक 8, 26, 26R, तो 26 summation R, R एक से लेकर 10 तक, फिर plus 24 बन रहा है, तो summation of 24 लिखेंगे, R को ले जाएंगे एक से लेकर के 10 तक, ना उसके बाद देख सकते हैं कि summation of r square को लिखना है, तो आपका summation r square क्या होता है, n, n plus 1, n plus 1 हो गया 11, n, n plus 1, 2n plus 1 तो हो गया 21, divided by 6, फिर इसके बाद summation of r क्या होता है, n, n plus 1 by 2, तो 10, 10 plus 1 हो गया 11 by 2, फिर इसके बाद summation of 24, constant के उपर, summation लगाएंगे तो आपका constant 10 times दिखेगा आपको, अब क्योंकि ये तो आपने निकाल लिया है, summation of xi, अब पूरी equation को एक काम करते हैं, 10 से divide कर देते हैं, तो आपके पास यहाँ पे x bar हो जाएगा, summation xi divided by 10, summation of xi divided by 10, ये आपके पास हो गया, x bar, तो यहां से आपको मिलेगा, 6 तो cancel हो गया, 11 into 21 हो जाएगा, 11 into 21, plus यहां पे 13 हो जाएगा, 13 into 11, फिर इसके बाद यहां पे 24, क्योंकि आपने इसको पूरी को divide किया है, इसको पूरी को आपने divide कर रखा है 10 से, तो आप देखे summation x i यह था, 10 से divide किया, तो यह 10 यहां से चल इसके बाद यहाँ पर 13 into 11 और यहाँ 24 आएगा, बस आपको इसे calculate करना पड़ेगा, 11 जैसे इसमें से common ले लें, तो आपको मिलेगा 11 अंदर 21 plus 13 कितना हो गया, यह बन गया आपका 34 plus 24, तो इसको further आपको calculate करना होगा, इसका answer अगर आप लोग इसे calculate करेंगे, तो यह answer something 398 आता 398 आ जाएगा तो इस तरीके से इस question को किया जा सकता है बहुत simple question था लेकिन इसमें series ही खास थी बाकि तो arithmetic mean का केवल definition ही नया है sequence series अगर आपको आती है तो वो question आप बड़ी आसानी से कर सकते हो यह एक अच्छा question है इसमें series का अच्छा use आपको दिखाई दे रहा है ना उसके बाद देखते हैं J-Main 2021 का question आपके सामने है एक चीज़ आप लोग समझना कि अभी हमने जो यहां पर arithmetic mean को define किया था, इसमें summation of xi क्या आएगा? यह आएगा nx bar, यानि कि अगर आपको arithmetic mean पता है, तो आप number of data से multiply करेंगे, तो सारे data का sum आपको मिल जाएगा, तो यह आगे कई question में आपको use होगा, the mean age of 25 teachers in a school is 40 years, तो अगर आपकी पास 25 arithmetic mean है 40, sorry, अगर 25 teachers का arithmetic mean उनकी ages का 40 है, तो सबी की ages का sum कितना जाएगा, 25 into 40 यानि की nx bar, okay, अब इसके बाद बोला कि एक teacher जो है वो retire हो गई है, a teacher retires at the age of 60, तो जो retire हो गई है उसकी age minus कर लेते हैं, और उसकी जगह क्या हो जाता है, a new teacher is appointed in the school, तो मान लेते हैं कि उसकी जगह जो नई teacher appointed हुई है, उसकी age क्या है, x years है, if the mean age of the teachers in the school is now 39, अब आपके पास mean age आ गई, 39, पर अभी भी teachers तो आपके पास 25 ही है, तो sum of ages हो गया, 25 into 39, तो पहले ages का mean था 40, 25 teachers का, तो 25 into 40 हो गया, 60 age वाली teacher retire हो गई है, और नई teacher की age हमने add कर ली, तो ये सभी teachers की ages का sum है, जो presently teachers वहाँ पे है उनका, और यहाँ पे भी हमने क्योंकि mean आपके पास 39 है, 25 teachers का, तो 25 into 39 लिख दिया, अब अपन इसको इधर लियाते हैं, या इसको इस तरफ transpose करते हैं, तो x आपको मिलेगा 60 plus 25 into 39 minus 25 into 40, यहाँ से आप 25 common निकालेना, तो 25 common निकालेंगे, तो 39 minus 40, minus 1, तो यह minus का, 25 हो जाएगा तो x आपको 35 मिल गया इसका मतलब यह है कि जो newly appointed teacher है उसकी age है 35 years अब अपन देखते हैं next question जो j main 2020 का है consider the data on x taking the values 0, 2, 4, 8 up till 2n or इस डेटा की फ्रेक्वेंसी दे रखी है, NC0, NC1, NC2, NCN, तो आपको find out करना है कि अगर इनका mean यह है, तो बताएं कि N क्या होगा, पहले तो आपके पास frequency distribution का arithmetic mean होता है, summation of Fi, Xi, यह होता है, तो अपने यहाँ पे सारी value put कर देते हैं, तो आप लोग देख सकते हैं कि Fi तो क्या ह FI तो आपके पास यह है, NCR लिख सकते हैं से, और फिरस के बाद, XI क्या है, actually मैं यहाँ पे frequency को corresponding data से multiply करके जोड़ लेता हूँ, यह आपके पास बन जाएगा, plus 4, NC2, plus up till, क्या हो जाएगा, 2 की power N, NCN, तो यह तो उपर लिख दिया मैंने, summation of FI, XI, और और अब हम नीचे लिखेंगे summation FI, sorry यहाँ पे summation FI लिखना है अपन को, एक बार निकालने के लिए, तो आप लोग देख लेंगे नीचे summation of FI क्या होगा, frequency ये सब है, NC0 plus NC1 plus NC2 plus up till NCN, तो यहाँ से हम देख सकते हैं, कि आपके पास जो numerator है, उसका sum हमें निकालना है, तो यह तो वैसे 0 हो गया, यहाँ से आप लोग notice करेंगे कि summation, एफ आई एक्स आई कितना आ रहा है यह आ रहा है टू टाइम्स एंसी वन फो टाइम एंसी टू प्लस टू की पावर एंड टाइम्स एंसी एंड अब इसमें एंसी जीरो वाली टर्म को भी मैं लिख देता हूं एंसी जीरो इंटू टू की पावर लो प्लस एंसी वन टू की पावर वन प्लस एंसी टू की पावर 24 गया आपका प्लस एंसी एंड टू की पावर एंड देख सकते हैं कि मैंने एक तर्म यहां पर ज्यादा लिख दी है क्या NC0 टुकी पावर 0 तो आपने इसे माइनस भी करना पड़ेगा NC0 टुकी पावर 0 और उसके बाद यहां से अपन आगे बढ़ते हैं तो आपको summation of FIXI देखे कि क्या मिल जाएगा यह एक्चुल में 1 प्लस X की पावर N का expansion है मैं आपक प्लस एंसी वन एक्स प्लस एंसी टू एक्स स्क्वेयर प्लस एंसी एन एक्स की पावर एन अगर मैं इसमें एक्स को दो प्लेस कर दूं क्योंकि मैं कुछ भी रख सकता हूं यह एक आइडेंटिटी है तो एंसी जीरो प्लस एंसी वन टू प्लस एंसी टू स्क्वेयर ए of fixi देखें कि क्या बन गया आप लोग देखें summation of fixi यह है जिसको अपन लिख सकते हैं 1 plus 2 की पावर एंड minus 1 plus 2 की power n minus, यह कितना हो गया, n से 0, 1 होता है, और 2 की power 0 भी 1 हो गया, तो यह आपके पास मिल जाएगा, 3 की power n minus 1, और जो summation f i आपके पास है, वो कितना हो गया, यह पूरा sum कितना है, 2 की power n हो गया, तो आपका जो x bar होता है, वो 3 की power n minus 1, upon 2 की power n होगा, और इससे आप देख सकते हैं कि आइक्स पार तो आपको दियावा है, वो है 728 divided by 2 की पावर n, तो 2 की पावर n से 2 की पावर n cancel कर दिया, और वहां से आपको मिलेगा 3 की पावर n equal to 729, और 3 की पावर n आपका 729 है, और 729 क्या होता है, 3 की पावर 5 होता है, 3 की पावर 4 तो आपका 81 हो जाता है, और फिर 3 की पावर 6 होता है, तो आप देख सकते हैं कि 729 तो वहां से आपका आ जाएगा 6 के बराबर आ जाएगा तो इस क्वेश्चन का अंसर आपके पास है 6 तो देख सकते हैं इसका अंसर 6 आ गया है अब उसके बाद देखें नेक्स्ट क्वेश्चन की तरफ बढ़ते हैं इफ फॉर सम एक्स बिलॉगिंग टू आर फ्रेक्वेंसी डिस्ट्रिब्यूशन ऑफ द मार्क्स ऑप्टेड बाइ 20 स्ट्रेंड्स इन एस टेस्ट इस गिवन ऐस द मीन ऑफ द मार्क्स इस तो आपके यहां पर क्या दिया हुआ है मीन ऑफ मार्क्स दिया वाइट 20 ठीक है फ्रेक्वेंसी डिस्ट्रिब्यूशन ऑफ द मार्क्स ऑप्टेड बाइ 20 स्ट्रेंड्स दो तीन पांच अच्छा 20 स्ट्रेंड्स टोटल है तो यह फ्रेक्वेंसी का सम आप 20 कर सकते हैं तो firstly हम सारी frequencies का sum 20 कर देंगे, तो summation of f5 आपके पास है 20, वो बनेगा x plus 1 का square, plus 2x minus 5, plus x square minus 3x plus x, तो इसको जरा एक बार directly मैं calculate कर लेता हूँ, x square कितना हो गया, 2x square हो जाएगा, फिर इसके बाद यहाँ से plus का 2x, और 2x 4x, और x, 5x minus 3x तो मिल गया 2x और फिर इसके बाद 1 minus 5 हो गया आपका minus का 4 और यह आपको दिया है इसने 20, तो वहाँ से आपको मिलेगा 2x square plus 2x minus 24 बराबर 0, अब इस पूरी equation को आप 2 से divide कर लें, तो आपको मिल जाता है x square plus x minus 12 बराबर 0 और ultimately यहाँ पे factorize करेंगे तो x plus 4, x minus 3, 3 बराबर 0 आ जाएगा तो इससे x की value आपको लेनी पड़ेगी 3 negative में नहीं ले सकते अदरवाइज आपके पास ये frequency negative हो जाएगी तो 3 आप ले सकते हैं तो x की जो value आपके पास है वो 3 है अब इसने क्या की mean find out करें तो आपके पास ये कितना हो गया अगर x को 3 रखेंगे तो 3 plus 1 का square 16 हो जाएगा यहां 3 रखेंगे तो ये 1 हो जाएगा और यहां तीन रखेंगे तो यह जीरो हो जाएगा और यहां तीन रखेंगे तो यह तीन हो जाएगा तो यह आपके पास हो गई है नई फ्रेक्वेंसी नोन फ्रेक्वेंसी अब आपका एक्स बार होता है समेशन एफ आई एक्स आई डिवाइडेड बाय समेशन ऑफ एफ आई तो आप हर डेटा को उसकी करस्पॉंडिंग फ्रेक्वेंसी से गुना कर लें तो दो इंटू सोला तो बतिस हो गया प्लस तीन इंट� प्लस साथ इंटू 321 हो गया डिवाइडेड बाइ सम आफ फ्रेक्वेंसी आपका 20 है और फिर के बाद जब इसे सॉल्व करें कितना हो गए देखें आप लोग 35 और 21 हो गया आपका 56 डिवाइडेड बाइ 20 यहां पर आपके पास अंसर है 2.8 यह क्वेश्चन ज्यादा टॉफ नहीं है इजी है बहुत सिंपल ऐसे ही क्वेश्चन जी में भी आते हैं तो आप बहुत ही easily कर सकते हैं, अगर आपके पास कुछ data है, x1, x2, x3, xn, यह xn data है आपके पास, अगर यह कुछ n data आपके पास है, x1, x2, x3, xn, इनका arithmetic mean मान लो कि आपके पास x bar है, तो ऐसे case में, सारे data को a से multiply करें और उनमें b जोड़ लें, तो data बन जाता है ax1 plus b, ax2 plus b, ax3 plus b, up till axn plus b, इन नए data का arithmetic mean भी ऐसे आएगा ax bar plus b करके, पहले तो हम इस theorem को prove करते हैं, मान लीजे कि आपके पास yi है ये, एक्स आई प्लस बी तो एक्स वन एक्स टू एक्स री एक्स एन यह डाटा है वाइवन क्या हो जाएगा एक्स वन प्लस बी वाइट टू एक्स टू प्लस बी वाइट री एक्स प्लस बी ऐसे वाइट एन आपका होगा एक्स एन प्लस बी यह डाटा आपके पास होंगे अब क्योंकि आपको वाइट का अरिथमेटिक मीन निकालना है तो समिशन ऑफ वाइट आई अपन एन हो जाएगा और समिशन ऑफ आप लिख सकते हैं एक्स आई प्लस बी divided by n, summation को अंदर distribute करेंगे तो आपको क्या मिल जाएगा, a times summation xi plus summation b को आप लिख सकते हैं, nb, और नीचे आपका n है, तो इस तरीके से लिखा जा सकता है, तो इस रिम्स ये देख सकते हैं कि ये आपके पास हो गया, x bar और इससे आप लिख सकते हैं b, इसका मतलब ये हुआ कि अगर आपके पास कुछ data है, सब को आपने A से गुणा किया सारे डेटा को उनमें B जोड दिया, A और B जहांपे constant है, तो आपके पास arithmetic mean भी क्या होगा, पुराने arithmetic mean X bar को A से multiply करें और B जोड दें, यहांपे कुछ special case देखें कि अगर X1, X2, Xn का arithmetic mean X bar है, तो AX1, AX2, AXn का arithmetic mean क्या होगा, AX bar होगा, और सब में अगर B जोड लें, x1 plus b, x2 plus b, xn plus b, तो इनका arithmetic mean हो जाएगा x bar plus b के बराबर, यानि कि मैं अगर कहूँ कि मैंने सब को double कर दिया, तो arithmetic mean भी क्या होगा, double हो करके मिलेगा हमें, और अगर मैं सब में 10 चोड़ देता हूँ, तो मुझे arithmetic mean भी क्या मिलेगा, 10 बढ़के मिलेगा, तो इस तरीके से हम लोग देखेंगे। ना उसके बाद देखते हैं, question आपके सामने है, in a class of 100 students, there are 70 boys whose average marks is 75, 100 students हैं आपके पास, class के अंदर, और 70 students का marks का average कितना है, 75 है, तो 70 students के marks का average है 75, तो total marks कितने हो गए उनके, 70 into 75, if the average marks of company, complete class 72 तो गर्ल्स कितनी है तो मान लेते हैं कि गर्ल्स आपके पास यहां पर एक्स मान लेते हैं राइट एक्स आपके पास नंबर ऑफ गर्ल्स मान लेते हैं एंड स्ट्रेंट्स टोटल है तो आपके पास 70 अगर मीन है 75 सोरी 75 अगर मीन है 70 बॉयस का तो बॉय्स आपके पास 70 है यहाँ पे, और फिर गर्स तो फिर 30 हो जाएंगी, क्योंकि टूटल 100 है, तो उनका मीन आपन मान लेते हैं कि वो है X bar, ठीक है, X bar मान लेते हैं, correct अनाम, उनका मीन हमने क्या मान लिया, X bar मान लिया, तो 70 बॉय्स का मीन है 75, तो उनका sum of marks हो गया 70 into 75, 30 गर्स का मीन हमने X bar मान लिया, तो उनके marks का sum हो गया 30 into x bar और जो पूरी class है उसका average marks है 72 तो 100 तो है total number of students और उनके marks का average 72 है तो इस equation को solve करके आप x bar निकाल सकते हो यह आपका answer हो जाएगा यहां से आपके पास 30 x bar कितना हो गया यह तो हो गया आपका 100 multiplied by 72 minus 70 into 70 25 और एक्स निकालेंगे एक्स बार निकालेंगे तो आपको इससे 30 से डिवाइड कर देना पड़ेगा और इसको कैलकुलेट करेंगे तो आपका अंसर आ जाएगा ओके तो फिर आगे बढ़ते हैं इसे आप कैलकुलेट कर लेंगे इसका अंसर एम मेरे पास दिखावा है इसका अंसर भी आ रहा है इसको आप कैलकुलेट आप लोग करने कर लें आगे बढ़ते हैं इस एक हम लोग यहाँ पे Arithmetic mean को find करने के लिए एक shortcut method यहाँ पे discuss करेंगे, हम लोग क्या करेंगे सारे जो data है उनमें कोई number a जोड़ देंगे, a को हम assumed mean यहाँ पे बोलते हैं, अगर आप सारे डेटा में कुछ जोड़ लेंगे, minus कर लेंगे, sorry, तो डेटा छोटा हो जाएगा, फिर इसके बाद आपको किसी number edge से उसको divide भी करना है, और जिससे आपने divide किया, वो actually width of class interval होता है, width of class interval आपको लेना है, तो यहां से आपके पास, अगर सारे डेटा में आप यह changes कर दोगे, तो आपके पास हर data के साथ में एक नया data आपको मिल जाएगा, तो अगर आपने ये किया, कि yi को लिखा xi-a upon h, ऐसा हम इसलिए कर रहे हैं, क्योंकि हमें data थोड़े easy चाहिए, बड़े number को छोटे number में convert करना चाहते हैं, तो यहां से आपका xi कितना आ जाएगा, ये बनेगा hyi plus a, और अगर आप x bar निकालना चाहते हैं तो वो बनेगा hy bar plus a इसका मतलब यह है कि जो data आपके पास हैं उनको आप क्या करेंगे yi data में convert करेंगे जो relatively छोटे number होंगे और उनका arithmetic mean यहाँ निकालना है h रखना है, a रखना है तो आपके पास arithmetic mean आ जाएगा तो चले students आगे बढ़ते हैं हम लोग next question की तरफ let x1, x2, x100 be in arithmetic progression with x1 is given 2 and mean is equal to 200, if yi equals to i times xi minus i, i1 से लेकर के 100 तक दियावा है, then the mean of these all y1, y2 से लेकर के y100 तक, सबसे पहले तो आपके पास यहाँ पे जो AP है उसका first term 2 दे रखा है, और इन hundred numbers का arithmetic mean आपको given है 200 के बराबर, and now we see that कि summation जो होगा hundred numbers का, वो आप लिख सकते हैं, 100 by 2, 2A plus 100 minus 1, 99, D आपको अभी पता नहीं है, तो इसको D put कर लेते हैं, और यह आपको मिल गया summation of xi, और आपको पता है, summation of xi होता है, n into x bar, n तो आपके पास है 100, और x bar है 200, ये 100 इस 100 से cancel करेंगे, और इस 2 को इस तरफ ले जाएं, तो 4 plus 99d, 4 plus 99d equals to, ये 2 इस तरफ जाएगा, तो 400 minus, 400 हो जाएगा ये, और 4 इस तरफ ले जाएं, तो 99D हो गया आपका 396 के बराबर, और इसको 99 को इस तरफ डिवाइड कर ले, तो इस रेंट्स आपके पास क्या हो जाएगा, ये आजाएगा 396 डिवाइड बाई 99, तो इससे आपके पास common difference जो होगा, उसका value 4 आ गया है, तो D equals to आपके पास उसका first term तो आपको already दियावा है 2 के बराबर, और इसका common difference भी हमने 4 लिखा है, अब हमें यहाँ पे चाहिए इन numbers का arithmetic mean, और यह numbers किस तरीके से derived है, यह है yi equals to i into xi minus 1, xi minus i, अब यहाँ पे xi को भी put कर ले, xi मतलब ap का ith term, तो वो होगा a plus i minus 1 d, i minus 1 d आपके पास है 4, minus i, तो यहाँ पे अपन इसको further solve करेंगे, तो 4i हो गये है, 4i minus i, 3i, minus 2, और बाहर आपके पास है i, और इससे आपको अगर summation yi निकालना है, तो यह बनेगा thrice summation i square minus twice summation of i. यह आपको मिल जाएगा सारे yi का sum, जहांपे i एक से लेकर के 100 तक जा रहा है.
अब यहाँ पे summation of i square अगर आप निकाले, तो nn plus 1 to n plus 1 होता है, n positive integers के square का sum होता है, एन प्लस वन यानि की हंड़ड एन वन टू एन प्लस वन यानि की टू हंड़ड वन डिवाइड़ बाई सिक्स माइनस टू टाइम्स एन प्लस वन हो गया हंड़ड एन वन डिवाइड़ बाई टू correct है, nn plus 1 by 2 हो गया, तो यह आपके पास है summation of yi, अब यह hundred numbers का arithmetic mean निकालने के लिए आप एक काम करें, इसको hundred से divide कर लें, तो आपके पास जो y bar आएगा, वो बन जाएगा, summation yi divided by 100, that will be 326 हो गया, तो यहां से तो आपको मिला 101, into 201 divided by 2 minus यहां से आपके पास किबल क्या आ रहा है? 101 इसको अपन further solve करके arithmetic mean को लिख सकते हैं और now देखें इसके बाद आगे बढ़ते हैं यहां से आपको 101 तो common लेना यहां अंदर बचेगा 201 divided by 2 जिसको लिख सकते हैं आप लोग 100.5 minus 100, 1, so ultimately आपके पास जो y bar आएगा, वो आप लिख सकते हैं, 100.5 minus 101 करेंगे, तो आपको इसको solve करना है कि कितना आएगा, यह ठीक लिखा है मैंने, 100 common ले लिया है, यह actually 2 LCM, ठीक है, इसको further solve करके देखें कि इससे क्या value आपको मिल रही है, तो 101 क्योंकि common ले लिया था, यहाँ पे तो आपको 1 मिल जाएगा केवल, तो यहाँ पे minus करें, तो यह solve हो करके किता बनाएगा, 101 multiplied by 99.5, तो इसको दोनों को multiply कर लें, तो आपके पास जो answer है, वो यह 10,049.5 आ जाएगा, आपको लोग इसे calculate करके देख लेंगे, तो इस तरीके से आप लोग यहाँ पे देख सकते हैं, कि इन numbers का arithmetic mean आपने निकाल लिया तो आप लोग हमेशा ये देखेंगे कि जो statistics का question है उसमे statistics थोड़ी सी होती है sequence and series जादा हो सकती है binomial theorem जादा हो सकती है तो mostly series जादा involved रहती है अब हम लोग आगे बढ़ते हैं इस topic के अंदर next question आपके सामने है the mean of the data set compare comprising of 16 observation is 16. 16 observation का mean आपके पास कितना है? अगर n आपके पास 16 है, तो उनका arithmetic mean है आपके पास, 16. If one of the observation valued 16 is deleted, सही बात है, तो आपने क्या करना है? एक observation 16 को आपने delete कर देना है, और उसके जगए 3 नए observation ले कर के आने हैं.
तो आप लोग देखें new summation x i क्या होगा, नया summation x i क्या होगा, पुराना summation x i कैसा लिकालेंगे, पुराना n into पुराना x bar multiply क्या, तो आपके पास पुराना तो mean, sum आ गया, summation x i, तो आप लोग देखें, older summation x i क्या होगया, n x bar 16 into 16, अब इन में से आपको 16 एक data है, delete करना है और 3 नए data इसकी जगर ले कर के आएंगे, तो 3, 4 और 5 आपको add कर देने है, इसका मतलब आपने 3 data तो plus कर दिये, और जिसको remove करना है, वो उसे वहाँ से हटा दिया, तो आप देख सकते हैं, कि यहाँ से नया summation आपको मिलेगा, यहाँ से तो आप देख सकते हैं, 5, 4, 5, 9, 3, 12, minus 16 plus 12 हो गया minus 4, 256 minus 4 यहां से बन गया यह 252 तो नए data का arithmetic mean आपको निकालना है तो आप लोग देखे new n आपके पास क्या है 18 में से एक data तो आपने बाहर कर दिया और 3 data आपने इसमें include कर लिया तो इसका मतलब आपके पास हो गया यहां पे 20 तो 20 total आपके पास data है number of data आपके पास 20 है तो जो x bar जो होगा, वो आएगा summation of xi divided by n, और इसको हम further solve कर लेते हैं, तो आप लोग देखें कि यहां से answer आपको मिल जाएगा, तो आप लोग देख सकते हैं कि जो new summation आपके पास है, new summation, वह आपके पास एक्चुली क्या है कि इसमें मैंने थोड़ा गलती कर दिया यहां पर नंबर आफ डेट आपके पास 16 थे उसमें से एक चला गया और तीन नए आ गए तो यह आपके पास कुछ मिलाकर 18 हो जाएगा तो यहां पर आप लिख दें 18 और इसको फर्थर सॉल करेंग question के अंदर आपके पास given data का arithmetic mean आ गया है 1, 4 के बराबर, तो बहुत simple है कि जो observation आपको remove करना है, उसको इस sum में से आपने minus कर दिया, और उसकी जिगए जो 3 data आपको ले करके आने, उनको वहाँ पे आपने plus किया, तो नया sum आ गया, और नया number of data आपके पास आ गया, और x bar निकालने के लिए हमने formula लगा दिया, summation x i upon n तो इससे आपके पास arithmetic mean का value आ गया है अब अपन यहाँ पे देखेंगे combined mean कैसे निकालते हैं combined mean का मतलब है कि मैं आपको दो अलग-अलग data का collection दे दू और यह पूछूं कि बताओ combined जो total data है उनका arithmetic mean क्या होगा तो वो कैसे निकालेंगे माल लिजे कि आपके पास कोई data है n number of data है u1, u2, un और दूसरे m number of data है इनका arithmetic mean वी बार है, और इन सारे n data का arithmetic mean आपके पास u बार है, तो आप रुख देखे, combined sum क्या हो जाएगा, अगर combined sum आप रुख data का निकालना चाहते हैं, तो आपके पास आएगा, कि u बार को आप गुणा करने किस से, n से, तो u बार को गुणा किया n से, क्योंकि nx बार होता है sum, तो n into u बार हो जाएगा, इन सारे data का sum और दूसरे जो data है उनका mean आपको v bar मिलावा है तो आप लिखेंगे m into v bar तो इनका sum आपके पास ही आ जाएगा तो combined data का arithmetic mean अगर आपको निकालना है तो आपको सारे data का sum उपर लिखना पड़ेगा और नीचे लिखेंगे number of data that is n plus m तो ये आपके पास combined data का arithmetic mean होगा, सारे m plus n data को उपर जोड़ दिया, और उनकी संख्या को, उनकी number of data को हमने नीचे लिख दिया है, तो आप देख सकते हैं कि arithmetic mean इस तरीके से किया जा सकता है, fine. Now the mean of a set of 30 data, 30 observations is, 30 observations का जो mean है आपके पास, वो कितना है? 75. तो जब आपके पास number of observation है n, कितना है n? 30, उनका arithmetic mean है आपके पास 75, and if each other observation is multiplied by a non-zero lambda, अगर आप सभी को lambda से गुना कर लें, सभी observation को, यानि कि अगर आपने पुराना observation आपके पास xi है, और आपने सब को किस से multiply कर दिया? lambda से multiply कर दें and then each of them is decreased by 25, तो ऐसे case में नया data जो आपके पास आ रहा है, उसका arithmetic mean पुराने data के arithmetic mean के बराबर है, ऐसा question ने कहा है, तो यहां से अपन जानते हैं कि y bar को लिखा जा सकता है, lambda x bar minus का 25, क्योंकि पुराना mean और नया mean तो same है, तो यह 20, ये क्या है आपके पास पुराना mean, 75 है, तो आप लोग देखें यहाँ पे 75 लिख दिया, तो y bar भी आपके पास 75 हो जाएगा, minus 25, तो इसको हम further solve करेंगे, तो आपके पास lambda हो गया, 75 plus 25 divided by 75, यानि कि यहाँ से आपका answer बन जाता है, 100 upon 75, तो 25 फोर जा 100, 25 थी जा, 75, तो lambda आपके पास कितना हो जाएगा, 4 by 3 के बराबर, ये question combined mean का नहीं है, ये question के अंदर आपको ये दियावा है, कि जो data आपके पास है, जो 30 data है, उसका mean 75 है, अगर सभी data को आपने lambda से multiply किया, और उसमें 25 घटा दिया, तो जो नया data आपके पास आया, उनका arithmetic mean, पुराने के arithmetic mean के बराबर है, और आपने जो theorem मैंने आपको पढ़ाई थी, उसके हिसाब से अगर ये relationship आपके पास yi और xi के अंदर है, तो इनके corresponding mean के अंदर ये relationship होता है, दोनों को x bar और y bar को हमने 75 place किया, और solve करके आपके पास यहाँ पे lambda की value आ गई है 4 by 3, ये same to same question J-man 18 के अंदर, और J-man 2023 के अंदर भी पूछावा है, तो same easy question है tough नहीं है now उसके बाद देखे students हम लोग आगे बढ़ते हैं हमारे पास measures of central tendency के अंदर अगला measure है median median होता है middle most value अगर आप सारे data को increasing order में जमा देंगे, तो ऐसे case में जो सबसे बीच में होता है, वो median होता है.
अगर number of data आपके पास odd है, तो बीच में एक data आएगा, और वो होगा n plus 1 by 2th data. अगर आप increasing order में जमाएंगे, तो n plus 1 by 2th data बीच में होगा. लेकिन अगर आपके पास n एक even number है, तो number of data आपके पास बीच में... 2 रहेंगे तो उनका average ही आपके पास क्या होगा median होगा n by 2th data आपके पास जो होगा वो बिलकुल बीच में होगा वो जो 2 आपके पास middle data आएंगे उन दोनों का आपको average करना पड़ेगा median निकालने के लिए तो median निकालने के लिए आपको क्या करना है n by इनका आपको average करना होगा, तो आपको median मिलेगा, तो इस तरीके से आपको median find out करना है, तो यानि कि अगर बीच में एक ही data है, तो वही median है, अगर बीच में दो data है, तो उनका sum करके by 2 करेंगे, तो आपको median मिल जाएगा, तो इस तरीके से हमें median को find out करना है, तो अगर आपको इलपास लेकिन frequency distribution दियावा है, classified data के साथ में, तो ऐसे case में median निकालने का तरीका है L plus N by 2 minus C divided by F multiplied by H. यहाँ पे ये सब क्या होते हैं?
L क्या है? Capital N क्या है? C क्या है?
F और H क्या होते हैं? ये सब आपको मैं example के थूँ समझाओंगा. तो आपको के सामने एक example है, इसने कहा कि इन सारे data का mean जो है, वो 309 divided by 22 है.
और median दे रखा है 14, और आपको बताना है कि a-b का square क्या होगा, तो यह हमें find out करना है कि यह क्या होगा, right, तो अपने इसको देख लेते हैं, first of all यहाँ पे आपको क्या करना है, एक class interval के साथ में इस table को complete करें, 0 से लेकर 6, 6 से लेकर के 12, 12 से लेकर के 18, 18 से लेकर के 24, और 24 से लेकर 30, यह तो हो गया आपके class intervals, अब अपन को क्या करना है, इन class intervals की mid values को निकालना है, mean निकालने के लिए, तो आपके पास यहाँ पे mid value, इसे हम xi से denote करेंगे, mid value कैसा निकालेंगे, 0 plus 6 by 2 तो हो गया 3, ओके, और 6 plus 12 by 2 हो गया, आपके पास 9, यह आपके पास हो जा� फिर इसके बाद आप लिखें 27, और जो FI आपके पास है, Corresponding Frequencies, वो है A, B, 12, 9, और 5, हमें आपे A और B निकालने की जरत पड़ेगी, तो पहले तो आपन निकाल लेते हैं FI और XI का प्रोडक्ट, क्योंकि हमें Mean निकालना है, तो 3A, और यहां से बन गया आपके पास 9B, फिर इसके बाद 15 x 12 करेंगे, तो 180 हो जाएगा, और यह आजाएगा आपके पास 189, और 27 into 5 करेंगे तो 135 हो जाएगा, तो यहां से अपन सबसे पहले mean को find out कर लेते हैं, क्योंकि आपको A और B दो unknown पता लगाने हैं, तो आपको A और B में दो equation बनानी पड़ेगी, तो summation xi divided by n, summation fi xi divided by summation fi, यह formula आपको लगाना पड़ेगा, तो यहाँ पे mean आपके पास है 309 divided by 22 और अब अपन यहाँ पे FIXI का sum कर लेते हैं एक तो हो गया आपके पास उपर 3A और एक है आपके पास 9B, 180 और 189 करें तो 369 हो जाता है, और 369 में 135 एड कर लें, तो आपके पास हो गया ये कितना, 504, 504 divided by sum of frequencies, summation FI करेंगे, तो 12 और 9 हो गया आपका 21 और... 526 आ जाएगा तो यह लिखेंगे a plus b plus 26 तो यह आपके पास सारे frequencies का sum हो गया तो आप लोग देखें summation fi xi तो यह हमने लिख दिया और summation fi आपके पास है यहां से अगर हम आगे बढ़ेंगे तो यह आपके पास एक relationship आ जाएगा a और b के अंदर और साथ में आपको median भी दे रखा है median क्या है यहाँ पे 14 इस data का median आपके पास दियावा है और जो median होता है students वो कैसे निकालते हैं वो आपको मैं बता दूँ median अगर 14 है तो वो 12 से 18 के बीच का number है और अगर वो 12 से 18 के बीच का number है तो 12 से 18 ही आपके पास हो गई है median class तो ये आपके पास median class हो गई है और इस median class की जो lower range होती है वह होती है L, तो इसको हम L कहेंगे, इसकी frequency को हम लोग कहेंगे F, और इसके उपर वाले की CF, CF आपको निकालना पड़ेगा, तो आपको CF find out करना है, CF कैसे निकालते हैं, यह A है, इसका CF A लिखेंगे, और इसके बाद नीचे वाली frequency को जोड़ते जाएं, A plus B, फिर इसके बा� तो ए प्लस बी प्लस 21 हो जाएगा राइट तो इसको इस तरीके से देख लें सबसे पहले तो हम यहां पर सीएफ का एक कॉलम तैयार कर लेते हैं आप लोग जल्दी से देखेंगे इससे तो ए आ गया ए प्लस बी आ गया ए प्लस बी प्लस ट्रैल आ गया और यहां पर ए प्लस बी प्लस 21 हो गया फिर इसके बाद a plus b plus 21 में a plus b plus 26 हो जाएगा 5 add करने के बाद अब आप लोग देखना ध्यान से कि यह आपके पास cf आ चुकी है अगर आपको median find out करना है median वैसे 14 दे रखा जो 12 से 18 के अंदर है तो 12 को हम median class कहेंगे और आपके पास इसकी frequency को हम small f से represent करेंगे और उससे उपवाली की cf को c लिखेंगे और आपके पास सारी frequency का sum जो कि निकलेगा a plus b plus 26, अब median का formula होता है, आप जानते हैं, यह होता है l plus n by 2 minus c divided by f into h, यहां पे हम सारी values को place करके a b के अंदर एक और equation को पता लगा लेंगे, तो median आपके पास दे रखा है, इसमें 1, 4, और L आपके पास कितना है, 12 हो गया, फिर इसके बाद n by 2 हो गया students, क्या हो गया n by 2, a plus b plus 26 divided by 2, और जो c है, वो आपके पास इससे just उपवाले की cf आपको लिखनी है, और वो ये है, right, f आपके पास ये है, तो इन सब से आप लोग एप लस बी यहां पर लिख देंगे एप लस पी मल्टिप्लाइड बाय एच होता है विड्ड ऑफ क्लास इंटरविल और वह आपके पास यहां पर है 6 और नीचे है स्मॉल एफ वह है आपका ट्वेल इसको सॉल करेंगे 14 इधर ले जाएं ट्वेल को इधर ले जाएं तो 14-12 हो जाएगा आपका टू यहां टू लिख देंगे और 6 by 12 को इधर लिख सकते हैं तो आप लोग देखें देख सकते हैं आप लोग इससे यह 6 टूजा 12 हो गया और यहां पर आपके पास एलसियम करेंगे तो आपको मिलेगा ए प्लस बी प्लस 26 तो माइनस टूजा हो जाएगा तो 26 माइनस से माइनस बी डिवाइडेड बाइट टू तो यह फोर हो गया तो अल्टिमेटली आपके पास ए प्लस बी आ रहा है 18 के बराबर 26 माइनस 8 करेंगे तो 18 आ जाएगा और एक relationship आपको इससे मिल जाएगा, तो इन दोनों को solve करके, आप A और B को find out कर सकते हैं, और जब आप A और B निकाल लेंगे, तो आप A minus B का whole square करके, आप A और B put करके आप answer कर सकते हैं, तो इस तरीके से आपको find out करना है, अगे बढ़ते हैं इस question के अंदर, यह आपको question clear है, इसमें बस आपको calculation करनी है, आप easily इसे calculate कर सकते हैं, कोई मुश्किल नहीं है, आपको बस A plus B 18 है चाहें, ये calculation थोड़ा मैं आपके part पे ही छोड़ देता हूँ, आगे बढ़ते हैं इसके बाद, next हम लोग आगे बढ़ेंगे, mod एक, और आपके पास measure of central tendencies है, mod होता है most frequent data, students, mod होता है वो data जिसका सबसे जादा frequency है, जिस observation का frequency सबसे जादा होता है, उसे हम mod कहते हैं, मॉड को निकालने के लिए एक तरीका यह है कि अगर आपके पास simple data दे रखा है तो देखे कितनी बार कौन सा observation सबसे जादा बार आपको दिखाई दे रहा है वही आपके पास मॉड हो जाता है अब अपन यहाँ पे अगर grouped data आपके पास दिये वे हैं तो मॉड को निकालने के लिए आपको यह formula follow करना है यह है L plus F1 minus F0 divided by 2F1 minus f0 minus f2 multiplied by h, यह formula आपको directly याद करना है, use करना है, तो जहांपे भी आपको एक काम आएगा, उसको आपको use करना होगा, तो यहांपे यह formula में f1 क्या है, f0 क्या है, यह मैं आपको example के अंदर समझाओंगा, और इसके लावा एक formula आपके सामने और है, जो की measures of central tendencies, mean, mod, or median, इन तरहें, तीनों को relate करता है और यह formula है कि mod बनता है 3 times median minus 2 times mean के बराबर यह formula empirical relationship है और इसका मतलब है कि approximate relation है यह exact value आपको नहीं देता बट exact value के आसपास कुछ दे सकता है तो आगे बढ़ते हैं next हमारे सामने एक question है इसमें कहा कि इस data का इस distribution का जो mod है वो 140 है और आपको find out करना है कि B क्या होगा सबसे पहले आपको क्या करना है देखना है कि इसका mod 140 है जो कि इस range के अंदर है इस interval के अंदर है 100 से लेकर 150 के अंदर है इसी को हम लोग model class कहेंगे आपका mod 100 से लेकर 150 के बीच में lie कर रहा है इस interval को हम लोग कहेंगे model class इसी में आपका mod है, अब उसके बाद, इसकी frequency को हम लोग कह देंगे, f0, इसे पहले वाली को f0 कहेंगे, और इसकी बाद वाली को f1 कहेंगे, और इसकी बाद वाली को f2 से represent करेंगे, इसका मतलब कि जो model class है, उसकी frequency है f1, और इधर f0 होगा, और इसके right में f2 आपके पास होगा, और इसका जो lower value आ रहा है, Model Class का उसको हम L से represent करेंगे, अब आप देखें कि आपके पास mod दे रखा है और पूछा कि इस B का value क्या होगा, mod होता है L plus F1 minus F0 divided by 2F1 minus F0 minus F2 multiplied by H. यहाँ पे आपके पास mod दियावा है 140 के बराबर, और l कितना है, 100 के बराबर, plus f1 minus f0 करेंगे, तो आपको 37 minus 33 लिखना पड़ेगा, और नीचे आपके पास यह 2f1, यानि कि 74, minus f0 हो गया 33, और minus f2 हो गया आपका b, multiplied by h, ह है विड्थ आफ क्लास इंटरविल और यहां पर विड्थ चल रही है 50 की तो यहां पर 50 लिख सकते हैं इसको सॉल्ड करके हम बी निकाल लेंगे 100 को इस तरफ ले चलते हैं तो यह तो हो गया आपका 40 is equal to 37 minus 33 करेंगे तो आ जाएगा 4, 4 को 50 से मल्टिप्लाइंग करेंगे तो that is 41 minus b, तो 41 minus b हो गया, 45 से divide कर दो, तो आपको मिल जाएगा यहाँ पे, 4, 5, 20, तो 50 आ जाएगा यहाँ पे, और इसको further solve करेंगे, तो आपको b का value मिल जाएगा, आप लोग देखें इसमें कि क्या इसमें चीज हुई है, तो देखें, आगे बढ़ते हैं, यहाँ पे 45 जा हो गया actually, यहाँ पे 5 लिखना पड़ेगा, तो b आपको मिल गया 41-5, और 41-5 हो गया आपके पास कितना, 26 के बराबर, 26 हो गया, 36 हुआ न, तो आप लोग देख सकते हैं कि इसका अंसर d आ जाएगा, तो इस तरीके स वो थे measures of central tendencies जिस पे हम data के central parts से associated terms के बारे में पढ़ते हैं अब हम लोग यहाँ पे देखेंगे कि data का scattering कैसा है इसका measurement कैसे करते हैं data का dispersion कैसा है data का फिलाव कैसा है इसके बारे में कौन बताएगा कौन से parameters बताएंगे यह बताएंगे measures of central measures of Dispersion, measures of dispersion में आपको पढ़ना है, एक तो mean deviation पढ़ेंगे, अब से पहले, फिर इसके बाद पढ़ेंगे हम variance and standard deviation, बात करते है mean deviation की या फिर MD की, MD क्या होता है, mean deviation आप किसी के भी about निकाल सकते हैं, एक ए about mean deviation क्या होता है, आप क्या करेंगे हर एक डेटा के अंदर से x i में से a को घटाएंगे और उसका absolute value लेकर के उन सारे absolute value का sum करेंगे यानि कि आपको a के about x i के deviations की absolute values को जोड़ना है और उसके बाद आपको divide करना है किससे n से यानि कि ये mean deviation है deviations का क्या है ये average है mean होने का मतलब average होना है और mean deviation का मतलब deviations का mean यहाँ पे ये सब क्या है x i minus a का modulus क्या होता है ये होता है x i का a से deviation और ये इसका absolute value इसका sum करके आपने n से divide किया इसका मतलब आपने इन deviations का average कर लिया है तो इस तरीके से आपको simple data के md को इस formula से आपको find out करना है लेकिन अगर आपके पास data frequency distribution में दे रखे हैं, तो formula आपके पास यह थोड़ा change हो जाएगा, यह formula होगा summation of, आप लोग देख लें, यह formula आपको इस तरीके से मिलेगा, यहाँ पे इसको change करेंगे, formula आपके पास होगा summation of FIXI-A divided by summation of FI, इसमें आप थोड़ा सा ठीक कर लेंगे, यह आपके पास, मीन deviation निकालने के लिए formula होता है, अब अपन यहाँ पे आगे बढ़ते हैं, question आपके सामने J-MEN 2009 का है, question में दियावा है कि आपके पास कुछ data है, 1, 1 plus D, 1 plus 2D, 1 plus 100D, यानि कि 101 data आपके पास हैं, इनका mean के about, deviation दे रखा है, if the mean deviation of the number from their mean, mean से अगर deviation निकालना है, mean deviation निकालना है, तो mean deviation about x bar चाहिए, तो यह आपके पास होगा summation of modulus xi minus a, a की जगह आपको x bar लिखना पड़ेगा, और number of data आपके पास नीचे आएगा, यहाँ पे आपको md दियावा है, और पूछा क्या है बताओ कि वो डी जो डिफरेंस है कॉमन डिफरेंस आफ दन नंबर्स इन एपी वो आपको क्या मिलेगा यह बताना है तो यहां तो हम लिख देते हैं MD 255 और पहले X bar चीज़ाओगा न X bar कैसे निकालोगे समेशन XI अपाउन N करके तो इन सारे 1 से लेकर 101 नंबर का सम आपके पास कितना आजाएगा 1 प्लस D 1 प्लस 100 D तक का सम आपको मिलेगा n by 2, a plus l कर लें, right, तो यह आपके पास हो जाएगा, तो इसको further solve करते हैं, नीचे 101, और इसको further solve करते हैं, तो यह बनेगा 1 plus 50d, तो x bar आपके पास क्या हो गया बिटा, 1 plus 50d के बराबर हो गया, अब हम क्या करेंगे, 1 plus 50d को घटाएंगे सारे xi में से, और xi आपके पास यह है, तो 1 में से 1 plus 50d घटाएं, तो 50 mod d आएगा, फिर इसके बाद 2 में से 1 plus 50d घटाएं, तो आपको मिलेगा, 2 में से घटाएंगे, तो आपको मिल जाएगा 1 plus 50 modulus of d हो जाएगा, तो आपन क्या करेंगे 1 plus 50d, 1 plus d में से घटाएंगे तो 49d आएगा actually, 49 mod d, ऐसे 48 mod d आजाएगा, फिर इसके बाद बीच में कहीं पे 1 plus 50d भी इसमें आ रहा है, देखो आप 1, 1 plus d से लेकर के 1 plus 2d, 1 plus 100d तक आप जाएंगे, तो 1 plus 50d भी इसमें बीच में कहीं आएगा, तो xi 1 plus 50d है और x bar भी आपका 1 plus 50d है, तो वहाँ पे 0 हो जाएगा, और इससे पहले 1D आएगा, 0 आएगा, फिर इसके बाद 1 plus 50D, के बाद 1 plus 50, 1D, उसमें से इसको घटाएंगे, तो आपको फिर से mod D मिलेगा, फिर इसके बाद 2 mod D आजाएगा, और इसे करके last में आपको वापस से 50 mod D बनेगा, जब आप 1 plus 100D में से 1 plus 50D घटाएंगे तब, और करते हैं कि यहां से लेकर यहां तक की जो सीरीज है यहां से यहां तक की सीरीज यह और यहां से आंतक की सीरीज क्या गई सेम आ गई तो मैं इसको इस तरीके से लिख लेता हूं कि आपको मिलेगा यह ट्वाइस मिल जाएगा इसका और मैं मॉड डीबी कॉमन लेता हूं और अंदर बचेगा फिफटी से लेकर वन तक का सम जो कि होता है एन प्लस वन डिवाइडेड बाइट टू अपन हंडड एन वन इस इक्वल टू 255 तो इसको हम फर्दर सॉल करके डी को फाइंड आउट करते हैं तो आप लोग यहां पर देखना यह तो बन गया टू कैंसल हो जाएगा और 5 इंटू 51 होता है 255 और 0255 और एक और जी रो बनेगा तो 255 के नीचे लिख देते हैं तो 255 और एक जी रो और यह अंडर एंड वन भी इस तरफ ले जाते हैं अ तो ये आपको mod D की value मिलेगी, तो आप लोग देख सकते हैं कि ये तो इससे cancel हो गया, और ये ultimately आपके पास mod D कितना हो गया, 101 upon 10 equals to modulus of D, तो आपके पास modulus of D का यहाँ पे क्या value आ रहा है, ये आ रहा बेटा 10.1 के बराबर, राइट, इसने बोला कि D का कोई value बताओ, तो 10.1 भी हो सकता है, और minus 10, 10.1 भी हो सकता है क्योंकि मॉड आपके पास 10.1 आया है तो डी कम प्लस माइनस 10.1 लिख सकते हैं राइट तो आपके पास 10.1 ऑप्शन में है तो वही आंसर हो जाएगा ना उसके बाद स्ट्रेंट्स आगे बढ़ते हैं आपके इस टॉपिक के अंदर नेक्स्ट मैजर ऑफ डिस्पर्शन है वेरियंस क्या होता है सारे ऑब्जरेशन का मीन करें के about deviation के square का average variance होता है mean of squares of deviations from x bar यानि की variance आपके पास होता है सारे data का x bar के about deviation का average और average कैसे निकलता है सब को जोड़ लेंगे उपर और नीचे number of data लिख देंगे, और आपके पास variance का formula ये आ जाएगा, variance को denote करने के लिए, sigma square से हम denote करते हैं, sigma square होता है students, बिटा sigma square होता है summation, xi minus x bar का square divided by n, ये आपके पास variance का formula हो गया है, अगर मैं इस square को खोलता हूँ, तो देखो क्या आता है, summation x i square minus 2 x bar into x i plus x bar का square divided by n, अब एक काम करें, इस summation को अंदर ले जाएं, distribute कर दें, तो आपको मिलेगा summation x i square i1 से लेकर के n minus 2 x bar, फिर आप लिखेंगे summation x i, summation x i क्या होता है, n x bar होता है, पिर इसके बाद, x bar square का summation लेंगे x bar square तो constant है right तो उसका sum होगा फिर nx bar का square divided by n अब इसको further solve करते हैं summation xi का square upon n हो जाएगा और ये minus 2 nx bar square plus nx bar square तो ये बन गया nx bar square upon n तो ultimately आपके पास जो है variance का एक और formula बन गया है और वो है summation x i का square divided by n minus x bar का square, तो ये एक और formula हो गया आपके पास, देख सकते हैं ये formula यहाँ पर लिखा हुआ है, इसको आप लिख सकते हैं, summation x i square upon n minus x bar का square, ऐसे इसको लिखा जा सकता है.
तो आप formula दोनों ही use कर सकते हैं, इसमें ये वाला formula हम ज़्यादातर काम में लेते हैं, तो arithmetic variance को निकालने का क्या formula है, आप समझ गए होंगे, कि आप एक formula ये use कर सकते हैं, summation xi minus x bar का square upon n, और एक और formula आपके पास है, वो है summation xi square upon n minus x bar का square, अब मैं आपको एक चीज समझाता हूँ यहाँ पे, अभी हमने variance पढ़ा, कि summation x i square upon n minus x bar का square यह होता है sigma square यहां से अगर मैं इस x bar square को इदर भेज देता हूँ और n से multiply कर देता हूँ तो यह आपको मिल जाएगा summation x i square तो याद रखें कि कभी आपको सारे नंबर का square का sum निकालने की जरूरत पड़ सकती है तो summation x i square को आप यह use कर लेंगे, n times sigma square plus x bar का square, यह आपके पास है सारे नंबर के square का sum, यह वैसा ही है, जैसे आपको बताया था कि x bar होता है, summation x i upon n, तो अगर आपको summation x i required है, तो आप निकाल सकते हैं इस formula से, n x bar से, कभी हमें required होगा, कि हमें data का arithmetic, मीन दियावा होगा तो सम ऐसा निकल जाएगा और कभी आपको variance दे रखा होगा और आपको mean भी दे रखा होगा number of data भी दे रखा होगा तो सारे data के square का sum निकालना है तो ये formula लगाया जा सकता है अगर आपके पास frequency distribution दियावा है तो आपको ऐसा दियावा होगा कि x1, x2 xn और corresponding frequency आपको दे रखी है, f1, f2, fn और यहाँ पे variance के लिए formula एक तो यह आ जाएगा, summation of fi, xi minus x bar का square divided by summation fi, एक formula यह हो जाएगा, और दूसरा आएगा, summation fi, xi square divided by summation fi minus x bar का, का square तो ये formula दोनों में से किसी भी जिसकी जरूत पड़े उससे हम variance को find out कर सकते हैं ना उसके बाद देखते हैं standard deviation क्या होता है आप लोग यहाँ पे देखना कि standard deviation होता है sigma और यह होता है under root of variance variance का जो square root होता है वही standard deviation होता है तो यहाँ पे आप आपके सामने एग्जांपल है आगे बढ़ते हैं अपन तो आई होप इसमें आपको बहुत अच्छे से क्लियर हो रहा होगा एक्चुली क्या है कि जी मेन में यह टॉपिक तो बार काफी टाइम से आता जा रहा है और एडवांस के अंदर लास्ट इसको इंक्लूड किया था तो लास्ट तो बहुत सिंपल क्वेश्चन था सीधा मीडियन पर क्वेश्चन पूछ लिया आगे जाकर के इस पर और अच्छा क्वेश्चन पूछा जा सकता है तो हमारे पास अच्छा सोर्स स्टाटिस्टिक्स के क्वेश्चन का है वह है जेमेंट के पी वाइक्यूज एडवांस के लिए भी ठीक है ना तो इनको पढ़कर इनको प्रैक्टिस करके आप एडवांस के बाद बहुत अच्छा प्रैक्टिस ले सकते हैं ठीक है आगे बढ़ते चले यहां पर आपके पास सिक्स नंबर्स है अरिथमेटिक प्रोग्रेशन के अंदर जिसमें आपको फर्स्ट और थर्ड का समझ दस दे रखा है और इनका अरिथमेटिक मीन है 19 बाइट टू तो पहले तो अपने एवन को तो ए मान लेते हैं अ A3 को मान लेते हैं, A plus 2D, ओके, AP की third term हो गई, A plus 2D, first term है इसकी A, बराबर 10 आपको दियावा है, तो इससे आपको 2A plus 2D हो गया 10, तो A plus D आ जाएगा 5K बराबर, अब हमें क्या given है, क्योंकि हमें AP अगर बाकी terms निकालनी हैं, तो first term common difference के अंदर एक और relationship चाहिए students, तो guys आप लोग यहां पर देखना, कि यहां पे आपके पास variance जो है, mean जो है इन data का 19 by 2 दियावा है, और mean कैसे निकलता आपको पता है? मीन निकलता है summation xi upon n, यह आपको दियावा है 19 by 2, right, n आगे यहां पे 6, तो इससे आपके पास summation xi कितना हो जाएगा, यह आजाएगा 57, correct है, अब summation xi मतलब इन AP की 6 terms का sum, जो की होता है 6 by 2, 2a plus 6 minus 1d, यानि की 5d, बराबर 57 यह 2 से कैंसल हो जाएगा 3 से उधर डिवाइड कर लें तो आपको मिला 2A प्लस 5D बराबर 19 तो आप लोग यहाँ पर देख सकते हैं कि इन दोनों equation को हम simultaneously solve करके A और D find out करेंगे अगर मैं second equation में से first को minus कर देता हूँ तो 4D मेरे पास आ जाता है 19-5 14 तो D आ गया आपके पास 14 by 4 दाट इस सेवन बाई टू और इससे आप एबी निकाल सकते हैं इस अरिथमेटिक प्रोग्रेशन का हमें फास्ट टर्म और कॉमन डिफरेंस दोनों यहां से मिल जाएंगे इसको हम सॉल्ल करके लिख सकते हैं तो डी आपके पास आ गया ए प्लस डी फाइव है और टू ए प्ल के twice में से इसको minus कर दें, तो 5D minus 2D हो गया आपका 3D, तो 3D बराबर 19 minus 10, 9 आएगा actually, मैंने पहले गलत किया था, यहाँ से D आपके पास हो गया 3, और D को 3 यहाँ place कर दें, तो A2 आ जाएगा, तो आपके पास इस arithmetic progression के अंदर, first term और common difference दोनों मिल चुके हैं, अब आप क्या कर सकते हैं? इसने कहा कि वही सिग्मा स्क्वेर तो इनका वेरियंस है तो 8 सिग्मा स्क्वेर को निकालें तो आपको यहाँ पे वेरियंस निकालने के लिए क्या चाहिए स्क्वेर का सम चाहिए तो summation of xi square चाहिए summation of xi square निकालना है तो 6 numbers के square का सम कैसे निकालें यह निकालने के लिए आप formula यूज़ कर लें पदाएं इसका i-th term आप लोग देखें इसका i-th term क्या होगा a plus i minus 1d a क्या है एड टू प्लस आई माइनस फन डी आपके पास इसका है थ्री के बराबर तो एक्सआई का स्क्वायर का समेशन आई एक से लेकर के छह तक आप ले जाएंगे और इसको फर्दर देखें तो आपके पास बन गया थ्री आई माइनस फन का ओल स्क्वायर आई एक्वेस्ट वां से लेकर के 6 तक स्क्वायर ओपन करने इसके बाद आ इसके बाद square open कर लें, तो आपके पास क्या आजाएगा, यह आजाएगा 9 summation i square, okay, minus 6 summation i, plus summation 1, i बराबर 1 से लेकर 6 तक, i बराबर 1 से लेकर के 6 तक, अब इसको further solve करेंगे, summation i square आपके पास क्या आएगा, i एक से लेकर 6 तक जा रहा है, तो यह आता है, n, एन प्लस पंच तो सेवन हो गया और ट्वेन प्लस पंच करेंगे तो आएगा ट्रैलर वन थर्टीन डिवाइडेड बाइ सिक्स तो यह तो गया समेशन आई स्क्वेयर माइनस सिक्स टाइम समेशन आई होता है एन प्लस वन डिवाइडेड बाइ टू और समेशन वन होता है एन तो यह सिक्स हो जाएगा यह आपके पास हो गया समेशन आफ एक्सआई स्क्वेयर और इसको फर्थ सॉल्ड करके देख लें और आपको सारे डेटा के स्क्वेयर का सम्म मिल जाएगा इसको अपन लिख लेंगे ठीक है तो आप लोग इसे कैलकुलेट करके देखें कि क्या आ रहा है ओके इसे अगर आप पूरा सॉल्ड करेंगे तो यह आपको मिलता है 699 तो सम स्क्वेयर्स का हो गया 699 सारे डेटा के स्क्वेयर का सम है 699 फिर इसके बाद हमें क् फॉरमुला हो गया समेशन x i square अपने minus x बार का स्क्वेयर और यहां पर सारे डेटा के स्क्वेयर का सम आ गया 699, number of data आपके पास 6 है और x बार आपको पता है कि वो है 19 by 2, तो minus 19 by 2 का square, यहां से आप इसे calculate कर सकते हैं, तो इससे आपके पास वेरियंस बड़ी आसानी से आ जाएगा, तो ये तो सिग्मा स्क्वेर हो गया, हमें क्या निकालना है इसमें, हमें निकालना है 8 सिग्मा स्क्वेर, तो यहां से 8 सिग्मा स्क्वेर को find out, किया जा सकता है वह आपके पास आ जाएगा ठीक है इसको अगर आपनों कैलकुलेट करके देखें यह आ जाएगा 326 339 233 अपन दो बन गए और 233 अपन टू और यह आ रहा है 1919 को मुल्टिप्लाइंग करें तो यह हो गया तो यह आ गया 8 sigma square करेंगे, तो 8 times करेंगे, तो यहाँ पे 4 रह जाएगा, 233 8 times करेंगे, तो यहाँ 361 into 2 आ जाएगा, और further इसको calculate कर लें, तो आपका answer यहाँ से आ जाएगा, इससे आप calculate करके देखना, इससे आपको solve करके answer पे पहुँचना है, ठीक है, यह 210 हो जाएगा, आप इसे calculate करके देखें, ठीक है, तो इस तरह से आप find out कर सकते हैं, ना देखिए स्टुएंट्स आगे बढ़ते हैं अपने क्वेश्चन के ऊपर हमारे पास अगला क्वेश्चन है जेट टू थाउजन प्रंटी थी का तम मीन ऑफ तमीन एंड वेरियंस ऑफ सेवन ऑब्जरेशन्स आर एड एंड सिक्स्टीन रेस्पेक्टिवली इफ वान ऑफ तो ऑफ दरेशन 14 इस ओमिटेड एबी आर रेस्पेक्टिवली मीन एंड वेरियंस न्यू मीन एंड न्यू वेरियंस ठीक है तो आपको यहां पर सबसे पहले यहां पर अ summation x i की जरूरत पड़ेगी और वो होता है n x bar, n है यहाँ पे 7 observation का mean क्या है 8, तो 56 आ गया, फिर इसके बाद 16 observations, variance जो है in 7 observations का क्या है, 16 है, तो आपको अगर summation x i square चाहिए तो वो कैसा निकालोगे, वो आएगा n x bar का square plus sigma का square, तो n तो आपके पास है 7, x bar का square कितना हो गया, 8 का square हो गया आपका 64, plus sigma का square है आपका 16, तो यह हो गया आपका 80, right, 87 जा हो गया 560, तो सारे data के square का sum, यानि कि आपको इसमें जितने data का 7 observation का mean और variance दे रखा था, उनका हमने sum लिख दिया, उनके square का sum लिख दिया, अब हमें क्या निकालना है, जब आप एक 7 को, एक data 14 को हटा देंगे, तो 6 data रह जाएंगे, तो आपके पास new summation xi होगा, पुराने summation xi में से 14 minus कर दें, तो यह आपको 42 मिल जाएगा, और new summation xi स्क्वेर आपको पता लगाना है, तो पुराने summation xi स्क्वेर में से, अभी जो आपके पास नया, number जो आपको remove कर ला है, उसको आपको क्या करना है, उसके square को यहाँ पे subtract कर देना है, तो आपको यहाँ पे जो नया sum मिलेगा, वो यहाँ से आ जाएगा, तो नया sum तो यह हो गया 42, और नया square का sum हो गया 560, minus 14 का square, इसको calculate कर लें, 14 square 196, right? ओके, तो इस तरीके से आप लोग देखें, इसको further calculate कर लेते हैं, तो 4, और इदर से आपके पास हो गया, इस पैं, 264 आ जाएगा, यह आपको मिल गया है, 364, right, तो 364 नया xi का square का sum है, तो यह आपको यहाँ पे, इससे new mean और new variance से आप लोग find out, कर सकते हैं, तो देखें इसके बाद आगे बढ़ते हैं, आपके पास new x bar क्या है, new x bar है, यह आएगा new sum 42, और नया n आपके पास 6 है, तो यह तो 7 आगया, और इस नए x bar को इसने a से denote करने के लिए कहा है, और new आपके पास sigma square क्या होगा, new sigma square होगा, समेशन x i square upon n आपका 6 है, minus x bar का square, नय x bar 7 है तो उसका square 49 हो गया, और यहां से अपने से solve करेंगे तो यह बन गया, 182 upon 3 minus 49 sigma square यह हो गया, और इसमें अगर आप lcm लेंगे, 3 sigma square की value, 3 sigma square की value हो गई, 182 minus, 149 x 3 हो जाता है 147 राइट और इसको फर्थ सॉल करने तो आपको मिलेगा यहां पर 30 चेक कर सकते हैं 12-7 हो गया 5 और 7-4 हो गया आपका 3, तो 35, 3 sigma square आपके पास हो गया 35 के बराबर और अब हमें जो find out करना है वो देख लें, यह आपका क्या हो गया, 3 sigma square तो 3b हो गया एक तरह से, right, तो अब अपन को निकालना है a plus 3b minus 5 का value, तो a तो हो गया आपका 7, और 3 भी हो गया 35 और 5 माइनस करें तो आपका अंसर अल्टिमेटली आ जाएगा 37 के पराबर तो a plus 3 b minus 5 का value 37 आएगा तो students बच्चो ये एक तरह के question JEE ने कई बार पूछा है क्या को data दे दिये mean दे दिया variance दे दिया एक data हटा दिया उसकी जगर नया ले आए तो इस तरह के कई सारे questions जैने पूछे हैं अगे बढ़ते हैं यहाँ पे आपके पास एक frequency distribution दे रखा है और इस frequency distribution का आपको mean और variance के बारे में आपको information दे रखी है, और जो आपको find out करना, उसको आप देख लें कि क्या निकालना है, तो देख सकते हैं, कि सबसे पहले तो हमें आपे mean पे जाना है, तो summation of xi निकालना पड़ेगा, इसको multiply करें, summation of fi xi निकालना पड़ेगा actually, summation of fi xi क्या हो जाएगा, क्योंकि हमें mean चाहिए, right, mean चाहिए तो summation of fi xi हो गया आपका, 8 16 plus 6 alpha 15 8 120 10 or 8 80 हो गया फिर इसके बाद 12 beta हो जाएगा फिर इसके बाद 14 4 56 16 5 80 हो जाएगा और इसको पूरे को आप calculate करेंगे तो आपको यह मिल रहा है 6 alpha plus 12 बीटा प्लस 316, और उसके बाद हमें निकालना पड़ेगा summation FI XI का square, यह क्यों निकालना है, क्योंकि आपको variance find out करना है, तो summation of FI XI square निकालना है, तो यह आपको मिलेगा, XI square into F करना है, तो 4 into 4, 16 हो गया, अब देख लें कि summation XI square आपके पास यहां से आ जाएगा, और इसका फाइंड आउट कर सकते हैं यह जाएगा अब फाइड स्क्राइड तो 16 हो गया प्लस चार इंटू 1696 ए टिक्स्टी फॉर हो जाएगा फिर अल्फा इंटू सिक्स का स्क्राइड 36 अल्फा हो गए इसके बाद 15 इंटू 64 ऐसे करके आपको डाल करना है यह बनता है थ्री नाइन जीरो फोर प्लस 36 अल्फा प्लस वन फटी फोर बीटा अ तो मैंने आपे summation FI xi square निकाल लिया है, मैंने क्या किया, सारे observation के square को corresponding frequency से multiply करके जोडा, तो यह आपके पास समारा है, साथ मैं आप summation FI भी निकाल लें, तो इन सारे summation करें, इन सारी frequencies का, तो 5, 4, 9, 8, 17, 15, 32 और 8, 40 हो गया, तो यह बन गया alpha plus beta plus 40, तो सारी frequency का sum आपके पास यह आ जाएगा, और उसके बाद देखें कि आपके पास यहाँ पे mean क्या दे रखा है, mean दे रखा है इनका 9, और आपको पता है कि mean होगा summation FIXI divided by summation FI, तो एक तो यह आपके पास हो जाएगा, तो यहाँ से अपन summation FIXI को लिख सकते हैं, कितना आया हमारे पास, 6 alpha, प्लस ट्वाल बीटा प्लस थ्री हंडड़ एन सिक्सटी डिवाइडेड बाइ समेशन एफ़ाई है आपके पास अल्फा प्लस बीटा प्लस फॉर्टी और यह हमें मीन दे रखा है इसने नाइन के बराबर और इसको हम सॉल्ड कर सकते हैं आपे थ्री से कैंसल कर दें यह बन इसको कैलकुलेट कर लेंगे और इसके बाद 3 alpha plus 4 beta plus 3 से cancel कर रहे हैं तो 120 और is equal to यह 3 से cancel किया और यहां पे भी आपके पास बचेगा यह 2 आएगा sorry 3 से divide किया तो और नीचे आपके पास है alpha plus beta plus 40 बराबर 3 तो इसको solve करेंगे तो उदर 3 alpha बनेगा जो इदर आकर के 2 alpha minus 3 alpha हो गया आपका minus अलफा और तीटा माइनस फॉर बीटा माइनस रीबी टा बन गया बीटा और 120 से 120 कर गया तो इसको फर्थ सॉल्ड किया तो आपको अलफा बराबर बीटा मिल गया तो यानि कि आपके अलफा और बीटा क्या है इक्वल है तो एक तो हमारे पास यह रिलेशनशिप मिल गया है ओके तो अब अपने यहां पर एक चीज नोटिस कर सकते हैं कि अगर अलफा बीटा बराबर तो वेरियंस निकालते हैं, वेरियंस आपके पास 15.08 दियावा है, और वो होता है summation FIXI square, यह आपके पास आया है 3904 plus, क्योंकि यह भी alpha है, तो 336 और 144 कितना हो जाता है फिर, 180 alpha लिख सकते हैं आप इसे, divided by summation of, इतो हो गया summation FIXI square, नीचे लिखेंगे summation, FI, summation FI है alpha plus beta plus 40, इससे आप 2 alpha plus 40 कर लें, minus x bar का square हो गया आपका 9 का square, that is 81, यहां लिख सकते हैं 81, और इसको further solve करके आप alpha beta निकाल सकते हैं, alpha निकाल सकते हैं, तो इसको calculate करके आपको alpha की value निकालनी है, ठीक है, तो इस तरह से आप लोग calculate करें, 81 को इस तरफ लियाएं यह आएगा 689.08 और इसको आप देखें कि इसको further calculate कर लेंगे इसको कुल मिला के आप लोग करके देखें कि क्या आएगा मैं आपको बता दूं कि alpha की value यहाँ पे आ रही है 1 के बराबर alpha देखें एक बार कि alpha की value आपको कितनी मिलेगी तो आप लोग इसे calculate करके देखना कि alpha की value यहाँ से क्या आएगी, अगर आप इसे solve करते हैं, तो आपके पास alpha की value 5 आएगी, आप एक बार इसे calculate जरूर करना, क्योंकि इसकी calculation थोड़ी सी lengthy होती है, statistics की questions की, तो एक बार आप इसे करके देखना, minus 81 को इस तरफ ले आएं, उपर नीचे 2 से divide कर लें, थोड़ा सा मैं करके दिखा देता हूँ, जैसे आप 81 को इस तरफ ले कर आएं, तो यह हो गया आपका 96.08, और इधर आपने 2 से उपर नीचे cancel कर सकते हैं, तो 1, 8, 5, और 2, plus 90 alpha हो जाएगा, और ये alpha plus 20 हो जाएगा, cross multiply करें, और solve करें, तो आपके पास alpha की value आ जाएगी 5, तो alpha को 5 रख दें, तो ये पूरा expression आपके पास 25 बन जाएगा, तो आपका answer है 25, तो j main, 2023 का question था ये और ये question का answer है 25 और इसके बाद एक बहुत important theorem है जो कई जगए आपके काम में आएगी इसको आपको ध्यान से समझना है अगर सारे observation आपके पास है x1, x2, x3, xn और इनका variance है आपके पास sigma square तो ऐसे case पे इन सारे data को अगर आप किसी constant a से गुणा कर लें और सब में B जोडते चले जाएं तो नए डेटा आपको मिलेंगे तो guys सबसे पहले देखें कि इन सारे डेटा का जो variance होगा वो आपको ये मिलेगा क्या मिलेगा A square sigma square यानि कि जो B आप जोड रहे हैं उसका कोई असर पड़ेगा नहीं अगर आप B add करेंगे तो variance से कोई फरक नहीं पड़ेगा लेकिन जब आप A से multiply करेंगे तो नए डेटा का variance क्या हो जाएगा a square times हो जाएगा अब यहाँ पे special case आप लोग समझना कि अगर इन सारे data का variance है sigma square तो ऐसे case में ax1, ax2, ax3, axn इनका variance होगा a square sigma square के बराबर right यानि कि जब सारे data को मैं अगर double कर दूँगा तो मेरे को variance 4 times मिलेगा आप लोग समझ रहे होंगे इससे अगर आपने सारे data को a times कर दिया, तो variance आपके पास older variance का a square times मिलने वाला है, लेकिन अगर आपने सबी data के अंदर क्या कर दिया, b add कर दिया.
तो ऐसे case में नए data का variance पुराने data के variance के बराबर होगा, for example मैंने क्या किया, सारे data में 10 add कर दिया, तो variance बदलेगा नहीं, वो unchanged रहेगा, तो इस तरह से यह theorem आपके सामने है, इस theorem को आपको याद रखना है, ठीक है, तो आगे बढ़ते हैं, हमारे पास एक question है, इसे आप लोग देखें क्या लिखावा है, यह J-MAN 2020 का question है, Question है आपके पास कि x में 1 से लेकर 17 तक numbers हैं और y के अंदर क्या है? ax plus b का collection है जहांपे x आप इसी set से लोगे. इसका मतलब है कि x set के अंदर अगर xi है तो y set का जो yi है वो actually axi plus b के बराबर दियावा है. अब इसने कहा कि mean and variance of y यानि कि आपको y का mean दे रखें.
रखा है तो वाइट का मीन तो क्या होता है वाइट बार होता है एक्स बार प्लस भी ओके और वाइट का वेरियंस क्या होता है वह होता है एक्स के वेरियंस का एस क्वेट टाइम्स अब आपको वाइट बार दिया हुआ है कितना 17 तो इस 17 लिख देते हैं एक्स बार प्लस भी इसको एक्स बार प्लस भी लिख देते हैं ठीक है और यहां पर आपके पास सिग्मा स्क्वायर वाइट variance इसका कितना दे रखा, 216, और इदर लिख देते हैं, a square sigma square x, ठीक है, अब ये दो relationship आपके सामने हैं, अब सबसे पहले आपको यहाँ पे x bar की जरूरत पड़ेगी, x bar क्या है, इन सारे data का mean, और इन सारे data का mean निकालने के लिए इनका sum करेंगे, 17 by 2, अब देखें, 1 से 17 तक क इनका sum divided by number of data 17 से divide किया तो यह आपके पास आ गया 9 तो यानि कि इन सारे observations का mean है x bar है 9 के बराबर तो यहाँ पर मैं 17 बराबर लिख सकता हूँ 9a plus b एक equation तो आपके पास a और b में यह आ गई और अगर आप sigma square निकालेंगे तो क्या आएगा यह आएगा इनके square का sum summation x i का square upon n minus x bar का square, तो इनके square का sum क्या हैगा, 1 से लेके 17 तक के square का sum होता है, n, n plus 1, 18, 2n plus 1, तो 34 plus 1, 35, divided by 6 होता है, तो 6 लिख दें, तो ये तो हो गया आपके पास सारे 1 से 17 तक के natural number के square का sum, और वो हुआ, plus 1, 2n plus 1 divided by 6, और number of data आपके पास n कितना है 17, तो ये 17 से 17 कड़ गया, x bar का square हो गया 81, 9 का square, ठीक है और 6, 3, 18 35 into 3 करेंगे तो 105 हो जाएगा और minus 18, तो ये solve करके निकालें, तो आपके पास बनेगा 19 और 5 24 पूर्ण यहाँ पे आपको a sigma square को लिखना है 24, तो 216 equal to a square into 24, इस सारी जो calculation है इसका use हमने यहाँ पे कर लिया, और यहाँ से a square का value आपके पास आ जाएगा, a square होगा 216 divided by 24, तो इससे आप लोग solve करके देखने, यह 9 आ जाएगा a square, तो a square की value आपके पास हो गई 9, तो A आएगा plus minus 3, A को आपको 3 लेना पड़ेगा, क्योंकि A positive दियावा है, तो A को 3 ले लेंगे, तो आपके पास यह 27 हो जाएगा, तो इससे आपका B आजाएगा minus का 10, देख सकते हैं आपको, A को रखना 3, तो 27 यहाँ पे बना, 17 minus 27 हो गया minus का 10, तो B आपको मिला minus का 10, तो यह आपके A और B हो गए, ए पता है बी पता है थ्री और माइनस टेन इन दोनों को जोड़ेंगे तो आपका अंसर आ जाएगा माइनस सेवन ए प्लस पी निकालने के लिए कहा है तो बच्चों आपको इसमें समझ में आ गया होगा स्ट्रेंड्स यह सम ए प्लस बी की वैली आपके पास माइनस सेवन आ variance का square root होता है अब इसके बाद देखते हैं आगे पढ़ते हैं कुछ क्वेश्चन समय आप और लेने हैं 16 क्वेश्चन नंबर पर आते हैं हमें आप पर देखें कि ऐसा जो क्वेश्चन सामने आपके है इस टाइप के जैइने कई बार क्वेश्चन पूछे हैं इस एक प्रोफाइल पर जैइने में कई सारे क्वेश्चन पू आपके सामने है राइट अब अपने पास यहां पर रैंडम वेरिबल एक्स का वेरियंस तो टोरी एक्स आई अगर उसका यह सारे डाटा है तो एक्स आई माइनस पी का समिशन कितना दे रखा तीन और एक्स आई माइनस पी के स्क्वेयर का सम कितना रखा है नाइन दे रखा है तो आपको बोला कि स्टैंडर्ड डेविएशन निकालो किन का इन एक्स आई का तो कि विन क्या है हमें अगर standard division चाहिए, तो सबसे पहले students, आपको इनका variance निकालना पड़ेगा, और variance के लिए हमें क्या चाहिए, सारे data का sum चाहिए, और सारे data के square का sum भी चाहिए, तो हमें तो इनका sum दे रखा, और इनका square का sum दे रखा है, तो एक काम करते हैं, हम मान लेते हैं कि yi आपके प सिग्मा स्क्वेर x ही होगा, तो इसका मतलब इनका variance, yi का variance ही actual में, सिग्मा स्क्वेर x होगा, तो आप लोग यहाँ पे सिग्मा स्क्वेर yi को लिख सकते हो, तो summation yi square upon n, minus summation yi upon n का whole square, is equal to sigma square x हो जाएगा, ठीक है, हमें sigma square x ही निकालने हैं, अब summation yi square मतलब इनके square का sum कितना है, 9 है, n आपका कितना है, 10 है, minus, summation yi आपके पास 3 है, और n आपका 10 फिर से है, तो यहां से sigma square of x हो गया, यह तो 0.9 हो गया, और 3 upon 10 होता है, 0.3, इसको square करेंगे तो 0.09 आ जाएगा, right, और further इसको solve कर लें, तो sigma square x की value आपके पास कितनी आ गई है, यह आ गया point, 181 सिग्मा स्क्वेयर एक्स आ गया पॉइंट 181 तो सिग्मा एक्स आएगा पॉइंट नाइन तो आप लोग देख सकते हैं कि यहां पर सिग्मा एक्स का वैल्यू आ गया है पॉइंट नाइन के बराबर इसका मतलब हो गया नाइन बाई टेन आपका करेक्ट आंसर है तो बहुत सिंपल क्वेश्चन ही था यह ज्यादा टॉप नहीं है बहुत इजी है आगे बढ़ते हैं अ मीन एंड स्टैंडर्ड डेविएशन ऑफ टैन ऑब्जरवेशन इस गिवन ठीक है तो आपके पास यहां पर एन हो गया 10 मीन हो गया 20 और सिग्मा स्क्वार हो गया 64 सिग्मा आपका 8 दिया है तो सिग्मा स्क्वार क्या होगा 64 होगा लेटर ओन इट वास ऑब्जरव दाट वान ऑब्जरवेशन वास रिकॉर्डेड एस 50 इंस्टेड ऑफ फॉर्टी मतलब कि फिफटी आपने ले लिया 40 की जगह मतलब गलत ले लिया फिफटी ले लिया था गलती से और 40 लेना था तो आप रुख सबसे पहले करेक्ट सम निकालोगे करेक्ट समेशन एक्सआई कैसे निकालोगे तो आपके पास पहले देख लेते हैं कि अभी इस समय समेशन एक्सआई क्या है राइट यह आएगा एन एक्स बार तो दस इंटू बार 120 यानि कि 200 हो गया और अभी आपके पास समेशन एक्स साइड स्क्वेयर के आ रहा है और वह यह आ रहा है बेटा ठीक है इस पर आप वैल्यू पर प्लेस कर दें एन समेशन सॉरी सिग्मा स्क्वेयर तो हो गया आपका 64 और एक्स बार हो गया एक्स बार का स्क्वेयर सॉरी यहां पर करना पड़ता है एक्स बार का स्क्वेयर हो गया आपका 400 तो यह हो गया 4 64 x 10 करेंगे तो 464, 4640 आ जाएगा, तो इसलिए आपके पास summation x i का square हो गया, तो यह जो हमने लिखा है, यह अभी at present हमारे पास सारे data का sum है, और सारे data के square का sum है, अब हमें correct summation x i चाहिए, ठीक है, तो wrong summation x i क्या है, 200, wrong क्या था इसमें, wrong यह था कि आपने 50 ले लिया, चालीस की जगह तो 50 को तो पहले हटा दो जो गलत है उसको रिमूव करते और जो सही है 40 उसको जोड़ लेते हैं यहां से आपको मिल गया 190 आपको मिल गया तो correct summation x i आपको मिल गया है और साथ में अब निकाल लेते हैं correct summation x i square तो आपके पास wrong तो है 4640 इसमें से आप वो minus कर लें जो wrong हो रहा है 2500 minus करना पड़ेगा और 1600 आपके पास इसकी जगह आपको लेना है, तो इसको further जब आप calculate करते हैं, तो आपको यह value मिलती है 3740, तो यह correct summation xi square आपके पास है, और अब हम लोग यहाँ पे देखें कि variance sigma square क्या हो जाएगा, आपको correct sigma square चाहिए था 4640, तो correct sigma square क्या हो जाएगा, summation xi square, अपन एन 10 हो गया, माइनस, समेशन एक्साई, अपन एन का स्क्वेर, यहां से फर्दर, सॉल्ड करते हैं, तो यह आता है 374, और यह 19 का स्क्वेर आ जाता है, और 19 का स्क्वेर करेंगे, तो आपको मिलेगा 361, अब 374 में से 361 माइनस कर दें, तो आपको आंसर मिलेगा 13, तो correct, variance आपके पास है 1, 3 के बराबर, तो आप लोग students देख सकते हैं, कि यहाँ पे क्या given था, यहाँ पे given था, कि आपके पास कोई data है, उनका mean दे रखा था, 10 data का, और variance दे रखा था, तो ऐसे case पे हमें summation x i, summation x i square दोनों मिल गए, लेकिन आपको एक number 40 की जगह आपने 50 ले लिया, तो 50 आपने हटाया, और 40 जोडा, तो नया sum या correct sum आ गया, और ऐसी 50 के square को घटा करके 40 के square को जोडा square के sum में से, तो correct summation x i square आ गया, और हम अब sigma square का formula होता है, summation x i square अपने n minus x bar का square, इसमें हम सारी value place किये, तो 13 आपके पास हो गया, correct variance, तो इस तरीके से कर सकते हैं. तो इस तरह से solve करेंगे, so students आप लोग को यहाँ पे बात समझ में आ रही है, now next आगे बढ़ते हैं, the mean and variance of a set of 15 numbers are given, n आपके पास क्या है, x bar आपके पास क्या है, variance आपके पास क्या है, the mean of 15 numbers is 12 and variance is 14 राइट तमीन एंड वेरियंस ऑफ ए���ादर 15 नंबर्स एज अगेन 14 एंड सिगमा स्क्वायर ओके एंड अमीड आईड वेरियंस ऑफ 30 ऑफ़रेशन थे ट्रॉप्स वेशन्स का वेरियंस एक्चुली दे रखा है यह 30 ऑफ़रेशन मिला करके जो होंगे इनका मीन नहीं दे रखा है पर वेरियंस आपको दिया है 30 तो अब आपको क्या चाहिए सिग्मा स्क्वेर रिक्वायर्ड है, तो फर्स्ट और फॉल हमें आपे सारे डेटा का सम चाहिए, आप लोग यहाँ पर देखना कि कम्बाइंड वेरियंस आपको दे रखा है, 30 डेटा का वेरियंस कितना है, 13 दे रखा है, 1, 3 के बराबर, और इसमें जो सिग्मा स्क्वेर है प्लस 15 x 14 हो जाएगा, तो 15 आपके पास common आएगा, और ये बन गया आपका 26, और इसको further calculate कर लें, तो आपके पास 15 x 26 की value निकाल लें, तो x summation x i आपके पास आ जाएगा, और हमें पूरा नहीं निकालना, आपको 30 से divide कर लेना, ताकि हमें mean मिल जाए, तो आपको combined mean मिल जाएगा, कम्बाइन मीन होगा 15 x 26 divided by 30 कर लें, तो यह 13 आ जाएगा, यह कम्बाइन मीन आपको मिला है, right, अब हमें आपके क्या चीज़े कम्बाइन मीन, क्योंकि variance चाहिए combined, हाला कि combined variance पता है, बट उसी से equation बनाएंगे, तो अब अपन combined summation x i square निकालना चाहते हैं, और combined summation x i square कैसे आए� तो पहले तो हम लोग क्या करेंगे इन 15 डेटा के स्क्वेर का सम निकालेंगे, और उसके लिए फार्मुला आपको पता है, फार्मुला बता रखा हमने, यह था summation x i square equal to n, sigma square plus x bar का square, तो पहले शुरू के 15 data का square का sum होगा, 15 plus 14 हो गया आपका sigma square, और x bar का square हो गया, 12 का square 144, plus, यह क्या हो गया? पर्स 15 डेटा के स्क्वायर का सम यह वाले 15 डेटा के स्क्वायर का सम फिर इसके बाद नेक्स 15 डेटा के स्क्वायर का सम होगा उनका n तो 15 है और x बार इनका है 14 तो 14 का स्क्वायर लिखेंगे और सिग्मा का स्क्वायर 14 का स्क्वायर सिग्मा का स्क्वायर 196 14 का स्क्वायर हो थर्टी करना पड़ेगा आपको इसमें डिवाइड तो एक काम करते हैं इसको फिर अभी यहां पर होल्ड करते हैं तो आपको वेरियंस क्या मिलता है सारे कंबाइन डेटा का यह दिया वाइट 13 तो कंबाइन डेटा का सम यह निकालना पड़ेगा एक काम करते हैं यहीं पर इसको थर्टी से डिवाइड करके देख लेते हैं तो थर्टी से डिवाइड करेंगे तो 15 तो कर दिया और 14 और 144 हो गया आपका 158 इसको स्टू से डिवाइड करेंगे अ आप देख सकते हैं 15 x 158 plus 15 x sigma square plus 196 divided by 30, ओकी, इसकी जरूरत पड़ेगी, अपन को इसलिए यहां पर निकाल लेते हैं, और इसमें आप 15 से divide कर लेना, और फिर आपके पास बचेगा sigma square plus 158 plus 196, 158 प्लस 196 कर लें राइट 158 प्लस 196 कितना हो जाएगा 158 प्लस 196 करेंगे तो आपको मिलेगा 200 300 54 राइट यह आप लिखते हैं 354 डिवाइड बाइ 30 अब हमें क्योंकि वेरियंस चाहिए तो नया 13 कमबाइंड वेरियंस था और वह आएगा कमबाइंड समिशन एक्साइस कर अपन थ्री फिटी फ्लस थ्री टी फिटी फोर अपन थर्टी कर देंगे थर्टीन करेंगे तो नीचे फिर फिफ्टीन बचेगा सॉरी यहां पर आपको फिफ्टीन लिखना है तू लिखना है अपन आप लोग देखना, मैं फिर से इसको लिख देता हूँ, वही variance क्या होता है, 13 यहाँ पर है variance, और वो होता है summation x i square upon n, यानि कि यहाँ पर 30 data का summation x i square upon 30 करेंगे, तो वो अपने निकाल के रखा हुआ है, sigma square plus 354 upon 2 आजाएगा, minus x bar का square, तो x bar कितना यहाँ पर 13 है, that is 169, अब इसको अपन फर्दर सॉल्ड करेंगे तो आपको 169 द लेकर के आना तो यह हो गया 189 192 ओके 182 इसी क्वेश्चन सिग्मा स्क्वायर प्लस 354 अपन टू और इसको इधर मल्टिप्लाइंग करेंगे तो यह हो गया थी सिक्सटी फोर और इक्वल टू सिग्मा स्क्वायर प्लस 354 अ और सॉल करेंगे तो सिग्मा स्क्वेर आपके पास कितना जाएगा, 10 के बराबर आ जाएगा, तो आप लोग देखें इस तरीके से क्वेश्चन बड़ी आसानी से कर सकते हैं, जेई में इस तरह की क्वेश्चन बहुत आते हैं, तो आपको इनकी प्राक्टिस जरूर करके आन 2023 का है actually यहाँ पे आप लोग इस चीज को समझो कि जो one shot video है इसका importance इस तरह से आप देख सकते हैं कि आप पूरे chapter को एक बार में revise कर सकते हैं आपको पूरे chapter को पढ़ने में, revise करने में बहुत कम time लगेगा यह आप यहाँ पे इस chapter में इस one shot video में देख सकते हैं आपके पास यहाँ पर इस सेट के अंदर 11 से लेकर 41 तक के continuous natural number है, तो कितने है यह?
यह 41 minus 11 plus 1, यानि कि 31 numbers है, फिर इसके बाद 61 से 91 तक सारे natural number दिख रहे हैं, तो इसमें कितने number है? 91 minus 61, यानि कि 30 plus 1, 31, तो इसमें 31 numbers इसमें भी उतनी है, be the two sets of observations एक्स बार और वाई बार इनका क्या है मीन है तो ऐसे केस में आपको अगर यह एक्स बार वाई बार इनका मीन है और सिग्मा स्क्वार क्या है एक्स यूनिन वाई का वेरियंस है यानि कि इनका कम्बाइंड वेरियंस है इनमें कॉमन तो कुछ है ही नहीं तो यानि कि 31 और 31 62 observation यह 31 डेटा का सम ऊपर लिखेंगे, तो 31 by 2, A plus L कर लेंगे, तो यह आपके पास आ गया, ओके, तो यह cancel, और 11, 41, 52 upon 2 करेंगे, तो 26 आ जाएगा, ठीक है, अब दूसरे जो डेटा है, वो इसमें 50 जोड़ के आ रहे हैं, तो जब 50 जोड़ के आ रहे हैं, तो mean में भी 50 जोड़ 76 की बराबर क्योंकि आपको पता है कि अगर yi है xi plus a तो y bar होता है x bar plus a से में जोड़ना पड़ेगा तो यहां पे सारे नंबर में 50 जोड़के इसके नंबर आ रहे हैं तो इसका मतलब यह हो गया कि आपके पास इनका mean अगर 26 है तो second वाले का mean होगा 26 plus 50 right तो यह x bar भी मिल गया आप देखें इसके बाद हमें क्या निकालना है, हमें निकालना है इन सारे के सारे थेटा का वेरियंस, अब वेरियंस जो होता है, वो आपको निकालने के लिए इन सब का स्क्वायर का सम करना पड़ेगा, 31, 62 नमबर के स्क्वायर का सम करना पड़ेगा, और साथ में हमें सम वेरियंस निकालने से पहले कम्बाइंड मीन पता लगाते हैं और इस मीन को मैं काम करता हूँ म्यू से रिपरेजेंट कर देता हूँ म्यू आपके पास हो जाएगा 31 x bar plus 31 x y bar 76 divided by टोटल कितने डेटा आपके पास हैं ट्वाइस 31 ओके यह आपके पास हो गया मीन combined mean और 31 से divide करके cancel करने, और 2 से भी divide करने, यह बनेगा 13 और यह 38, तो 51 आपके पास mu आ जाएगा, यानि कि इन सारे observations का, 62 observation का combined mean हमने निकाल लिया है, और वो आपको मिला है 51 के बराबर, अब हमें जो find out करना है, वेरियंस अब वेरियंस के लिए मैं कौन सा फार्मला लगाऊं अगर मैं वह लगाता हूं जिसमें एक्साई में से सॉरी अगर मैं वह लगाता हूं जिसमें सारे डेटा के स्क्वायर का सम मुझे करना पड़े तो इनके स्क्वायर का सम करना थोड़ा मुश्किल लग रहा है एक काम करते हैं हम सारे डेटा के अंदर से मीन माइनस करके स्क्वायर का सम लेते हैं और नीचे लिख देते हैं ऐसा कैसा रहेगा यह ठीक रहेगा तो आप देखें फिफ्टी बन है तो आपको यहाँ पे mean का यह भी formula होता है ने, यह भी बता रखा है मैंने, तो आप लोग चेक करना कि आपको यह कैसे मिलेगा, पहले तो हमें सबी में से क्या घटाना, 51, तो इन सब में से 51 घटाएंगे तो क्या आएगा, यह आएगा 11-51, 40 का square, 12-51, 39 का square, और इस तरह से चल लास्ट में आएगा 41-51 यानि कि 10 का square, यह आजाएगा, फिर इसके बाद जब आप इन में से 51 घटाएंगे, तो फिर से 10 आएगा, इसमें से 51 घटाएंगे, 12 आएगा, इसमें से 51 घटाएंगे, तो 40 आएगा, मतलब वापस से वही difference जो यहां दिख रहे हैं, वापस से इनके अंदर से जैसे हमने 51 mean को घटा के square का sum किया, वैसे हाँ 51 को इन में से घटा करके, स्क्वेयर का सम करेंगे तो यह सीरीज वापस से दिखेगी तो मैं इसे ट्वाइस लिख सकता हूँ राइट और नीचे आपके पास एन हो गया सारे डेटा की संख्या कितनी है 62 है तो यह आपके पास मीन के लिए यह हो जाएगा और अब अपन इसे थोड़ी इजली निकाल सक तो आपके पास यहाँ पे देखें कि क्या आया, यह 10 से लेकर 40 के square का sum है, 10 से लेकर के 10 square, 11 square, 12 square, up till आपके पास आ गया है, देखते हैं, 40 का square आ गया, 40 के square तक का sum आपको मिला है, और उपर आपके पास एक और चीज है, sorry, उपर आपके पास एक और चीज है, 2, और यह नीचे 62, तो नीचे क्या बन जाएगा, 31 बन जाएगा, तो ये हो गया actual में sigma square, और ये निकालने के लिए आप क्या करें, 1 से लेकर 40 तक के number के square के sum में से, 1 से लेकर 9 तक के square के sum को घटा लें, 1 square, 2 square, 40 square, इस में से आप minus करेंगे, 1 square, 2 square से लेकर 9 square तक का sum, डिवाइडेड बाइ 31 यह तो हो गया एन प्लस वन टू एन प्लस वन हो गया आपका 81 डिवाइडेड बाइ सिक्स और यह क्या हैगा यह आएगा एन प्लस वन हो गया टैन टू एन 18 और 119 टू एन प्लस 119 हो गया डिवाइडेड बाइ सिक्स राइट इसको पर दर्श सॉल्व कर लें तो यह बन जाएगा 32 जात्री सब 27 जाप और टू ट्वेंटी जा अ तो बन गया 20 x 41 x 21 और इधर से भी आप कैंसल करेंगे तो पंद्रा हो जाएगा 15 x 19 डिवाइडेड बाय 31 अब इससे आपको कैलकुलेट करना पड़ेगा इतना सा मैंने इतना तक करके दे दिया है इससे आप अब फर्दर कैलकुलेट करके आंसर चेक करें कि इसका आंसर क्या तो आप लोग देखना कि इसका answer आ रहा है 603, इसको आप calculate करके देखेंगे simply, आपके पास कैसे होगा, calculate कैसे होगा इसमें से, common ले लें या फिर जैसे चाहें करें, यह आपका answer आ जाएगा, ठीक है, अब उसके बाद एक और question है, यह question भी actual में J.E. Main 2023 का question है, तो students last question पे हम पहुँच गए हैं इस topic के, इस चेप्टर से इस टाइप के बहुत सारे questions पूछे जाते हैं, और advance में भी इस type का question आने के पूरे chance पनते हैं, तो आप लोग यहाँ पर देख सकते हैं कि x1 से लेकर x18 तक 18 number है, और summation x i minus alpha आपके पास 30 दिया हुआ है, और summation x i minus beta का square 90 दे रखा है, और आपको अब निकालना क्या है, if the variance is 1, इस एक बार पढ़ लेते हैं, यह सारे observation है, यह दिया हुआ, alpha, beta क्या distinct real number है, if the standard deviation of these observations is 1, find करो कि alpha minus beta का mod क्या होगा, तो आपको इन का variance दे रखा है, 1 का square, ठीक है, तो पहले तो हम लोग यहाँ पे एक काम करते हैं, हमें यहाँ पे summation xi, minus beta चाहिए क्योंकि यहां पे xi minus beta के square का sum पता है, तो xi minus beta plus beta minus alpha लिख सकते हैं से, right, तो मैंने beta घटा के beta जोड भी दिया, तो इसको मैं अलग रखूंगा, तो आपको मिला summation xi minus beta plus, यह 18 times हो जाएगा, beta minus alpha बराबर हो जाएगा, 36, तो ultimately, आपको यहाँ पे summation of xi minus beta का value क्या मिल गया, यह मिल गया 36 plus 18 alpha minus beta, right, यह आपको मिल गया है, so आप लोग यहाँ पे देखना कि हमें yi क्या मिल गया, xi minus beta, ऐसे ले लेते हैं, तो आपको पता है कि sigma square y sigma square x होगा, इसका मतलब है कि जो आपके x1, x2, xn का, x18 का जो variance है वही actual में xi-beta यानि कि x1-beta, x2-beta, xn-beta का भी variance वही होगा यह हम लोग यहाँ पे बोल सकते हैं तो आप लोग देख सकते हैं कि sigma square x को लिखना है sigma square y यानि कि आपको इनके square का sum यहाँ पे आएगा square का sum पता है न अपन को 90 है divided by 18, minus इनका sum कितना है, 36 plus 18, alpha minus beta divided by 18, यह आपके पास हो गया है, अब आप इसे solve करें, यह 5 हो गया, तो आपको sigma square तो पता है, 1 दे रखा है, तो यह 5 हो जाएगा, और यह 18 common ले करके divide कर दें, तो यह बनेगा 2 plus alpha minus beta, और इस minus of alpha minus beta को left में ले जाते हैं, तो आपको मिलेगा right में 3 minus 1, that is 2, तो आप लोग यहाँ पे देख सकते हैं, कि आपके पास alpha minus beta का value 2 आ गया है, यह actual में 3 बनेगा, 18, 5 जो 90, okay, एक मिनट देखते हैं, इसको थोड़ा ठीक कर लेते हैं, मैंने यहाँ पर थोड़ा formula गलत use कर लिया है, तो यहाँ पर देखना कि यह बनेगा summation of yi square upon n minus summation yi अपन एन का square, yi का मतलब क्या है, xi minus beta, यह square का sum तो आपके पास अभी हमने निकाल रखा है, square का sum हमने find out क्या रखा, दे रखा है actually, 90 दे रखा है, 90 divided by कितना, 18, minus, यह summation yi upon n करेंगे, 36 plus 18, alpha minus 18 beta, divided by 18 whole square और आपको पता है sigma square x जो आपके पास है वो 1 दे रखा है ठीक है और sigma square y भी 1 हो जाएगा 18, 5 जा, 90 और यहां से 18 common ले लें और इस पूरे bracket को इस तरफ ले आते हैं तो आपको मिलेगा 2 plus alpha minus beta का whole square equal to 1 अब अगर इसका square 1 है तो alpha minus beta का वैल्यू क्या हैगा इसका वैल्यू आतो हो जाना चाहिए माइनस पन ठीक है एक्शनली क्या हैगा यह पूरा इधर आ गया तो 5-1 तो फोर हो गया ना तो आप देख सकते हैं कि अल्फा माइनस बीटा क्या हैगा अल्फा माइनस बीटा या तो जीरो जाना चाहिए या फिर अल्फा माइनस बीटा को हो जाना चाहिए कितना अगर आपको यह फोर लेकर के आना है तो इसको जाना चाहिए जीरो या इसको जाना चाहिए माइनस का फोर ठीक है अलफा माइनस बीटा को माइनस का 4 हो जाना चाहिए, यहां से अपन देख लेते हैं, कि अलफा माइनस बीटा होगा 0 या फिर माइनस 4, आप क्योंकि अलफा माइनस बीटा 0 नहीं लाना है, क्योंकि इसने कहा कि अलफा बीटा distinct numbers है, तो अलफा माइनस बीटा को आप क्या लें पूर आ जाएगी सो स्टूडेंट्स आप लोग यह देख सकते हैं कि चैप्टर यहां पर इस तरह से कंप्लीट हो गया है लास्ट क्वेश्चन था यह क्वेश्चन बहुत आसान भी है यह चैप्टर आसान है इस चैप्टर से आपको जई में एक क्वेश्चन देता है और एडवांस में भी अब हर साल क्वेश्चन आ गए हैं आने लग गए हैं कि लास्ट यह से स्क्राइड किया है आपने लास्ट यह से जई एडवांस ने इसको एड किया है अ लास्ट येर से एडवांस में इसके क्वेश्चन्स आ रहे हैं ठीक है थेंक यू आल थेंक यू वेरी मच एंड टेक केर नेक्स्ट लास्ट में नेक्स्ट वीडियो में फिर से मिलते हैं थेंक यू आल थेंक य