Vektoren im Raum (\mathbb{R}^3)

Grundlegendes zu Vektoren

• Vektoren sind Pfeile in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.
• Sie bestehen aus drei reellen Zahlen ((x, y, z)) als Komponenten.
• Verschiebung eines Vektors ändert nicht seine Richtung oder Größe.

Rechenoperationen mit Vektoren

• Addition von Vektoren: Zwei Vektoren werden durch Aneinanderanhängen addiert.
• Subtraktion von Vektoren: Ein Vektor wird in entgegengesetzter Richtung addiert.
• Vielfache von Vektoren: Ein Vektor kann durch einen Skalar gestreckt oder gestaucht werden.
• Linearkombination: Kombination aus Vielfachen von Vektoren.

Lineare Unabhängigkeit

• Zwei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie nicht in die gleiche Richtung zeigen.
• Drei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen.

Vektorlängen und Skalarprodukt

• Betrag eines Vektors: Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten.
• Skalarprodukt: Produkt der Beträge zweier Vektoren und des Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
  • Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Anwendungen in der Geometrie

• Ortsvektor: Gibt die Position eines Punktes im Raum an.
• Geraden im Raum: Darstellung durch Richtungsvektor und Stützvektor.
• Ebenen im Raum:
  • Parameterform: Mit zwei Richtungsvektoren beschrieben.
  • Koordinatenform: Durch Eliminieren der Parameter.
  • Normalenform: Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Kreuzprodukt von Vektoren

• Kreuzprodukt: Resultiert in einem Vektor, der orthogonal zu den beiden Ausgangsvektoren steht.
• Betrag des Kreuzprodukts: Entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms.
• Anwendung: Bestimmung der Flächen von Dreiecken und Parallelogrammen.

Anwendung in der Koordinatenform

• Normalenvektor gibt die Ausrichtung der Ebene an.
• Koeffizienten der Koordinatenform stammen aus den Komponenten des Normalenvektors.

Fazit

• Vektoren und ihre Anwendungen sind grundlegend für das Verständnis der Geometrie im (\mathbb{R}^3).
• Sie bieten Werkzeuge zur Lösung vieler geometrischer Probleme und zur Beschreibung von Objekten im Raum.